Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler

Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler Oversigt over forskellige tper f funktioner Omvendt proportionlitet og hperler.grdsfunktioner og prler Eksponentilfunktioner Potensfunktioner Lektion 7s Side

Oversigt over forskellige tper f funktioner Du skl kende disse funktionstper. Den første tpe er grundigt omtlt på de foregående sider. Lineære funktioner kn skrives på formen: - Grferne er rette linier. - er hældningskoefficient, og størrelsen f fortæller, hvor stejl grfen er. Hvis er positiv hælder linien opd, hvis er negtiv hælder den nedd. - fortæller, hvor grfen skærer -ksen. - Hvis funktionen kn skrives på formen: (ltså = ), så er og ligefrem proportionle. De øvrige tper liver grundigt omtlt på de efterfølgende sider. Hperler kn skrives på formen: c - Grferne estår f to dskilte smmetriske uer (her er kun vist den ene). - fortæller, hvor meget uerne krummer. - og c fortæller, hvor grfen er plceret. - Hvis funktionen kn skrives så er og omvendt proportionle..grdsfunktioner er funktioner på formen: - Grferne kldes prler og er smmetriske uer, med et toppunkt og en lodret smmetrikse. - estemmer prlens form. Hvis er positiv, vender "enene" opd, hvis er negtiv, vender de nedd. Jo "større" er (unset fortegn), jo mere "spids" er prlen. - og c estemmer grfens plcering, men smmenhængen er kompliceret. c Eksponentilfunktioner er funktioner på formen: Funktionerne eskriver størrelser, der regelmæssigt ændrer sig med et estemt ntl procent. - Grferne er løde uer. - estemmer vækstens størrelse og dermed, hvordn uen krummer. Hvis > krummer grfen opd, hvis < krummer grfen nedd. - fortæller hvor grfen skærer -ksen. Du kn sgtens støde ind i helt ndre funktioner, men du skl kende disse hoved-tper. Lektion 7s Side

Omvendt proportionlitet og hperler Eksempel på opgve Et redsksskur skl være m og hve form som et rektngel eller et kvdrt. Lv en tel og en grf der viser smmenhængen mellem de mulige sidelængder. Opstil også en funktion, der viser smmenhængen. Hvis vi regner i meter, og sidelængderne kldes for og, må der skulle gælde t:. Det kn omskrives til funktionsforskriften:, og mn kn lve en tel som denne:,,,,,, 7, 8,,,,,, 8,,,,,7,9,,,,, Mnge f tllene i tellen er urelistiske. Mn vil ldrig lve et skur, der måler m m. Men tllene er tget med for t vise den mtemtiske smmenhæng mellem og. Regnemæssigt kn mn sgtens ruge -værdier mindre end og større end, men mn kn ldrig ruge som -værdi. Grfen kommer til t se ud som vist herunder. Både tel og grf er smmetriske. Du kn f finde tl-prret (,;8,) i den ene ende f åde tel og grf, og du kn finde det modstte tlpr (8,;,) i den nden ende. Der eneste grund til, t der er lidt længere mellem -værdierne sidst i tellen er, t grfen her er fldere og lettere t tegne. Men der er ingen fste regler for vlg f -værdier. Der gælder t: - -værdien liver hlveret, når når -værdien liver fordolet. - -værdien flder til en tredjedel, når -værdien liver tredolet o.s.v. Denne smmenhæng mellem og kldes omvendt proportionlitet. Funktioner der kn skrives på formen kldes omvendt proportionle funktioner. Grferne for omvendt proportionle funktioner kldes hperler, og de ligner ltid grfen herover. Lektion 7s Side

Rent prktisk giver negtive tl ingen mening i eksemplet med redsksskuret, men rent regnemæssigt kn mn godt indsætte negtive -værdier i funktionen: Mn får en tel som denne (husk, t ikke kn ruges som -værdi): -, -8, -, -, -, -, -,,,,,, 8,, -, -, -,7 -, -, -8, -,, 8,,,,7,, Herunder er grfen for indtegnet smmen med grfen for (stiplet grf). - - - - - - Hperler estår ltid f to grene som vist herover, og de hr ltid to smmetri-kser. Ofte tegner mn dog kun den ene gren, og smmetrien er kun tdelig, hvis der er rugt den smme inddeling på egge tl-kser. Husk t funktionsforskriften ltid er: Hvis mn tegner grfer for forskellige hperler, vil mn se t: - hvis er lille, vil grfen være tæt på tl-kserne. - hvis er stor, vil grfen være lngt fr tl-kserne. - hvis er negtiv vil grfen "vende rundt", således t den venstre gren ligger over -ksen, og den højre gren ligger under -ksen. Lektion 7s Side

Eksempel på opgve En t-vognmnd tger kr. i strtger og kr. pr. km. Lv en tel og en grf der viser smmenhængen mellem ntl km () og prisen pr. km (). Opstil også en funktion, der viser smmenhængen. Eksemplet ligner mnge tpiske opgver med lineære funktioner. Men i disse opgver er den smlede pris. Her er prisen pr. km, og så liver grf og funktion meget nderledes. Hvis mn kører km, liver den smlede pris = kr. Prisen pr. km liver = 9 kr. På den måde kn mn lve en tel: 7 8,,, 9, 8, 7,7 7,9 7,,,,, Grfen ser ud som vist til højre: Prisen pr. km. kn findes således: - først deles strtgeret på kr. ud på det kørte ntl km. - derefter lægges den fste km-pris på kr. oveni. Derfor kn mn opstille denne funktionsforskrift: Både tel og grf er ligner meget tellen og grfen fr eksemplet med hveskuret på side c. -værdierne er de smme og lle -værdierne er præcis større. Denne gng er og ikke omvendt proportionle, men grfen kldes stdig en hperel. Grfen hr præcis smmen form som før, men den er prllelforskudt opd i koordintsstemet. Grfen for lle funktioner, der kn skrives på formen Størrelsen f tllet estemmer hperlens form., er hperler. Lektion 7s Side

.grdsfunktioner og prler Funktioner, der kn skrives på formen c kldes.grdsfunktioner. Grferne for lle.grdsfunktioner ligner hinnden og kldes prler Her er et pr eksempler på.grdsfunktioner: =, = - og c = =, = og c = - = -, = og c = Bemærk t ikke må være. Eksempel på opgve Lv en tel og en grf for funktionen: = Tellen kommer til t se således ud: - - - - - 9 9 Grfen ser ud som vist til højre: D mnge f -værdierne er store, er hele tellen ikke vist på grfen. Funktionen = er en slgs "stndrd-.grdsfunktion", og grfen for funktionen er en "stndrd-prel". Læg mærke til, t åde tel og grf er smmetriske omkring = (-ksen). -ksen er smetri-kse for prlen. Punktet (,) er top-punkt for prlen. Alle ndre prler hr også et toppunkt, og de er smmetriske som grfen til højre. 9 8 7 - - - - - Lektion 7s Side

Eksempel på opgve Lv teller og grfer for disse funktioner: f() g() 8 h(), Tellen kommer til t se således ud (kontroller selv nogle f tllene): - - - - - f() - - - - - - - - g() 9 7 7 - - - h(),,,, -, -, -, -, -,,, Grferne ser ud som vist til højre. Når mn sætter -værdier ind i.grdsfunktioner, skl mn være omhggelig. Især hvis -værdierne er negtive, eller hvis - og -værdierne i funktionsforskriften er negtive. Her er et pr regne-eksempler: f( h( ) ),,, ( ( 9 ) ) - - (, ) Læg mærke til, t åde teller og grfer er smmetriske lige som i eksemplet på forrige side. Men det er kun f, der er smmetrisk om = (-ksen). Funktionerne g og h hr ndre smmetri-kser. Læg også mærke til, t: - grferne for f og g hr smme fcon. De vender lot hver sin vej. - grferne for f og g er meget "spidse", mens grfen for h er lidt mere "fld". 8 7 f() h() - - - - - - - - g() - - -7 Lektion 7s Side 7

Grfen for en.grdsfunktion (funktion f tpen med toppunkt og en lodret smmetri-kse. c ) er en smmetrisk prel Tllet estemmer prlens form. - hvis er "stort" (unset fortegn) så er prlen "spids" - hvis er "lille" (unset fortegn), så er prlen "fld" - hvis er positivt, hr prlen "enene" opd - hvis er negtivt, hr prlen "enene" nedd Kontroller selv, t reglerne ovenfor psser på eksemplerne på de sidste pr sider. -værdien til en prels toppunkt kn findes således: top Eksempler på opgver Find toppunkterne til disse prler: f() g() 8 h(), top ( ) top ( 8) 8 top ( ), top f() top f() top f() 8, 8,-- -, I eksemplet ovenover ruges de smmen prler, som er tegnet på forrige side. Kontroller selv t de eregnede toppunkter psser med tegningen. Hvis mn skl tel-lægge en.grdsfunktion og tegne den tilhørende prel, er det ofte en fordel først t finde top-punktet. Når mn kender det, er det lettere t lve tellen og tegne grfen. Der findes også en særlig metode til t finde de steder, hvor en prel skærer -ksen (prlens nul-punkter). Metoden er nævnt i de tilhørende opgver. Til sidst en vigtig oplsning: Prler og.grdsfunktioner kn ruges til t eskrive mnge ting fr den virkelige verden. Det kn du se eksempler på i de tilhørende opgver. Men smmenhængen mellem virkelighed og mtemtik er ikke så nem t forstå. Derfor er disse eksempler lvet som ren "tl-gmnstik". Lektion 7s Side 8

Eksponentilfunktioner Lønstigningerne i eksemplet herunder er (desværre) urelistisk høje, men det skl du ikke tænke på. Eksempel på opgve Ann får en timeløn på 8 kr. Hun liver lovet en årlig lønstigning på % de kommende år. Børge får en timeløn på kr. Hn liver lovet en årlig lønstigning på 8% de kommende år. Lv teller, grfer og funktioner, der eskriver Annes og Børges timeløn år for år. Den letteste måde t lægge % til et tl er ved t gnge tllet med,. Derfor får mn: Anns løn efter år: 8,, = 9, kr. Anns løn efter år: 9,, =,8 kr. eller 8,,, Anns løn efter år:,8, =,7 kr. eller 8,,,,. Børges løn kn fremskrives på tilsvrende måde ved t gnge med,8. I lt får mn: 8, =,8 kr. 8, =,7 kr. Antl år () 7 8 Anns løn 8, 9,,8,7 9,9,9 8,,8,7 Børges løn,,,7,7,8,8, 79,9 9, Grfen ser ud som vist til højre: Hvis er ntl år regnet fr "nu", og er timelønnen, kn mn opstille denne funktion for Ann: 8, og denne funktion for Børge:,8 Bemærk t funktionerne godt nok psser for = fordi: 8, 8 8 og for = fordi: 8, 8, 9. Når en størrelse regelmæssigt vokser (eller ftger) med et estemt ntl procent, siger mn, t den vokser eksponentielt. Funktionerne ovenfor er eksempler på eksponentilfunktioner. Grferne uer mere og mere opd fordi lønstigningerne liver større og større målt i kr. Grferne er ikke rette linier. 7 8 Lektion 7s Side 9

Funktioner, der kn skrives på formen kldes eksponentilfunktioner. Eksponentilfunktioner ruges til t eskrive tlstørrelser, der regelmæssigt ændrer sig med et estemt ntl procent. - er strtværdien. På forrige side strtlønningerne. - er " + ændringsprocenten som decimltl". F + % = +, =, Vær opmærksom på, t eksponentilfunktioner er i fmilie med vækst-formlen. Den skrives normlt på formen n K n K ( r) Den er omtlt i et ndet modul. De to formler/funktioner udtrkker præcis det smme rent mtemtisk. Eksempel på opgve En il koster som n. kr. Bilens værdien flder med % om året Lv en tel, en grf og en funktion, der eskriver ilens værdi år for år. Mn trækker % fr et tl ved t gnge tllet med,7. Mn eholder % - % = 7%. Værdi efter år:., 7 =. kr. Værdi efter år:., 7 = 9. kr. eller.,7, 7 Funktionsforskriften må være Tellen kommer til t se således ud:.,7.,7 = 9. kr., hvor er ntl år, og er ilens værdi. Antl år () Bilens værdi.. 9. 7.. 7.99 8.77 Grfen ser ud som vist til højre: Funktionen.,7 er også en eksponentilfunktion, men der er tle om en negtiv eksponentiel vækst. Grfen uer mindre og mindre nedd, fordi det årlige værdit liver mindre og mindre målt i kr. En eksponentilfunktion skrevet på formen eskriver: - en positiv vækst når > - en negtiv vækst når <.... 8.... Lektion 7s Side

Potensfunktioner Funktioner der kn skrives på formen kldes potensfunktioner. Her er nogle eksempler på potensfunktioner:, - = og = = og = =, og = = og = Bemærk: Hvis = liver usnlig. Mn skriver f sjældent Tllet (potens-tllet) kldes for eksponenten. men kun. Eksempel på opgve Lv for teller og grfer for potensfunktionerne f(), og g(). Tellen kn se således ud: 7 8 9 f(),,, 8, 8,, g() 8 8 7 98 8 Grferne ser ud som vist til højre. D nogle f -værdierne er ret store, er hele tellen ikke vist på grferne. Mn kn se på åde tellen og grferne: - t egge grfer strter i (,) - t egge grfer vokser hurtigere og hurtigere g() - t vokser hurtigst og hele tiden ligger over,. Når (eksponenten) er større end en ( > ), gælder der: Funktionen vokser hurtigere og hurtigere. Jo større (tllet mn gnger med) er, jo mere vokser funktionen. f(), 7 Lektion 7s Side

Eksempel på opgve Lv for teller og grfer for potensfunktionerne f() og g(). Tellen kn se således ud: 7 8 9 f() 9 9 8 g() 8 7 79. Husk t mn kn finder potenser ved t trkke ^ på regnemskinen. Eller evt.. 7 Grferne ser ud som vist til højre. D nogle f -værdierne er meget store, er hele tellen ikke vist på grferne. Mn kn se på åde tellen og grferne: - t egge grfer strter i (,) - t egge grfer vokser hurtigere og hurtigere - t vokser hurtigere end. Når (eksponenten) er større end en ( > ), gælder der: Funktionen vokser hurtigere og hurtigere. Jo større er, jo hurtigere vokser funktionen. g() Hvis mn forstørrer den nederste venstre del f grferne op, ser de således ud: f() f() g() Mn kn se, t g() er mindre end f() i intervllet mellem og. Tænk selv over hvorfor. Du kn evt. lve en tel med mnge små -værdier mellem og. 7 Lektion 7s Side

Eksempel på opgve Rumfnget f en kugle kn eregnes med formlen V π r. V er rumfnget og r er rdius. Vis t rumfnget er en potensfunktion f rdius. Lv en tel og en grf for funktionen. Hvd skl rdius være, hvis kuglens rumfng skl være liter (. cm )? Formlen Altså: V π r V,8879 r svrende til svrer til en potensfunktion, hvor π,8879... og =.,8879 Tellen kn se således ud. Tllene er frundede. r (cm) 7 8 V (cm ),9,, 8,, 9,8 7 Grfen ser ud som vist til højre. Mn kn finde den rdius, der giver et rumfng på. cm på flere måder. - Mn kn flæse på grfen, hvis mn lver en pæn grf på mm-ppir. - Hvis mn tegner grfen vh. et computer-progrm, hr progrmmet måske en flæse-funktion. - Mn kn prøve sig frem (simulering). Mn kn se ud fr tellen, t den rigtige rdius må være mellem cm og 7 cm og sikkert nærmest på cm. - Mn kn få det helt præcise svr ved t løse ligningen. Mn får:,8879 r r r,8879.,8879.,8879 r. 8,7.., cm V,8879 7 8 r Lektion 7s Side

Hvd etder eksponenten? Det lille tl kldes eksponenten. Men hvd etder de forskellige slgs eksponenter? Eksponent Eksponenten er et helt tl og større end nul: etder Bemærk:, etder, etder etder. Men mn skriver næsten ldrig Eksponenten er en røk eller et deciml-tl: Du skl huske, t, etder, osv..,... etder osv. Men det er meget svært t forklre, hvd potenser, der ikke er hele tl (f Du kn roligt trkke på ^ (eller evt. ) uden t tænke over etdningen.,7 ), generelt etder. Eksponenten er negtiv: - - etder, etder, - etder, -, etder, osv. Eksempel på opgve Lv for teller og grfer for potensfunktionerne Tellen kn se således ud. De fleste tl er frundede., f() og, g(),. 7 8 9, f(),,7,,,,8,, g(),,,9,97,8,7,7,9,7 7,79 8,89 Grferne ser således ud. 8 Grfen for, g(), uer kun gnske svgt opd. Grfen ligner næsten en ret linje, men den vokser fktisk mere og mere. Grfen for, f() uer den nden vej. Funktionsværdien vokser mindre og mindre. Men den kn vokse i det uendelige. g(),, f(),, Husk på t et stort tl, liver, og når er også stor. 8 Lektion 7s Side

Eksempel på opgve Lv tel og grf for potensfunktionerne - f(). - Husk t etder eller lot. - På regnemskinen finder mn f ved t trkke ^ (-) =. kn ikke ruges som -værdi, men vi tger nogle små decimltl med i tellen. Tellen kn se således. De fleste tl er frundede.,,,7, 7 - f() 8,,889,,,,8,, Grfen ser ud som vist til højre. Når vokser liver f() mindre, men f() kn ldrig live. Alle grfer for potensfunktioner med negtiv eksponent vil ligne grfen til højre. Jo mere negtiv eksponenten er, jo hurtigere flder funktionsværdien. Tænk på t omvendt proportionle funktioner også er potensfunktioner. kn jo f skrives som. Grfen til højre ligner også grferne for omvendt proportionle funktioner, men grfen er ikke smmetrisk på smme måde som en rigtig hperel. 8 Eksemplerne i dette fsnit viser, t potensfunktioner og deres grfer er meget forskellige. Der findes regler for, hvorledes grfernes form fhænger f eksponenten, men de er indviklede. Du kn evt. læse mere ndre steder. I eksemplerne med positiv eksponent lev der rugt åde nul og positive tl som -værdier. I eksemplet på denne side kunne mn ikke ruge nul som -værdi, fordi eksponenten er negtiv. Men hvis eksponenten er et helt positivt tl (f kn mn sgtens sætte negtive tl ind som -værdier., eller 7 ), Lektion 7s Side

Eksempel på opgve Lv tel og grf for funktionen f(). Vi tger åde negtive og positive -værdier med. Vi får: - - - - f() 9 9 Grfen ser ud som vist til højre. Den er smmetrisk og kldes en prel. (,) er toppunkt, og -ksen er smmetrikse. Herunder er tegnet grferne for disse to funktioner: g() h(),, Funktionere er ikke rigtige potensfunktioner pg. forskrifternes form, men egge grfer er smmetriske uer ligesom grfen for Alle funktioner, der kn skrives på formen c, hvor, hr den slgs smmetriske grfer. - - - - g() - - - - - h(),, Funktioner på formen c, hvor, kldes ndengrds-funktioner eller ndengrds-polnomier. Grferne kldes prler. Hvis > vender prlen enene opd. Hvis < vender prlen enene nedd. Hvis (og kun hvis) = og c =, er funktionen også en potensfunktion. F Men mn ruger ogstverne og forskelligt. Potensfunktionen med eksponenten skrives normlt Andengrds-funktionen skrives 9 8 7 - - - - Lektion 7s Side