Dierentialregning r B-niveau i h t s 0 Karsten Juul
. Tangent g räringspunkt.... FunktinsvÅrdi g dierentialkvtient.... AlÅs tallet r pç igur... 4. AlÅs tallet ' r pç igur.... 5. AlÅs läsninger til =t pç igur.... 6. AlÅs läsninger til ' r =s pç igur.... 7. Bestem rskrit r ' med Nspire...4 8. Bestem rskrit r ' uden hjålpemidler....4 9. Bestem ligning r tangent...5 0. Bestem punkt pç gra nçr vi kender -krdinat....5. Bestem punkt pç gra nçr vi kender y-krdinat....6. Bestem punkt pç gra nçr vi kender tangenthåldning....6. Bestem tangenthåldning...7 4. Har graen en tangent med håldningskeicienten a?...7 5. Er linjen tangent?...8 6. Bestem räringspunkt r tangent....9 7. Frtlkning a ' nçr ikke er tiden....0 8. Frtlkning a ' nçr er tiden...0 9. VÅksthastighed... 0. Bestem stärrelsen nçr tidspunktet er kendt.... Bestem våksthastigheden nçr tidspunktet er kendt..... Bestem tidspunktet nçr stärrelsen er kendt.... Bestem tidspunktet nçr våksthastigheden er kendt.... 4. Vksende g atagende... 5. Hvad er mntnirhld?...4 6. Regel r at inde mntnirhld...4 7. Bestem mntnirhld....5 8. Maksimum g minimum...6 9. Bestem med ' den vårdi a hvr y er stärst....7 0. Bestem med ' den stärste vårdi a y...8. Bestem med ' den vårdi a hvr y er mindst....9. Bestem med ' den mindste vårdi a y...9. Bestem ekstrema...9 4. GÄr rede r at unktinen har et minimum eller maksimum....9 5. Lkalt maksimum g minimum...0 6. Bestem lkale ekstrema.... 7. Dierentiabel... 8. GrÅnsevÅrdi.... 9. Vi kan inde en dierentialkvtient ved at udregne en grånsevårdi...4 40. Udledning a rmlen r at dierentiere....5 4. Udledning a rmlen r at dierentiere udtryk plus udtryk....5 Dierentialregning r B-niveau i h É 0 Karsten Juul Dette håte kan dwnlades ra www.mat.dk HÅtet mç benyttes i undervisningen hvis låreren med det samme sender en e-mail til kj@mat.dk sm plyser at dette håte benyttes, g plyser m hld, niveau, lårer g skle.
. Tangent g räringspunkt. PÇ iguren har vi tegnet graen r en unktin g en ret linje l. Linjen l er tangent til graen i punktet P rdi l er den linje gennem P sm Älger graen når P. P Den viste gra har kun Ñt punkt Ålles med l. l Punktet P kaldes tangentens räringspunkt.. FunktinsvÅrdi g dierentialkvtient. PÇ iguren har vi tegnet graen r en unktin g tangenten i grapunktet med -krdinat r. FunktinsvÅrdien i r er lig y-krdinaten t til grapunktet med -krdinat r. a Dierentialkvtienten i r er lig håldningskeicienten a r tangenten i grapunktet med -krdinat r. t l P FunktinsvÅrdien i r betegnes r. r t. Dierentialkvtienten i r betegnes ' r. r a. ' r Symblet r låses: a r. Symblet 'r låses: mårke a r. Dierentialregning r B-niveau i h Side 0 Karsten Juul
. AlÅs tallet r pç igur. AlÅs tallet 4 pç iguren. 4 = y-krdinat til grapunkt med -krdinat 4 4. Se markering pç igur. 4. AlÅs tallet 'r pç igur. AlÅs tallet '4 pç iguren. '4 Vi tegner l. = håldningskeicient r tangent l i grapunkt med -krdinat 4. Vi alåser punkterne 4, g 6,7 pç l. l 's håldningskeicient er sç 7 6 4 ' 4. 6,7 l 4, Dierentialregning r B-niveau i h Side 0 Karsten Juul
5. AlÅs läsninger til =t pç igur. AlÅs läsningerne til ligningen 6 pç iguren Vi skal läse 6. er y-krdinaten til et grapunkt. Vi inder de grapunkter hvr y-krdinaten er 6. Vi alåser -krdinaten til hvert a disse punkter g Çr g 7. Se markeringen pç iguren. LÄsningerne til 6 er eller 7. 6. AlÅs läsninger til 'r=s pç igur. AlÅs läsningerne til ligningen 0 pç iguren. Vi skal läse 0. er tangenthåldningen i et grapunkt. Vi inder det grapunkt hvr tangenthåldningen er 0. Vi alåser -krdinaten til dette punkt g Çr 5. Se markeringen pç iguren. LÄsningen til 0 er 5. Dierentialregning r B-niveau i h Side 0 Karsten Juul
7. Bestem rskrit r ' med Nspire. Fr at Ç Nspire til at dierentiere taster vi ved hjålp a skabelnen g Çr d d mht. Älgende: d Symblet kan IKKE skrives ved hjålp d a en bräkstreg. Brug skabelnen. Skabeln-paletten Çr vi rem sçdan: Lmmeregner: Tryk pç t Cmputer: Klik pç g pç En unktin g har rskriten g ln Vi udregner rskriten r g' : g ln udregnet med Nspire 8. Bestem rskrit r ' uden hjålpemidler. k 0 nçr k er en knstant..eks. 4 0 g ln 0 k k.eks. 4 4 g,5, 5 a aa.eks. 4 4 g,6, 6 4,6 e e er et bestemt tal ligesm. e,788. e er pç Nspire, men det er ikke den sådvanlige e-tast. e ln Funktinen ln kaldes "den naturlige lgaritmeunktin". ln er pç Nspire. k k g ln.eks. 7 4 74 8 g g g g.eks..eks. ln 4 0 ln 4 0 g g 7 7 7 74 e 8 74 e 8 e e 6 Eksempel: 6 0 0 Advarsler: a er IKKE a g 4 er IKKE 4. e er IKKE e g e er IKKE e. Da g kan vi udregne g med reglen a aa. Dierentialregning r B-niveau i h Side 4 0 Karsten Juul
9. Bestem ligning r tangent. Funktinen er givet ved. Bestem en ligning r tangenten til graen r i punktet,. y-krdinaten til grapunktet med -krdinat y 4 er TangenthÅldningen i grapunktet med -krdinat a er Tangenten i grapunktet med -krdinat y y a y 4 y 6 y 4 Tangenten til graen r i punktet, har ligningen y. har ligningen Fra rmelsamlingen: Linjen gennem punktet, y med håldningskeicienten a har ligningen y = a + y. 0. Bestem punkt pç gra nçr vi kender -krdinat. En unktin er givet ved. Bestem y-krdinaten til det punkt pç graen r hvr -krdinaten er 5. Bevarelse 5 er punktets y-krdinat: 5 5 5 50 Det punkt pç graen r hvr -krdinaten er 5, har y-krdinaten 50. Dierentialregning r B-niveau i h Side 5 0 Karsten Juul
. Bestem punkt pç gra nçr vi kender y-krdinat. En unktin er givet ved. Bestem -krdinaten til hvert a de punkter pç graen r hvr y-krdinaten er 4. Bevarelse er punktets y-krdinat: 4 4 Nspire läser denne ligning mht. g Çr eller De punkter pç graen r hvr y-krdinaten er 4, har -krdinaterne g.. Bestem punkt pç gra nçr vi kender tangenthåldning. Bevarelse En unktin er givet ved. Bestem krdinatsåttet til hvert a de punkter pç graen r hvr tangenthåldningen er 9. 6 er tangenthåldningen i punktet: 9 6 9 Nspire läser denne ligning mht. g Çr eller er punktets y-krdinat: 4 g 0 De punkter pç graen r hvr tangenthåldningen er 9, har krdinatsåttene, 4 g, 0. Dierentialregning r B-niveau i h Side 6 0 Karsten Juul
. Bestem tangenthåldning. En unktin g er givet ved. g Bestem tangenthåldningen i gra-punktet med -krdinat Bevarelse g g er tangenthåldningen i punktet: g 4 TangenthÅldningen i gra-punktet med -krdinat er 4. 4. Har graen en tangent med håldningskeicienten a? Bevarelse En unktin g er givet ved. g Er der et punkt pç g-graen sç tangenten i dette punkt har håldningskeicienten? g er tangenthåldningen i punktet: g Hvis tangenthåldningen er : g Dette er ikke pyldt r nget tal da et tal i anden aldrig er negativt. Der er ikke et punkt pç graen sç tangenten i dette punkt har håldningskeicienten. Dierentialregning r B-niveau i h Side 7 0 Karsten Juul
5. Er linjen tangent? En linje er tangent til graen r en unktin i et punkt netp hvis der bçde gålder at y-krdinat er ens g tangenthåldning er ens. Dette er vist pç de tre igurer. ab yab ab yab ab yab y-krdinat er rskellig: ab y-krdinat er ens: ab y-krdinat er ens: ab TangenthÅldning er ens: a TangenthÅldn. er rskellig: a TangenthÅldning er ens: a Linjen er ikke tangent. Linjen er ikke tangent. Linjen er tangent. Er linjen l : y 9 7 tangent til graen r unktinen? I räringspunktet skal -graens tangenthåldning våre lig l 's håldningskeicient sm er 9: 9 9 Nspire läser denne ligning mht. g Çr eller Hvis er y-krdinat pç -gra lig y-krdinat pç l lig y 9 7 5 sç y-krdinaterne er ikke ens, sç l er ikke tangent i grapunktet med -krdinat. Hvis er y-krdinat pç -gra lig y-krdinat pç l lig y 9 7 sç y-krdinaterne er ens, g vi vidste i rvejen at tangenthåldningerne er ens, sç l er tangent i grapunktet med -krdinat. Linjen l er tangent til graen r. Dierentialregning r B-niveau i h Side 8 0 Karsten Juul
6. Bestem räringspunkt r tangent. Linjen l : y 9 7 er tangent til graen r unktinen. Bestem krdinatsåttet til räringspunktet I räringspunktet skal -graens tangenthåldning våre lig l 's håldningskeicient sm er 9: 9 9 Nspire läser denne ligning mht. g Çr eller Hvis er y-krdinat pç -gra lig y-krdinat pç l lig y 9 7 5 sç y-krdinaterne er ikke ens, sç grapunkt med -krdinat er ikke räringspunkt. Hvis er y-krdinat pç -gra lig y-krdinat pç l lig y 9 7 sç y-krdinaterne er ens, g vi vidste i rvejen at tangenthåldningerne er ens, sç grapunkt med -krdinat er räringspunkt. KrdinatsÅttet til räringspunktet er,. Dierentialregning r B-niveau i h Side 9 0 Karsten Juul
7. Frtlkning a ' nçr ikke er tiden. Frtlkning a ' nçr ikke er tiden. Om et tegnet dyr pç skårmen gålder at 0,05 4 0 hvr er dyrets häjde, g er dyrets långde. Bestem 0, g gär rede r hvad dette tal rtåller m dyret. ca. h l 0, 4 Heri såtter vi lig 0: 0 0, 0 4 0 udregnet med Nspire h Dette rtåller at nçr dyrets långde er 0 g vi lågger et lille tal til långden, sç lågges ca. gange dette tal til häjden. 8. Frtlkning a ' nçr er tiden. Frtlkning a ' nçr er tiden. Om et tegnet dyr pç skårmen gålder at 0,05 4 0 hvr er dyrets häjde mçlt i mm, g er tiden mçlt i minutter. Bestem 0, g gär rede r hvad dette tal rtåller m dyret. 0, 4 Heri såtter vi lig 0: 0 0, 0 4 udregnet med Nspire 0 Dette rtåller at pç tidspunktet 0 minutter vkser dyrets häjde med hastigheden mm pr. minut. Dierentialregning r B-niveau i h Side 0 0 Karsten Juul
9. VÅksthastighed. Figuren viser graen r en unktin hvr = antal dage eter at vi begyndte at mçle = plantens häjde i mm PÇ iguren ser vi at 0 0,5 g at mkring tidspunktet 0 dage vil plantens häjde blive ca. 0,5 mm häjere pr. dag. Vi siger at pç tidspunktet 0 dage eter at vi begyndte at mçle, er våksthastigheden lig 0,5 mm pr. dag. I et lille tidsum pç -aksen er graen nåsten sammenaldende med den tegnede tangent. Det er i dette tidsrum at våksthastigheden er ca. 0,5 mm pr. dag. mm dage 0. Bestem stärrelsen nçr tidspunktet er kendt. VÅgten a et dyr kan beskrives ved unktinen 56,0 40 hvr er dage g er vågten i gram. Bestem dyrets vågt pç tidspunktet 0 dage. 0 56,0 40 4,46 Dyrets vågt er 4 gram pç tidspunktet 0. 0. Bestem våksthastigheden nçr tidspunktet er kendt. VÅgten a et dyr kan beskrives ved unktinen 56,0 40 hvr er dage g er vågten i gram. Bestem den hastighed hvrmed dyrets vågt vkser pç tidspunktet 0 dage.,0895, 0 0,0895,0 udregnet pä Nspire 0,0087 PÇ tidspunktet 0 dage vkser dyrets vågt med hastigheden,0 gram pr. dag. Dierentialregning r B-niveau i h Side 0 Karsten Juul
. Bestem tidspunktet nçr stärrelsen er kendt. VÅgten a et dyr kan beskrives ved unktinen 56,0 40 hvr er dage g er vågten i gram. Bestem det tidspunkt hvr dyrets vågt er 500 gram. 500 56,0 40 500 Nspire läser denne ligning mht. g Çr 77, 56. Dyrets vågt er 500 gram pç tidspunktet 78 dage.. Bestem tidspunktet nçr våksthastigheden er kendt. VÅgten a et dyr kan beskrives ved unktinen 56,0 40 hvr er dage g er vågten i gram. Bestem det tidspunkt hvr dyrets vågt vkser med hastigheden 4 gram pr. dag.,0895, 0 Vi Çr 4 udregnet pä Nspire,0895,0 4 Nspire läser denne ligning mht. g Çr 64, 784. PÇ tidspunktet 65 dage vkser dyrets vågt med hastigheden 4 gram pr. dag. Dierentialregning r B-niveau i h Side 0 Karsten Juul
4. Vksende g atagende. Figuren viser en interaktiv igur ra en cmputerskårm. NÇr vi tråkker -punktet hen pç et tal kan vi alåse unktinsvårdien. PÇ iguren kan vi se: NÇr vi tråkker gennem tallene ra g med til g med 9, vil NÇr vi tråkker gennem tallene ra g med 9 til g med 4, vil hele tiden blive stärre. hele tiden blive mindre. 4 Sm bekendt siger man: er vksende i intervallet 9 er atagende i intervallet 9 4 Er bçde atagende g vksende i 9? Nej, vi taler ikke m at en unktin er vksende i Ñt tal. Vi taler m at en unktin er vksende i et interval. Der skal våre mindst t y-vårdier hvis vi skal kunne tale m at y er blevet stärre eller mindre. At er vksende i intervallet 9 betyder at nçr vi i intervallet vålger stärre g stärre -vårdi, sç bliver y-vårdien stärre g stärre. At er atagende i intervallet 9 4 betyder at nçr vi i intervallet vålger stärre g stärre -vårdi, sç bliver y-vårdien mindre g mindre. Dierentialregning r B-niveau i h Side 0 Karsten Juul
5. Hvad er mntnirhld? I ngle pgaver stçr at vi skal bestemme mntnirhldene r en unktin. Det betyder at vi skal skrive i hvilke -intervaller unktinen atager, g i hvilke -intervaller unktinen vkser. PÇ iguren er vist graen r et tredjegradsplynmium. Mntnirhldene kan vi skrive sçdan: er vksende i intervallet atagende i intervallet vksende i intervallet P, 4 Q, 6. Regel r at inde mntnirhld. Hvis ' er psitiv * tangenthåldningen er psitiv r hvert tal i intervallet 4. ** er vksende i intervallet 4. Hvis man präver at tegne graen sçdan at *, men ikke ** gålder, sç bliver man verbevist m at det ikke kan lade sig gäre. Man kan bevise at hvis * gålder, sç gålder ** gsç. Hvis der er undtagelser ra at ' er psitiv Funktinen pç nederste igur er vksende selv m der er Ñt punkt hvri tangenthåldningen er 0. Selv m der er enkelte undtagelser ra *, kan man slutte at ** gålder. SÅtning 6. Hvis er psitiv r alle i et interval, evt. med endeligt mange undtagelser, sç er vksende i intervallet. Hvis er negativ r alle i et interval, evt. med endeligt mange undtagelser, sç er atagende i intervallet. Dierentialregning r B-niveau i h Side 4 0 Karsten Juul
7. Bestem mntnirhld. Bestem mntnirhldene r unktinen 4 4 7. Fr at Ç Nspire til at dierentiere 4 4 taster vi ved hjålp a skabelnen d 4 7 4 d g Çr 7 mht. Älgende: Fr at Ç Nspire til at läse ligningen 0 taster vi slve 0, g Çr läsningerne eller 0 mht. Hera Älger at kun kan skite rtegn i -vårdierne g 0. Disse t tal deler tallinjen p i tre delintervaller. I hvert a disse vålger vi et tal g udregner i tallet: Da 9 er negativ r Da er psitiv r 0 Da er psitiv r 0 A dette Älger: er atagende i intervallet er vksende i intervallet Oversigt: : 0 : 0 0 : Dierentialregning r B-niveau i h Side 5 0 Karsten Juul
8. Maksimum g minimum. g Maksimum r er den stärste y-krdinat til et punkt pç -graen. Vi ser at maksimum r er. Minimum r er den mindste y-krdinat til et punkt pç -graen. Vi ser at minimum r er. Graen r g er en parabel hvr grenene gçr uendelig häjt p. Der er ikke nget punkt pç graen der har den stärste y-krdinat da man altid kan asåtte et punkt häjere ppe pç graen, sç unktinen g har ikke nget maksimum. NÇr vi skriver hvad maksimum eller minimum er, sç skriver vi nrmalt gsç hvad punktets -krdinat er: har maksimum r 4 g maksimum er y har minimum r g minimum er y Undertiden er det skrevet krtere,.eks: har maksimum i 4 g maksimum er. har minimum i g minimum er. StÄrstevÅrdi g mindstevårdi r en unktin er det samme sm hhv. maksimum g minimum. I ngle pgaver stçr at vi skal bestemme ekstrema. Dette betyder at vi skal inde maksimum hvis der er et maksimum, g minimum hvis der er et minimum. Ekstremum er en Ållesbetegnelse r maksimum g minimum. Ordet ekstremum hedder i lertal ekstremummer eller ekstrema. Det er den sidste rm der bruges i eksamenspgaver. Dierentialregning r B-niveau i h Side 6 0 Karsten Juul
9. Bestem med ' den vårdi a hvr y er stärst. HÄjden a en igur er givet ved 6 86, 9. 5 hvr er igurens bredde, g er igurens häjde. Bestem bredden sç häjden bliver stärst mulig. 6 Vi bestemmer de vårdier a hvr 0 udregnet pä Nspire 6 0 Vi Çr Nspire til at läse denne ligning mht. r 9 ved at taste 6 slve 0, 9 5 g Çr. Vi bestemmer mntnirhldene r : kan skite rtegn: Vi udregner i en -vårdi pç hver side a : 5 6 4 sç er psitiv r 5 6 4 4 7 sç er negativ r 9. 4 Hera slutter vi Älgende mntnirhld: er vksende i intervallet 5 er atagende i intervallet 9. A mntnirhldene Älger: er stärst nçr, dvs. HÄjden bliver stärst mulig nçr bredden er. Dierentialregning r B-niveau i h Side 7 0 Karsten Juul
0. Bestem med ' den stärste vårdi a y. HÄjden a en igur er givet ved 6 86, 9. 5 hvr er igurens bredde, g er igurens häjde. Bestem den stärst mulige häjde.. 6 Vi bestemmer de vårdier a hvr 0 udregnet pä Nspire 6 0 Vi Çr Nspire til at läse denne ligning mht. r 9 ved at taste 6 slve 0, 9 5 g Çr. Vi bestemmer mntnirhldene r : kan skite rtegn: Vi udregner i en -vårdi pç hver side a : 5 6 4 sç er psitiv r 5 6 4 4 7 sç er negativ r 9. 4 Hera slutter vi Älgende mntnirhld: er vksende i intervallet 5 er atagende i intervallet 9. A mntnirhldene Älger: er stärst nçr, sç den stärst mulige vårdi a 6 86 74 dvs. Den stärst mulige häjde er 74. er Dierentialregning r B-niveau i h Side 8 0 Karsten Juul
. Bestem med ' den vårdi a hvr y er mindst. Dette gäres sm vist i ramme 9 brtset ra at mntnirhldene nu er atagende-vksende i stedet r vksende-atagende, g at vi nu skriver mindst i stedet r stärst.. Bestem med ' den mindste vårdi a y. Dette gäres sm vist i ramme 0 brtset ra at mntnirhldene nu er atagende-vksende i stedet r vksende-atagende, g at vi nu skriver mindst i stedet r stärst.. Bestem ekstrema. NÇr der stçr Bestem ekstrema, sç skal vi bestemme minimum hvis der er et minimum, g vi skal bestemme maksimum hvis der er et maksimum. Se ramme 0 g. 4. GÄr rede r at unktinen har et minimum eller maksimum. GÄr rede r at unktinen 9, 0 har et minimum. Metde Vi bestemmer mntnirhld r Da er med metden ra ramme 7. Hereter skriver vi: atagende i intervallet 0 g vksende i intervallet kan vi slutte at har minimum r. Dierentialregning r B-niveau i h Side 9 0 Karsten Juul
5. Lkalt maksimum g minimum. P Figuren viser graen r en unktin. I de t ender rtsåtter graen uendelig häjt p. P er grapunktet med -krdinat 0 g y-krdinat 5. Vi kan vålge et stykke a graen mkring P sçdan at 5 er mindste y-krdinat pç dette stykke. Vi siger derr at har lkalt minimum r 0 g det lkale minimum er y 5. 5 er ikke minimum da der andre steder pç graen er y-krdinater sm er mindre. Hvis Q, y er et punkt pç graen r en unktin, g vi kan vålge et stykke a graen mkring Q sçdan at y er mindste y-krdinat pç dette stykke, sç siger vi at unktinen har lkalt minimum r g det lkale minimum er y y Hvis Q, y er et punkt pç graen r en unktin, g vi kan vålge et stykke a graen mkring Q sçdan at y er stärste y-krdinat pç dette stykke, sç siger vi at unktinen har lkalt maksimum r g det lkale maksimum er y y Om unktinen ra iguren venr gålder: har lkalt minimum r 0 g det lkale minimum er y 5. har lkalt maksimum r 40 g det lkale maksimum er y 5. har lkalt minimum r 70 g det lkale minimum er y 5. har minimum r 70 g minimum er y 5. Undertiden er det skrevet krtere,.eks: har minimum i 70 g minimum er 5. har lkalt maksimum i 40 g det lkale maksimum er 5. I ngle pgaver stçr at vi skal bestemme lkale ekstrema. Dette betyder at vi skal inde bçde de lkale minimummer g de lkale maksimummer. Ordet ekstremum hedder i lertal ekstremummer eller ekstrema. Det er den sidste rm der bruges i eksamenspgaver. Dierentialregning r B-niveau i h Side 0 0 Karsten Juul
6. Bestem lkale ekstrema. Bestem de lkale ekstrema r unktinen 8 90. I hvilke -vårdier er der lkale ekstrema? Det kan vi se nçr vi har undet mntnirhldene r. Nspire dierentierer 8 90 g Çr 8. mht. Nspire läser ligningen 0 g Çr läsningerne 6 g. mht. Hera Älger at kun kan skite rtegn i -vårdierne 6 g. Disse t tal deler tallinjen p i tre delintervaller. I hvert a disse vålger vi et tal g udregner i tallet: Da 7 7 7 8 0 er psitiv r 6 Da 0 0 0 8 8 er negativ r 6 Da 4 4 4 8 0 er psitiv r Vi kan slutte Älgende: : 6 : 0 0 : Da Çr vi 6 6 6 8 6 90 8 90 4 0 har lkalt maksimum r = 6 g det lkale maksimum er y = 0 har lkalt minimum r = g det lkale minimum er y = 4 Dierentialregning r B-niveau i h Side 0 Karsten Juul
7. Dierentiabel. Graen r har et knåk i punktet med -krdinat. Derr har graen ikke ngen tangent i dette punkt. Tangenten er en linje der Älger graen når punktet. Funktinen har ikke ngen dierentialkvtient i, r dierentialkvtienten er tangentens håldningskeicient, g der er ikke ngen tangent. Der gålder altsç at ikke eksisterer. Graen r g har en ldret tangent i punktet med -krdinat. En ldret linje har ikke ngen håldningskeicient. Funktinen g har ikke ngen dierentialkvtient i, r dierentialkvtienten er tangentens håldningskeicient, g tangenten har ikke ngen håldningskeicient. g Der gålder altsç at g ikke eksisterer. Deinitin 7. Man siger at en unktin er dierentiabel i et tal hvis unktinen har en dierentialkvtient i dvs. hvis eksisterer. Dierentialregning r B-niveau i h Side 0 Karsten Juul
8. GrÅnsevÅrdi. 6 Udtrykket u kan vi ikke regne ud r da nåvneren bliver 0. Vi kan udregne u r vårdier a sm er tåt pç : Ved at vålge vårdien a tilstråkkelig tåt pç kan vi Ç vårdien a u sç tåt det skal våre pç 6. Vi siger: grånsevårdien r gçende md a u er lig 6 6 Med symbler skriver vi dette sçdan: lim 6 Metde 8.,98,999,00,0 u 5,94 5,997 6,00 6,06 Vi kan regne s rem til denne grånsevårdi ved at bruge Älgende teknik: Vi aktriserer bräkens tåller g rkrter bräken. SÇ Çr vi et udtryk sm vi kan udregne nçr er : 6 Fr er 6 sç lim lim g lim 6 SÅtning 8. lim k udtryk k lim udtryk nçr k er en knstant SÅtning 8. lim udtryk udtryk lim udtryk lim udtryk Metde 8.4 HÄjden a stlpen er e h hvr er det tal stlpen stçr i. PÇ iguren ser det ud til at stlpens häjde nårmer sig nçr vi tråkker stlpen hen md 0, hvr stlpen ikke eksisterer. Vi Çr Nspire til at udregne grånsevårdien a häjden r gçende md 0 : e lim 0 PÄ Nspire kan vi vålge grånsevårdi-skabelnen pä skabelnpaletten. Skabelnen ser sädan ud: Vi behçver ikke skrive nget i det tredje elt. Dierentialregning r B-niveau i h Side 0 Karsten Juul
9. Vi kan inde en dierentialkvtient ved at udregne en grånsevårdi. Figuren viser graen r unktinen Linjen t er tangenten i grapunktet med -krdinat. t Linjen s skårer graen i punkterne med -krdinaterne g. s HÅldningskeicienten r s er PÇ iguren er, 8 4,48,5 NÇr, 8 er,,8 dvs. linjen s har håldningskeicienten, Frestil dig at du tager at i skåringspunktet med -krdinat g Ärer det langs graen ned md det andet skåringspunkt. SÇ vil s dreje g nårme sig mere g mere til t. Vi ser at hvis, 0 vil s g t have nåsten samme håldning.,5995,5 NÇr, 0 er, 995 0,0 AltsÇ er,995 en gd tilnårmelse til. Vi ser at vi r at Ç helt näjagtigt skal udregne lim Fr er 5 5 5 5 sç lim lim dvs. Den sidste mskrivning kan vi.eks. Ç Nspire til at lave. Vi kan gsç bruge reglen m at aktrisere et andengradsplynmium g dereter rkrte. Vi kan kntrllere lighedstegnet ved at gange begge sider med g. SÅtning 9. Fr en unktin er lim Dierentialregning r B-niveau i h Side 4 0 Karsten Juul
Dierentialregning r B-niveau i h Side 5 0 Karsten Juul 40. Udledning a rmlen r at dierentiere. NÇr er lim iälge såtning 9. lim lim iälge en a kvadratsåtningerne lim vi har rkrtet med iälge metde 8. Vi har nu undet rem til Älgende: SÅtning 40.: 4. Udledning a rmlen r at dierentiere udtryk plus udtryk. NÇr h g er lim iälge såtning 9. lim h g h g lim h h g g lim h h g g lim lim h h g g iälge såtning 8. h g iälge såtning 9. Vi har nu undet rem til Älgende: SÅtning 4.: h g h g
Stikrdsregister atagende..., 4 dierentiabel... dierentialkvtient..., 4 dierentialkvtient pç gra... dierentialkvtients rskrit...4 dierentialkvtients rtlkning...0 dierentiatinsregler...4 ekstrema...6, 9 ekstremum...6 rtlkning a dierentialkvtient...0 unktinsvårdi..., grånsevårdi..., 4 håldningskeicient...7, lkale ekstrema...0, lkalt maksimum...0, lkalt minimum...0, läs ligning ud ra gra... maksimum...6, 9 mindstevårdi...6, 9 minimum...6, 9 mntnirhld...4, 5 Nspire...4, 5, 7, 8,, 4 räringspunkt..., 9 stärstevårdi...6, 7, 8 tangent..., 8,, tangenthåldning...6, 7 tangents ligning...5 vksende..., 4 våksthastighed...,