3 Opertorer på Hilbert rum 3.1 Eksempler på opertorer på Hilbert rum Vi vil i det følgende benytte betegnelsen lineær opertor (eller blot opertor) synonymt med lineær fbildning, specielt når der er tle om lineære fbildninger mellem uendeligdimensionle vektorrum, som hr vores hovedinteresse i disse noter. En lineær opertor fr et Hilbert rum H 1 til et ndet H 2 er således en fbildning A, der opfylder A(v + w) = Av + Aw og A(λv) = λ(av) (3.1) for lle v, w i definitionsmængden D(A) H 1 og lle sklrer λ. Ækvivlent hermed er, t A bevrer linerkombintioner, dvs. for v 1,..., v n i D(A) og sklrer λ 1,..., λ n gælder A(λ 1 v 1 + + λ n v n ) = λ 1 Av 1 + + λ n Av n, (3.2) jvf. Opgve 3.1. Vi hr her brugt betegnelsen Ax i stedet for A(x), som det er sædvne for opertorer. Når vi hr indført en særlig betegnelse for definitionsmængden D(A), også kldet domænet for A, skyldes det, t en række f de opertorer, der er f størst relevns for fysik, ikke kn defineres på hele Hilbert rummet H 1, men kun på et pssende stort underrum D(A). Med stort mener vi her mere præcist, t D(A) = {0}, (3.3) ltså t der ikke er ndre vektorer end nulvektoren, der står vinkelret på lle vektorer i D(A). Ld os se på nogle centrle eksempler. Eksempel 3.1. ) Differentition. Det er velkendt, t differentition er en lineær opertion, dvs. (f + g) = f + g og (λf) = λf, hvor f og g er differentible funktioner på et intervl [, b]. Derfor er fbildningen d dx : f f en lineær opertor fr L 2 ([, b]) til L 2 ([, b]), som dog ikke er defineret på hele L 2 ([, b]). Vlget f definitionsmængde er lngt fr entydigt. Et muligt vlg, og måske det umiddelbrt mest nærliggende, er underrummet C 1 ([, b]) bestående f de kontinuert differentible funktioner. En nden mulighed er underrummet bestående f stykkevis gltte funktioner. Men der findes ndre og, viser det sig, mere relevnte domæner. 30
Til illustrtion ser vi på tilfældet [, b] = [ π, π], hvor vi hr ortonormlbsen (1.26), hvis n te vektor er funktionen e n (x) = 1 2π e inx, n Z. (3.4) Disse funktioner er vilkårligt ofte differentible, og e n(x) = in 2π e inx = ine n (x). (3.5) For en (endelig) linerkombintion λ m e m + + λ n e n f vektorerne fr ortonormlbsen hr vi d dx (λ me m + + λ n e n ) = imλ m e m + + inλ n e n. (3.6) Hermed er d defineret på spn{e dx n n Z}. D enhver funktion f i L 2 ([ π, π]) hr en ortonormludvikling f = λ n e n, hvor λ n = e n, f, er det nturligt t spørge, om (3.6) kn udvides n Z til også t gælde for uendelige linerkombintioner, dvs. for ortonormludviklinger, således t d defineres ved dx ( ) d λ n e n = inλ n e n. (3.7) dx n Z n Z For t denne definition skl give mening kræves, t højresiden f (3.7) er konvergent i L 2 ([ π, π]), og ifølge Lemm 2.3 er dette tilfældet netop, hvis n λ n 2 <. n Z Men dette er ikke sndt for lle funktioner i L 2 ([ π, π]). Tg f.eks. funktionen f givet ved f = 1 n e n, hvor rækken er konvergent, d højresiden f (3.7) lig med rækken n Z\{0} n Z\{0} 1 n 2 n Z\{0} <. For denne funktion bliver i e n, som er divergent, d 1 n Z\{0} er divergent. Vi slutter derfor, t vi ikke ved (3.7) kn udvide opertoren d dx til hele L 2 ([ π, π]), men kun til domænet ( ) { d D = λ n e n } n λ n 2 < (3.8) dx n Z n Z 31
ved formlen (3.7). Dette er, som det ses, det mksimle underrum, hvorpå d kn defineres ved (3.7), og det kn vises, t det indeholder lle kontinuert dx differentible funktioner f, for hvilke f(π) = f( π), jvf. Opgve 3.2. På den nden side indeholder D( d ) ikke hele dx C1 ([ π, π]), d lle funktioner f i D( d ) ses t opfylde f( π) = f(π), mens der nturligvis findes funktioner i dx C 1 ([ π, π]), som ikke opfylder denne rndbetingelse. Det viser sig, t fysiske problemstillinger tit foreskriver det relevnte domæne for en lineær opertor i form f rndbetingelser kombineret med krv om t opertoren skl være selvdjungeret, et centrlt begreb vi skl definere i næste fsnit. I nærværende eksempel kunne vi således hve lgt ud med t betrgte opertoren i d på underrummet f lle dx C1 -funktioner f på [ π, π], for hvilke f(π) = f( π). Der findes d en entydig selvdjungeret udvidelse f denne til et større domæne, nemlig D( d ) givet ved (3.8). Uden rndbetingelse findes der ikke nogen selvdjungeret udvidelse. Noget tilsvrende gør sig dx gældende for mere generelle differentilopertorer, der indføres i d) nedenfor, og diskuteres yderligere i Eksempel 3.5 d-e) og i Eksemplerne 3.17-18. b) Digonliserbre opertorer. Det foregående eksempel er et speciltilfælde f følgende mere generelle sitution. Antg, t H er et Hilbert rum, og t (e 1, e 2,... ) er en ortonormlbsis for H. Ld endvidere ( 1, 2,... ) være en følge f sklrer. Vi kn d definere en lineær opertora ved fstsættelsen og dermed ifølge (3.2) A e n = n e n, n N, (3.9) A(λ 1 e 1 + + λ n e n ) = λ 1 1 e 1 + + λ n n e n. (3.10) Herved er A defineret på spn{e 1, e 2,... }. Vi kn endd udvide definitionen til domænet D(A) = {v H n e n, v 2 < } (3.11) ved t udvide (3.10) til ( ) Av = A e n, v e n = n e n, v e n, (3.12) idet den sidste række i (3.12) er konvergent netop når v D(A). Det er ikke svært t indse, t D(A) er et underrum f H, som opfylder (3.3), jvf. Opgve 3.3. Det er værd t bemærke, t hvis ( 1, 2,... ) er en begrænset tlfølge, dvs. hvis der findes et C 0 så n C for lle n = 1, 2, 3,..., 32
d er Av C v (3.13) for lle v H (jvf. Opgve 3.3). Speciels er d D(A) = H, således t A i dette tilfælde er defineret på hele H. Bemærk også, t hvis n = 1 for lle n, d er A lig med identitetsopertoren I H på H, idet (3.12) giver Av = e n, v e n = v = I H v for lle v H. Opertorer f formen (3.12) kldes digonliserbre (se også Definition 3.12). Nærmere begrundelse for denne betegnelse gives i Afsnit 3.3. c) Multipliktionsopertorer på l 2 (N). Hvis vi i det foregående eksempel benytter H = l 2 (N) med den nturlige ortonormlbsis (ε 1, ε 2,... ) ntger (3.12) formen A(x 1, x 2,... ) = ( 1 x 1, 2 x 2,... ) (3.14) (overvej dette!) og domænet D(A) bliver { D(A) = (x 1, x 2,... ) } n x n 2 <. (3.15) Vi klder i dette tilfælde A for multipliktionsopertoren svrende til følgen ( 1, 2,... ) og betegner den med M (1, 2,... ). d) Multipliktionsopertorer på L 2 (I). Ld f være en (f.eks. kontinuert) funktion på intervllet I. Multipliktionsopertoren M f på L 2 (I) hørende til funktionen f er d givet ved M f g = f g, (3.16) hvor vi må sikre os, t højresiden tilhører L 2 (I), dvs. domænet for M f er D(M f ) = {g L 2 (I) f(x)g(x) 2 dx < }. (3.17) Igen bemærkes det (jvf. Opgve 3.4), t D(M f ) er et underrum f L 2 (I), og t hvis f er begrænset, dvs. hvis der findes C 0 så f(x) C for lle x I, I d er M f g C g, (3.18) 33
for lle g L 2 (I). Specielt er d D(M f ) = L 2 (I). I tilfældet I = R og f(x) = x, kldes M f = M x for stedopertoren for en kvntemeknisk prtikel i det endimensionle rum R, idet middelværdien f dens stedkoordint x i tilstnden ψ er givet ved ψ, M x ψ = x ψ(x) 2 dx. e) Differentilopertorer. Ved smmensætning f differentition og multipliktionsopertorer på L 2 ([, b]) fås mere generelle såkldte differentilopertorer. Vi nøjes på dette sted med t nævne nden ordens opertoren B = r(x) d2 dx 2 + s(x) d dx + t(x), hvor r, s, t er kontinuerte funktioner på [, b]. Denne opertor fbilder ltså en to gnge kontinuert differentibel funktion f i funktionen Bf = rf + sf + tf. Vi er llerede stødt på opertorer f denne slgs, f.eks. i forbindelse med Sturm-Liouville teorien i Afsnit 4.7 i AEM, og vender tilbge hertil i Eksempel 3.5 e) og Eksempel 3.17 nedenfor. f) Integrlopertorer. Modstykket til en differentilopertor er en integrlopertor. En sådn er givet ved en såkldt integrlkerne k(x, y), som er en kontinuert funktion f to vrible x, y [, b]. Den tilsvrende integrlopertor K på L 2 ([, b]) er d defineret ved (Kf)(x) = I k(x, y)f(y)dy. (3.19) Den er defineret på hele L 2 ([, b]), idet vi kn indse t højresiden tilhører L 2 ([, b]) for lle f L 2 ([, b]) på følgende vis. For fstholdt x [, b] kn højresiden f (3.19) opfttes som det indre produkt f funktionerne y k(x, y) og f. Cuchy-Schwrz giver derfor som også kn skrives k(x, y)f(y)dy 2 (Kf)(x) 2 k(x, y) 2 dy k(x, y) 2 dy f 2. 34 f(y) 2 dy,
Integreres m.h.t. x fås herf d dobbeltintegrlet Kf 2 k(x, y) 2 dydx f 2 <, (3.20) k(x, y) 2 dydx (3.21) er endeligt (og lig med volumenet under grfen for k(x, y) 2 ), d k er kontinuert på kvdrtet [, b] [, b]. Dette viser, t Kf L 2 ([, b]) for f L 2 ([, b]), og ltså t K er defineret på hele L 2 ([, b]). Ovenstående kn åbenbrt udvides til et vilkårligt (begrænset eller ubegrænset) intervl I, hvis blot k(x, y) 2 dydx <. I I Et konkret eksempel på en integrlopertor så vi i forbindelse med vrmeledningsligningen for en uendelig lng stng, jvf. Afsnit 11.6 i AEM. Vi fndt der, t løsningen u(x, t) til vrmeledningsligningen er givet ved u(x, t) = 1 4πt e (x y)2 4t f(y)dy for t > 0, hvor f ngiver begyndelsestemperturfordelingen. Dvs. vi hr, t u(x, t) = (K t f)(x), hvor K t er integrlopertoren på L 2 (R), hvis kerne er lig med vrmekernen k t (x, y) = 1 4πt e (x y)2 4t. t Begrænsede opertorer. I (3.20) ovenfor fndt vi for integrlopertoren K, Kf C f, f L 2 ([, b]), hvor konstnten C vr givet ved kvdrtroden f integrlet (3.21). Tilsvrende uligheder fndt vi i (3.13) og (3.18) for multipliktionsopertorer svrende til begrænsede tlfølger eller funktioner. Opertorer, der tilfredsstiller uligheder f denne slgs kldes begrænsede opertorer. 35
Definition 3.2. En lineær opertor A fr et Hilbert rum H 1 til et ndet H 2 er begrænset, hvis dens domæne er hele H 1, og der findes en konstnt C 0, så Av C v for lle v H 1. (3.22) Den mindste konstnt C, der opfylder (3.22) kldes normen f A og betegnes A. (Vi hr her benyttet smme betegnelse for normerne på H 1 og H 2.) At A er begrænset er p.gr.. lineriteten ækvivlent med t A er kontinuert, dvs. t der gælder A( lim n v n ) = lim n Av n (3.23) for enhver konvergent følge (v 1, v 2,... ) i H 1. Antg nemlig, t v n v for n, og t (3.22) gælder (hvor vi kn ntge C > 0). For givet ε > 0 findes d N N, således t v n v < ε for n > N, og derfor C Av n Av = A(v n v) C v n v C ε C = ε for n > N. Dette viser, t Av n Av for n, ltså t (3.23) holder. Det omvendte, ltså t (3.23) medfører (3.22), bedes du om t eftervise i Opgve 3.6. Generelt er begrænsede lineære opertorer lettere t rbejde med end ubegrænsede opertorer (dvs. opertorer, der ikke opfylder krvet i Definition 3.2). Mnge f de opertorer, der hr interesse i fysik eller i ndre smmenhænge er d også begrænsede. En vigtig undtgelse herfr er imidlertid differentilopertorerne. F.eks. hr vi med betegnelser som i Eksempel 3.1 ) ovenfor, t d dx e n = ine n = n e n for lle n N, hvilket klrt viser, t opertoren d ikke opfylder (3.22) for dx nogen konstnt C (og i øvrigt heller ikke er defineret på hele L 2 ([, b])). I mnge tilfælde hr, som vi også skl se, en differentilopertor en invers fbildning, som er en begrænset opertor, f.eks. en integrlopertor som vi skl se i Eksempel 3.19 nedenfor, se også Opgve 3.7. Mn kn derfor tit nvende resultter vedrørende begrænsede opertorer til t nlysere eksempelvis differentilopertorer. Vi vil derfor i det følgende ofte begrænse os til t formulere generelle resultter for begrænsede opertorer lene. Endelig bemærkes, t lineære opertorer defineret på endeligdimensionle Hilbert rum utomtisk er begrænsede, jvf. Opgve 3.8. Som følge herf forekommer f. eks. problemstillinger vedrørende kontinuitet og domæner for opertorer kun i det uendeligdimensionle tilfælde. 36
3.2 Selvdjungerede og unitære opertorer De vigtigste klsser f lineære opertorer, der er brug for i de fysiske fg, er de selvdjungerede, også kldt Hermiteske, opertorer og de unitære opertorer. For t kunne definere disse er det nødvendigt først t indføre begrebet djungeret opertor. Adjungeret opertor. Ld først A : H 1 H 2 være en lineær opertor mellem endeligdimensionle Hilbert rum og ld (e 1,..., e n ) og (f 1,..., f m ) være ortonormlbser for henholdsvis H 1 og H 2. Med hensyn til disse repræsenteres A f en m n-mtrix A, hvis mtrixelementer ij er givet ved (se Afsnit 6.3 i LA) ij = f i, Ae j (3.24) for i = 1,..., m, j = 1,..., n. Den djungerede opertor til A kn d defineres som opertoren A : H 2 H 1, som m.h.t. bserne (f 1,..., f m ) og (e 1,..., e n ) repræsenteres f den trnsponerede og kompleks konjungerede mtrix A, også kldet den Hermitesk konjungerede mtrix til A. A er ltså en n m-mtrix, hvis mtrixelementer ji er givet ved ji = ij (3.25) for i = 1,..., m, j = 1,..., n. D ji = e j, A f i, er (3.24) ensbetydende med f i, Ae j = e j, A f i = A f i, e j. For to vektorer v = λ 1 e 1 + + λ n e n H 1 og w = µ 1 f 1 + + µ m f m H 2 giver dette ved direkte udregning (jvf. Opgve 3.11), t w, Av = A w, v. (3.26) (Bemærk, t det indre produkt på venstresiden refererer til H 2, mens det på højresiden henviser til H 1, men vi bruger som sædvnlig smme betegnelse for de to indre produkter.) Det følger f (3.26), t opertoren A er ufhængig f vlget f de to ortonormlbser (Overvej dette!). I det generelle tilfælde, hvor H 1 og/eller H 2 er uendeligdimensionlt, er det mest bekvemt t tge ligningen (3.26) som udgngspunkt for definitionen f A. Dette gøres i følgende sætning. Sætning 3.3. For enhver begrænset lineær opertor A : H 1 H 2 findes en entydig opertor A, som opfylder (3.26) for lle v H 1, og w H 2. A kldes den djungerede opertor til A. Den er begrænset og A = A. 37
At A er entydig følger let: Hvis nemlig A og A begge opfylder (3.26) må der gælde, t (A A )w, v = 0 for lle v H 1 og w H 2. Altså må (A A )w H 1 = {0} og dermed A w = A w, for lle w H 2. Dette betyder jo t A = A. At A overhovedet findes skyldes et fktum, som bruges overlt i kvntemeknik, og som kn forklres som følger. For en given vektor u H 1, er fbildningen l u : v u, v som bekendt lineær fr H 1 til C og desuden begrænset som følge f Cuchy-Schwrz l n (v) u v. Begrænsede lineære fbildninger fr H 1 til C kldes linerformer på H 1 og mængden f disse kldes det dule rum til H 1. Ovennævnte fktum går så ud på, t enhver linerform på H 1 er f formen l u for en entydig vektor u H 1. Dette resultt er ikke overmåde svært t vise, men vi springer rgumentet over her. Hr mn først dette resultt, følger eksistensen f A w ved t bemærke, t venstresiden f (3.26) for fstholdt w H 2 er, som funktion f v, en begrænset linerform på H 1, nemlig lig med smmensætningen l w A, som er lineær og begrænset i følge Opgve 3.6. Derfor findes en entydig vektor i H 1, som vi klder A w, så (3.26) er opfyldt. Hermed er A defineret på H 2. I Opgve 3.12 skl det vises, t A er lineær og begrænset og t A = A. For to begrænsede lineære opertorer A og B fr H 1 til H 2 og λ C gælder, t (λa) = λa og (A + B) = A + B. Hvis endvidere C er en begrænset lineær opertor fr H 2 til H 3, er (CA) = A C, hvor vi, som det er sædvne for lineære opertorer, benytter betegnelsen CA i stedet for C A. De to første reltioner overldes til læseren t verificere. Den sidste ses f t v, CAw = C v, Aw = A C v, w for lle v H 3 og lle w H 1. Mn kn også definere djungerede til ubegrænsede lineære opertorer, men vi undlder t behndle det generelle tilfælde her og nøjes i stedet med specielle tilfælde, når vi får brug for det. Lidt om Dirc nottion. P.A.M. Dirc indførte i sin klssiker The Principles of Quntum Mechnics en særlig nottion for linerformen l v, nemlig v, 38
og kldte linerformer for br-vektorer. Tilsvrende betegnede hn vektorer med v i stedet for bre v og kldte vektorerne for ket-vektorer. Her henviser br, hhv. ket, til de første tre, hhv. sidste tre, bogstver i ordet brcket, som bruges for det indre produkt, der betegnes i stedet for,. I denne nottion betegner u v derfor både det indre produkt f u og v og værdien f linerformen u i v, ltså u ( v ). Tilsvrende skrives u A v i stedet for u, Av (eller A u, v ). I den kvntemekniske formlisme er fysisk målbre størrelser repræsenteret ved selvdjungerede opertorer, (jvf. f.eks. stedopertoren indført i Eksempel 3.1 c), og tllet v A v ngiver middelværdien (eller forventningsværdien) f den fysiske størrelse svrende til A i tilstnden v. Dette uddybes yderligere sidst i dette fsnit. Selvdjungerede opertorer. Vi er nu rede til t indføre de omtlte selvdjungerede opertorer. Definition 3.4. En begrænset lineær opertor A : H H på et Hilbert rum H siges t være selvdjungeret, hvis A = A. For t frembringe nogle eksempler på selvdjungerede opertorer ser vi først på, hvordn den djungerede kn bestemmes i nogle konkrete tilfælde. defi- Eksempel 3.5. ) Den djungerede til multipliktionsopertoren M f neret i (3.16) kn flæses f følgende regning, hvor g, h L 2 (I): g, M f h = g, f h = g(x)f(x)h(x)dx I = f(x) g(x)h(x)dx I = M f g, h, hvor f er den kompleks konjungerede funktion. Herf ses, t M f = M f. (3.27) Specielt er M f selvdjungeret, netop hvis f er en reel funktion. Det bemærkes, t hvis f også er en ubegrænset funktion (dvs, ntger vilkårlig store positive eller negtive værdier), d er M f en ubegrænset selvdjungeret opertor. 39
b) Tilsvrende fås for multipliktionsopertoren M (1, 2,... ) defineret ved (3.14) på l 2 (N), t M ( 1, 2,... ) = M (1, 2,... ) (jvf. Opgve 3.15). Specielt er M (1, 2,... ) selvdjungeret, netop hvis tlfølgen ( 1, 2,... ) er reel. c) For integrlopertoren K defineret ved (3.19) gælder f, Kg = = = = = f(x)(kg)(x)dx ( f(x) k(x, y)g(y)dy ( f(x)k(x, y)g(y)dydx k(x, y)f(x)g(y)dydx ) dx ) k(x, y)f(x)dx g(y)dy, hvor vi i sidste skridt hr benyttet, t ombytning f rækkefølgen f integrtionerne er tilldt. Herf kn vi nu flæse, t K er givet ved (K f)(y) = dvs. K er integrlopertoren med kerne k(x, y)f(x)dx, k (x, y) = k(y, x). Specielt er K selvdjungeret, netop hvis kernen k opfylder k(x, y) = k(y, x) for x, y [, b]. d) For differentilopertoren d i Eksempel 3.1 ) får vi, når f og g er dx kontinuert differentible funktioner på [ π, π], d π f, dx g = f(x)g (x)dx π = f(π)g(π) f( π)g( π) π π f (x)g(x)dx, 40
hvor vi i sidste skridt hr brugt prtiel integrtion. Antges t f(π) = f( π) og g(π) = g( π) udgår de første to led og vi får d d f, dx g = dx f, g. Gnges med i på begge sider fås f, i d dx g = i d dx f, g. (3.28) D bsisfunktionerne e n, der indgår i (3.7) hr smme værdi i π og π gælder (3.28) fktisk for lle f og g tilhørende domænet D ( d dx) givet ved (3.8), og kn også verificeres direkte ved brug f (3.7), jvf. Opgve 3.16. I denne forstnd er opertoren i d et eksempel på en ubegrænset selvdjungeret opertor som llered nævnt i Eksempel 3.1 ). Vi understreger igen vigtigheden dx f rndbetingelsen, for t opertoren er selvdjungeret, et fænomen som gentger sig i det følgende eksempel. Som nævnt er disse rndbetingelser ofte dikteret f den fysiske problemstilling. e) I Sturm-Liouville teorien diskuterede vi differentilligninger f formen (rf ) + q f = λp f, (3.29) hvor r er en differentibel funktion og q og p kontinuerte funktioner på intervllet [, b]. Ydermere krævedes rndbetingelser f formen } k 1 f() + k 2 f () = 0 l 1 f(b) + l 2 f (3.30) (b) = 0 opfyldt. Vi ser på den tilhørende Sturm-Liouville opertor L givet ved Lf = 1 p [(rf ) + q f] (3.31) for funktioner f i Hilbert rummet L 2 ([, b], p), som er to gnge kontinuert differentible, og hvor vi ntger, t p > 0 på [, b]. Bemærk, t L er defineret, således t (3.29) kn skrives på formen Lf = λf. (3.32) Det er klrt, t der er tle om en nden ordens differentilopertor. Ved prtiel integrtion finder vi f, Lg p = f(x) [ (r(x)g (x)) + q(x)g(x)] dx = r()f()g () r(b)f(b)g (b) + [ r(x)f (x)g (x) + q(x)f(x)g(x) ] dx. 41
Tilsvrende finder mn Lf, g p = r()f ()g() r(b)f (b)g(b) + [ r(x)f (x)g(x) + q(x)f(x)g(x) ] dx. Antges yderligere, t f og g opfylder rndbetingelserne (3.30) ses, jvf. Opgve 3.17, t rndleddene på højresiderne f disse ligninger stemmer overens, således t f, Lg p = Lf, g p for funktioner f, g, der opfylder rndbetingelserne. I denne forstnd er L en selvdjungeret (ubegrænset) opertor på L 2 ([, b], p). Vi vender tilbge til Sturm-Liouville problemet i Eksempel 3.17. Unitære opertorer. Disse er generelt f en helt nden krkter end de selvdjungerede og defineres som følger. Definition 3.6. En lineær opertor U : H 1 H 2 mellem Hilbert rum er unitær, hvis den er begrænset og dens inverse eksisterer og er lig med U, dvs. hvis U U = I H1 og UU = I H2. (3.33) Eksempel 3.7. ) Ld os fgøre, for hvilke kontinuerte funktioner f på intervllet I multipliktionsopertoren M f defineret ved (3.16) er unitær. Hertil bemærkes først, t M f M f = M fm f = M f 2, hvor vi hr benyttet t M f = M f og t M f M g = M f g, jvf. Opgve 3.18, for vilkårlige kontinuerte funktioner f og g på I. Tilsvrende er M f M f = M f 2. Altså er M f unitær netop hvis M f 2 er lig med identitetsopertoren på L 2 (I), hvilket er tilfældet hvis og kun hvis f 2 = 1, dvs. f(x) = 1 for lle x I, jvf. Opgve 3.18. 2) Tilsvrende finder mn, t multipliktionsopertoren M (1, 2,... ) defineret ved (3.14) er unitær netop hvis n = 1 for lle n N. 42
Flere eksempler på unitære opertorer følger nedenfor, men det er nyttigt først t se på nogle f deres generelle egenskber. Den måske vigtigste f disse er, t en unitær opertor U : H 1 H 2 bevrer det indre produkt i den forstnd, t Uv, Uw = v, w (3.34) for lle v, w H 1. Dette følger f (3.33), idet Uv, Uw = U Uv, w = I H1 v, w = v, w. Sættes v = w i (3.34) fås specielt Uv = v, v H, (3.35) dvs. U er normbevrende og dermed også fstndsbevrende, hvilket mn også udtrykker ved t sige, t U er isometrisk. Af (3.32-33) følger klrt, t hvis (e 1, e 2,... ) er et ortonormlsæt i H 1, d er (Ue 1, Ue 2,... ) et ortonormlsæt i H 2. Der gælder endd, t hvis (e 1, e 2,... ) er en ortonormlbsis for H 1, d er (Ue 1, Ue 2,... ) en ortonormlbsis for H 2. Antg nemlig, t y {Ue 1, Ue 2,... }, dvs. t y, Ue n = 0 for lle n N. Vi skl så indse t y = 0. Sættes x = U y, er Ux = UU y = I H2 y = y i følge (3.33). Altså er Ux, Ue n = y, Ue n = 0 for lle n N. Men d Ux, Ue n = x, e n, følger herf t x {e 1, e 2,... }, og derfor t x = 0 ifølge Definition 2.5 f ortonormlbsis. Men så er y = Ux = U0 = 0, som vi skulle vise. Vi hr ltså, t unitære opertorer fbilder ortonormlbser i ortonormlbser. Det foregående kn smmenfttes mere præcist som følger: Sætning 3.8. For en begrænset opertor U : H 1 H 2 er følgende fire betingelser ækvivlente: i) U er unitær. ii) U er bijektiv og bevrer det indre produkt. iii) U er bijektiv og isometrisk. iv) U fbilder ortonormlbser i ortonormlbser. 43
Vi hr ovenfor indset i) ii) iii) og i) iv), eftersom krvet om bijektivitet netop sikrer t U 1 : H 2 H 1 eksisterer. At eftervise de omvendte impliktioner er overldt til Opgve 3.19. Eksempel 3.9. Ld (e 1, e 2,... ) være en ortonormlbsis for et Hilbert rum H. D er (e 2, e 1, e 4, e 3,... ) oplgt også en ortonormlbsis for H. Der defineres d en unitær opertor U på H ved fstsættelsen Ue 1 = e 2, Ue 2 = e 1, Ue 3 = e 4, Ue 4 = e 3,... Dens virkning på en vilkårlig vektor v = e n, v e n i H er givet ved Uv = e n, v Ue n = e 1, v e 2 + e 2, v e 1 + e 3, v e 4 + e 4, v e 3 +..., hvor det ses, t højresiden er konvergent ifølge Lemm 2.3 med normkvdrt Uv 2 = e n, v 2 = v 2. Eksempel 3.10. For en given ortonormlbsis (e 1, e 2,... ) for et Hilbert rum H hves som bekendt ifølge (2.10-11) og v = e n, v e n, e n, v 2 = v 2. Følgen ( e 1, v, e 2, v,... ) i l 2 (N) kldes pssende for koordintfølgen for v m.h.t. ortonormlbsen (e 1, e 2,... ). Afbildningen U : H l 2 (N), der fbilder en vektor v i dens koordintfølge, ltså Uv = ( e 1, v, e 2, v,... ) er unitær, fordi den fbilder ortonormlbsen (e 1, e 2,... ) for H i den nturlige ortonormlbsis (ε 1, ε 2,... ) for l 2 (N) (overvej dette!). 44
Eksempel 3.11. Fouriertrnsformtionen F på R defineredes i Afsnit 10.10 i AEM ved formlen (Ff)(w) = 1 2π f(x)e iwx dx (3.36) for integrble funktioner f. Det er klrt t Ff er lineær i f, se AEM p. 572 Theorem 1. Der gælder, hvis f også er kvdrtisk integrbel, t ltså t Ff(w) 2 dw = f(x) 2 dx, (3.37) Ff = f, (3.38) hvor betegner normen på L 2 (R). (Desværre står (3.37) ikke eksplicit i AEM, men vi begrundede den ved brug f Prsevls ligning for Fourier rækker (2.15)). Af (3.38) fremgår, t F er en isometri på mængden f funktioner på R, der både er integrble (for t (3.36) er veldefineret) og kvdrtisk integrble (for t integrlerne i (3.37) er endelige). Der er en stndrd måde, som vi ikke skl redegøre for her, t udvide F til hele L 2 (R), hvorved F bliver en unitær opertor på L 2 (R). Vi bemærker, t hvis ψ er bølgefunktionen for en kvntemeknisk prtikel i det endimensionle rum R, d er F ψ(w) bølgefunktionen i impulsvriblen w, således t Fψ(w) 2 er sndsynlighedstætheden for impulsen w. Eksempel 3.12. Vi skl nu se et eksempel på en opertor, der er isometrisk uden t være unitær, idet den ikke opfylder bijektivitetskrvet i Sætning 3.8 iii). Ld (e 1, e 2,... ) være en ortonormlbsis for Hilbert rummet H og definer opertoren S : H H, kldet skiftopertoren, ved Dette betyder for en vektor v H, t S e n = e n+1 for n N. Sv = e n, v e n+1. Her er rækken på højresiden konvergent ifølge Lemm 2.3 og Sv 2 = e n, v 2 = v 2. 45
Altså er S en isometri, men er ikke bijektiv, idet f.eks. vektoren e 1 ikke er billede f nogen vektor i H. Dette fænomen kn ikke forekomme i det endeligdimensionle tilfælde, jvf. Opgve 3.20. Lineære opertorer i kvntemeknik. Relevnsen f selvdjungerede opertorer i kvntemeknik skyldes, t de repræsenterer fysisk målbre størrelser, idet ψ, Aψ er lig med middelværdien f den fysiske størrelse svrende til opertoren A, når prtiklen befinder sig i tilstnden ψ. Dette er endnu et f kvntemeknikkens postulter. Et eksempel er stedopertoren M x nævnt i Eksempel 3.1 d). Et ndet vigtigt eksempel er impulsopertoren i d, defineret på domænet bestående dx f funktioner i L 2 (R), hvis fledede er kvdrtisk integrbel. I tilstnden ψ er dens middelværdi givet ved ψ, i d dx ψ = Fψ, ifψ = Fψ, wfψ = w Fψ(w) 2 dw, hvor vi i første lighedstegn hr benyttet, t F bevrer det indre produkt, og ndet lighedshedstegn følger f (Fψ )(w) = iw(fψ)(w), jvf. AEM p.573. Altså er middelværdien f impulsen i tilstnden ψ lig med middelværdien f w i tilstnden F ψ i overensstemmelse med bemærkningerne sidst i Eksempel 3.11 Både sted- og impulsopertoren er eksempler på ubegrænsede, selvdjungerede opertorer. Generelt medfører A = A, t ψ, Aψ = Aψ, ψ = ψ, Aψ, dvs. t middelværdien ψ, Aψ er reel, som den skl være for enhver fysisk størrelse. Unitære opertorer er derimod tit relterede til symmetriopertioner, såsom rottioner eller trnsltioner, f det kvntemekniske system. Dette skyldes især isometriegenskben i Sætning 3.8 iii). Hvis således et kvntemeknisk system eksempelvis roteres eller trnslteres, vil dets oprindelige tilstnd ψ ændres til en ny tilstnd Uψ. Men som følge f sndsynlighedsfortolkningen f bølgefunktionens numeriske kvdrt er normen f enhver fysisk reliserbr tilstnd lig med 1 (= den totle sndsynlighed). Derfor må Uψ = ψ = 1. 46
Mn kn rgumentere for, t fbildningen U må være lineær på Hilbert rummet f (ikke nødvendigvis normerede) tilstnde (dette gjorde E.P. Wigner i 1939). Det følger d, t Uψ = ψ gælder for lle tilstnde ψ. U må også være bijektiv, fordi den inverse fbildning U 1 svrer til den inverse opertion (rottion eller trnsltion) på systemet. Dermed er U unitær ifølge Sætning 3.8. 3.3 Egenværdier, egenvektorer og digonlisering For lineære fbildninger på endeligdimensionle vektorrum er begreberne egenværdi og egenvektor velkendte fr Mtemtik 1 og overføres uændret til det uendeligdimensionle tilfælde. Således siges en sklr t være egenværdi for en opertor A på Hilbert rummet H, hvis der findes en vektor v 0 i domænet for A, således t Av = v, (3.39) og vektorer v 0, der opfylder (3.39), kldes egenvektorer for A hørende til egenværdien. Smmen med nulvektoren udgør disse egenrummet hørende til. Egenværdier og egentilstnde i kvntemeknik. Ovenfor nævnte vi, t der i den kvntemekniske formlisme svrer en selvdjungeret opertor A på Hilbert rummet f tilstnde til hver fysisk målelig størrelse. Vi kn nu præcisere dette yderligere, idet de mulige udfld f en måling f størrelsen svrende til A netop er A s egenværdier. Ydermere gælder, t hvis resulttet f en måling er egenværdien, d befinder systemet sig efter målingen i en egentilstnd, dvs. tilstnden er en egenvektor, hørende til, og når systemet befinder sig i denne egentilstnd vil en måling f størrelsen med sndsynlighed 1 give resulttet. Ifølge bemærkningerne om måleprocessen og det indre produkt i Afsnit 2.2 skulle dette betyde, t egenvektorer hørende til egenværdier forskellige fr må være vinkelrette på egenvektorer hørende til. Desuden skulle egenværdierne for A gerne være reelle, d fysisk målbre størrelser (f.eks. stedkoordinter og impuls) er reelle. Begge disse egenskber sikres f, t A er selvdjungeret, som følgende sætning viser. Sætning 3.13. Hvis A er en selvdjungeret opertor på et Hilbert rum H, d er lle dens egenværdier reelle og egenvektorer hørende til forskellige egenværdier er ortogonle. Antg nemlig t Av = v, hvor v 0. D er v, v = v, v = v, Av = Av, v = v, v = v, v, 47
hvor vi i tredie lighedstegn hr brugt t A = A. D v, v = v 2 0 følger herf t =, ltså t er et reelt tl. Antg dernæst, t Av 1 = 1 v 1 og Av 2 = 2 v 2, hvor nu 1 og 2 er reelle. D er 2 v 1, v 2 = v 1, 2 v 2 = v 1, Av 2 = Av 1, v 2 = 1 v 1, v 2 = 1 v 1, v 2, hvorf følger t ( 1 2 ) v 1, v 2 = 0. Hvis 1 2, må derfor v 1, v 2 = 0, som påstået. Digonliserbre opertorer. De foregående bemærkninger viser den fgørende rolle, som egenværdier og egenvektorer spiller i kvntemeknik. Ufhængig herf er det p.gr.. en opertors simple virkning på sine egenvektorer generelt f stor nytte med henblik på t gennemskue opertorens egenskber t kende dens egenvektorer og egenværdier, og jo flere des bedre. Det mest gunstige tilfælde i så henseende er, hvis opertoren er digonliserbr i følgende forstnd. Definition 3.14. En lineær opertor A på et Hilbert rum H er digonliserbr, hvis der findes en ortonormlbsis for H bestående f egenvektorer for A. Den omtlte ortonormlbsis siges d t digonlisere A. Ld os for t se, hvd denne definition indebærer, ntge, t A er en digonliserbr opertor på H, og t (e 1, e 2,... ) er en ortonormlbsis, der digonliserer A. Betegnes de tilsvrende egenværdier med 1, 2,..., er ltså Ae n = n e n for n N. Vi ser, t dette netop er det i Eksempel 3.1 b) beskrevne tilfælde. Hvis A er en begrænset opertor, er følgen f egenværdier 1, 2,... også begrænset, og der gælder for v H, t ( ) Av = A e n, v e n = e n, v Ae n = n e n, v e n, jvf. Opgve 3.21, ltså t A er givet ved formlen (3.12). Dette viser, t A kn udtrykkes lene ved sine egenvektorer og egenværdier. Også for de ubegrænsede digonliserbre opertorer A f fysisk relevns i det følgende gælder, t de er givne ved (3.12) på domænet D(A) defineret i (3.11). Specielt følger f Eksempel 3.1 ), t opertoren d på D ( d dx dx) givet ved (3.8), er digonliserbr med egenværdier in, n Z. Hvis specielt H er endeligdimensionlt, og A : H H er digonliserbr, d gælder, t mtricen A, der repræsenterer A m.h.t. en digonliserende ortonormlbsis (e 1,..., e n ) ifølge (3.24) hr mtrixelementer ij givet ved { j hvis i = j ij = e i, Ae j = e i, j e j = j e i, e j = 0 hvis i j, 48
hvor 1,..., n betegner egenværdierne. Altså er A en digonlmtrix med egenværdierne stående i digonlen. Dette er nturligvis årsgen til betegnelsen digonliserbr. Eksempel 3.15. Ortogonl projektion. Ld os se på et ortonormlsæt (e 1, e 2,... ) i et Hilbert rum H og ld U = spn{e 1, e 2,... } være det fsluttede underrum udspændt f sættets vektorer. Ved den ortogonle projektion, eller blot projektionen, på U forstås fbildningen P, der fbilder en vektor v H i dens projektion på U. Dvs. ifølge (2.7) P v = e n, v e n. (3.40) Det er oplgt, t P er lineær, og ifølge Bessels ulighed (2.9) er P v v, så P er begrænset med norm 1. Fktisk er P = 1, d jo Desuden er P v = v for lle v U. P v = 0 for lle v U ifølge (3.40), d e n, v = 0 for lle n N i dette tilfælde. Af de to sidste ligninger følger, t lle vektorer i U \ {0} er egenvektorer for P med egenværdi 1, mens vektorerne i U \ {0} er egenvektorer med egenværdi 0. At der ikke findes ndre egenvektorer skl du vise i Opgve 3.26. Vi kn ltid supplere (e 1, e 2,... ) med et ortonormlsæt i U, så de tilsmmen udgør en ortonormlbsis for H. I konkrete tilfælde er det som regel klrt, hvordn dette skl gøres, så vi undlder t give et generelt bevis for denne påstnd. Dette viser, t P er digonliserbr, og (3.40) er i dette tilfælde identisk med (3.12), idet bidrgene svrende til egenværdien 0 i (3.12) udgår. Digonliserbrhed f selvdjungerede opertorer. Ld nu A være en selvdjungeret opertor svrende til en fysisk målbr størrelse, eksempelvis energien f et kvntemeknisk system, og ld os ntge, t de mulige udfld f en måling f energien, dvs. A s egenværdier, er λ 1, λ 2,..., smt, for simpelheds skyld, t lle tilhørende egenrum er endimensionle. Lder vi e n være en normeret egentilstnd svrende til egenværdien λ n, d er (e 1, e 2,... ) et ortonormlsæt ifølge Sætning 3.13. Hvis dette ikke vr en ortonormlbsis, fndtes der en tilstnd ψ, så e n, ψ = 0 for lle n. Men dette betyder, t sndsynligheden e n, ψ 2 for, t systemet i tilstnden ψ hr energien λ n, er lig med 0 for lle n, hvilket er i modstrid med, t energien kn måles. Altså må egenvektorerne for A udgøre en ortonormlbsis, dvs. A må være 49
digonliserbr. Denne observtion begrunder relevnsen f t kunne fgøre, hvilke selvdjungerede opertorer der er digonliserbre. Som den følgende diskussion viser, er svret simpelt i det endeligdimensionle tilfælde, mens det uendeligdimensionle tilfælde er mere kompliceret. Et f hovedresultterne fr første års lineære lgebr vr Theorem 8.24 i LA, som siger, t enhver selvdjungeret lineær fbildning på et reelt endeligdimensionlt indre produkt rum er digonliserbr. (I LA bruges betegnelsen symmetrisk i stedet for selvdjungeret, jvf. Definition 8.20 i LA.) Dette resultt gælder med næsten uændret bevis også for komplekse vektorrum: Sætning 3.16. Enhver selvdjungeret opertor på et endeligdimensionlt reelt eller komplekst Hilbert rum er digonliserbr. Eksempel 3.17. Ld H være et todimensionlt komplekst Hilbert rum og ld (e 1, e 2 ) være en vilkårlig ortonormlbsis for H. Med A betegner vi den lineære fbildning på H, der m.h.t. bsen (e 1, e 2 ) repræsenteres f mtricen ( ) 1 i A =. i 1 D A = A er A selvdjungeret. Vi finder A s egenværdier ved t løse ligningen det(a λi) = 0 (hvor I er enhedsmtricen), idet dette ligesom for reelle mtricer betyder, t ligningssystemet (A λi)x = 0 hr en ikke-triviel løsning x = ( x 1 ) x 2, hvilket igen er ensbetydende med, t vektoren x = x1 e 1 + x 2 e 2 opfylder Ax = λx. Ligningen lyder ( ) 1 λ i det = (1 λ) 2 1 = 0, i 1 λ hvilket giver λ = 0 eller λ = 2. For λ = 0 fås t ligningen (A λi) ( x 1 ) x 2 = 0 er ækvivlent med x 1 + ix 2 = 0, hvis løsninger er f formen t ( 1 i), hvor t C. For λ = 2 fås tilsvrende løsningerne t ( 1 i), t C. Egenvektorerne for A er ltså f formen t(e 1 + ie 2 ) eller t(e 1 ie 2 ), hvor ( t C\{0}. Ved normering fås ortonormlbsen m.h.t. hvilken A repræsenteres f digonlmtricen ( ) 0 0. 0 2 1 2 (e 1 + ie 2 ), 1 2 (e 1 ie 2 ) Mn kn med god grund spørge om Sætning 3.16 mon også er gældende i det uendeligdimensionle tilfælde. Svret herpå er et kvlificeret j. Mn kn 50 ),
fktisk formulere den såkldte spektrlsætning om selvdjungerede opertorer på et vilkårligt Hilbert rum, som generliserer Sætning 3.16, men det vil kræve en generlisering f begrebet digonliserbrhed i forhold til Definition 3.14, som vi vil fholde os fr i dette kursus. Men lidt mere herom senere. Der findes dog vigtige klsser f opertorer, for hvilke en simpel generlisering f Sætning 3.16 er mulig. En nyttig generlisering er følgende, hvis bevis vi ikke skl komme ind på her (se f.eks. 5 i [3]). Sætning 3.18. Enhver integrlopertor K på L 2 (I), hvor I er et intervl, med integrlkerne k(x, y), som opfylder (jvf. Eksempel 3.1 e) og Eksempel 3.5 c)) k(x, y) = k(y, x), og er digonliserbr. k(x, y) 2 dxdy <, I I Denne sætning kn bl.. bruges til t udlede de fundmentle resultter vedrørende regulære Sturm Liouville problemer, idet det viser sig, t Sturm-Liouville opertoren L, jvf. Eksempel 3.5 e), hr en invers opertor K som i Sætning 3.18. Dens egenvektorer er netop egenfunktionerne for Sturm- Liouville problemet, mens dens egenværdier er de inverse f egenværdierne for Sturm-Liouville problemet. Dette illustreres f følgende eksempel. Eksempel 3.19. Vi ser på følgende Sturm-Liouville problem på [0, π]: u u = 2λu u(0) = u(π) = 0. Den tilhørende Sturm-Liouville opertor er (se Eksempel 3.5 e)) L = 1 2 d 2 dx 2 + 1 2. Denne opfylder u, Lv = Lu, v, når u, v er to gnge kontinuert differentible funktioner på [0, π], som opfylder rndbetingelserne, og λ er en egenværdi for Sturm-Liouville problemet med tilhørende egenfunktion u netop hvis λ er egenværdi for L med tilhørende egenvektor u ifølge (3.32). Ved t løse problemet finder mn (gør dette!), t egenværdierne er λ n = 1 2 (1 + n2 ), n N 51
med tilhørende normliserede egenfunktioner 2 e n (x) = sin nx, π i L 2 ([0, π]). Disse udgør en ortonormlbsis for L 2 ([0, π]), jvf. Opgve 2.7. Altså er L digonliserbr og 1 Lu = (1 + 2 n2 ) e n, u e n. (3.41) Ligesom for d i Eksempel 3.1 ) fremgår herf, t L er ubegrænset og defineres ved (3.41) på domænet D(L) bestående f de funktioner u, for hvilke dx højresiden er konvergent. Ld nu K være opertoren på L 2 ([0, π]) der hr smme egenvektorer som L men inverse egenværdier, dvs. 2 Ku = 1 + n e n, u e 2 n. (3.42) Denne er åbenbrt begrænset i modsætning til L, d 0 < 2 1 for n N. 1+n 2 Desuden gælder KLu = for u D(L), og tilsvrende = 1 2 (1 + n2 ) e n, u Ke n e n, u e n = u LKu = u for u L 2 ([0, π]). Altså er K den inverse opertor til L. Vi kn endd indse, t K er en integrl opertor, idet (3.42) ved udregning giver (Ku)(x) = 2 ( 2 π ) u(y) sin ny dy sin nx π 1 + n 2 = 4 π = 4 π π π 0 0 ( 1 1 + n 0 2 sin nx sin ny u(y)dy 1 sin nx sin ny 1 + n2 52 ) u(y)dy,
hvor vi i sidste skridt hr tilldt os t ombytte integrtion og summtion. Hertil er det vigtigt t bemærke, t rækken k(x, y) = 4 π er konvergent for lle x og y, d sin nx sin ny 1 og 1 sin nx sin ny (3.43) 1 + n2 1 er konvergent. 1+n 2 Dette viser, t K er en integrlopertor med kerne k(x, y), som kn vises t være kontinuert og er reel og symmetrisk i x og y. Bemærk, t vi ikke kunne hve gennemført det tilsvrende for L, d rækken i (3.43) d hvde indeholdt (1 + n 2 ) i stedet for (1 + n 2 ) 1, som ville give nledning til konvergensproblemer. Som mn vil kunne gætte sig til fr dette eksempel, gælder for et generelt regulært Sturm-Liouville problem med egenværdier λ 1, λ 2,... og tilhørende normliserede egenfunktioner e 1, e 2,..., t integrlkernen for den inverse til Sturm-Liouville opertoren er givet ved k(x, y) = 1 λ n e n (x)e n (y), (3.44) hvor det for konvergensen er fgørende, t λ n for n. (Der gælder fktisk t λ n c n 2 for en konstnt c > 0.) Eksempel 3.20. Det forrige eksempel er tæt beslægtet med beskrivelsen f en kvntemeknisk prtikel, der er begrænset til intervllet [0, π] f uendelig høje potentilbrrierer udenfor dette intervl. Den til energien hørende opertor (Hmilton opertoren) er H = 1 2 d 2 dx 2 (pånær fktoren 2 /m, som vi ser bort fr). D bølgefunktionen ψ skl være nul udenfor [0, π] pålægges rndbetingelserne ψ(0) = ψ(π) = 0, hvorved vi finder, t egenværdierne for H (dvs. de mulige energiniveuer) bliver med tilhørende egenfunktioner E n = 1 2 n2, n N, ψ n (x) = 2 sin nx. π 53
Ser vi i stedet på opertoren svrende til stedkoordinten x, dvs. multipliktionsopertoren M x, d er denne selvdjungeret (og begrænset), men den hr øjensynlig ingen egenværdier. At M x ψ = ψ betyder nemlig xψ(x) = ψ(x), dvs. (x )ψ(x) = 0, for (næsten lle) x [, b]. Men d x 0 for x betyder dette, t ψ(x) = 0 for (næsten lle) x [0, π], dvs. ψ = 0. Altså er ikke egenværdi for noget C. I en vis forstnd er lle [0, π] dog tæt på t være egenværdier. Vælges nemlig en bølgefunktion, der er koncentreret nær [0, π], dvs. ψ(x) = 0 for x ε for et lille ε > 0, d er M x ψ ψ 2 = π 0 π x 2 ψ(x) 2 dx ε 2 ψ(x) 2 dx = ε 2, så fstnden mellem M x ψ og ψ kn gøres vilkårlig lille for pssende normliserede vektorer ψ. Hvis vr en egenværdi, kunne denne fstnd gøres til 0 ved t vælge ψ til t være en egentilstnd. Generelt siges C t tilhøre spektret σ(a) for en selvdjungeret opertor A på et Hilbert rum, hvis der for hvert ε > 0 findes en vektor v H med v = 1 så Av v ε. Spektret består således dels f egenværdierne, som siges t udgøre punktspekret og de generliserede egenværdier, som udgør det kontinuerte spektrum. Således hr M x kun et kontinuert spektrum, nemlig [0, π]. Mn kn vise, t σ(a) R for enhver selvdjungeret opertor A. Generelt skl det kontinuerte spektrum inkluderes i de mulige værdier, som den til opertoren svrende fysiske størrelse kn ntge. Det er netop forekomsten f det kontinuerte spektrum, som nødvendiggør den tidligere omtlte generlisering f digonliserbrhedsbegrebet for t formulere den generelle spektrlsætning, som dog ligger udenfor progrmmet i dette kursus. 0 54
Opgver Opgve 3.1. Eftervis, t lineritetskrvene (3.1) og (3.2) er ækvivlente. Opgve 3.2. Antg, t f er en kontinuert differentibel funktion på [ π, π], dvs. f er differentibel med kontinuert differentilkvotient f, og således t f(π) = f( π). Brug prtiel integrtion til t vise, t der gælder in e inx, f = e inx, f, og brug Bessels ulighed for f og Lemm 2.3 til t slutte, t f D ( d dx) givet ved (3.8). Opgve 3.3. Begrund, t der for en tlfølge ( 1, 2,... ) og en ortonormlbsis (e 1, e 2,... ) for et Hilbert rum H gælder, t D(A) = {v H n e n, v 2 < } er et underrum f H. Vis (3.13), hvis følgen ( 1, 2,... ) er begrænset. Opgve 3.4. Begrund, t der for en kontinuert funktion på intervllet I gælder, t D(M f ) = {g L 2 (I) f(x)g(x) 2 dx < } er et underrum f L 2 (I). Vis (3.18), hvis f er en begrænset funktion. Opgve 3.5. Eftervis, t der for enhver kontinuert funktion f på intervllet [, b] gælder, t u(x) = e x y f(y)dy = er en løsning til differentilligningen ( 1 2 og opfylder rndbetingelserne x I d 2 dx 2 + 1 2 e y x f(y)dy + ) u = f u() u () = 0, u(b) + u (b) = 0. x e x y f(y)dy (Det er tilldt t differentiere m.h.t. x under integrltegnet ovenfor.) 55
Opgve 3.6. Antg, t den lineære opertor A : H 1 H 2 er kontinuert i 0, dvs. t A opfylder (3.22) for lle følger (v 1, v 2,... ) i H 1, som konvergerer imod 0. Ækvivlent hermed er, idet A0 = 0, t der for ethvert ε > 0 findes et δ > 0, så Av < ε for v < δ. Vælg her ε = 1 og et tilhørende δ = δ 1, og vis t Av δ 1 1 v for lle v H 1, og dermed t A er begrænset. Vis dernæst, t hvis A : H 1 H 2 og B : H 2 H 3 er to begrænsede opertorer, d er BA : H 1 H 3 også begrænset og BA B A. Opgve 3.7. Ld den lineære opertor A på Hilbert rummet H være givet ved (3.12) på domænet D(A) defineret ved (3.11), hvor vi ntger t n 0 for lle n N. Ld tilsvrende A 1 være defineret på D(A 1 ) ved t ersttte n med 1 n for lle n N. Eftervis, t A 1 fktisk er den inverse fbildning til A, dvs. t A 1 Af = f og AA 1 g = g for f D(A) og g D(A 1 ). Giv et eksempel på en ubegrænset opertor, der hr en begrænset invers, og på en ubegrænset opertor, der hr en ubegrænset invers. Opgve 3.8. Ld A : H 1 H 2 være en lineær fbildning mellem to endeligdimensionle Hilbert rum. Vælg en ortonormlbsis (e 1,..., e n ) for H 1 og vis, t Av ( Ae 1 + + Ae n ) v for lle v H 1, og dermed t A er begrænset. Opgve 3.9. På Hilbert rummet l 2 (N) (med sædvnligt indre produkt) betrgtes fbildningen A givet ved A(x 1, x 2,... ) = (ix 1, i 2 x 2, i 3 x 3,... ). ) Gør rede for, t Ax = x for lle x l 2 (N). b) Vis, t A er en begrænset lineær opertor og bestem A. c) Gør rede for t A 4 = I H, (hvor A 4 som sædvnlig betegner A A A A). 56
Opgve 3.10. Eftervis, t mtrix-elementerne ij i mtricen, der repræsenterer en lineær fbildning A : H 1 H 2 mellem to endeligdimensionle Hilbert rum m.h.t. to bser (e 1,..., e n ) og (f 1,..., f m ) er givet ved (3.24): (se Afsnit 6.3 i LA). ij = f i, Ae j Opgve 3.11. Gennemfør udregningen, der leder til (3.26). Opgve 3.12. Vis, for en begrænset opertor A : H 1 H 2, t og A = sup{ Av v 1} A = sup{ u, Av u 1, v 1}, og brug det sidste udtryk til t indse, t A = A. Opgve 3.13. Ld H være et 3-dimensionlt komplekst Hilbert rum og ld A være opertoren, der m.h.t. en given ortonormlbsis (e 1, e 2, e 3 ) repræsenteres f mtricen 2 3 + i 2i 0 2 0. i 1 i 2 Bestem mtricen, der repræsenterer A m.h.t. smme bsis og beregn A (e 1 + ie 2 e 3 ). Opgve 3.14. Ld A være opertoren på C 3, der m.h.t. den nturlige bsis repræsenteres f mtricen 2 0 i 0 2 0 i 0 2 Begrund, t A er selvdjungeret, bestem dens egenværdier smt en ortonormlbsis for C 3, der digonliserer A. Opgve 3.15. Eftervis, t der for multipliktionsopertoren M (1, 2,... ) på l 2 (N) gælder, t M ( 1, 2,... ) = M (1, 2,... ). Opgve 3.16. Eftervis identiteten (3.28) direkte ved brug f (3.7). 57
Opgve 3.17. Fuldfør udregningerne i Eksempel 3.5 e) ved t bruge rndbetingelserne i Sturm-Liouville problemet til t vise, t f, Lg p = Lf, g p, hvor L er Sturm-Liouville opertoren (3.31). Opgve 3.18. Vis, t der for multipliktionsopertorer M f og M g på L 2 (I) gælder, t M f M g = M fg, og t M f er unitær, netop hvis f(x) = 1 for lle x I. Opgve 3.19. Eftervis impliktionerne iii) ii) i) og iv) i) i Sætning 3.8. Til den første kn mn bruge polriseringsidentiteten fr Opgve 1.9. Opgve 3.20. Begrund, t bijektivitetskrvet i ii) og iii) i Sætning 3.8 er overflødigt i det endeligdimensionle tilfælde, forudst dimh 1 = dimh 2. Opgve 3.21. Godtgør, t hvis A : H 1 H 2 er en begrænset opertor og v n er en konvergent række i H 1, d er ( ) A v n = Av n. Opgve 3.22. Vis, t fbildningen U : L 2 (I, ρ) L 2 (I) givet ved er unitær. Uf = ρ 1/2 f, f L 2 (I, ρ), Opgve 3.23. Godtgør, t hvis A er en digonliserbr opertor på H 1 og U : H 1 H 2 er unitær, d er opertoren U A U også digonliserbr med smme egenværdier som A. Opgve 3.24. Eftervis, t der for enhver egenværdi for en unitær opertor U : H H gælder, t = 1, smt t egenvektorer hørende til forskellige egenværdier er ortogonle. Opgve 3.25. En lineær opertor A : H H siges t være positiv, hvis f, Af > 0 58
for f 0 i domænet for A. ) Eftervis, t enhver egenværdi for en positiv opertor er positiv. b) Begrund, t en digonliserbr opertor er positiv, netop hvis lle dens egenværdier er positive. c) Vis, t egenværdierne for det regulære Sturm-Liouville problem, dvs. for p > 0, q 0, r > 0 og k 1 k 2 0, l 1 l 2 0, lle er positive, pånær hvis k 1 = l 1 = 0, i hvilket tilfælde 0 også forekommer som egenværdi med tilhørende egenrum bestående f de konstnte funktioner. (Brug udregningerne i Eksempel 3.5 e) til t indse, t Sturm-Liouville opertoren er positiv, når bortses fr sidstnævnte tilfælde.) Opgve 3.26. Vis, t projektionen P i Eksempel 3.15 ikke hr ndre egenværdier end 0 og 1. Opgve 3.27 Bestem den djungerede S til skiftopertoren i Eksempel 3.12, og beregn S S og SS. Opgve 3.28 Vis, t hvis U : H 1 H 2 og V : H 2 H 3 er unitære opertorer, d er V U : H 1 H 3 også unitær. Giv et eksempel på (begrænsede) selvdjungerede opertorer A og B på et Hilbert rum H, således t AB ikke er selvdjungeret. Litterturhenvisninger 1. R. Cournt og D. Hilbert: Methods of Mthemticl Physics I, II. Interscience Publishers, New York, 1953 og 1965. 2. P.A.M. Dirc: The Principles of Quntum Mechnics. Oxford University Press 1962. 3. B. Durhuus: Hilbert rum med nvendelser HCØ-tryk 1997. 4. J. von Neumnn: Mthemtische Grundlgen der Quntenmechnik. Springer Verlg, Berlin, 1932. 5. M. Reed og B. Simon: Methods of Modern Mthemticl Physics I, II. Acdemic Press, New York, 1980 og 1975. 6. H.F. Weinberger: A First Course in Prtil Differentil Equtions. Xerox Publishing Compny, Lexington, Msschusetts, 1965. 59