pstilling af differentialligningsmodel til eregning af provision ved salg af energianlæg. af John V. Petersen Vi skal finde en funktion, som eskriver provisionen y(x) ved salg af energianlæg til salgsprisen x. Der skal gælde, at provisonen skal stige i takt med at salgsprisen stiger. Men stigningen skal gradvis aftage sådan, at provisionen når en øvre grænse, hvor den stort set ikke stiger mere. Stigningens aftagen skal være eksponentielt aftagende. Prisen for disse anlæg er i størrelsesordenen 1 millioner til 1 millioner For at gøre tallene enklere at arejde med anvender vi enhederne: 1 7 som enhed for x. g 1 5 som enhed for y. dvs. 1 millioner = 1, $1 7, og 1 millioner = 1, $1 7, Nu skal vi opstille en differentialligningsmodel: Ved en lille ændring i salgspris (x), vil provisionen y(x) = y stige lidt. Men stigningen skal live mindre og mindre jo højere salgsprisen er. g provisionen skal nærme sig en højeste værdi (y = m), som grænseværdi for x / N. g der skal gælde, at y() =. Desuden er to ønskede værdisammenhænge for x og y x : x, y =, og x, y = 6, 3.6 Hvilket svarer til, at y $1 7 = $1 5 og y 6$1 7 = 3.6$1 5. model: dy dx = k$ek$x Her liver dy mindre og mindre, hvis e K! 1 : e K! 1 5 1! e 5. dy dx = k$ek$x 5 dy = k$e K$x dx Vi ruger t som integrationsvariael, for at gøre integrationen mere overskuelig. Vi integrerer: y går fra til y. g t går fra til x. int k e K t, t =..x ; dvs. y x = K k K1CeK x K k K1CeK x = k $ 1 K ek x (1) y x = k $ 1 K ek x Vi lader x/n: y x / k for x/n Funktion ved salg af energianlæg af John V. Petersen 15-7-9 side 1 / 5
Vi sætter k = m. g vi enævner y x = f x. f x = m$ 1Ke K$x fdx/m$ 1Ke K$x ; f := x/m 1Ke K x () Vi skal nu finde konstanter m (maksimal etaling) og så funktionen opfylder: f = og f = og f 6 = 3.6 er uafhængige og afhængige variale for denne funktion. with RealDomain : solve m$ 1Ke K$ =, m$ 1Ke K$6. = 3.6, m, ; =.34689958, m = 4.78518 Den endelige funktion, som opfylder ovenstående: (3) f x = 4.78518$ 1K e K.34689958$x with plots : fdx/4.78518$ 1Ke K.34689958$x ; K1 $.34689958 x f := x/4.78518 1Ke g d x/4.78518; g := x/4.78518 graf d plot f x, x =..3, view =..3,..5, thickness = : maxetalingdplot g x, x =..3, view =..3,..5, color = lue : punkter d pointplot,, color = green, symol = solidcircle, symolsize = 18, pointplot,, color = green, symol = solidcircle, symolsize = 18, pointplot.14953,.1391564, color = green, symol = solidcircle, symolsize = 18, pointplot 6, 3.6, color = green, symol = solidcircle, symolsize = 18, pointplot, 4.11744, color = green, symol = solidcircle, symolsize = 18 : display graf, maxetaling, punkter ; (4) (5) Funktion ved salg af energianlæg af John V. Petersen 15-7-9 side / 5
5 f(x) 4 * 1 5 max. etal.: f(x) = 4.78518 3 1 * 1 7 1 x 3 x x 6 f x.1391564 3.6 4.11744 punkterdarray f, f, f.14953, f 6, f ; punkter :=...1391564 3.61 4.11744 er den salgspris hvor f x = 1 $ m (6) Vi vil nu se på, hvordan provisionen nærmer sig m (den maksimale etaling). Hvor meget mindskes differensen mellem m og den aktuelle etaling ( f x ), for hver enhed (1 7. d x = mkf x = mk m$ 1Ke K$x = mkmcm$e K$x = m$e K$x d x = m$ e K x = m$a x, e K.34689958 x =.743583896 x = a x, a =.743583896 d x = 4.78518$.743583896 x. Funktion ved salg af energianlæg af John V. Petersen 15-7-9 side 3 / 5
Vi ser, at differensen d x mindskes med 7.5641614 % for hver enhed 1 7 af salgsprisen. a = 1Cr 5 r = a K 1 = K.75641614 Hvis vi starter fra x = : afstanden er 4.78518$1 5, som vi sætter til 1 % = 1. Det er netop funktionen d x = m$a x, hvor vi sætter m = 1. d x = a x er den salgspris hvor d x = 1 $ m = 1 $ 4.78518 $ 15. = ln =.14953 $ 1 7 = 1495.3 x 1.14953 6 1 d x i % a a 1 a.14953 a 6 a 1 a d x i % 1.743583.4999999.1444511.397681.15815 d x i % 1 % 7.4358 % 5. % 14.4451 % 3.9768 %.158 % Herunder plotter vi grafen for d x : restart; with plots : d d x/.743583896 x ; d := x/.743583896 x graf d plot d x, x =.., view =..5,..1., thickness = : punkter d pointplot, 1, color = green, symol = solidcircle, symolsize = 18, pointplot 1,.743583896, color = green, symol = solidcircle, symolsize = 18, pointplot.14953,.5, color = green, symol = solidcircle, symolsize = 18, pointplot 6,.1444511379, color = green, symol = solidcircle, symolsize = 18, pointplot 1,.397681944, color = green, symol = solidcircle, symolsize = 18, pointplot 15,.793533755, color = green, symol = solidcircle, symolsize = 18, pointplot,.1581559, color = green, symol = solidcircle, symolsize = 18 : display graf, punkter ; (7) Funktion ved salg af energianlæg af John V. Petersen 15-7-9 side 4 / 5
1, % 1 = 1 %,8 d x i %,6 d x tæt på, er provision tæt på max. etaling.,4, *1 7 5 1 15 X 5 x Funktion ved salg af energianlæg af John V. Petersen 15-7-9 side 5 / 5