Egenværdier og egenvektorer

Egenværdier og egenvektorer 2 Definition Lad A være en n n matrix. En vektor v R n, v 0, kaldes en egenvektor for A, hvis der findes en skalar λ således Av = λv Skalaren λ kaldes en tilhørende egenværdi. Egenvektorer og egenværdier defineres helt analogt for en lineær operator.

4 Matrixligningen Av = λv har en ikke-triviel løsning netop når A λi n er ikke-invertibel. Egenværdierne for A kan derfor findes ved at løse den: Karakteristiske ligning (K ) det(a ti n ) = 0, hvor venstresiden kan vises at være et polynomium af grad n (polynomium i t).

Polynomier og deres rødder 5 Hvis P(t) = (t r 1 ) m 1 (t r 2 ) m2 (t r k ) m k S(t) så er r 1, r 2,... r k rødder i P(t). Hvis der er flere rødder i P(t), skal de findes som rødder i polynomiet S(t) Og omvendt. Hvis r 1,..., r k er rødder i Q(t) så kan Q(t) faktoriseres Q(t) = (t r 1 ) m 1(t r 2 ) m 2 (t r k ) m k R(t) Eksempel: Andengradspolynomier. Tredjegradspolynomier.

Egenrum 7 Givet en egenværdi λ for matricen A, så finder man de tilhørende egenvektorer ved at løse den homogene matrixligning Egenrum for λ: Definition (A λi n )x = 0. Lad λ være en egenværdi for n n-matricen A. Underrummet Null(A λi n ) R n kaldes egenrummet hørende til egenværdien λ. Egenrummet består af samtlige egenvektorer hørende til egenværdien λ, samt vektoren 0. Bemærk: vi ved kun, at dim(null(a λi n )) 1. Dimensionen kan meget vel være > 1. Normalt finder man en basis af egenvektorer for egenrummet Null(A λi n ) hørende til egenværdien λ.

Mere om egenrummet 9 Sætning Lad A være en n n-matrix med egenværdi λ. Så gælder 1 dim Null(A λi n ) m λ, hvor m λ er multipliciteten af λ som rod i den karakteristiske ligning [dvs. (t λ) m λ indgår som "optimal" faktor i den karakteristiske ligning].

11 Procedure: Givet en n n matrix A Find A s egenværdier λ 1,..., λ n ved at løse (finde rødder i) den karakteristiske ligning det(a ti n ) = 0. For hver egenværdi λ i, find en basis af egenvektorer for egenrummet Null(A λ i I n ).

Eksempler 12 Eksempel I Find egenværdierne og de tilhørende egenvektorer for [ ] 1 2 A =. 2 2 Karakteristisk ligning: [ ] 1 t 2 0 = det = t 2 + t 6. t = 2 2 t Egenvektor for egenværdien λ = 2: Vi løser [ ] 1 2 2 2 2 2 [ ] 1 2 v = r 0 0 Egenvektor for egenværdien λ = 3: Vi løser [ ] 1 ( 3) 2 2 2 ( 3) { 2 [ ] 2. 1 3. [ ] [ ] 1 1/2 1 v = s. 0 0 2

Eksempler 13 Eksempel II Egenværdierne for en øvre (eller nedre) trekantmatrix U = [u ij ] er netop diagonal elementerne u 11, u 22,..., u nn. Følger fra: u 11 t 0 u 22 t det(u ti n ) = det. 0.. 0 0 u nn t = (u 11 t)(u 22 t) (u nn t).

Husk om basisskift 15 Sætning Lad T : R n R n være en lineær operator, og lad B = {b 1, b 2,..., b n } være en basis for R n. Indfør B = [b 1 b 2 b n ] og lad A være T s standardmatrix. Så gælder Bemærk: For x R n gælder [T ] B = B 1 AB. [T (x)] B = [Ax] B = B 1 Ax = (B 1 AB)B 1 x = [T ] B [x] B. Operatoren T s virkning på vektoren x: x A Ax standard koordinater B 1 B B 1 x B 1 AB (B 1 A)x B-koordinater

Matricen med hensyn til en basis af egenvektorer 16

Diagonalisering 17 Definition (diagonaliserbar) Lad A være en n n-matrix. A siges at være diagonaliserbar hvis A er similær med en diagonal matrix, dvs. A = PDP 1, hvor D er en n n diagonal matrix og P er en n n inverterbar matrix. En lineær operator T : R n R n siges at være diagonaliserbar, hvis T s standardmatrix er diagonaliserbar.

22 Fortolkning Betragt en n n-matrix A som er diagonaliserbar, dvs. A = PDP 1. Benævn P s søjler v 1, v 2,..., v n. Bemærk, at B = {v 1, v 2,..., v n } udgør en basis for R n (da P er invertibel). Vi ser nu på den lineære operator T induceret af A, dvs. T (x) = Ax, x R n. Hvad er T s matrix repræsentation relativ til B? Jvf. Kapitel 4, er den præcis [T ] B = P 1 AP = P 1 (PDP 1 )P = D.

Diagonalisering II 23 Sætning Lad A være en n n-matrix. A er diagonaliserbar hvis og kun hvis A har n lineært uafhængige egenvektorer. I fald A har n lineært uafhængige egenvektorer v 1, v 2,..., v n med tilhørende egenværdier λ 1, λ 2,..., λ n, kan vi skrive A = PDP 1, hvor P = [v 1 v 2 v n ] og D = diag(λ 1, λ 2,..., λ n ).

26 Sætning (n forskellige egenværdier) Lad A være en n n-matrix. Hvis A har n forskellige egenværdier, da har A netop n lineært uafhængige egenvektorer og A kan derfor diagonaliseres.

Diagonalisering III 28 Mere generelt: Sætning Lad A være en n n-matrix med de forskellige egenværdier λ 1, λ 2,..., λ r (r < n er tilladt). Matricen A er diagonaliserbar hvis og kun hvis summen af dimensionerne of egenrummene hørende til λ 1, λ 2,..., λ r er præcis n. Hvis A er diagonaliserbar, og B k er en basis af egenvektorer for egenrummet hørende til λ k, da udgør {B 1, B 2,..., B r } en basis for R n bestående af egenvektorer for A.