Funktioner 3. del 019 Karsten Juul
Funktioner 3. del, 019 Karsten Juul 1/9-019 Nyeste version af dette hæfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm. Hæftet må benyttes i undervisningen hvis læreren sender en e-mail til kj@mat1.dk som oplyser at dette hæfte benyttes og oplyser hold, niveau, lærer og skole. 34. Gaffelforskrift 34.1 Eksempler der viser hvordan man bruger en gaffelforskrift... 98 34. Opgave med besvarelse... 98 34.3 Graf og gaffelforskrift i delprøve 1... 98 34.4 Opgave med besvarelse... 99 35. Forskydning af graf 35.1 Lodret forskydning af graf, oplæg... 100 35. Lodret forskydning af graf, regel... 100 35.3 Vandret forskydning af graf, oplæg... 101 35.4 Vandret forskydning af graf, regel... 101 35.5 Opgave med besvarelse... 101 35.6 Opgave med besvarelse... 10 36. Sammensat funktion 36.1 Sammensat funktion, oplæg... 103 36. Sammensat funktion, definition... 103 36.3 Opgave med besvarelse... 104 36.4 Eksempel på sammensat funktion... 104 36.5 Eksempel på sammensat funktion... 104 36.6 Er funktionen sammensat?... 104 37. Forskrift med sin (eller cos) 37.1 Eksempler på hvordan opgaver med sin kan løses... 105 37. Eksempel på hvordan opgave kan løses ved hjælp af graf... 106 38. Polynomium 38.1 Polynomiums grad... 107 38. Antal nulpunkter, oplæg... 107 38.3 Nulpunkter og rødder... 108 38.4 Opgave med besvarelse... 108 38.5 Regel om antal rødder... 108 39. Parabel 39.01 Andengradspolynomium... 109 39.0 Hvilke tal er a, b og c lig?... 109 39.03 Toppunkt... 109 39.04 y = a(x h) + k, oplæg... 110 39.04a Symmetri... 110 39.04b Gange y-koordinat med tal... 110 39.04c Forskyde graf for ax... 110 39.05 y = a(x h) + k, regel... 111 39.05a Forskydning... 111 39.05b Toppunkt... 111 39.06 y = a(x h) + k, opgave med besvarelse... 111 39.07 Beregne toppunkt... 11
39.07a Formel for toppunkts x-koordinat... 11 39.07b Bevis for formlen for toppunkts x-koordinat... 11 39.07c Udregn toppunkt... 113 39.07d Tegn uden hjælpemidler graf for x x 1... 113 39.08 Diskriminant... 114 39.08a Diskriminant, definition... 114 39.08b Diskriminant, eksempel på udregning... 114 39.08c Diskriminant, eksempel på udregning... 114 39.09 Betydning af a, b, c og d for grafen... 115 39.10 Bevis for reglen for betydningen af b... 115 40. Nulpunkter 40.1 Nulpunkt, definition... 116 40. Nulpunkt, løsning, graf... 116 40.3 Antal nulpunkter eller løsninger, regel... 116 40.4 Antal nulpunkter eller løsninger, eksempel... 116 40.5 Løse andengradsligning, regel... 117 40.6 Løse andengradsligning, eksempel... 117 41. Faktorisere 41.1 Faktorisere andengradspolynomium, regel... 118 41. Faktorisere andegradspolynomium, eksempler... 118 41.3 Nulpunkter (rødder) for f (x) = a(x p)(x q), regel... 118 41.4 Nulpunkter (rødder) for f (x) = a(x p)(x q), eksempler... 118 41.5 Find a, b og c for a(x p)(x q)... 119 4. Ligninger af typen x = r 4.1 Ligninger af typen x = r, oplæg... 10 4. Ligninger af typen x = r, regel... 10 4.3 Ligninger af typen x = r, eksempler... 10 43. Bestem forskrift for andengradspolynomium... 11 44. Andengrads-regression... 1 45. Bevis for reglen for løsning af andengradsligninger... 13 46. Bevis for formlen for faktorisering af andengradspolynomium... 15 47. Funktionerne sinus og cosinus 47.1 Funktioner med sin og/eller cos i forskrift... 16 47. Grafer for sin og cos... 16 47.3 Egenskaber ved sin og cos... 16 47.4 Funktioner af typerne f (x) = asin(bx + c) +d og f (x) = acos(bx + c) +d... 16 47.5 Hvis der både er cos og sin i forskrift... 16 48. Lineær regression 48.1 Residualer... 17 48. Valg af model... 17 48.3 Residualspredning... 18 48.4 Opgave med besvarelse... 18
34. Gaffelforskrift 34.1 Eksempel der viser hvordan man bruger en gaffelforskrift Her er et eksempel på en gaffelforskrift: { 0, 4 x 0,9 for 1 x 3 0,5 x +,4x 1,5 for 3 x 5 Der er to linjer i denne forskrift. Der kan godt være mere end to linjer i en gaffelforskrift. Vi vil udregne funktionsværdien af. Da x-værdien opfylder betingelsen 1 x < 3, skal vi bruge den øverste linje i forskriften: f () = 0,4 + 0,9 = 1,7. Denne oplysning afsætter vi som et punkt i koordinatsystemet. Det er den blå prik på billedet til højre. Vi afsætter nogle flere punkter og forbinder dem. Så får vi grafen for f. Denne er vist på billedet til højre. For at tegne grafen i Nspire skal vi bruge følgende skabelon: Hvis gaffelforskriften har mere end to linjer, så skal vi i stedet bruge følgende skabelon: 34. Opgave med besvarelse En funktion f er givet ved { 1 x for x 0 x for 0 x Gør rede for at punktet P(9, 80) ikke ligger på grafen for f. 34.3 Graf og gaffelforskrift i delprøve 1 g( x) { x for 0 x x for x 4 Vi har udregnet seks støttepunkter for at tegne grafen: Besvarelse Betingelsen for at P ligger på grafen for f er at funktionsværdien af 9 er 80. Da x-værdien 9 opfylder betingelsen 0 x, skal vi bruge den nederste linje i forskriften: f (9) = 9 = 81. Da f (9) ikke er 80, gælder: P ligger ikke på grafen. Punktet (, 4) er tegnet som en cirkel. Det betyder at punktet ikke hører med til grafen. Venstre del af grafen skal tegnes hen til dette punkt. Funktioner 3. del 98 019 Karsten Juul
34.4 Opgave med besvarelse Ved forsøgets start er der 15 g væske i en beholder. De næste 0 minutter løber der væske ned i beholderen med hastigheden 5 g pr. minut. De næste 10 minutter løber der ikke væske ned i beholderen. I disse 10 minutter løber der væske ud af beholderen med hastigheden 4 g pr. minut. Herefter er forsøget slut. a) Bestem hvor mange gram væske der er i beholderen når forsøget er slut. b) Opstil en gaffelforskrift der beskriver mængden af væske i beholderen som funktion af tiden x målt i minutter efter forsøgets start. c) Brug forskriften til at beregne tallet f (30), og beskriv hvad dette tal fortæller om forsøget. Besvarelse a) De første 0 minutter løber der hvert minut 5 g væske ned i bekolderen. Antal gram der løb ned i beholder de første 0 minutter: 05 = 100. I forvejen var der 15 g. Antal gram i beholder efter første 0 minutter: 15 + 100 = 115. De næste 10 minutter løber der hvert minut 4 g ud af beholderen. Herefter er forsøget slut. Antal gram der løber ud i de 10 minutter: 104 = 40. Antal gram i beholder når forsøget er slut: 115 40 = 75. Når forsøget er slut, er der 75 g væske i beholderen. b) I de første 0 minutter lægges samme antal enheder til vægten hvert minut, så det er en lineær funktion y = ax + b. Da a er det der lægges til y (vægten) når x (minutter) bliver 1 enhed større, så må a = 5. Da b er det y (vægten) er når x (tid efter start) er 0, må b = 15. I de næste 10 minutter lægges 4 til y når x bliver 1 enhed større, så det er en lineær funktion y = 4x + b. Når x = 0, er y = 115, så vi får 115 = 40 + b 115 +80 = b 195 = b Den søgte forskrift er altså { 5x 15 for 0 x 0 4x 195 for 0 x 30 c) Vi vil bruge denne forskrift til at udregne funktionsværdien af x-værdien 30. Da 30 ligger i intervallet 0 x 30, skal vi bruge nederste linje i forskriften: f (30) = 430 + 195 = 10 + 195 = 75 dvs. når forsøget er slut, er der 75 g væske i beholderen. I spørgsmål a) kom vi til samme resultat. Funktioner 3. del 99 019 Karsten Juul
35. Forskydning af graf 35.1 Lodret forskydning af graf, oplæg 1, 1 x 3 x Vi udregner funktionsværdien (y-koordinaten) for nogle x-værdier: 1 f (1) 1, 1 1 f () 0,5, 1 f (3) 0,33. 3 Vi afsætter de tilsvarende punkter i koordinatsystemet og forbinder dem så vi får grafen for f. Vi lægger 0,8 til forskriften for f. Så får vi forskriften for en ny funktion g : 1 g( x) 0,8. x Vi udregner funktionsværdien (y-koordinaten) for nogle x-værdier: 1 g(1) 0,8 1,8, 1 1 g(3) 0,8 1,13. 3 1 g() 0,8 1,3, Vi afsætter de tilsvarende punkter i koordinatsystemet og forbinder dem, så vi får grafen for g. Når vi lægger 0,8 til et punkts y-koordinat, så får vi et punkt der ligger 0,8 højere oppe i koordinatsystemet. Vi får g-grafen ved lodret forskydning af f-grafen. 35. Lodret forskydning af graf, regel Når vi lægger 5 til forskriften, så forskydes grafen 5 enheder op. Når vi lægger 4 til forskriften, så forskydes grafen 4 enheder ned. Osv. Funktioner 3. del 100 019 Karsten Juul
35.3 Vandret forskydning af graf, oplæg På billedet ses grafen for funktionen f. En ny funktion g er fastlagt ved at g(x) = f (x 4). For g bestemmer vi funktionsværdien (y-koordinaten) af x-værdien 5 : g(5) = f (5 4) = f (1) = 3 hvor 3 er aflæst på f-grafen. Denne oplysning afsætter vi som et punkt i koordinatsystemet. Vi ser at dette punkt (5, g(5)) er forskudt 4 enheder mod højre i forhold til punktet (1, f (1)). Vi bestemmer også g(6) : g(6) = f (6 4) = f () = 4 hvor 4 er aflæst på f-grafen. Denne oplysning afsætter vi som et punkt i koordinatsystemet. Vi ser at der også for andre x-værdier vil være tale om en forskydning på 4 enheder af et punkt på f-grafen. Det oplyses at f har forskriften f (x) = 4x x. Vi bestemmer forskriften for g : g(x) = f (x 4) = 4(x 4) (x 4). 35.4 Vandret forskydning af graf, regel Når man i forskriften erstatter x med (x 4), så forskydes grafen 4 enheder mod højre. Når man i forskriften erstatter x med (x+6), så forskydes grafen 6 enheder mod venstre. Osv. 35.5 Opgave med besvarelse Forskriften for funktionen f er f (x) = x Grafen for funktionen g fremkommer ved at forskyde grafen for f stykket 3 nedad. Grafen for funktionen h fremkommer ved at forskyde grafen for g stykket 9 mod højre. Bestem en forskrift for h. Besvarelsen står på næste side! Funktioner 3. del 101 019 Karsten Juul
Besvarelse f (x) = x Grafen for g fås ved at forskyde f-graf stykket 3 nedad. Graf forskydes 3 nedad når der trækkes 3 fra forskriften, så g(x) = f (x) 3 = x 3. Grafen for h fås ved at forskyde g-grafen stykket 9 mod højre. Grafen forskydes 9 mod højre når x i forskriften erstattes med x 9, så h(x) = g(x 9) = x9 3. 35.6 Opgave med besvarelse Ud fra en funktion f er funktionerne g og h bestemt ved g(x) = f (x) + 3 h(x) = f (x 7) + 1. B () På figuren ses graferne for de tre funktioner f, g og h. Gør for hver af de tre grafer A, B og C rede for hvilken funktion f, g eller h den er graf for. A C (1) Besvarelse så så På figur: så På figur: så g(x) = f (x) + 3 g-forskrift fås ved at lægge 3 til f-forskrift g-graf fås ved at forskyde f-graf tre enheder op. Ingen af graferne A og C kan fås ved at forskyde nogen af de andre grafer op B er g -graf. B fås ikke ved at forskyde C op A er f -graf. Så er der kun én mulighed tilbage for C : C er h -graf. Vi kan ikke se at B er graf for g, men vi kan se at A ikke er graf for g, og at C ikke er graf for g. Vi kan ikke se at A er graf for f, men vi kan se at C ikke er graf for f. Funktioner 3. del 10 019 Karsten Juul
36.1 Sammensat funktion, oplæg 36. Sammensat funktion For en plante er højden (cm) en funktion h af tiden (uger): Tid: 0 1 3 Højde: 1 3 5 7 Prisen (kr.) for denne plante er en funktion g af højden (cm): Højde: 1 3 4 5 6 7 Pris: 10 40 90 160 50 360 490 Vi kan slutte: Prisen (kr.) er en funktion f af tiden (uger). Efter uger er højden i cm h() = 5 (se tabel). Når højden er 5 cm, er prisen i kr. g(5) = 50 (se tabel). Efter uger er prisen i kr. f () = g(h()) = g(5) = 50 f er en sammensat funktion hvor den indre funktion er h, og den ydre funktion er g. Det oplyses at forskrifterne for h og g er: h(x) = x + 1 og g(x) = 10x. Heraf kan vi finde forskriften for f. f (x) = g( h(x) ) = g( x +1 ) = 10( x +1 ). 36. Sammensat funktion, definition en definition fortæller betydningen af et ord Hvis f, g og h er funktioner og så siger man at f (x) = g ( h(x) ) f er en sammensat funktion med g som den ydre funktion og h som den indre funktion. Funktioner 3. del 103 019 Karsten Juul
36.3 Opgave med besvarelse På figuren ses grafen for funktionen f. Funktionen g er bestemt ved g(x) = 3x 7. Bestem g( f (11) ). Besvarelse Som vist på figuren aflæser vi at f (11) = 4. Da g(x) = 3x 7 er g(4) = 34 7 = 1 7 = 5. Altså er g( f (11)) = g(4) = 5. 36.4 Eksempel på sammensat funktion Hvis h er den sammensatte funktion hvor ydre funktion er g(x) = x indre funktion er f (x) = x +3 så er h(x) = g( f (x) ) = g( x +3 ) = ( x +3 ). 36.5 Eksempel på sammensat funktion Hvis h er den sammensatte funktion hvor ydre funktion er g(x) = 1 x så er indre funktion er f (x) = 8 x h(x) = g( f (x) ) = g( 8 x ) = 1 8 x. 36.6 Er funktionen sammensat Er funktionen f (x) = (x 1)ln(x) sammensat af g(x) = x 1 og h(x) = ln(x)? Vi undersøger: g(h(x) ) = g( ln(x) ) = ln(x) 1 er IKKE f (x). h(g(x)) = h(x 1) = ln(x 1) er IKKE f (x). f er altså ikke sammensat af g og h. Funktioner 3. del 104 019 Karsten Juul
37. Forskrift med sin (eller cos) Eksemplerne er med sin, men opgaver med cos kan løses på samme måde. 37.1 Eksempler på hvordan opgaver med sin kan løses En funktion f er givet ved a) Bestem f (4). f (x) = 0sin(0,5x), 0 x 6. b) Bestem tal x så f (x) = 14. c) Tegn grafen for f. a) Lav et matematikfelt (ctrl/cmd m). Højreklik på matematikfeltet, vælg Attributter, Vinkel, Radian, OK. Tast i matematikfeltet 0sin(0,54) og tryk på ctrl/cmd Enter. Skriv foran matematikfeltet f (4) =. b) Lav et matematikfelt (ctrl/cmd m). Højreklik på matematikfeltet, vælg Attributter, Vinkel, Radian, OK. Tast i matematikfeltet solve(14 = 0sin(0.5x), x) 0 x 6 og tryk på ctrl/cmd Enter. Der må aldrig tilføjes noget eller ændres i en solve-kommando. Skriv forklaring til solve-kommandoen. c) Start et graf-vindue, og vælg i værktøjsmenuen Indstillinger, Indstillinger, Vinkel i grafer, Radian, OK. Vælg i værktøjsmenuen Grafindtastning, Funktion. I indtastningslinjen skal stå f(x)=0sin(0.5x) 0 x 6. Vælg i værktøjsmenuen Vindue/Zoom, Indstillinger for vindue, og vælg intervallet fra Xmin til Xmax lidt større end definitionsmængden 0 x 6, og prøv dig frem med Ymin og Ymax så hele grafen kommer med uden at blive lille. Funktioner 3. del 105 019 Karsten Juul
37. Eksempel på hvordan opgave kan løses ved hjælp af graf Funktionen f er givet ved f (x) = 7 + 4,5sin(0,5x +1 ), 0 x 5 hvor f (x) er dybden (cm) x minutter efter start. a) Bestem den laveste dybde. b) Bestem hvor lang tid der går mellem de to tidspunkter hvor dybden er 8 cm. Besvarelse Funktioner 3. del 106 019 Karsten Juul
38. Polynomium 38.1 Polynomiums grad Et førstegradspolynomium er en funktion af typen Et andengradspolynomium er en funktion af typen Et tredjegradspolynomium er en funktion af typen Osv. ax b hvor a 0. ax bx c hvor a 0. 3 ax bx cx d hvor a 0. 1. grad. grad 3. grad 3. grad 4. grad 4. grad 4. grad 4. grad 38. Antal nulpunkter, oplæg f g h De tre grafer er grafer for tredjegradspolynomier. På grafen for f ser vi at der er et tal lidt mindre end som har funktionsværdien 0, og at der ikke er andre nulpunkter end dette. Forskriften for g er fremkommet ved at trække et positivt tal fra forskriften for f. Vi ser at g har to nulpunkter. Forskriften for h er fremkommet ved at trække et positivt tal fra forskriften for g. Vi ser at h har tre nulpunkter. Funktioner 3. del 107 019 Karsten Juul
38.3 Nulpunkter og rødder Hvis vi i ax bx c sætter a 1, b 3 og c 5 4 andengradspolynomiet f x) 1 x 3x 5 ( 4, får vi Til højre har vi tegnet grafen for dette andengradspolynomium. På grafen ser vi at hvis vi sætter 4 ind for x i forskriften og regner ud, så får vi y-værdien 3. På grafen ser vi også at hvis vi sætter 10 ind for x og regner y-værdien ud, så får vi 0. Et tal kaldes et nulpunkt for f hvis vi får 0 når vi indsætter tallet for x i forskriften og regner ud. Et nulpunkt kaldes også en rod. At finde rødderne er det samme som at løse ligningen 0. 1 4 På grafen ser vi at rødderne er og 10. Hvis vi løser ligningen x 3x 5 0, så får vi altså løsningerne og 10. 38.4 Opgave med besvarelse ( 1 4 Vis at 10 er rod i polynomiet f x) x 3x 5. Besvarelse ( 1 4 Vi indsætter 10 for x i polynomiet f x) x 3x 5 : f (10) 1 10 310 5 1 100 30 5 5 5 4 Da resultatet er 0, er 10 rod i polynomiet. 4 0 38.5 Regel om antal rødder ( = antal fællespunkter med x-akse = antal løsninger) Et polynomium af grad n kan højst have n rødder. Eksempel Et tredjegradspolynomium kan ikke have mere end 3 rødder. Grafen for et tredjegradspolynomium kan højst have 3 punkter fælles med x-aksen. En tredjegradsligning kan højst have 3 løsninger. Funktioner 3. del 108 019 Karsten Juul
39. Parabel 39.01 Andengradspolynomium Et andengradspolynomium er er en funktion af typen a x b x c hvor a 0 Grafen for et andengradspolynomium kaldes en parabel. Hvis vi skriver 0 på a 's plads, så bliver det ikke et andengradspolynomium da x forsvinder. 39.0 Hvilke tal er a, b og c lig? Vi sætter a 1 b c 0 i ax bx c og får 1 x ( ) x 0 så x x er et andengradspolynomium. I dette og andre andengradspolynomier skal vi kunne se hvad a, b og c er, for at kunne indsætte i formler med a, b og c. I f (x) = 3 x + x + 1 er a = 3, b = 1 og c = 1. I f (x) = x x + 7 er a = 1, b = 1 og c = 7. I f (x) = 3 x 4 er a = 3, b = 0 og c = 4. 39.03 Toppunkt Til højre er vist graferne for to andengradspolynomier f og g. Det øverste punkt på f-grafen kaldes parablens toppunkt. Vi ser at toppunktet har koordinatsættet (7, 5). Det nederste punkt på g-grafen kaldes parablens toppunkt (selv om det ikke er det øverste punkt). Vi ser at toppunktet har koordinatsættet (6, 3). Funktioner 3. del 109 019 Karsten Juul
39.04 y = a(x h) + k, oplæg 39.04a Symmetri Billedet viser grafen for x. Grafpunkterne med x lig og har samme y da ( ) = 4 og = 4 så de to punkter (røde) ligger symmetrisk om y-aksen. For ethvert tal k gælder ( k) = k, så grafen er symmetrisk om y-aksen. 39.04b Gange y-koordinater med tal For hvert punkt på grafen for x ganger vi y-koordinaten med 3 og får dermed et nyt punkt. Disse punkter er graf for funktionen y = 3x (venstre figur nedenfor). Grafen er smallere end grafen for y = x. Det må altid gælde når tallet vi ganger med er over 1. Hvis tallet er mellem 0 og 1, så må grafen blive bredere. På figuren nedenfor i midten har vi ganget med 0,5. Hvis tallet er negativt, vil grenene pege nedad (højre figur). 39.04c Forskyde graf for ax I forskriften 3x erstatter vi x med x 4 og får 3(x 4). Ifølge 35.4 vil dette rykke grafen 4 enheder mod højre. Se venstre figur nedenfor. I forskriften 3(x 4) lægger vi til og får 3(x 4) +. Ifølge 35. vil dette rykke grafen enheder op. Se højre figur nedenfor. Funktioner 3. del 110 019 Karsten Juul
39.05 y = a(x h) + k, regel 39.05a Forskydning Når grafen for funktionen f (x) = ax forskydes h enheder mod højre og k enheder op, så fås grafen for g(x) = a(x h) + k. (Hvis h = 7, så forskydes 7 enheder mod venstre. Hvis k = 5, så forskydes 5 enheder ned). 39.05b Toppunkt Grafen for g(x) = a(x h) + k. er en parabel med toppunkt T (h, k). 39.06 y = a(x h) + k, opgave med besvarelse En af graferne på figuren er graf for andengradspolynomiet f (x) = 0,5 (x + 1). Gør rede for hvilken af parablerne A, B og C der er graf for f. Besvarelse Forskriften f (x) = 0,5 (x + 1) er af typen g(x) = a(x h) + k med h = 1 og k =. Toppunktet er derfor T = (h, k) = ( 1, ). Vi kan ikke se at B er graf for f, men vi kan se at A ikke er graf for f, og at C ikke er graf for f. C 's toppunkt ligger til højre for y-aksen og har derfor positiv x-koordinat, så C er ikke graf for f. A 's toppunkt ligger over x-aksen og har derfor positiv y-koordinat, så A er ikke graf for f. Da en af graferne er graf for f, gælder: B er graf for f. Funktioner 3. del 111 019 Karsten Juul
39.07 Beregne toppunkt 39.07a Formel for toppunkts x-koordinat Grafen for et andengradspolynomium ax bx c, a 0 er en parabel. Grafens toppunkt har x-koordinaten b x T a 39.07b Bevis for formlen for toppunkts x-koordinat Når er ax bx c, f ( x) a x b 0 ax b Lad x være toppunktets x-koordinat. Så er tangenthældningen f ( x) lig 0 : f ( x) 0 ax b 0 ax b ax b da a 0. a a b x Dette er formlen vi ville bevise. a Funktioner 3. del 11 019 Karsten Juul
39.07c Udregn toppunkt Vi udregner toppunktet for grafen for funktionen x 6x 14 Vi ser at forskriften er af typen med ax bx c a 1 b 6 c 14 Toppunktets x-koordinat er x T b 6 3 a 1 Toppunktet ligger på grafen og har x-koordinaten 1,5, så y-koordinaten er yt f ( 3) ( 3) 6 ( 3) 14 9 18 14 5 Toppunktet er T ( 3, 5). 39.07d Tegn uden hjælpemidler graf for f (x) = x x 1 Metode: 1) Udregn x-koordinat til toppunkt med metoden fra 39.3c xt = 1 ) I tabel til støttepunkter: Vælg tal på begge sider af toppunkts x-koordinat. x: 1 0 1 3 y: 3) Udregn y-koordinaterne ved at sætte x koordinaten ind i forskriften x x 1 og regne ud. 4) Tegn afrundet graf gennem støttepunkter. Sørg for at grafen IKKE er spids i toppunktet. Funktioner 3. del 113 019 Karsten Juul
39.08 Diskriminant 39.08a Diskriminant, definition Diskriminanten for et andengradspolynomium ax bx c, a 0 er tallet d b 4ac 39.08b Diskriminant, eksempel på udregning Forskriften er på formen 3x x 5 ax bx c med a 3 b 1 c 5 så d b 4ac ( 1) 435 1 60 59 39.08c Diskriminant, eksempel på udregning Forskriften er på formen x x 3 ax bx c med a 1 b c 3 så d b 4a c 41 ( 3) 4 4 ( 3) 4 ( 1) 4 1 16 Funktioner 3. del 114 019 Karsten Juul
39.09 Betydning af a, b, c og d for grafen. ax bx c, a 0 d er diskriminanten a : a positiv: grene vender op a negativ: grene vender ned parablen er bredere når a er tættere på nul a a 0,5 a 1 b : b er hældningskoefficient for tangent til graf i skæringspunkt med y-akse b positiv: graf går op mod højre i skæring med y-akse b nul: grafs toppunkt er på y-akse b negativ: graf går ned mod højre i skæring med y-akse b 0 l f l er tangent til f-grafen i dennes skæringspunkt med y-aksen. b er lig l 's hældningskoefficient. c : Graf skærer y-akse i punktet (0, c) c positiv: graf skærer y-akse over x-akse c nul: graf går gennem punktet (0, 0) c negativ: graf skærer y-akse under x-akse c 0 c 0 d : d positiv: graf har to punkter på x-akse d nul: graf har ét punkt på x-akse d negativ: graf har ingen punkter på x-akse d 0 d 0 d 0 39.10 Bevis for reglen for betydningen af b Når ax bx c, er f ( x) a x b 0 ax b Grafens skæringspunkt med y-aksen har x-koordinat 0, så i dette punkt er tangenthældningen lig f (0) a0 b 0 b b hvilket skulle bevises. Funktioner 3. del 115 019 Karsten Juul
40. Nulpunkter 40.1 Nulpunkt, definition At et tal er nul punkt for en funktion betyder at når vi indsætter tallet for x i forskriften og regner ud, så får vi nul. Et nulpunkt kan både være et tal og et punkt. For funktionen i 40. gælder: 0 og 1,5 er nulpunkter. (0, 0) og (1,5, 0) er nulpunkter. 40. Nulpunkt, løsning, grafpunkt At 1,5 er nulpunkt for x 3x betyder at 1,5 31,5 Dette er det samme som at 0 1,5 er løsning til ligningen x 3x 0 og det samme som at grafpunktet med x-koordinat 1, 5 ligger på x-aksen. 40.3 Antal nulpunkter eller løsninger, regel ax bx c, a 0 d er diskriminanten Der gælder at antallet af nulpunkter for andengrads polynomiet ax bx c dvs. antallet af løsninger til andengrads ligningen ax bx c 0 er hvis d 0 1 hvis d 0 0 hvis d 0 40.4 Antal nulpunkter eller løsninger, eksempel Vi vil bestemme tallet k så andengradsligningen k x x 3 0 har netop én løsning. Ligningen er på formen ax bx c 0 med a k, b, c 3, så diskriminanten er d b 4ac ( ) 4k3 4 1k Vi vil finde ud af hvornår der er én løsning, dvs. vi vil finde ud af hvornår d er 0: 4 1k 0 er ensbetydende med at k 1 3 Ligningen k x x 3 0 har netop én løsning når Funktionen k x x 3 har netop ét nulpunkt når 1 3 k. 1 3 k. Funktioner 3. del 116 019 Karsten Juul
40.5 Løse andengradsligning, regel En andengradsligning ax bx c 0, a 0 kan vi løse sådan: Først udregner vi diskriminanten: d b 4ac Så bruger vi følgende regel: Hvis d 0 har ligningen ingen løsninger. b Hvis d 0 har ligningen løsningen a b d Hvis d 0 har ligningen løsningerne og a Bemærkning Både når d 0 og d 0 er løsningerne b d a b a d 40.6 Løse andengradsligning, eksempel Ligningen 3x x 1 0 er af typen Diskriminanten er d ax bx c 0 med a 3, b og c 1 b 4ac Da d > 0 har ligningen løsningerne ( ) 43 ( 1) 16 b a d ( ) 3 16 4 6 1 3 b a d ( ) 3 16 4 6 1 Konklusion: Ligningen 3x x 1 0 har løsningerne 1 3 og 1 Funktioner 3. del 117 019 Karsten Juul
41. Faktorisere 41.1 Faktorisere andengradspolynomium, regel Hvis andengradspolynomiet ax bx c, a 0 har nulpunkterne (rødderne) x 1 og x, er a( x x1 )( x x) Når vi skriver andengradspolynomiet sådan, så har vi faktoriseret andengradspolynomiet. Tal der ganges, kaldes faktorer. Her er der tre faktorer, nemlig a, x x1 og x x. formlen for at faktorisere et andengradspolynomium 41. Faktorisere andengradspolynomium, eksempler 41.a Eksempel 1 Vi vil faktorisere andengradspolynomiet x 5x 3 Vi bruger formlen for at løse andengradsligninger og får at x 5x 3 0 har løsningerne (rødderne) 1 og 3 Vi bruger formlen for at faktorisere et andengradspolynomium og får at 41.b Eksempel 1 x x ( 3) (x 1)( x 3) Vi ganger ind i parentesen for at undgå brøk. Ellers havde vi ikke ganget ind. I g( x) x 4x 4 er a 1 og rødderne er begge, så faktoriseringen er g( x) 1 ( x ( )) ( x ( )) ( x ) ( x ) ( x ). 41.3 Nulpunkter (rødder) for f (x) = a(x p)(x q), regel En funktion af typen f (x) = a(x x1)(x x) har nulpunkterne (rødderne) x1 og x. 41.4 Nulpunkter (rødder) for f (x) = a(x p)(x q), eksempler 41.4a Eksempel 1 Forskriften f (x) = 8(x 4)(x + 7) kan omskrives til f (x) = 8(x 4)(x ( 7) ) så ifølge 41.3 er nulpunkterne (rødderne) 4 og 7. Flere eksempler på næste side! Funktioner 3. del 118 019 Karsten Juul
41.4b Eksempel Forskriften f (x) = (x + 4) kan omskrives til f (x) = (x + 4) (x + 4) og til f (x) = (x ( 4))(x ( 4)) så ifølge 41.3 er der ét nulpunkt (én rod), nemlig 4. 41.4c Eksempel 3 Forskriften f (x) = x 6 x kan omskrives til f (x) = x(x 6) og til f (x) = (x 0)(x 6) så ifølge 41.3 er nulpunkterne (rødderne) 0 og 6. 41.5 Find a, b og c for a(x p)(x q) Vi vil finde konstanterne a, b og c når 4(x )(x+5) skrives på formen ax + bx + c. Vi omskriver: Dvs. 4(x )(x+5) = (4x 8)(x+5) = 4x + 0x 8x 40 = 4x + 1x 40 a 4, b 1 og c 40. Funktioner 3. del 119 019 Karsten Juul
4. Ligninger af typen x = r 4.1 Ligninger af typen x = r, oplæg Når x 3 er Når x 3 er x x xx 33 9 xx ( 3) ( 3) 9 x 9 netop når x 3 eller x 3 4. Ligninger af typen x = r, regel Når n er negativ: x = n har ingen løsninger da et tal ganget med sig selv ikke kan give noget negativt ( + + = +, 0 0 = 0, = + ). x = 0 har løsningen x 0. Når p er positiv: x = p har to løsninger: x p eller x p da kvadratroden af p er det tal som ganget med sig selv giver p. 4.3 Ligninger af typen x = r, eksempler 4.3a Eksempel 1 Vi vil løse ligningen ( x) 9 Af regel 4. får vi x 9 eller x 9 x 3 eller x 3 dvs. x 5 eller x 1 4.3b Eksempel 1 3(x 1) 1 = 0 3(x 1) = 1 Ligningen der skal løses Der er lagt 1 til begge sider (x 1) = 4 Begge sider er divideret med 3 x 1 = 4 eller x 1 = 4 Ifølge regel 4. x 1 = eller x 1 = Kvadratroden af 4 er x 1 eller x 3 Der er lagt 1 til begge sider Funktioner 3. del 10 019 Karsten Juul
Opgave 43. Bestem forskrift for andengradspolynomium Billedet viser et vindue indtegnet i et koordinatsystem. Den krumme del af vinduets kant har form som en del af grafen for et andengradspolynomium f (x). Vinduets højde er 18 cm. For neden er vinduets bredde 160 cm. Bestem forskriften for f. Løsning: Først finder vi koordinatsæt til tre punkter på parablen: For P gælder: x = 0 For Q og R gælder: da P ligger på y-aksen y = 18 da vinduets højde er 18 y = 0 x = ± 80 da Q og R ligger på x-aksen 160 da 80 Afstand mellem Q og R er 160 og de ligger lige langt fra y-aksen Vi ved nu at på grafen ligger punkterne (0, 18), ( 80, 0) og (80, 0). Det er oplyst at forskriften er et andengradspolynomium f (x) = ax + bx + c. Når vi indsætter et grafpunkts x-koordinat i forskriften og regner ud, så får vi punktets y-koordinat. Nspire løser ligningssystemet 18 = a0 +b0 + c 0 = a( 80) +b( 80) + c 0 = a80 +b80 + c og får a = 0.0, b = 0 og c = 18 : R P Q Forskriften for f er 0,0x 18. Funktioner 3. del 11 019 Karsten Juul
44. Andengrads-regression Vi har målt længde og bredde af nogle blade fra en busk: Bredde (cm):,1,8 4, 5,4 5,9 Længde (cm):,7 3,5 5,6 9,0 11, I en model beskrives sammenhængen mellem længde og bredde ved f (x) = ax + bx + c. hvor f (x) er længden og x er bredden. Vi taster bredderne i x-søjlen og længderne i y-søjlen, og vælger regression/andengrads. Vi får f (x) = 0,48 x 1,7x + 4,3. Funktioner 3. del 1 019 Karsten Juul
45. Bevis for reglen for løsning af andengradsligninger. En hjælpeformel Først finder vi frem til en ligning (1) som vi skal bruge i beviset (for reglen for løsning af andengradsligning). (ax b) (ax) b ax b ifølge formlen ( u v) u v uv (1) (ax b) 4a x b 4abx Her har vi omskrevet højre side. Vi omskriver andengradsligningen: () (3) I ligningen ax bx c 0, a 0 ganger vi begge sider med 4 a : 4a ax bx c 4a 0 Vi ganger ind i parentesen: 4a x 4abx 4ac 0 Vi lægger diskriminanten d b 4ac til begge sider: 4a x 4abx 4ac b 4ac 0 b 4ac Vi reducerer: 4a x 4abx b d Af hjælpeformlen (1) får vi ( ax b) d Denne ligning (3) har samme løsninger som den oprindelige (). Vi bruger nu de tre dele af 4.: Det er denne ligning vi skal løse. Hvis d < 0 : ( ax b) d Har ingen løsninger da et tal i anden ikke kan give noget negativt. Hvis d = 0 : ( ax b) 0 ax b 0 da 0 er eneste tal som ganget med sig selv giver 0. ax b der er trukket b fra begge sider. x -b = a Begge sider er divideret med a hvilket er tilladt da a 0. Funktioner 3. del 13 019 Karsten Juul
Hvis d > 0 : ( ax b) d ax b d Da w = p har løsningerne p når p > 0. ax b d Der er trukket b fra begge sider. x = -b ± d a Begge sider er divideret med a hvilket er tilladt da a 0. Hermed har vi bevist reglen 40.5 om løsning af andengradsligning. Funktioner 3. del 14 019 Karsten Juul
46. Bevis for formelen for faktorisering af andengradspolynomium Funktioner 3. del 15 019 Karsten Juul
47. Funktionerne sinus og cosinus 47.1 Funktioner med sin og/eller cos i forskrift Her er et eksempel på en funktion hvor forskriften indeholder sinus: 5sin(x) 3. Når sin og cos er i en forskrift for en funktion: Hvert matematikfelt hvor funktionen bruges, skal indstilles til radianer. Hvert grafvindue hvor funktionen bruges, skal indstilles til at bruge radianer i grafer (ikke i geometri). 47. Grafer for sin og cos Find på begge grafer grafstykket hvor 0 x π. Forskyd dette grafstykke mod højre. Så får du den næste del af grafen. Enhver del af grafen kan du få frem ved et antal gange at forskyde dette grafstykke mod højre eller venstre. For begge grafer gælder: y-koordinaterne til grafpunkterne er tallene i intervallet 1 y 1. 47.3 Egenskaber ved sin og cos For alle tal x gælder: 1 sin( x ) 1 og 1 cos( x ) 1 sin( x π) sin( x) og cos( x π) cos( x) 47.4 Funktioner af typerne f (x) = asin(bx + c) +d og f (x) = acos(bx + c) +d har en bølgeformet graf som gentager sig selv. Afstanden mellem to bølgetoppe kaldes perioden. π periode = størsteværdi = d + a mindsteværdi = d a b Opgave: Bestem periode, størsteværdi og mindsteværdi for funktionen f (x) = 3sin(0,5x 4,)+6. Svar: Forskrift for f er på formen asin(bx + c) +d med a = 3, b = 0,5, c = 4,, d = 6, så π π periode = 1,5664 1, 5, størsteværdi = d + a = 6 + 3 = 9, mindsteværdi = d a = 6 3 = 3. b 0,5 47.5 Hvis der både er cos og sin i forskrift så brug Nspires fmax og fmin til at finde størsteværdi og mindsteværdi. Opgave: Bestem størsteværdi for funktionen f (x) = sin(3x)+cos(x), 1 x 9. Svar: Funktioner 3. del 16 019 Karsten Juul
48. Lineær regression 48.1 Residualer For fem figurer er målt bredde og længde: Bredde (cm): 3 4 5 6 Længde (cm): 36 38 47 57 58 Sammenhængen mellem læmgde og bredde beskrives med modellen f (x) = 6,3x + hvor f (x) er lænden når bredden er x. På figuren er vist de målte tal (grønne punkter) og modellen (blå graf). På figuren ses at når bredde = 3 er målt længde = 38 models længde = 40,9 Fra målt længde trækker vi models længde: 38 40,9 =,9 Tallet,9 kaldes en residual og viser det målte tals afvigelse fra modellen. 48. Valg af model Vi skal vælge modellen sådan at residualerne bliver små. På den nederste figur er de fem residualer vist med rødt For at få et mål for hvor godt modellen passer, gør vi sådan: Hver residual opløftes til anden, og resultaterne lægges sammen: 1,4 + (,9) + ( 0,) + 3,5 +( 1.8) = 5,9 Kvadratsummen 5,9 er det samlede areal af de gule kvadrater. Når vi laver lineær regression, vælger computeren den lineære funktion som giver den laveste kvadratsum. Metoden kaldes mindste kvadraters metode. Funktioner 3. del 17 019 Karsten Juul
48.3 Residualspredning 48.3a Residualspredning, definition Lad n betegne antal x-værdier i tabellen. Der er n residualer: r1, r,, rn. Residualspredningen er tallet s = r1 r r n n 48.3b Residualspredning, eksempel For eksemplet i 48. er residualspredningen. 5,9 s = =,9385,9. 5 Dette tal er lille i forhold til tabellens y-værdier. Hvis dette ikke var tilfældet, ville det tyde på at modellen ikke var så anvendelig. 48.3c Residualspredning, Nspire Normalt lader vi Nspire udregne s. Metode 1 Når x-søjle og y-søjle er tastet, vælger vi i værktøjsmenuen: Statistik / Statistiske tests / Lineær regressions t-test. Vi ser at s =,9385. Det er samme resultat som det vi fik ovenfor. Metode 48.4 Opgave med besvarelse Tabellen viser udviklingen i antallet af ansatte de første fem år. År efter start: 0 1 3 4 5 Antal: 16 9 39 51 64 75 I en model kan udviklingen i antallet af ansatte beskrives ved f (t) = at + b hvor f (t) betegner antallet af ansatte t år efter firmaets start. Bestem a og b ved regression, og brug residualplottet og residualspredningen til at vurdere modellens anvendelighed til at beskrive udviklingen. Besvarelsen står på næste side! Funktioner 3. del 18 019 Karsten Juul
Besvarelse f (t) = at + b er antal ansatte t år efter firmaets start. I x-søjlen år taster vi år efter start, og i y-søjlen antal taster vi antal ansatte. Nspire laver lineær regression og får a = 11,7714 og b = 16,381. Nspire udregner residualspredning og får s = 0,777664. Det ser ud til at modellen er anvendelig da: - Residualplottet viser ikke en systematisk afvigelse mellem faktiske tal og modellens tal. - Residualspredningen er lille i forhold til y-tallene (antal ansatte) da de er 16 og større. Funktioner 3. del 19 019 Karsten Juul
A andengradsligning, bevis... 13 andengradsligning, løsninger... 117 andengradspolynomium... 109 andengradspolynomium, graf... 115 andengradsregression... 1 B betydning af a, b, c, d for graf... 115 bevis... 13 bevis, betydning af b... 115 C cos... 105 cos i forskrift... 16 cosinus som funktion... 105, 16 D diskriminant... 114, 115, 116, 117 F faktor... 118 faktorisere... 118 faktorisering, bevis... 15 forskrift, bestem... 11 forskyde graf for ax... 110, 111 forskydning af graf... 100, 101 G gaffelforskrift... 98 graf, betydning af a, b, c, d... 115 graf, nulpunkt... 116 L lineær regression... 17 lodret forskydning... 100 løsninger, antal... 108, 116 M mindste kvadraters metode... 17 N nulpunkt... 107, 108 nulpunkter, antal... 108, 116, 117 P parabel... 109 parabel og x -graf... 110 periode... 16 polynomium... 107 polynomium, regression... 1 R regression... 1, 17 residual... 17 residualplot... 19 residualspredning... 18, 19 rod... 108 rødder... 108 rødder, antal... 108 S sammensat funktion... 103 sin... 105 sin i forskrift... 16 sinus som funktion... 105, 16 symmetri i parabel... 110 T tegn graf uden hjælpemidler... 113 toppunkt... 109, 11 V vandret forskydning... 101