Differentialligninger for A-niveau i st, udgave SkÄrmbillede fra TI-Nspire 015 Karsten Juul
Differentialligninger for A-niveau i st, udgave 1 Hvad er en differentialligning? 1a OplÄg til differentialligninger1 1b Hvad er en differentialligning?1 Kontrol af läsning til differentialligning a UndersÅg om funktion er låsning til differentialligning GÅr rede for at funktion er låsning til differentialligning Eksempel 1 b UndersÅg om funktion er låsning til differentialligning GÅr rede for at funktion er låsning til differentialligning Eksempel 3 Bruge oplysningen i differentialligning 3a Bestem ligning for tangent nçr differentialligning er givet3 3b Eksempel pç brug af oplysningen i differentialligningen3 3c Bestem väksthastighed ud fra differentialligning Eksempel 1 4 3d Bestem väksthastighed ud fra differentialligning Eksempel 4 4 Bestemme läsning til differentialligning 4a Bestem låsningerne til en differentialligning 5 4d Bestem en låsning til en differentialligning nçr Én funktionsvärdi (Ét grafpunkt) er givet5 4e Bestem en låsning til en differentialligning nçr to funktionsvärdier (to grafpunkter) er givet 6 5 Opstille differentialligning 5a med besvarelse 6 6 Logistisk differentialligning 6a Vi opstiller en differentialligning 7 6b Vi finder proportionalitetskonstanten7 6c Hvad er en logistisk differentialligning? 7 6d Hvordan Ändres väksthastigheden?7 6e Hvor stor er populationen nçr den vokser hurtigst? 8 6f Vi finder forskrifter for låsningerne til differentialligningen8 6g Vi finder den af låsningerne der passer med populationen 8 6h Hvad sker der med antallet i det lange låb? 8 7 Beviser 7a HjÄlpesÄtning 9 7b SÄtning9 En tidligere version af dette häfte har skiftet adresse til http://mat1dk/differentialligninger_for_a_niveau_i_st_udgave_1pdf GÇ ind pç http://mat1dk/noterhtm for at downloade nyeste version af dette häfte Differentialligninger for A-niveau i st, udgave, Ä 015 Karsten Juul Dette häfte kan downloades fra wwwmat1dk Det må bruges i undervisningen hvis läreren med det samme sender en e-mail til kj@mat1dk som oplyser at det bruges og oplyser hold, niveau, lärer og skole 15/1-015
1 Hvad er en differentialligning? 1a OplÄg til differentialligninger En plantes håjde y vokser sçdan at der pç ethvert tidspunkt t gälder at hçjdes väksthastighed = hçjde Dette kan vi skrive med symboler sçdan: y' = y Vi kan ogsç urykke dette ved at sige at i hvert punkt pç grafen er tangenthäldning = y-koordinat Her har vi opstillet en differentialligning Ligningen y y er et eksempel pç en differentialligning De fleste differentialligninger er mere indviklede For funktionen f ( ) 4e gälder at f ( ) 4e f () opfylder betingelsen y' = y for hvert Dette urykker vi ved at sige at f () er en låsning til differentialligningen eller at f () tilfredsstiller differentialligningen Vi ser at funktionen f ( ) e, sç ogsç er en låsning Vi ser at differentialligningen har mange låsninger Symbolet betyder det samme som y Differentialligningen y kan ogsç skrives sçdan: eller sçdan: y y f ( ) f ( ) 1b Hvad er en differentialligning? En ligning er en differentialligning hvis den ubekene er en funktion og funktionens differentialkvotient indgçr En funktion er låsning til en differentialligning hvis funktionen opfylder differentialligningen for hvert i funktionens definitionsmängde Differentialligninger for A-niveau i st, udgave Side 1 015 Karsten Juul
Kontrol af läsning til differentialligning a UndersÅg om funktion er låsning til differentialligning GÅr rede for at funktion er låsning til differentialligning Eksempel 1 UndersÅg om funktionen y y 1 f ( ) er en låsning til differentialligningen Vi indsätter f () = + for y i y' y = 1 : ( + )' ( + ) = 1 1 ( ) 1 Forskriften fortäller at i hvert grafpunkt får man y-koordinat ved at oplçfte -koordinat til anden og lägge -koordinat til resultatet Ligningen kräver for hvert grafpunkt at når y-koordinat gange träkkes fra tangenthäldning skal det give samme tal som når -koordinat i anden gange träkkes fra 1 1 1 1 1 Da dette er san, gälder: f er låsning til differentialligningen y y 1 b UndersÅg om funktion er låsning til differentialligning GÅr rede for at funktion er låsning til differentialligning Eksempel UndersÅg om funktionen Vi indsätter y 1 f ( ) ln er en låsning til differentialligningen f ( ) y ln for y i 1 : ( ln ) ( ln ) 1 1 ( ln 1) ln 1 1 ln 1 ( ln 1) 1 ln 1 ln 1 Forskriften fortäller at i hvert grafpunkt får man y-koordinat ved at indsätte -koordinat i forskrift og regne ud Ligningen kräver for hvert grafpunkt at tangenthäldning skal väre det tal man får når man indsätter -koordinat og y-koordinat i hçjre side og regner ud 1 ln 1 ln 1 y Da dette er san, gälder: f er låsning til differentialligningen 1 Differentialligninger for A-niveau i st, udgave Side 015 Karsten Juul
3 Bruge oplysningen i differentialligning 3a Bestem ligning for tangent nçr differentialligning er givet En funktion f er låsning til differentialligningen y og grafen for f gçr gennem punktet P (3, 7) Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P For en låsning til differentialligningen y gälder at i punktet ( 1, y1) (3,7) er tangenthäldningen a 3 7 = ( Vi har indsat 3 og 7 for og y i håjre side af y ) Ligning for tangent i P(3,7) : y y a 1 ) ( 3) 7 ( y y 1 1 Ligningen fortäller at i ethvert grafpunkt får vi tangenthäldningen når vi oplçfter -koordinaten til anden og träkker y-koordinaten fra resultatet 3b Eksempel pç brug af oplysningen i differentialligningen En funktion f er defineret for ethvert tal og er låsning til differentialligningen 1 y 1 GÅr rede for at f har et minimum I ethvert punkt (, y) pç grafen for f er tangenthäldningen Dette tal har samme fortegn som 1, Ligningen fortäller at i ethvert grafpunkt er tangenthäldningen det tal vi får ved at udregne hçjresiden efter at have indsat grafpunktets koordinater 1 y 1 for y 1 er altid positivt da et tal i anden ikke kan väre negativt 1 0 For 1 har låsningen 1 er 1 1, og for 0 er 1 1 TangenthÄldningen er altsç negativ for f er aftagende i intervallet 1 Heraf fålger at f har minimum for og positiv for 1 1 og voksende i intervallet 1 1, sç Differentialligninger for A-niveau i st, udgave Side 3 015 Karsten Juul
3c Bestem väksthastighed ud fra differentialligning Eksempel 1 Udviklingen i et rs vägt kan beskrives ved differentialligningen 0,08y 16,, 0 t 9 hvor t er tiden mçlt i uger, og y er rets vägt mçlt i gram Bestem väksthastigheden pç det tidspunkt hvor rets vägt er 180 gram Vi indsätter 180 for y i differentialligningen: 0,08180 16, 16, 0,08 180 11,16 NÇr rets vägt er 180 gram, er väksthastigheden NÅr vi indsätter en konstant for y, så skal vi bevare y i 11, gram pr uge Ligningen fortäller at på ethvert tidspunkt mellem 0 og 9 gälder: NÅr väksthastigheden lägges sammen med 0,08 gange vägten, så får man 16, Ovenfor låste vi en ligning ved at träkke samme tal fra begge sider Hvis vi i stedet vil bruge solve, kan vi taste 3d Bestem väksthastighed ud fra differentialligning Eksempel En plantes håjde er en funktion af tiden der opfylder differentialligningen dh 0,06 0, 93 t h hvor h er håjden mçlt i mm, og t er tidspunktet mçlt i dågn Det oplyses at h ( 1) 3 Bestem väksthastigheden til tidspunktet t 1 Vi indsätter 1 for t og 3 for h i differentialligningen: dh 0,06 0,93 dh 0,0754 1 3 Ligningen fortäller at vi får väksthastigheden dh når vi udregner hçjre side efter at have indsat tidspunkt og hçjde på t 's og h's pladser Til tidspunktet t 1 er väksthastigheden 0,073 mm pr dågn Differentialligninger for A-niveau i st, udgave Side 4 015 Karsten Juul
4 Bestemme läsning til differentialligning 4a Bestem låsningerne til en differentialligning 4b Bestem forskrift for låsningerne til differentialligningen y y 1, 3 Nspire låser ligningen y y 1, 3 mht funktionen y og fçr låsningerne y c e 1, 3 BemÇrkning I stedet for c skriver Nspire c1 eller c eller c3 osv 4c De enkelte läsninger I besvarelsen ovenfor fan vi at låsningerne til y y 1, 3 er y = ce + 1,3 NÇr vi i y c e 1, 3 erstatter c med et bestemt tal, fçr vi Én af låsningerne Hvis vi ved at y ( ) 5, dvs at punktet (, 5) ligger pç grafen, sç kan vi bestemme c Dette kan vi gåre med metoden fra ramme 10, men vi kan ogsç blot sätte og 5 ind for og y i y c e 1, 3 og låse mht c : 5 e 51,3 c 1,3 hvoraf c 0, 500741 e LÅsningen hvor y ( ) 5, er altsç y = 0,50e + 1,3 PÇ tilsvarende mçde fçr vi: LÅsningen hvor y ( ) 3, er y = 0,3e + 1,3 4d Bestem en låsning til en differentialligning nçr Én funktionsvärdi (Ét grafpunkt) er givet En funktion h er låsning til differentialligningen dh 0,5( h ) og grafen for h gçr gennem punktet (, 1,6 ) Bestem en forskrift for h dh Nspire bestemmer forskriften for den låsning til 0,5( h ) hvor h( ) 1, 6 h( ),67 1,84 4 og fçr Samme bogstav får h Samme bogstav I stedet kunne vi have startet med at finde alle lçsninger (se 4b) Derefter kunne vi have bestemt den af lçsningerne hvor h()=1,6 (se 4c) Differentialligninger for A-niveau i st, udgave Side 5 015 Karsten Juul
4e Bestem en låsning til en differentialligning nçr to funktionsvärdier (to grafpunkter) er givet En funktion p er låsning til differentialligningen dp k p Det oplyses at nçr t 0 er p, og at nçr t 1 er p 1, 5 Bestem en forskrift for p Nspire bestemmer en forskrift for den låsning p til p( t) ( k) e t 1 Da p ( 1) 1, 5, er ( k ) e k 1, 5 1 Nspire låser ligningen ( k) e k 1, 5 mht k og fçr k 1, 1 dp Den sågte forskrift er altsç p ( t) ( 1,1) e 1, 1, dvs t p ( t) 0,79 e 1,1 k BEMÑRK: Vi bruger kun det ene af de to oplyste grafpunkter NÅr vi har fundet forskriften, bruger vi det andet punkt til at bestemme k t k p hvor p ( 0), og fçr Brug to forskellige punkter (0, ) og (1, 1,5) 5 Opstille differentialligning 5a PÇ en skärm er et stort kvadrat med arealet 500 Inden i det store kvadrat er et lille kvadrat med siden s Den hastighed hvormed det lille kvadrats side vokser pç tidspunktet t, er proportional med forskellen pç det store kvadrats areal og det lille kvadrats areal Proportionalitetskonstanten er 0,0079 Opstil en differentialligning der har s(t) som låsning Jeg har brugt farver til at pege på det der er det samme Du skal ikke bruge farver til eksamen Til eksamen skal du kun skrive Én af de tre ligninger Differentialligninger for A-niveau i st, udgave Side 6 015 Karsten Juul
6 Logistisk differentialligning 6a Vi opstiller en differentialligning For en population af r er N(t) Det er oplyst at populationen vokser sçdan at (1) antallet af r pç tidspunktet t uger väksthastigheden er proportional med produktet af antallet og differensen mellem 300 og antallet Ved at skrive (1) med symboler fçr vi fålgende differentialligning: () N' = k N(300 N) Her står: det rçde er proportional med det blå 6b Vi finder proportionalitetskonstanten Det er oplyst at väksthastigheden er 0 pç det tidspunkt hvor antallet er 100 dvs (3) N 0 nçr N 100 Ud fra () og (3) kan vi finde proportionalitetskonstanten k : Antallet N(t) N' = k N (300 N ) 0 = k 100(300 100) k 0,001 er altsç en låsning til differentialligningen (4) N 0,001 N (300 N) 6c Hvad er en logistisk differentialligning? Differentialligning (4) er af typen y k y ( M y) En differentialligning af denne type kaldes en logistisk differentialligning 6d Hvordan Çndres vçksthastigheden? Af (4) fçr vi: NÇr N 30 er N 8, 1 NÇr N 70 er N 16, 1 NÇr antallet er 70, sç vokser det altsç hurtigere end nçr det er 30 Grunden er at så länge der er god plads, gälder at når der er flere r, vil der komme flere unger Af (4) fçr vi: NÇr N 60 er N 10, 4 Se figur Se figur NÇr antallet er 60, sç vokser det altsç langsommere end nçr det er 70 Grunden er at når der er mange r, er der mindre plads pr r, og så kommer der ikke så mange unger N ' = väksthastigheden N = antallet 300 N = differens mellem 300 og antallet SkÄrmbillede fra TI-Nspire Differentialligninger for A-niveau i st, udgave Side 7 015 Karsten Juul
6e Hvor stor er populationen nér den vokser hurtigst? Se figur Vi vil finde ud af hvor stort antallet N er nçr väksthastigheden er stårst Vi skal altsç finde ud af hvad N skal väre for at fålgende uryk er stårst: Vi fçr hast( N) 0,001 N (300 N) 0,3 N 0,001 N hast' ( N) 0,3 0, 00N sç hast' ( N) 0 netop nçr N 150 Da hast'( 100) 0, 1 og hast ( 00) 0, 1, er hast voksende i intervallet N 150 og aftagende i intervallet 150 N, sç stårste väksthastighed er hast ( 150), 5 NÅr antallet af r er 150, er väksthastigheden stçrst Den stçrste väksthastighed er,5 For en logistisk funktion y hvor y k y ( M y) er M stårrelsen af y nçr y er stårst 6f Vi finder forskrifter for läsningerne til differentialligningen I formelsamlingen stçr at funktionerne (5) y M 1 ce km t Af (5) fçr vi at funktionerne (6) ' er låsning til y k y ( M y) 300 N( t) er låsning til N 0,001 N (300 N) 0,3t 1 ce 6g Vi finder den af läsningerne der passer med populationen Det er oplyst at til tiden t 0 er antallet N 10 300 Dette indsätter vi i (6) og fçr 10 1 ce Antallet af r er altsç fastlagt ved (7) N( t) 300 1 9e 0,3t 0,30 dvs SkÄrmbillede fra TI-Nspire 300 10 sç c 9 1 c 6h Hvad sker der med antallet i det lange läb? Da 0,3t 9e er eksponentielt aftagende, er 9e 0,3t sç af (7) ser vi at N( t) 300 0 nçr t er stor nçr t er stor Se figur AltsÇ er 300 den Åvre gränse for hvor mange r der er plads til Tallet 300 kaldes bäreevnen SkÄrmbillede fra TI-Nspire For en logistisk funktion y hvor y k y ( M y), er M den Åvre gränse for y Differentialligninger for A-niveau i st, udgave Side 8 015 Karsten Juul
7 Beviser k k 7a HjÇlpesÇtning: e k e ' Bevis: For k e er den ydre funktion ( e Differentialkvotienten af den ydre er Differentialkvotienten af e k ' ( e e k) k differentieret: k k e k ), og den indre er k ( ) e, og differentialkvotienten af den indre er k er ydre differentieret (taget i indre) gange indre Hermed har vi bevist hjälpesätningen 7b SÇtning LÅsningerne til differentialligningen (1) y k y er funktionerne () y( ) c e k PÅ k's plads i denne forskrift skal stå det tal der står på k's plads i differentialligningen Uanset hvilket tal vi skriver på c's plads, så får vi en lçsning Der er altså uendelig mange lçsninger FÅrste del af beviset: Vi beviser at hvis en funktion er låsning til (1), sç er den af typen () Anden del af beviset: Vi beviser at alle funktioner af typen () er låsninger til (1) 1 del af beviset for sätningen Hvis en funktion y() k Da y e har egenskaben (1) er k k y e y e y k e k k k y y k e k y e k 0 differentieret giver 0, mç c regel for at differentiere produkt e da vi forudsatte (1) y e Vi ganger begge denne lignings sider med y k k k k e väre lig en konstant: og fçr k k 0 c e da e e e e 1 dvs funktionen er af typen () k del af beviset for sätningen En vilkçrlig funktion k k ce k ce k Venstre side af ligningen giver funktionen c e af typen () indsätter vi for y i ligningen y k y k c e har egenskaben (1) k c k e, dvs ligningen passer, sç og fçr Differentialligninger for A-niveau i st, udgave Side 9 015 Karsten Juul
B bevis 9 bäreevne 8 D differentialligning1 L logistisk 7, 8 låsning1,, 5, 6 O opstil1, 6, 7 P population 7, 8 proportionalitetskonstant 6, 7 T tangent3 tilfredsstille 1 V väksthastighed4, 7, 8