Om Dido var kyndig i matematik er nok tvivlsomt, men hun havde i hvert fald en veludviklet logisk sans, som vi skal se.

Transkript

1 Forord. Det isoperimetriske problem går i l sin enkelhed ud på t finde den lukkede kurve i plnen, blndt en mængde f kurver lle med smme omkreds, som fgrænser det størst mulige rel. Løsningen til det isoperimetriske problem hr været kendt i mnge år - helt tilbge til de gmle grækere. J, fktisk endnu længere tilbge hvis mn skl tro den græske mytologi. I tiden omkring den trojnske krig, c. 1 før Jesu fødsel, rejste Dido til Libyen i en søgen efter et nyt sted t bosætte sig ud mod middelhvskysten. D hun ville købe noget lnd f de lokle stmmer tilbød de, t hun kunne få så meget lnd som kunne fgrænses f en oksehud. Nu troede de, t de ville få et billigt grin, men Dido viste sig t være smrtere end dem. Hun skr oksehuden i strimler og bndt dem smmen til ét lngt stykke skind. Herefter plcerede hun skindet i en hlvcirkel ud for kysten, hvorved hun fik et stort stykke lnd fgrænset. J, fktisk fik hun, som vi nu ved, det mksimle ud f opgven, og det vr d også en stor skuffelse for de lokle stmmer, som måtte give hende den jord de hvde lovet hende. Dido grundlgde byen Krtgo og en blomstrende ny civilistion, men det er en nden historie. Om Dido vr kyndig i mtemtik er nok tvivlsomt, men hun hvde i hvert fld en veludviklet logisk sns, som vi skl se. - Historien om forsøget på t løse det isoperimetriske problem, er også historien om, hvordn vritionsregningen hr udviklet sig siden dens spæde strt i tiden omkring Jesu fødsel, Fermts princip om mindst tid fr 166 og den dybere nlyse f problemet op gennem de sidste to århundreder. Det isoperimetriske problem og vritionsregningen hr en lng og kompliceret historie, men på en måde hr de begge været med til t forny hinnden. Vritionsregningens fødsel, foregik et eller ndet sted i rbejdet med t finde løsninger til diverse optimeringsproblemer herunder det isoperimetriske problem. 1

2 Smtidig hr udviklingen f vritionsregningen medført en større forståelse for kompleksiteten f sådnne geometriske problemer. De to begreber er så tæt knyttede t mn i rbejdet med det ene ikke kn undgå t støde ind i spekter f det ndet. De problemer rbejdet med t bevise, t løsningen til det isoperimetriske problem er en cirkel og ndre problemer f smme type, førte med sig gv nledning til t dtidens mtemtikere fik øjnene op for, t der lå mere skjult i problemstillingerne end mn lige kunne overskue ved første øjekst. Den snde dybde i disse problemer, blev d også først indset og behndlet i 18-tllet, så det er ikke mnge år siden, vi blev klr over t der lå noget dyb mtemtik skjult i forsøget på t finde løsninger til disse problemer. Selvom den vritionsregning vi kender i dg, på dette punkt er forholdsvis ung, så eksisterer der llerede et rigt udvlg f littertur, hvorf meget er skrevet på t niveu, som ikke egner sig til brug i gymnsiet. Denne rpport er tænkt som et inspirtionsmterile til mtemtikinteresserede gymnsieelever, eller til læseren, som i forvejen kender problemstillingen og godt kunne tænke sig t se en nden tilgng til problemet. De første 4 kpitler f rpporten behndler begrebet prmetriserede kurver, herunder et bevis for løsningen til det isoperimetriske problem. Vi skl bl.. også se, hvordn mn kn beregne længden f en grf eller kurve, og opdge en ny metode til beregning f relet f et område i plnen. Kpitel 5 hndler om optimering f funktioner f 1 eller vrible. Her vil vi også se på en metode, som er opkldt efter Lgrnge. Lgrnge fndt en metode til i visse tilfælde t finde ekstremer for funktioner f vrible, men også her er der vigtige overvejelser t tge med, såsom vil et optimeringsproblem ltid hve en løsning? Kpitel 6 hndler om, hvordn Weierstrss i slutningen f 18-tllet behndlede det isoperimetriske problem, defineret i en bredere forstnd. Vi ser også her, t der er en forbindelse mellem Lgrnges metode og det isoperimetriske problem idet mn også her kn opstille et sæt f Lgrnginske ligninger, som en løsning skl opfylde hvis der ltså eksisterer en løsning. Endelig er kpitel 7 en redegørelse for, hvordn dette mterile måske kn være med til t skærpe læserens mtemtiske kompetencer på områder, som ikke tilgodeses i så høj grd i den dglige undervisning. Jeg vil også her kort beskrive, hvordn udrbejdelsen f dette mterile hr været med til t ændre mine egne kompetencer. Der er ingen specielle forudsætninger, udover en sund interesse for mtemtik, for t kunne læse dette mterile. Læseren som på forhånd hr en grundlæggende viden om lukkede og begrænsede mængder både på den reelle kse og i plnen og som hr stiftet bekendtskb med funktioner f to vrible og begreberne grænseværdi og kontinuitet vil dog hve en lille fordel. Jeg nbefler også t læseren forsøger sig med nogle f de opgver, som rpporten indeholder. Dette er kun en nbefling, til den som vil hve det fulde udbytte t rpporten, men det er bsolut ikke et krv for t læse den. Reference systemet virker på den måde t et tl i teksten 1 refererer til en fodnote på smme side, som fortæller på hvilke sider i bogen [??], mn kn læse om emnet. Betegnelsen [??] refererer til en bog i litterturlisten.

3 Indholdsfortegnelse. Forord... 1 Indholdsfortegnelse... 3 Kpitel 1. Introduktion Hvd er en kurve? Hvordn beskrives en kurve? En hjælpesætning om bestemmelse f reler En smule om prmeteren t Opgver til Kpitel Kpitel. Hovedsætning Hjælpesætninger til hovedsætning Det isoperimetriske problem Opgver til Kpitel Kpitel 3. Prmetriserede Kurver Mere om prmetriserede kurver Grænseværdi og kontinuitet Tngenter og differentition Prmetriserede kurver og buelængde Længden f grfen for en funktion Længden f en kurve Reprmetrisering Opgver til Kpitel Kpitel 4. Greens Sætning Gennemgng f Greens sætning En nvendelse f Greens sætning Opgver til Kpitel Kpitel 5. Optimering Introduktion Funktioner f én vribel Eksistens f mksim og minim Funktioner f to vrible Kontinuitet og grænseværdier Prtielle fledede, grdienter og niveukurver Eksistens f ekstrem Lgrnge s metode Hvordn gik det med Ølproducenten? Opgver til Kpitel Kpitel 6. En nden måde t beskue det isoperimetriske problem på Kpitel 7. Pædgogiske overvejelser Kort redegørelse for mtemtiske kompetencer Kompetencer i denne rpport Hvordn mine kompetencer hr ændret sig Litterturliste Anvendelse f littertur: Summry in English

4 Kpitel 1. Introduktion. I vritionsregningens brndom, j fktisk helt op til 18 tllet troede mn fejlgtigt t lle problemer, som gik ud på t finde en mksimumsværdi eller en minimumsværdi ltid ville hve en løsning. Vi kn hurtigt give et pr eksempler, som viser t dette ikke er sndt. Eksempel 1. Ld os betrgte mængden f positive hele tl, og ld os et øjeblik ntge t der findes et største helt tl N blndt disse. Hvis N > 1, så må vi hve t N > N, men det er en modstrid mod t N vr det største tl. Hvis N = 1 er det oplgt t det ikke er det største tl. Hvd gik der glt her? Jo, vi ntog t der eksisterer et største helt, positivt tl, men det er forkert. Eksempel. Ld P og Q betegne to vektorer i plnen med fodpunkter i p = (1,1) og q = (5,1), og som ikke er prllelle. Så lyder problemet: Find den korteste kurve mellem de to punkter p og q, som hr de to vektorer P og Q som tngentvektorer. Figur 1.1. Illustrtion f problemet i eksempel. Vi kn gøre kurverne mellem de to punkter kortere og kortere, ved t gøre det stykke der krummer i enderne mindre og mindre, men vi kn ldrig finde én kurve med mindst længde. Den korteste kurve mellem de to punkter er den rette linie, men den opfylder jo ikke betingelserne om t hve P og Q som tngentvektorer. (Problemet hr kun en løsning, hvis P og Q er prllelle). Vi kn ltså nemt konstruere eksempler på mksimerings-/minimeringsproblemer, som ingen løsning hr. 4

5 Før Weierstrss i 18 tllet fndt ud f, t mn i nogle problemer vr nødt til t se på nødvendige betingelser for, t en løsning kunne eksistere og tilsvrende i nogle tilfælde kunne finde betingelser, som sikrede t et problem ville hve en løsning, de såkldte tilstrækkelige betingelser, troede mn ltså t lle problemer hvde en løsning. Dette førte til en del misforståelser og direkte forkerte beviser for en række påstnde, heriblndt, beviset for løsningen til det isoperimetriske problem. Løsningen til det isoperimetriske problem, hr som sgt været kendt i mnge år, og der er d også en hel del forskellige mtemtikere, som hr forsøgt t give et bevis for, t den mksimle kurve er en cirkel. I disse beviser hr mn ofte ntget, t en løsning til problemet skulle eksistere, men vi hr jo netop set, t mn godt kn konstruere problemer, som ingen løsning hr. Antgelsen om t en løsning eksisterer, førte ofte til t beviset blev ukorrekt og utilstrækkeligt. For t få et korrekt bevis, skl mn både vise t en løsning eksisterer, og t den er givet ved en cirkel. Overvejelserne om en løsning fktisk eksisterer til dette og ndre problemer, førte i 18-tllet også til, t mn begyndte t skelne mellem mksimumsbegrebet og grænseværdibegrebet Ld os tge endnu et eksempel for t illustrere, t disse to begreber ikke er ens. Eksempel 3. Ld os se på funktionen f ( x) = x. Hvis vi lder f være defineret på intervllet [;], så ntger f sin mksimumsværdi i x =, nemlig f () = 4. Hvis vi i stedet definerer f på intervllet [;), så ntger f ikke længere værdien 4, d x = ikke længere tilhører funktionens definitionsmængde. Vi kn derimod se, t jo nærmere x kommer på, desto nærmere kommer f ( x ) på 4. Vi kn fktisk få f ( x ) så tæt på 4 som vi hr lyst til, ved t lde x komme tilstrækkeligt tæt på. Derfor vil vi sige t f hr grænseværdien 4 når x går mod, men f ( x ) bliver dog ldrig lig 4. Mn kn ltså ikke ltid være sikker på, t en funktion ntger sit mksimum. På smme måde kn mn ikke ltid være sikker på, t løsningen til et vritionsproblem eksisterer, også selvom den kn beskrives som en grænseværdi. Vi vil i dette mterile forsøge t give et bevis, som fktisk viser eksistensen f løsningen til det isoperimetriske problem ved t konstruere en kurve, som mksimerer relet. - Hr du llerede nu lyst til t vide mere om vritionsregningens historie, så se 1 eller kpitel 6 i dette mterile. 1 [HG] Hele denne bog er en gennemgng f vritionsregningens historie fr c. 16 til 19. 5

6 1.1. Hvd er en kurve? Forestil dig vi hr en snor f længde l, som ligger på et bord. Med fingrene kn mn nu forme snoren, og den kn bringes til t illustrere stort set en hvilken som helst figur. Det er kun rtistens evner, der sætter grænser. Hvis vi lægger figurerne ind i et koordintsystem, så kn de opfttes som kurver i en pln. Dette er vist på figur 1.1. Opgve 1.1.1: Argumenter ud fr eksemplerne i figuren for, t mn i mnge tilfælde ikke vil være i stnd til t beskrive disse kurver som grfen for en funktion. Hvis vi nu forestiller os, t vi kn lime snorens ender smmen uden t ændre dens længde, så hr vi dnnet det vi senere vil klde en lukket kurve i plnen. Som du kn se på figur 1., så kn vi også dnne lle mulige lukkede kurver med den limede snor. Figur 1.1 Eksempler på kurver. Du kn se, t de lukkede kurver fgrænser et område i plnen, og selv om lle kurverne hr smme længde, så fgrænser de ikke det smme rel. Fktisk fgrænser kurverne to områder et mn kn klde det indre, som vi normlt opftter som det rel kurven fgrænser, og det ydre, som er lt udenfor kurven. Det t lukkede kurver fgrænser et område med endeligt rel er fktisk en ret indviklet ting t få på plds rent mtemtisk, men vi vil her stole på vores intuition, som fortæller os, det er rigtigt! Opgve 1.1.: Prøv f.eks. t smmenligne en cirkel med omkreds l, et kvdrt med sidelængde 4 l og en ligebenet treknt med sidelængde 3 l. ) Hvilken fgrænser det største/mindste rel? b) Kn du finde en lukket kurve, med omkreds l, som fgrænser et større rel end kvdrtet? Hvis J hvilken? Figur 1.. Eksempler på lukkede kurver. 6

7 1.. Hvordn beskrives en kurve? De kurver i plnen, du nok hr været vnt til t rbejde med indtil videre, hr for det meste været kurver, som hr været grfen for en funktion. Disse funktioner opfylder specielt, t der kun er én y-værdi til hver x-værdi. Det lægger nturligvis en begrænsning på, hvilke figurer, der kn opnås som grferne for disse funktioner. Men der findes jo mnge ndre kurver, f.eks. de to skitseret på figur 1.3. Det er klrt, t kurverne ikke kn være grfer for funktioner, fordi disse funktioner i så fld ville give mere end en y-værdi til de fleste x-værdier og dermed ikke længere ville være funktioner i lmindelig forstnd. Figur 1.3. Kurver, som ikke kn beskrives som grf for en funktion. Alligevel er vi ofte interesserede i t rbejde med kurver, som dem i figur 1.3. bl.. fordi de er gode til t beskrive hvordn prtikler bevæger sig i et mgnetfelt, til t ngive trykforskelle på meteorologernes vejrkort (isobrer), til t bestemme, hvordn mn kommer den korteste vej fr et sted til et ndet i kuperet terræn og til mnge ndre ting. Hvordn får vi nu disse kurver beskrevet mtemtisk, når vi ikke kn beskrive dem som grfer for en funktion? Svret er t vi på en måde skl betrgte dem som grfer for funktioner. Ld os strte med nogle eksempler. Eksempel Ld de to differentible funktioner f og g være givet ved: f( x) = x, g( x) = x, x (Figur 1.4.) I stedet for t betegne vriblen med x, så kunne vi lige så godt betegne den med s eller t eller noget helt tredje. Dette nvneskift er ikke helt nyt for os, fordi vi i fysik for eksempel er vnt til regne med krft eller tryk som funktion f tid, og i den forbindelse betegner vriblen med t. Figur 1.4. Grfer for funktionerne f ( x) = x og gx ( ) = x. Hvis vi skifter vribelnvn til t hr vi ltså: f() t t, g() t, t t = = 7

8 Vi forestiller os nu en prtikel, som bevæger sig i plnen, således t dens x og y koordinter til ethvert tidspunkt er givet ved de to funktioner f og g. Det vil sige t til tiden t befinder prtiklen sig i punktet med koordinter ( x, y) givet ved: x = f() t y = g() t (figur 1.5.) Figur 1.5. Position til tiden t. Figur 1.6. Prtiklens position til mnge forskellige tider. Figur 1.7. Den kurve prtiklen gennemløber. Figur 1.8. Retningsvektorer til t = 3 og t = 5. D vi tillder negtive t værdier kn vi fortolke det sådn, t når t er mindre end ser vi på, hvor prtiklen befndt sig for t sekunder siden, når t er lig nul ser vi på dens nuværende position og når t er større end nul forudsiger vi, hvor den vil befinde sig om t sekunder. I tbel 1... hr vi udregnet prtiklens koordinter til forskellige tidspunkter. t x = f() t y = g() t Tbel 1... Koordinter til forskellige tidspunkter. På figur 1.6. ses disse smt flere ndre positioner mrkeret. Hvis vi udregner prtiklens position til lle tider får vi den kurve, som ses på figur 1.7. I stedet for t betrgte prtiklens x og y koordinter som givet ved to funktioner, kn vi opftte x og y som funktioner givet ved følgende: x() t = f() t = t (1..1) yt () = gt () = t Hvis vi betegner retningsvektoren, som ngiver det punkt prtiklen befinder sig i til tiden t med rt ( ) så hr vi ltså t rt () er givet ved: rt () = xt (), yt () = ( ) ( t,t) (figur 1.8.) Kurver, som den i figur 1.7. vil vi betegne med C (for Curve). De to ligninger i (1..1), som beskriver punkterne på kurven vil vi klde kurvens prmetriske ligninger - eller prmeterfremstillingen f kurven. 8

9 Ld os nu se på et eksempel, hvor vi på forhånd kender kurven, men ikke kurvens prmeterfremstilling. Eksempel Den kurve vi ser på er enhedscirklen (figur 1.9.). Det er klrt, t enhedscirklen ikke kn beskrives som grfen for en funktion, så ld os undersøge om den kn beskrives vh. et sæt f prmetriske ligninger! Det vi leder efter er to funktioner f den smme vribel t og som til enhver t-værdi ngiver en position på enhedscirklen. Figur 1.9. Enhedscirklen. Alle punkter på enhedscirklen er kendetegnet ved (eller defineret til) t være de punkter i plnen, som hr fstnd 1 til Origo. Vi kender idiotformlen, som siger: cos( t) + sin( t) = 1 Eller med ndre ord, t vektoren med koordinter ( cos( t),sin( t )) hr længde én for lle værdier f t. Dvs. t punkterne med koordinter: x = cos( t) y = sin( t) ligger på enhedscirklen. Lder vi prmeteren t betegne buelængde, så ved vi, t hvis t løber i intervllet mellem og π så kn vi rmme lle punkter på enhedscirklen (figur 1.1.). Dvs. t de prmetriske ligninger: x() t = cos() t, t [, π ] yt () = sin() t Figur 1.1. Enhedscirklen. Beskriver hele enhedscirklen. D både x( t ) og yt ( ) kn differentieres uendeligt mnge gnge vil vi klde ( x(), t y() t ) en differentibel prmetriseret kurve. Bm. En differentibel prmetriseret kurve består ltså f et sæt f uendeligt ofte differentible funktioner, og ikke f en figur. Vi vil her betegne stedvektoren, hvis koordinter er givet ved et sæt f prmetriske ligninger med r, således t: ( ) rt () = xt (), yt (), t II, = [ b, ] 9

10 og klde r en differentibel prmetriseret kurve. I kldes kurvens prmeter intervl. Den figur, som fremkommer ved t skitsere punkterne bestemt ved de prmetriske ligninger kldes ofte sporet f den prmetriserede kurve. Lder vi r betegne en prmetriseret kurve defineret på intervllet I, vil vi betegne dette med: spor() r = mængden f punkter i plnen, som kn rmmes f r eller formelt { } spor() r = (, c d) t I,() r t = (, c d). Eksempel Lder vi r betegne den prmetriserede kurve givet ved: xt () = cos(), t yt () = sin(), t t [; π ], så kn vi ved t vælge pssende t-værdier rmme lle punkter på enhedscirklen og ikke ndre. Herved hr vi bestemt sporet f r: { } spor() r = (, c d) t I,() r t = (, c d) = enhedscirklen. Endvidere kn vi se t strtpunkt og slutpunkt for kurven er ens, idet: x() = cos() = 1 = cos( π ) = x( π ) y() = sin() = = sin( π ) = y( π ) Figur Sporet f kurven i eksempel eller skrevet på en nden måde: r() = r( π ). Hvis vi med r ( t ) betegner den vektor, som hr koordinter givet ved: r ( t) = ( x ( t), y ( t) ) = sin( t),cos( t) så kn vi yderligere se, t: ( ) r () = r ( π ). Hvis vi med r ( t ) betegner den vektor, som hr koordinter givet ved: 1

11 ( ) ( cos( t), sin( t) ) r ( t) = x ( t), y ( t) = så ser vi også, t: r () = r ( π ). Fortsætter vi dette, så kn vi se t lle de fledede f r stemmer overens i definitionsintervllets endepunkter: ( n) ( n) r () = r ( π ) hvor vi med ( n) r betegner den n te fledte f r. I et sådnt tilfælde, hvor kurven hr smme strt- og slutpunkt, og lle de fledte stemmer overens i intervlendepunkterne og b klder vi kurven lukket. I de tilfælde, hvor kurven hr smme strt- og slutpunkt, men en f de fledte ikke stemmer overens i intervlendepunkterne vil vi klde kurven semilukket. Hvis en kurve r opfylder t r ( t) (, ) for lle værdier f t vil vi klde r en regulær kurve. Hvilken prktisk betydning dette hr for kurven vil vi komme nærmere ind på i fsnit 3.3. Indtil videre ser vi det bre som en definition. Figur 1.1. Sporet f kurven i eksempel 1..5.i. Eksempel Eksempler på kurver med forskellige egenskber: i) Ld r være givet ved: 3 rt () = t 4, tt 4, t [ ;] (figur 1.1) ( ) Det ses let t r ( ) ( ) =, = r(), vi ved ltså t r er semilukket. Udregner vi den fledte f r, så får vi t r ( t) = ( 3t 4, t). Evluerer vi nu r i intervlendepunkterne så får vi: r ( ) = ( 8, 4) og r () = ( 8, 4). Vi kn ltså se t r ( ) r () og dermed t r ikke er lukket. Bm. Det t en kurve er semilukket grnterer ltså t kurven hr smme strt- og slutpunkt, men ikke t den møder sig selv uden knæk. Er en kurve derimod lukket, så kn vi være sikre på t der ikke er nogen knæk på kurven i det fælles strt- og slutpunkt. 11

12 ii) Ld nu r være givet ved: 3 rt () = t, t, t [ 1;1] (figur 1.13) ( ) D r () = (, ) er r ikke regulær Opgve Betrgt de prmetriske ligninger: x() t = cos() t, t [, π ] yt () = sin() t Figur Sporet f kurven i eksempel 1..5.ii. ) Er rt () ( cos(),sin() t t) = en differentibel prmetriseret kurve? b) Er r lukket? c) Regulær? d) Skitser sporet for r. En kurve r som ikke skærer sig selv i ndre punkter end eventuelt endepunkterne kldes simpel. Eller sgt med ndre ord, en kurve r er simpel hvis der gælder: rt ( 1) rt ( ) for lle t 1, t [, b), t 1 t. Bemærk t intervllet er åbent i højre endepunkt. Eksempel Betrgt den differentible prmetriserede kurve r givet ved: 3 rt () = ( t 4, tt 4 ), t [ 3,3]. Vi kn se t r() = r( ) = (,) (figur 1.14), men - og er ikke intervlendepunkter, ltså er kurven ikke simpel. Opgve Hvorfor er kurven i eksempel simpel, mens kurven i opgve ikke er det? Figur En ikke simpel kurve. Fremover vil jeg blot klde en differentibel prmetriseret kurve for en kurve - d de fleste kurver vi skl stifte bekendtskb med vil være differentible - og ikke ndet med mindre der er noget specielt t bemærke. Opgve Betrgt kurven givet ved: rt () = cos(3),sin(3) t t, t [; b], b> ( ) ) Findes der værdier f b, som gør t r bliver lukket? b) Hvis J, så find lle disse værdier. c) Findes der værdier f b, så r bliver simpel? d) Findes en værdi f b, så r både er simpel og lukket? e) Hvis J, er r så regulær for denne b-værdi? 1

13 Hvis r er en lukket og simpel kurve, så kn vi tillægge den en orientering, som i prksis blot vil sige t vælge en bestemt vej t gå rundt lngs kurven. Når vi går rundt lngs kurven i den retning, som ngives f voksende t-værdier og det indre f kurven er til venstre vil vi klde kurven positivt orienteret - Ellers vil vi klde den negtivt orienteret (se figur 1.15). Figur Orientering f lukkede og simple kurver. Kn vi nu være sikre på t en lukket, simpel kurve ikke skifter orientering på et eller ndet tidspunkt? Svret er nej! Dette vil vi komme ind på i fsnit 3.3. Jeg vil dog bemærke her, t hvis vi kræver, t kurven skl være regulær, så kn vi være sikre på t den ikke skifter orientering. I den følgende definition vil jeg opremse nogle f de nye begreber, som er blevet indført i dette kpitel. Definition Ld x( t ) og yt ( ) være to kontinuerte funktioner defineret på det smme intervl I = [ b ; ]. i) Hvis x og y er uendeligt ofte differentible, så vil vi klde rt () = ( xt (), yt ()), t I en differentibel, kontinuert kurve og I kldes prmeter intervllet. ii) Spor(r)=de punkter i plnen, som kn rmmes f r. iii) Hvis r opfylder t: r ( ) = rb ( ), r ( ) = r ( b),, ( n) ( n) r ( ) = r ( b)... r ( ) = r ( b)... så kldes r lukket. iv) Hvis r ( t) (, ) for ll t i I, så kldes r regulær. v) r er simpel hvis der gælder: rt ( 1) rt ( ) for lle t1, t [, b), t 1 t. vi) Hvis r er en lukket og simpel kurve, så kn vi definere en orientering på r jf. figur De nye begreber, som vi hr introduceret her vil blive nærmere behndlet i kpitel 3, så indtil videre må du nøjes med denne korte introduktion. 13

14 1.3. En hjælpesætning om bestemmelse f reler. Fig Område fgrænset f en positivt orienteret, lukket og simpel kurve. Figur Inddeling i integrerbre områder. Figur Udsnit f område I og II. Målet med dette fsnit er t illustrere en metode til t beregne reler f områder i plnen, som ikke nødvendigvis kn beskrives som området mellem to grfer, men som kn beskrives som det område der fgrænses f en positivt orienteret lukket og simpel kurve. Et område f en sådn type ses på figur For t vise den nye metode inddeler vi området i mindre dele, som vist på figur På figur hr vi fremhævet område I og II, som vi vil beregne relet f. Vi vil nu først forsøge t beregne relet f område I. Område I: Vi vil ntge t den del f den sorte omkreds, som hører til område I kn beskrives som grfen for en kontinuert funktion f, som er defineret på intervllet 1 [ x, x 1] (figur 1.19). Område I kn dermed beskrives som området fgrænset f kontinuerte funktioner nemlig den kontinuerte funktion f 1 og den funktion, som konstnt er y på hele intervllet [ x, x 1]. Vi ved godt, hvordn relet f et sådnt område i første kvdrnt skl beregnes; nemlig som integrlet f differensen mellem de to funktioner. Ld os betegne dette rel med A 1. Så gælder ltså t: x1 x1 A = f ( x) dx y dx 1 1 x x x1 = f ( xdx ) y( x x) 1 1 x x = f ( xdx ) y( x x) x1 1 1 hvor vi i sidste lighed hr benyttet t vi ved t ombytte integrtionsgrænserne får skiftet fortegn på integrlet: b f ( xdx ) = f( xdx ) b Figur Område I Det vr relet f område I. Det næste rel vi vil finde er relet f område II. 14

15 Område II: Vi vil ntge t den linie, som fgrænser område II nedd kn beskrives som grfen for en kontinuert funktion f, som også er defineret på intervllet [ x, x 1] (figur 1.). Figur 1.. Område II. Opgve Overvej t relet A f område II kn beregnes ved følgende formel: x1 A = y ( x x ) f ( x) dx 1 x Lægger vi A 1 og A smmen, så får vi ltså relet f det smlede område, der dækkes f område I og II: (1.3.1) x A + A = f ( x) dx y ( x x ) x1 x1 + y ( x x ) f ( x) dx 1 x x x1 = f ( xdx ) f( xdx ) 1 x1 x Opgve Betrgt kurven givet ved: ( ) rt () = (1 tc ) + td,, t [,1], cd, ) Gør rede for grfen for funktionen x( t ) givet ved xt () = (1 tc ) + td, t [,1], cd, er den rette linie mellem punkterne (, c ) og (1, d ). b) Gør rede for t r er en prmetrisering f det rette liniestykke mellem punkterne (, c) og (, d ), som strter i (, c ) og slutter i (, d ). Jeg indfører nu fire nye funktioner: x ( t) = (1 t) x + tx, t [,1] 1 1 x ( t) = x, t [1,] x () t = (3 t) x + ( t ) x, t [,3] 3 1 x ( t) = x, t [3,4] 4 1 og definerer x( t ) til t være givet ved: 15

16 (1.3.) x1 (), t t [,1] x(), t t [1,] xt () = x3(), t t [,3] x4(), t t [3,4] Substituerer vi nu i formel (1.3.1), så får vi: (1.3.3) x x1 A + A = f ( x) dx f ( x) dx 1 1 x1 x 1 3 ( ) ( ) = f xt ( ) x ( tdt ) f ( xt ( ) x ( tdt ) 1 Vi definerer nu endnu en funktion yt ( ) givet ved: (1.3.4) ( ) f1 x( t), t [,1] ( t) y1+ ( t 1) y3, t [1,] yt () = f ( x( t) ), t [,3] (4 t) y4 + ( t 3) y, t [3,4] Benytter vi dette i formel (1.3.3), så får vi: (1.3.5) 1 3 ( ) ( ) A + A = f x() t x () t dt f ( x() t x () t dt = y( t) x ( t) dt y( t) x ( t) dt Ser vi nærmere på funktionen x( t ) så kn vi se t x ( t ) er nul på de to åbne intervller (1,) og (3,4). Derfor hr vi følgende lighed: 4 = ytx () () tdt= ytx () () tdt 1 3 Dette vil vi benytte til t lve en smrt omskrivning f ligning (1.3.5): 16

17 1 1 3 A + A = y() () t x t dt y() t x () t dt 1 3 = y( t) x ( t) dt y( t) x ( t) dt 1 3 = y( t) x ( t) dt y( t) x ( t) dt 4 y( t) x ( t) dt y( t) x ( t) dt = ytx ( ) ( tdt ) + y( txtdt ) () 4 + y( t) x ( t) dt + y( t) x ( t) dt 1 3 = 4 ytx ( ) ( tdt ) Ser vi nærmere efter, så kn vi se t ( xt (), yt ()), t [,4] er en prmetrisering f omkredsen f figuren på figur Dvs. vi hr ltså fundet en positivt orienteret prmetrisering f omkredsen f figuren, således t relet kn beregnes som: (1.3.6) 4 A= y() t x () t dt Vi hr ltså fundet en ny måde t udregne reler i plnen på. Der gælder fktisk, t ethvert område, som er begrænset f en simpel, lukket og positivt orienteret kurve kn inddeles i et endeligt ntl områder, som svrer til det område vi lige hr beskrevet. Benytter mn formel (1.3.6) på hvert f disse områder kn mn vise følgende: Sætning Ld ( ) rt () = xt (), yt (), t [ b, ] være en positivt orienteret, lukket og simpel kurve. Så gælder t relet begrænset f r er givet ved: Ld os se på et eksempel. b A= y() () t x t dt 17

18 Eksempel Ld r være givet ved: ( ) rt ( ) = 3cos( t),3sin( t), t [; π ] Vi kn for det første se, t r er en differentibel, prmetriseret kurve idet både x( t) = 3cos( t) og yt () = 3sin() t er uendeligt ofte differentible funktioner. Det er lidt sværere t se t r fktisk også er lukket, d mn jo i princippet skl kontrollere t lle de fledede stemmer overens i endepunkterne, men her er det heldigvis nok t kontrollere de første 4 fledte (se opgve 1.5.7) og det viser sig t r fktisk er lukket, men dette vil jeg ikke vise her. Er r simpel? Ifølge definition 1..11, så skl vi kontrollere t r opfylder t: rt ( 1) rt ( ) for lle t 1, t [; π ), t 1 t. Ld os ntge t rt ( 1) = rt ( ). Dvs. t x( t1) = x( t) og yt ( 1) = yt ( ) eller med ndre ord: 3cos( t1) = 3cos( t) 3sin( t ) = 3sin( t ) 1 For t dette kn lde sig gøre, så skl der være et helt multiplum f π mellem t 1 og t eller skrevet på en nden måde: Der skl eksistere et helt tl p således t: t t = pπ 1 t t = pπ 1 Figur 1.1. Orientering f r. men dette kn ikke lde sig gøre indenfor intervllet [; π ), så r er ltså simpel. På figur 1.1 kn du se t r er positivt orienteret. Dermed opfylder r lle betingelser for t vi kn nvende sætning til t udregne relet, som indelukkes f r. b A= y( t) x ( t) dt = 3sin( t)( 6)sin( t) dt π π t sin(4 t) = 18 ( sin( t) ) dt = 18 8 π sin(4 π) sin() = 18 = 9π 8 8 Vi kn hurtigt verificere dette resultt, idet vi genkender figuren på figur 1.1 som en cirkel med rdius 3. π 18

19 og for en sådn ved vi t relet er givet ved: A= π r = π = 3 9 Den formel vi her bruger til t beregne relet, kn fktisk vises ved t nvende sætning (opgve 1.5.5). Vi skl i beviset for det isoperimetriske problem nvende en lidt nden udgve f sætning som lyder: π Sætning Ld ( ) rt () = xt (), yt (), t [ b, ] være en positivt orienteret, lukket og simpel kurve. Så gælder t relet begrænset f r er givet ved: b A= y() t x () t dt = x() t y () t dt b 1 = ( x() t y () t y() t x () t ) dt Beviset for denne sætning vil vi føre i kpitel 4.. Bm: Sætning gælder fktisk også selvom vi ikke kræver t kurven skl være positivt orienteret overlt. Dette vil vi også komme nærmere ind på i fsnit 4.. b Se [RA] s eller [JS] s for lterntive udledninger f denne sætning. 19

20 1.4. En smule om prmeteren t. I strten f kpitel 1 opfttede vi prmeteren t, som tid. I eksempel lod vi den betegne buelængde i en enhedscirkel. Prmeteren kn ltså betegne forskellige ting. Det vi skl se nu, er t vi givet en kurve kn ændre på prmeteren således t kurven stdig hr det smme spor, men ltså med en nden prmeter. Eksempel Ld os se på kurven givet ved: ( ) rt ( ) = cos( t),sin( t), t [, π ] Figur 1.. Sporet f r. Vi ved t sporet f denne kurve er enhedscirklen (figur 1.). Jeg hr desuden skitseret retningsvektorer til punkterne givet ved fire forskellige t-værdier. Betrgt nu funktionen h givet ved: hs s s π () =, [, ] Vi ved t h er kontinuert, derfor rmmer h lle værdier i intervllet [, π ], dvs. Vm( h) = [; π ]. Yderligere kn vi se t h er voksende og hr endepunktsværdierne: h() = ( ) h π = π Figur 1.3. Ændring f prmeter. På figur 1.3 hr jeg skitseret forløbet f y = x i forhold til y = x. Nu vil vi se på kurven, som opnås ved t smmensætte r og h: ( ) ( ) rs () = rhs () = xhs (()), yhs (()), s [, π ] For det første, så kn vi se t r er en kurveprmetrisering, og t den hr smme spor som r. Vi kn også se t de to kurver hr smme strt- og slutpunkt og fktisk også hr den smme orientering. Figur 1.4. Sporet f r. Ser vi derimod på de retningsvektorer, som er ngivet på figur 1.4, så kn vi se t billedet er et helt ndet. De fire t-værdier er som på figur 1. vlgt, ved t tge definitionsintervllets højre endepunkt og gnge dette med 1/8, 3/8, 5/8 og 7/8.

21 Forløbet f kurven er ltså ændret ved t skifte prmeter. Dette kn også ses ud fr figur 1.3: Begge kurver hr smme strt- og slutværdi, men de løber to forskellige veje. Det vi hr introduceret her er det vi vil klde t reprmetrisere en kurve. For prmetriserede kurver, hr vi defineret en fledt ved: ( ) r ( t) = x ( t), y ( t) Denne vektor klder vi kurvens hstighedsvektor. Vi kn se på længden f hstighedsvektoren: ( ) ( ) r ( t) = x ( t) + y ( t) Denne værdi vil vi klde kurvens frt. Denne værdi fortæller noget om, hvor meget frt en prtikel, som bevæger sig lngs kurven hr på, når den befinder sig i punktet rt ()! Regner vi på de to forskellige prmetriseringer i eksempel 1.4.1, så får vi følgende resultter: ( ) ( sin( t),cos( t) ) r ( t) = cos ( t),sin ( t) = og dermed t længden f denne vektor er givet ved: r ( t) = x ( t) + y ( t) ( t ) = sin( ) + cos( t) = cos( t) + sin( t) = 1 = 1 Dvs. hvis mn følger denne prmetrisering rundt i enhedscirklen, så bevæger mn sig med konstnt frt lig 1 (figur 1.5). Det er lidt nderledes med r. Figur 1.5. Hstighed lngs r. Hstighedsvektoren r ( s) er givet ved: 1

22 og frten: ( ) ( sin(()) (),cos(()) () hs h s hs h s) r ( s) = x ( h( s)), y ( h( s)) = ( sin( s ) s,cos( s )s) s( sin( s ),cos( s )) = = (( ) ( ) ) r s s s s ( ) = ( ) sin( ) + cos( ) ( ) ( ) = s cos( s ) + sin( s ) = s d s. Dvs. hvis mn bevæger sig rundt i enhedscirklen efter denne prmetrisering så ændres hstigheden. Jo større s bliver, og dermed jo længere rundt i enhedscirklen vi kommer, desto større frt får vi på (figur 1.6)! En kurveprmetrisering som den første i eksempel , hvor frten er konstnt 1 vil vi klde en nturlig kurveprmetrisering. Figur 1.6. Hstighed lngs r. I eksempel lgde vi op til t mn kn ændre en kurves prmeter, men bevre sporet. Det vil vi gerne formlisere gennem følgende definition: Definition Ld ( ) rt () = xt (), yt (), t I= [ b, ] være en differentibel prmetriseret kurve. Ld h være en kontinuert, strengt voksende og differentibel funktion h: J I, hvor J = [ c, d] således t: hc () = hd ( ) = b Ser vi nu på kurven rs ( ) = rhs ( ( )), s J, som hr smme spor som r, så klder vi h en re-prmetrisering f kurven r. I beviset for det isoperimetriske problem skl vi benytte følgende sætning, som vi vil komme nærmere ind på i fsnit Sætning Ld r være en regulær, lukket og simpel differentibel prmetriseret kurve. Så gælder t der ltid eksisterer en re-prmetrisering f r således t vi opnår en nturlig kurveprmetrisering, som er positivt orienteret. 3 Se [DC] s. 1- Remrk, for en gennemgng f dette.

23 Du hr nu mnge f de grundlæggende redskber og begreber, som er nødvendige for t kunne forstå både sætningen, men også beviset, for løsningen til det isoperimetriske problem, men hvis du gerne vil lære mere om prmetriserede kurver inden du går i krig med dette nbefler jeg t du forsøger t løse opgverne på næste side, bruger lidt tid på t læse kpitel 3 og derefter går til kpitel. 3

24 1.5. Opgver til Kpitel 1. Opgve Bestem sporet for kurven givet ved: ( ) rt () = 5,(1 t)3+ 7 t, t [;1] Opgve Find mindst to forskellige kurver, således t spor() r =enhedscirklen, og således t r er negtivt orienteret. 3 Opgve Se på kurven r givet ved: ( ) r() t = t, bt ct, t [; d], hvor bcd,,,. Afgør, om der findes værdier f de fire konstnter således t r bliver semilukket. Hvis J, findes der så værdier f disse konstnter så r bliver lukket? Opgve Ld r være givet ved: ( ) rt ( ) = cos( t),sin( t), t [ + ; π ], hvor > er et positivt reelt tl. Findes der værdier f således t r bliver simpel? Hvis J, hvilke? Opgve Benyt sætning til t vise t der for en cirkel med rdius R gælder t: Arel = π R Hint: Bestem en kurve r, hvis spor er en cirkel med rdius R og som opfylder betingelserne i sætning Opgve Ld r være givet ved: ( ) rt () = t,5 gt (), t, hvor g er en differentibel funktion. ) Bestem g så r er en nturlig kurveprmetrisering. b) Hvd er sporet for r med denne værdi f g? Opgve Bevis t kurven i eksempel er lukket. Hint: Det er nok t kontrollere de første 4 fledte. Sndt/flsk quiz udsgnene nedenfor skl besvres med sndt eller flsk, og med en begrundelse f dit svr. Udsgn De to prmetriske ligninger prmetriseret kurve. 17 t x() t sin(), t y() t t e = = fremstiller en differentibel, Udsgn En lukket kurve er ltid regulær. Udsgn En kurves hstighed og frt er det smme. Udsgn Funktionen kurve. 3 f( x) = x x, x [ ;] kunne godt være en re-prmetrisering f en 4

25 Kpitel. Hovedsætning. I dette kpitel vil vi give os i kst med selve beviset for løsningen til det isoperimetriske problem. Hvis du læst kpitel 1 burde du være i stnd til t følge rgumenterne i beviset. I fsnit.1. er 5 lemmer, som nvendes i beviset. Du kn springe beviset for lemmerne over i første gennemlæsning, d de ikke er væsentlige i denne smmenhæng..1. Hjælpesætninger til hovedsætning. Lemm.1.1: Ld og b være to positive tl b>,. Så gælder følgende: (.1.1) 1 ( ) + b b og der gælder lighed hvis og kun hvis =b. Bevis: D b>, gælder også t, b >. Det er også klrt t Derved får vi t: (.1.) ( b) ( b) = + b b + b b 1 ( + b ) b Dermed hr vi vist formel (.1.1). Hvis =b er det let t se t der bliver lighed i (.1.1). Hvis vi ntger t der er lighed i (.1.1) er der nødt til t være lighed overlt i (.1.) dvs. ( b) = som kun kn lde sig gøre hvis =b d både og b vr ntget t være positive. Figur.1. Cirkel med omkreds l, rel A og rdius r. Lemm.1.: Ld C være en cirkel med rdius r, omkreds l og rel A (figur.1). Så gælder: 5

26 Bevis: Vi ved t A = π r og t l l = 4π A = π r. Bruger vi dette fås: l = πr l = 4π r l = π r 4 l 4π 4π A = π r = l = A Lemm.1.3: Ld f være en kontinuert funktion defineret på et lukket intervl I = [ b ; ]. Antg t f ( t), for lle t I. Så gælder t: (.1.3) f ( tdt ) b Bevis: Antg t f( t ) = for lle t I. Det vil med ndre ord sige t f er den konstnte funktion med funktionsværdi på hele intervllet fr til b. Funktionen f opfylder derfor uligheden: f ( t), t I Udtrykket ( b ) er derfor både en oversum og en undersum til integrlet f f fr til b. Dette integrle må ltså opfylde uligheden: b ( b ) f( t) dt ( b ) og er derfor nødt til t være nul. Udsgnet i lemmet er derfor sndt hvis f er nulfunktionen. Figur.. Figur til lemm.1.3. Antg nu t der findes en t-værdi t så f( t ) >. D f er kontinuert, så kn vi ntge t der findes et positivt tl c, således t f opfylder uligheden: f ( t) f() t f( t) < når t ligger i intervllet ( t c; t + c) (se evt. fsnit 3.). På figur. ses hvd dette betyder for grfen for f. 6

27 Vi ved ltså t på hele intervllet ( t c; t + c), der er f nødt til t opfylde uligheden: f ( t) f() t > Vi kn nu opskrive en undersum til integrlet for f fr til b. b f( t ) f () tdt t c + t + c t c (( ) ) (( ) ( )) ( b ( t c) ) + + f t = = c f( t ) ( ) ( c ) men vi ved jo t både f ( t ) og c er skrpt større end nul, vi hr derfor vist t: som vr det vi ville vise. b f() t dt c f( t ) > Lemm.1.4: Ld f, g være to kontinuerte funktioner defineret på det smme intervl I = [ b ; ]. Antg t f ( t) g( t), for lle t I. Så gælder t: b b (.1.4) f ( tdt ) gtdt ( ) Bevis: D f () t g() t følger det t: ht () = f() t gt (), t I (figur.3). D både f og g vr ntget t være kontinuerte er differensen f dem, og dermed h det også. Vi hr ltså en kontinuert funktion h, defineret på et intervl I, som opfylder: ht ( ), t I. Figur.3. Definition f h i lemm.1.4. Vi kn nu benytte lemm.1.3 til t sige t: 7

28 b b htdt ( ) f( t) g( t) dt b f ( tdt ) gtdt ( ) b Dermed er lemmet bevist. Lemm.1.5: Ld f være kontinuert på intervllet I = [ b ; ]. Antg t f ( t), for lle t I. Så gælder t: b (.1.5) f ( tdt ) = f( t) =, t I Bevis: Vi vil bevise de to impliktioner i (.1.5) hver for sig. : Denne impliktion viste vi llerede i beviset for lemm.1.3. b : Antg nu t f() t dt = og f() t for lle værdier f t. Vi vil bevise t f er nødt til t være identisk nul vh. et modstridsbevis. Antg derfor t der eksisterer en t-værdi t [ ; b] således t ( ) f t >. I beviset for lemm.1.3 viste vi, t hvis der findes bre én sådn t-værdi, så bliver integrlet f f fr til b skrpt større end nul men det er jo en modstrid til vores ntgelse om t integrlet skulle være nul. Altså er f ( t ) nødt til t være nul i lle t-værdier. Det vr de fem små lemmer, som skl bruges i beviset for løsningen til det isoperimetriske problem. Du er nu klr til t kste dig over selve hovedsætningen. 8

29 .. Det isoperimetriske problem. Vi vil her bevise sætningen om løsningen til det isoperimetriske problem i lle detljer. Hvis du hr forstået de foregående fsnit skulle du være godt rustet til t forstå beviset for sætningen. Sætning Ld C være en simpel, lukket og regulær pln kurve med længde l og ld A være relet fgrænset f C. Så gælder: (..1) l 4π A og der gælder lighed hvis, og kun hvis C er en cirkel. Det sætningen med ndre ord siger er, t det rel A, som kn begrænses f lukkede kurver med fst omkreds l, er begrænset f et fst tl: l A 4π og t der gælder lighed hvis og kun hvis C er en cirkel. Bevis: Ld L og L være to prllelle linier, som ikke møder C og flyt dem mød hinnden til de første gng møder C. Således opnås to prllelle linier L og L så kurven C er helt indeholdt i striben mellem disse. Betrgt også en cirkel C, som hr både L og L som tngent og som ikke møder C. Ld O være centrum i C og tg et koordintsystem, med begyndelse i O og x-ksen vinkelret på L og L. Ld fstnden mellem L og L være R. Dermed bliver rdius i C lig R. Som vi hr set i sætning så kn C re-prmetriseres så den får en nturlig kurveprmetrisering, og så den er positivt orienteret. Denne prmetrisering vil vi betegne med: Figur.4. Betegnelser i bevis for hovedsætning. ( ) rs () = xs (), ys (), s [;] l Ld C være prmetriseret ved ( ) hvor x og y er givet ved: r() s = x(), s y(), s s [;] l 4 Se [DC] for en lterntiv gennemgng f denne sætning. 9

30 xs () = xs () ys () ( ) R xs (), s s = R ( xs ()), s s l Hvis vi regner efter, så kn vi se t: x() s + y() s = x() s + R x() s = R og dermed t punkterne ( x( s), y( s )) ligger på en cirkel med rdius R. Idet x() s = x() s er vi endvidere sikre på t komme hele vejen rundt i cirklen. Det er dog vigtigt t bemærke t prmetriseringen f C ikke nødvendigvis er 1-1 eller sgt på en nden måde: Hvis vi følger prmetriseringen rundt i cirklen er det ikke sikkert vi kører smme vej hele tiden, men nogle gnge kører den nden vej for så t skifte igen. Den pointe vi vil hve frem her er, t strtpunkt er lig slutpunkt og t vi kun kører én gng rundt i cirklen. Vi ved fr sætning og bemærkningen umiddelbrt efter, hvordn vi skl beregne relerne fgrænset f C(=A) og C (= A ): l A= x() () s y s ds l l R A y() () s x s ds y() () s x s ds π = = = Bm: Fremover skriver jeg ikke t funktionerne fhænger f vriblen s - det er underforstået. Dermed hr vi t: l l l A R xy ds yx ds xy yx ds (..) + π = = ( ) Idet der gælder t: (..3) ( xy yx ) ( xy yx ) ( x + y )(( x ) + ( y ) ) 3

31 så kn vi bruge lemm.1.4. til t vise, t der gælder: (..4) l ( ) ( ) l xy yx ds xy yx ds l ( ) ( ) ( ) ( ) x + y x + y ds D C er givet ved en nturlig kurveprmetrisering gælder t: ( ) ( ) r ( t) = x + y = 1 og for prmetriseringen f C gælder t: x + y = R d C jo er en cirkel med rdius R. Indsætter vi disse to identiteter i det sidste integrle i (..4), så får vi følgende: l ( ) (..5) ( ) ( ) ( ) x + y x + y ds= Rds= Rl og dermed ltså idet vi smmensætter resultterne fr (..), (..4) og (..5) t: l (..6) A+ π R Rl Bruger vi nu lemm.1.1 på de to positive tl A og π R, og nvender uligheden i (..6), så ser vi t: (..7) A R A R lr Aπ R 4π AR l π 1 1 ( + π ) 1 l R 4 l R 4π A Dette viser ltså formel (..1). 31

32 Det vi mngler t vise nu er t: (..8) = 4 er en cirkel l π A C " ": Antg t C er en cirkel. D C hr både L og L som tngenter er den nødt til t hve rdius r og er dermed en cirkel svrende til C. Lemm.1. viser t der generelt gælder for cirkler t: omkreds = 4 π ( rel) benytter vi dette, så hr vi ltså t: l = 4π A og vi hr dermed vist den ene impliktion i (..8). " ": Antg nu t l = 4π A. Af dette følger t: (..9) l lr = 4π A = 4π AR 1 =,,, > A π R lr d A R l Dermed hr vi lighed overlt i (..7) og lemm.1.1 fortæller os så t de to positive tl A og π R er nødt til t være ens. Indsættes dette i sidste ligning i (..9) fås: π R = lr 1 l R = π Af dette ses t R = rdius i C kun fhænger f omkredsen f C og ltså ikke f retningen f L og L. Lighed i (..7) betyder yderligere t der må være lighed i (..6) og dermed t der må gælde lighed i ligning (..4). 3

33 Det følger f (..3) t: ( )( ) f() s = x() s + y() s x () s + y () s ( ) x( sy ) ( s) ysxs ( ) ( ), s [; l] og dermed t f er en positiv funktion. Bruger vi nu lemm.1.3 ser vi ltså t: l l ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f () sds= x y x y xy yx + + ds Men lighed i (..4) medfører t: l f() s ds= og d f er en positiv funktion på hele integrtionsintervllet hr vi fr lemm.1.5 t f=, hvorf følger t: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( xx yy ) x + y x + y xy yx = x + y x + y = xy yx x + y x + y = xy yx xx + xy + yx + yy xy yx + xx y y = xx + yy + xx y y = + = xx + yy = xx = yy x y = y x 33

34 Dvs. ( x, y ) er proportionl til ( y, x ) med en eller nden ukendt proportionlitetsfktor g, som kn være en konstnt, eller en funktion f s, det ved vi endnu ikke: (..1) x = gy, y = gx Vi så i (..3) t der gælder: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) og dermed t f givet ved: x + y x + y = R xy yx ( ) f () s = R x() () s y s y() () s x s er en positiv funktion. Fr lighedstegnet i (..4) ved vi desuden t: l l ( ( )) f() s ds = R x() () s y s y() () s x s ds= D f vr positiv bruger vi igen lemm.1.5 som fortæller os t f=, dvs. R xy + yx = Indsætter vi nu værdierne for x og y fr ligning (..1), så får vi t: (( ) ) ( ) ( ) R g y g x = (( ) ( ) ) R g y + x = R g =, d C hr en nturlig kurveprmetrisering R= g dvs. t g er en konstnt og t: (..11) x = Ry, y = Rx 34

35 Vi hr tidligere set t R er ufhængig f hvilken retning L og L hr, vi kn derfor tillde os t bytte om på koordintkserne som vist på figur.5. Gennemfører vi lle de ovenstående beregninger, blot hvor vi hr byttet om på x og y, så får vi følgende ligning, som er en pendnt til (..11): (..1) y = Rx Ud fr ligningerne (..11) og (..1) ses det t: (( ) ( ) ) x + y = R y + x = R idet C vr givet ved en nturlig kurveprmetrisering. Hermed hr vi vist t r beskriver en cirkel med rdius R, hvilket færdiggør beviset. Figur.5. Skift f koordinter. Beviset kn godt virke lidt uoverskueligt ved første gennemlæsning, men prøv t læs det igen og prøv t finde en struktur i beviset. Først beviser vi t simple, lukkede og regulære plne kurver med længde l er nødt til t opfylde uligheden i (..1) dette er hovedindholdet i (..7). Herefter beviser vi t der kun kn gælde lighedstegn i uligheden hvis C er en cirkel, og omvendt t der gælder lighedstegn, hvis C er en cirkel. Hr vi nu bevist sætningen om det isoperimetriske problem? I prksis er svret j, der er dog nogle små detljer i beviset, som vi hr sprunget let og elegnt hen over. Bemærkninger: - på side 8 hr vi defineret kurven r på intervllet [; ] l, hvor l er kurvens længde, men hvordn kn vi være sikre på t det kn lde sig gøre; jo det hr noget t gøre med t r er givet ved en nturlig kurveprmetrisering, idet prmeteren i sådnne tilfælde fktisk måler hvor lng kurven er. Dette vil vi komme nærmere ind på i fsnit

36 - i lemm.1.3 hr vi kun gennemført beviset, hvis t ligger i det åbne intervl fr til b. Hvd nu hvis t = eller = b. Lemmet er selvfølgelig stdig korrekt, men der skl t ændres små ting i beviset. Dette vil jeg overlde til læseren f gennemføre (opgve.3.1). - på side 8 påstod vi t prmeteren kn vælges, således t værdien s = korresponderer med et vilkårligt punkt på sporet for r. Dette er også et f de emner, som vi vil komme nærmere ind på i fsnit 3.4. Lder vi som t disse småfejl er på plds, så hr vi nu bevist sætningen til bunds. Det smukke ved netop dette bevis er, t der indbygget i beviset er en konstruktion f den kurve, som giver lighedstegn i uligheden ltså cirklen. Mnge f de første forsøg på t bevise sætningen tog ikke højde for t dette kunne være et problem. Disse overvejelser vil vi komme nærmere ind på i kpitel 6. 36

37 .3. Opgver til Kpitel. Opgve.3.1. Reprer beviset for lemm.1.3 jf. bemærkningen på side 3. Opgve.3.. Gennemfør udregningerne med x og y byttet om overbevis dig om t (..1) er korrekt. Opgve.3.3. Antg i lemm.1.3 t f ( t) >, t I, ltså t f er skrpt større end nul. Gælder der så tilsvrende for integrlet f f t: b f() t dt > Opgve.3.4. På side 5 rgumenterer vi for t ligheden x() s = x() s er nok til t sikre t prmetriseringen f C fører os hele vejen rundt i cirklen hvorfor er det sndt? Opgve.3.5. Bevis t ulighederne i (..3) er rigtige. Opgve.3.6. Bevis t uligheden i (..6) er snd. Sndt/flsk quiz. Udsgn.3.7. Uligheden i lemm.1.1. er også snd hvis det ene f de to tl og b er nul. Udsgn.3.8. Der gælder lighed i (.1.4) hvis og kun hvis f = g. 37

38 Kpitel 3. Prmetriserede Kurver. Vi skl i dette kpitel undersøge nogle flere f egenskberne ved prmetriserede kurver, bl.. hvordn mn kn beregne længden f en kurve Mere om prmetriserede kurver. For t få begrebet en kurve lidt længere ind under huden, så vil vi gennemgå nogle flere eksempler på forskellige kurver. Figur 3.1. Hjul, der ruller. Eksempel Forestil dig t vi hr et hjul med rdius, som ruller med jævn frt hen f x-ksen. På hjulet hr vi mrkeret et punkt p (figur 3.1). Nu kunne vi godt tænke os t finde en prmetrisering f den kurve, punktet p beskriver når hjulet ruller to omgnge. Vi vil klde den vinkel, der svrer til det buestykke hjulet hr rullet t, og ntger, t til t= befinder p sig i punktet (,). Følger vi først centrum for hjulet, så ser vi for det første t det hr konstnt y-værdi lig. x-værdien svrer derimod til det buestykke hjulet hr rullet, dvs. t. Vi hr ltså t: r = t, centrum ( ) Figur 3.. Retningsvektorer Figur 3.3. Cycloiden ved gennemløb er retningsvektor for hjulets centrum. Ser vi nu på punktet p s bevægelse i forhold til hjulets centrum (figur 3..), så er det klrt (overbevis dig selv om t dette er rigtigt), t en retningsvektor for p i forhold til centrum er: rpcentrum, = ( sin( t), cos( t) ) Adderer vi nu disse vektorer, så får vi den vektor, som ngiver p s position, når hjulet hr rullet det der svrer til en vinkel på t: rp = ( ( t sin( t)), (1 cos( t)) ) Lder vi hjulet rulle to omgnge beskriver p kurven på figur 3.3. Denne kurve kldes en cycloide. 38

39 Figur 3.4. Figur til opgve Opgve Forestil dig nu t vi stdig hr hjulet med rdius, der ruller, men t punktet p befinder sig på et hjul med rdius b, som følger det første hjul (figur 3.4). 1) Vis t vektoren, som ngiver p s position nu er givet ved: rp = ( t bsin( t), bcos( t) ), hvor t som i ngiver vinklen. ) Skitser den kurve p beskriver når hjulet drejer omgnge for =1 og b=½. 3) Skitser kurven for =1 og b=. Den kurve, som opstår kn fktisk godt findes, som grfen for en funktion, med det er betydeligt nemmere t beskrive den ved hjælp f koordintfunktioner som ovenfor fordi denne funktion er svær t beregne: y x = f( y) = cos y y 1 Prøv selv for sjov t isolere y i denne ligning. Ld os nu skrive den formelle definition f, hvd en kurve i plnen egentlig er givet som: Definition 3.1.3: En prmetriseret kurve i plnen C består f et ordnet pr f differentible funktioner (f,g) begge defineret på det smme intervl I. Ligningerne: x() t = f(), t y() t = g(), t t I kldes kurven C s prmetriske ligninger og vriblen t kldes prmeteren for kurven. Eksempel 3.1.4: Cykloiden i eksempel er en prmetriseret kurve givet ved ( t ( sin( t)), (1 cos( t)) ), t [, 4π ] Cykloidens prmetriske ligninger er: x() t = ( t sin()) t. yt () = (1 cos()) t For t lette nottionen, hr vi også betegnelsen r, for retningsvektoren til et punkt givet ved en kurveprmetrisering r: I givet ved: (3..1) rt () = ( xt (), yt ()) 39