Gödels ufuldstændighedssætninger Thomas Bolander, DTU Informatik UNF foredrag, HCØ, 13. april 2010 Thomas Bolander, UNF, F10 s. 1/34
Introduktion En populær formulering af Gödel s (første) ufuldstændighedssætning udtrykker følgende: Der findes sande matematiske sætninger som ikke kan bevises. Sætningen er en alvorlig kæp i hjulet på matematikken: 1. Matematik adskiller sig klassisk set positivt fra andre fag ved at give fast grund under fødderne i kraft af at vi kun tror på det som kan bevises matematisk. 2. Hvis ikke alle matematiske sætninger kan bevises, må der være tilfælde hvor den faste grund vakler, og vi må gætte os frem, forlade os på ren intuition el.lign. Men det er vigtigt allerførst at prøve at forstå hvad sætningen egentlig helt præcist siger. Det kræver lidt historisk baggrund... Thomas Bolander, UNF, F10 s. 2/34
Matematikkens absolutte sikkerhed Matematikken har alle dage brøstet sig af at skaffe absolut sikkerhed for sine påstande igennem matematiske beviser. Eksempel. Euklids Elementer om geometri fra det 3. århundrede f.kr. har været benyttet som lærebog og reference-værk helt op til det 20. århundrede og opfattes stadig i dag som fuldstændigt fejlfri. Ikke mange bøger med 2000 år på bagen opfattes stadig i dag som perfekte og fejlfri. Thomas Bolander, UNF, F10 s. 3/34
Trussel mod den absolutte sikkerhed Omkring 1900 begyndte tilliden til matematikkens absolutte sikkerhed imidlertid at vakle. Det skete da der blev opdaget paradokser i mængdelæren. Mængdelære er den del af matematikken der omhandler mængder. Eksempler på mængder. {1, 2, 3} {0, 2, 4, 6, 8, 10} {0, 2, 4, 6, 8, 10,... } {0, 123.453, π, 1 e π, {0, 2, 4, 6,... },,, } Thomas Bolander, UNF, F10 s. 4/34
Det naive mængdebegreb Intuitivt kan en mængde bestå af vilkårlige matematiske objekter: tal, funktioner, geometriske objekter, ligninger, andre mængder osv. Intuitivt er en mængde således bare en slags matematisk rodekasse, som vi kan putte hvad vi nu har lyst til ned i, for at holde samling på det. {π, e} {2, 3, 5, 7, 11} 10 Dette afspejles i mængdebegrebet som formuleret af mængdelærens fader, Georg Cantor, i 1895: Unter einer Menge verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objecten m unsrer Anschauung oder unseres Denkens (welche die Elemente von M genannt werden) zu einem Ganzen. Thomas Bolander, UNF, F10 s. 5/34
Paradokser Desværre viser Cantors mængdebegreb sig at lede til alvorlige problemer for matematikken. Det leder til paradokser. Paradoks: Et tilsyneladende korrekt ræssonement der, baseret på tilsyneladende korrekte antagelser, leder til en modstrid. Det mest berømte af mængdelærens paradokser er Russells paradoks... Thomas Bolander, UNF, F10 s. 6/34
Russells paradoks Russells paradoks (1901). Mængden U af alle mængder er et eksempel på en mængde som indeholder sig selv (altså U U). Mængden N af naturlige tal er derimod et eksempel på en mængde som ikke indeholder sig selv (altså N N). Betragt nu mængden R af alle mængder som ikke indeholder sig selv, det vil sige, lad R = {x x x}. Spørgsmålet er nu: indeholder R sig selv eller ej? Antag først at R indeholder sig selv. Da må den per definition af R være en af de mængder som ikke indeholder sig selv, hvilket er en modstrid. Antag modsat at R ikke indeholder sig selv. Da opfylder den R s definition og må derfor være element i R. Konklusionen er så at R er element i R, hvilket igen er en modstrid. Uafhængigt af vores antagelse omkring R ledes vi altså frem til en modstrid. Denne modstrid kaldes Russells paradoks. I matematisk notation: R R R {x x x} R R. Thomas Bolander, UNF, F10 s. 7/34
Barberens paradoks Russell giver selv følgende analogi til sit paradoks: Forestil dig en landsby med en enkel barber. Det er her naturligt at forestille sig at barberen er den som barberer alle som ikke barberer sig selv. Spørgsmålet er nu: barberer barberen sig selv eller ej? Thomas Bolander, UNF, F10 s. 8/34
Konsekvenser af paradokserne Russells paradoks rystede matematikkens grundvold i starten af det 20. århundrede, fordi man ikke kunne finde nogen let måde at undslippe det på. Det er klart at man ikke kan tillade en matematik bygget på et fundament som indeholder paradokser, for så har man reelt ikke sikkerhed for noget som helst længere. Normalt vil man jo vide at hvis et udsagn er gyldigt (f.eks. 2 + 2 = 4) er det modsatte udsagn ugyldigt (f.eks. 2 + 2 4), men det bryder sammen i paradokserne (R R er gyldig hvis og kun hvis R R er det). Paradokserne leder derfor til en reel matematisk grundlagskrise i starten af det 20. århundrede, og man føler at hele matematikkens fundament er ved at brase sammen. Thomas Bolander, UNF, F10 s. 9/34
Løsning af paradokserne Det viser sig at være ikke helt ligetil at løse paradokserne. Russell skriver i sin selvbiografi følgende om sit forsøg på at løse sit paradoks: I was trying hard to solve the contradiction mentioned above. Every morning I would sit down before a blank sheet of paper. Throughout the day, with a brief interval for lunch, I would stare at the blank sheet. Often when evening came it was still empty. Lad os prøve at analyse hvad der foregår i paradokserne. En afgørende komponent i både Russells og Grellings paradoks er selvreference... Thomas Bolander, UNF, F10 s. 10/34
Selvreference Selvreference: Selvreference bruges om objekter som refererer til sig selv. Det sker ved at en del af objektet refererer til (betegner) objektet som helhed. Det kan være tilfældet for: sætninger ( Denne sætning indeholder 5 ord ), tanker ( denne tanke fører ingen vegne ), definitioner, litteratur, billeder,... Et selvrefererende billede. Et webcam laver screenshot af skærmen som viser screenshottet. Thomas Bolander, UNF, F10 s. 11/34
Eksempler på selvreference En selvreferende tanke. Den danske forfatter Poul Martin Møller har i En dansk students eventyr (1843) brugt selvreference til at illustrere hvor svært det kan være at blive færdig med store skriftlige opgaver (!): Min uendelige Grandsken derover giør, at jeg Intet udretter. Fremdeles kommer jeg til at tænke paa mine Tanker derover, ja, jeg tænker over, at jeg tænker derover, og deler mig selv i en uendelig tilbageskridende Rad af Jeger, der betragter hinanden. Jeg ved ikke hvilket Jeg, der skal standses ved, som det egentlige, og i det Øieblik jeg standser ved eet, er det jo igien et Jeg, der standser derved. Jeg bliver ør og betaget af Svimmelhed, som om jeg stirrede ned i en bundløs Afgrund, og Tænkningen endes med, at jeg føler en rædsom Hovedpine. Sammenlign ovenstående citat med screenshottet fra før. En selvrefererende regel. Alle regler har en undtagelse. Thomas Bolander, UNF, F10 s. 12/34
Flere eksempler på selvreference En selvrefererende figur. Fraktaler er også selvrefererende i den forstand at dele af fraktalen er formindskede kopier af hele fraktalen: Thomas Bolander, UNF, F10 s. 13/34
Flere eksempler på selvreference En indirekte selvrefererende definition. Følgende er to definitioner fra den berømte Websters ordbog over det engelske sprog (1828-udgaven): regain: to recover, as what has escaped or been lost. recover: to regain; to get or obtain that which was lost. regain recover Hvad med en ordbog over hele sproget? En selvrefererende definition. Ved en mængde forstår vi en vilkårlig samling af matematiske objekter (herunder mængder). Dette er netop Cantors forsøg på en definition af mængde-begrebet! Selve mængdebegrebet er således defineret på en selvreferende måde, hvilket ikke var klart da Cantor oprindeligt formulerede det. Thomas Bolander, UNF, F10 s. 14/34
Selvreference i paradokserne At noget er selvrefererende er ikke i sig selv et problem. Men i tilfældet med Cantors mængdebegreb viser det sig imidlertid at være et stort problem. Det leder til Russells paradoks, som viser at mængdebegrebet er modsigelsesfuldt og dermed ubrugeligt. Russells paradoks er også i sig selv selvrefererende, fordi definitionen af Russell-mængden R refererer til alle mængder, herunder mængden R selv. En mængde som indeholder sig selv er altid selvrefererende (og har en uendelig dybde ): Thomas Bolander, UNF, F10 s. 15/34
Løsning på paradokserne Det ledende synspunkt i starten af det 20. århundrede var at grundlagskrisen skabt af Russells paradoks skulle løses ved at antage en formalistisk tilgang til matematikken: forsøge at genopbygge matematikken fra grunden kun ved hjælp af streng symbolmanipulation indenfor såkaldte formelle systemer... Thomas Bolander, UNF, F10 s. 16/34
Formelle systemer Et formelt system er karakteriseret ved størrelserne konstanter, variable, formler, aksiomer, slutningsregler og beviser. Konstanter betegner konkrete objekter, f.eks. et tal 42. Variable betegner ubekendte, f.eks. x i ligningen x + 1 = 3. Som symboler for variable benyttes x, y, z, w,.... Logiske symboler betegner andre symboler som benyttes i systemet, f.eks. +, og =. Formlerne i systemet opbygges af systemets konstanter, variable og logiske symboler, f.eks. x + 1 = 3 og x + y + z = x x + 117. Eksempel. I et formelt system med konstanter 0, 1, 2, 3,... og logiske symboler +,, =, og kan vi f.eks. skrive en formel som x = 5 y = 7 x + y = 12. Pointen er nu at vi i de formelle systemer også introducerer aksiomer og slutningsregler, som gør at vi kan begynde at bevise formler... Thomas Bolander, UNF, F10 s. 17/34
Eksempel pa formelt system Et formelt system kan siges at modellere en del af verden. Som eksempel vil vi nu prøve at skabe et lille formelt system som kan modellere det lille overfyldte bord pa billedet. Eksempler pa mulige formler i systemet: pa (mandarin,lille bog) og pa (x,y) pa (y,x). Vi udvælger nu aksiomer og slutningsregler: Aksiomer: (A1) pa (mandarin,lille bog) (A2) pa (lille bog,store bog) (A3) pa (x,y) over(x,y) (A4) over(x,y) over(y,z) over(x,z) Slutningsregler: (S1) ψ udfra ϕ ψ og ϕ. (S2) ϕ ψ udfra ϕ og ψ. (S3) ϕ(k1,..., kn ) udfra ϕ(x1,..., xn ), hvor ki erne er konstanter. Thomas Bolander, UNF, F10 s. 18/34
Eksempel på formelt bevis Følgende er et (formelt) bevis i det konstruerede formelle system: 1. på(mandarin,lille bog) aksiom (A1) 2. på(lille bog,store bog) aksiom (A2) 3. på(x,y) over(x,y) aksiom (A3) 4. på(mandarin,lille bog) over(mandarin,lille bog) regel (S3) på 3. 5. over(mandarin,lille bog) regel (S1) på 1.,4. 6. på(lille bog,store bog) over(lille bog,store bog) regel (S3) på 3. 7. over(lille bog,store bog) regel (S1) på 2.,6. 8. over(mandarin,lille bog) over(lille bog,store bog) regel (S2) på 5.,7. 9. over(x,y) over(y,z) over(x,z) aksiom (A4) 10. over(mandarin,lille bog) over(lille bog,store bog) over(mandarin,store bog) regel (S3) på 9. 11. over(mandarin,store bog) regel (S1) på 8.,10. som beviser at mandarinen ligger over den store bog... Thomas Bolander, UNF, F10 s. 19/34
Formelle systemer for matematik Men nu handler matematik jo mere om tal og mængder end om mandariner og bøger... Så de formelle systemer man normalt er interesseret i indenfor matematik er formelle systemer for talteori, mængdelære, osv. Man kan lave et formelt system for talteori ved at tage 0, 1, 2, 3,... som konstanter og lade aksiomerne være talteoretiske udsagn såsom x + 0 = 0 og x (y + 1) = x y + x. Man har også brug for at sige noget om ting som ikke gælder, f.eks. at 2 ikke er lig 3. Hertil har man brug for et logisk symbol for negation, (læses ikke ). Vi kan så skrive 2 = 3. Et af aksiomerne i det formelle system for talteori er x + 1 = 0. Redningsplanen for matematikken i starten af det 20. århundrede var at forsøge at genopbygge hele matematikken indenfor formelle systemer startende med det formelle system for talteori. Thomas Bolander, UNF, F10 s. 20/34
Konsistens og fuldstændighed Hvis et formelt system for (en del) af matematikken skal kunne redde noget som helst forventes det at have følgende to egenskaber: 1. Det er paradoksfrit. 2. Alle formler i systemet kan enten bevises eller modbevises (en formel ϕ siges at kunne modbevises hvis dens negation, ϕ, kan bevises). Disse to egenskaber svarer formelt til konsistens og fuldstændighed: 1. Konsistens: Et formelt system kaldes konsistent hvis der ikke eksisterer en formel ϕ så både ϕ og ϕ (ikke-ϕ) kan bevises. (paradoksfrihed) 2. Fuldstændighed: Et formelt system kaldes fuldstændigt hvis der for alle formler ϕ gælder at enten ϕ eller ϕ kan bevises. Bemærk at det at flytte matematikken over i et formelt system ikke i sig selv er en garanti for paradoksfrihed/konsistens: Et formelt system for Cantors mængdelære er nødvendigvis inkonsistent fordi Russells paradoks giver os en mængde R så både R R og R R kan bevises. Thomas Bolander, UNF, F10 s. 21/34
Formalisering af matematikken Ideen er nu at finde et passende sæt aksiomer og slutningsregler indenfor hvilke vi kan bevise alle matematikkens sætninger på et mere solidt grundlag. Men det at forsøge at mekanisere matematikken igennem formelle systemer er ikke i sig selv nogen garanti for at vi får et mere solidt grundlag. Vi kan eksempelvis let komme i problemer hvis vi laver et formelt system indeholdende aksiomer og slutningsregler svarende til Cantors mængdebegreb som vi introducerede tidligere: Thomas Bolander, UNF, F10 s. 22/34
Gödels ufuldstændighedssætning Ideen med formaliseringen af matematikken fik nådestødet af Gödels resultater. Gödel viste følgende: Gödels ufuldstændighedssætning. Det formelle system for talteori kan ikke både være konsistent og fuldstændigt, og det samme gælder enhver udvidelse af systemet. Med andre ord: Ethvert formelt system som forsøger at indfange hele talteorien vil fejle, idet det enten er inkonsistent (indeholder paradokser) eller vil indeholde formler som systemet ikke kan give os hverken bevis eller modbevis for. Det er så skæbnens (eller Guds eller matematikkens) ironi at Gödel faktisk benyttede præcist det samme fænomen til at bevise sit resultat, som var det der skabte problemet i første omgang: selvreference... Thomas Bolander, UNF, F10 s. 23/34
Uformel variant af Gödels bevis Gödel viste at man i ethvert formelt system indeholdende talteori kan skabe en selvrefererende formel λ som udtrykker: Denne formel kan modbevises. Spørgsmålet er nu: kan formlen λ bevises eller ej? Antag den kan. Så må den udtrykke en sandhed, dvs. negationen λ kan bevises. Men så kan både λ og λ bevises, og systemet må derfor være inkonsistent (ikke-konsistent). Antag modsat at λ ikke kan bevises. Kan λ da bevises? Nej, for λ udtrykker λ kan ikke modbevises. Hermed gælder altså at hverken λ eller λ kan bevises, det vil sige, system er ufuldstændigt (ikke-fuldstændigt). Konklusionen er således at vi enten er tvunget ud i inkonsistens (hvis λ kan bevises) eller ufuldstændighed (hvis λ ikke kan bevises). Dette er netop konklusionen i Gödels ufuldstændighedssætning. Thomas Bolander, UNF, F10 s. 24/34
Gödel-nummerering Det springende punkt i Gödels bevis er naturligvis at nå frem til en formel som udtrykker denne formel kan modbevises. For at opnå selvreference i det formelle system for talteori skal formler kunne tale om andre formler og ikke kun tal. Det opnår Gödel via en såkaldt Gödel-nummerering. Gödel-nummerering: En nummerering ϕ 1, ϕ 2, ϕ 3,... af samtlige formler i det formelle system. Enhver formel ϕ fra systemet får hermed tilknyttet et nummer i rækken. Dette nummer kaldes for Gödel-nummeret af ϕ og betegnes ϕ. Pointen er nu at formler kan refereres til via deres Gödel-nummer. Og da det formelle system for talteori kan udtrykke egenskaber ved tal, kan det også indirekte udtrykke egenskaber ved formler via disse formlers Gödel-numre. 1 2 3 3 > 2 2 > 1 Thomas Bolander, UNF, F10 s. 25/34
Repræsenterbarhed Nu har vi en Gödel-nummerering, så vi kan bruge det formelle system om talteori til at udtrykke egenskaber ved formler. For at præcisere hvad et formelt system kan udtrykke og tale om introducerer vi begrebet repræsenterbarhed. Repræsenterbarhed: Lad M være en mængde af naturlige tal. M siges at være repræsenterbar i et formelt system, hvis der eksisterer en formel ϕ(x) i systemet, så følgende er opfyldt for alle naturlige tal n: n M ϕ(n) kan bevises. I dette tilfælde siger vi at ϕ(x) repræsenterer mængden M. Et tal n er således med i mængden repræsenteret af formlen ϕ(x) hvis og kun hvis ϕ(x) bliver bevisbar når x sættes lig n. Eksempler. Formlen x > 2 x < 7 repræsenterer mængden {3, 4, 5, 6} i det formelle system for talteori. Følgende formel repræsenterer mængden af primtal: x > 1 y z(z > 0 y z = x y = 1 y = x). Thomas Bolander, UNF, F10 s. 26/34
Selvreference i formelle systemer Ovenfor så vi at det formelle system for talteori f.eks. kan tale om endelige mængder af tal og om primtal. Via Gödel-numre kan det også tale om mængder af formler. Gödels mål er at opnå en formel som udtrykker denne formel kan modbevises. Han viser at der i enhver udvidelse af formel talteori findes en formel bevbar(x) som repræsenterer mængden af Gödel-numre af de bevisbare formler i systemet. Hermed kan man for indenfor systemet udtrykke udsagnet formlen ϕ kan modbevises ved formlen bevbar( ϕ ). Systemet kan altså nu snakke om hvilke andre formler der er bevisbare og modbevisbare indenfor systemet selv. Thomas Bolander, UNF, F10 s. 27/34
Selvreference i formelle systemer Vi mangler nu blot at kunne konstruere en formel som om sig selv udtrykker af den er modbevisbar. Det opnår Gödel ved at konstruere en formel λ for hvilken følgende ækvivalens er bevisbar: λ bevbar( λ ). Formlen bevbar( λ ) udtrykker formlen λ er modbevisbar. Ækvivalensen udtrykker således at λ er ækvivalent med formlen som udtrykker at λ er modbevisbar. Derfor kan man tænke på λ som en formel der udtrykker om sig selv at den er modbevisbar. Altså udtrykker λ præcist påstanden denne sætning er modbevisbar, som i vores uformelle variant. Vi har nu alt der kræves for at gennemføre Gödels bevis i en mere formel variant... Thomas Bolander, UNF, F10 s. 28/34
Gödels ufuldstændighedssætning Gödels ufuldstændighedssætning. Det formelle system for talteori kan ikke både være konsistent og fuldstændigt, og det samme gælder enhver udvidelse af systemet. Bevis. Vi betragter formlen λ fra før som gør følgende ækvivalens bevisbar: λ bevbar( λ ). (1) Da bevbar(x) repræsenterer mængden af Gödelnumre af bevisbare formler må gælde: λ kan bevises bevbar( λ ) kan bevises. (2) Ækvivalensen (1) kan benyttes til at omskrive venstresiden af (2), hvorved vi får: bevbar( λ ) kan bevises bevbar( λ ) kan bevises. Heraf følger: Enten er systemet inkonsistent (hvis bevbar( λ ) kan bevises) eller også er systemet ufuldstændigt (hvis bevbar( λ ) ikke kan bevises). Thomas Bolander, UNF, F10 s. 29/34
Intuitionen bag Gödels bevis Lad os prøve at skabe lidt mere intuition om hvad der foregår i Gödels bevis. I kraft af formlen bevbar(x) får vi skabt en uendelig ruse af i hinanden indlejrede delmængder af bevisbare formler, hvor hver delmængde er en repræsentation (model) af af hele mængden af bevisbare formler: Thomas Bolander, UNF, F10 s. 30/34
Uendelige ruser Uendelige ruser giver selvreference, men ikke nødvendigvis af den paradoksale slags. Det giver blot noget i denne stil: Men antag nu at vi i stedet ville skabe en inverteret model af verden... Thomas Bolander, UNF, F10 s. 31/34
Mere om uendelige ruser En inverteret model af verden ser sa ledes ud: Invertering svarer til negation i det formelle system, altsa at snakke om modbevisbarhed i stedet for bevisbarhed. Problemet er nu: Hvad med det entydige punkt som ligger i bunden af den uendelige ruse? Hvilken farve har det? Thomas Bolander, UNF, F10 s. 32/34
Mere om uendelige ruser Det er ikke altid man har adgang til punktet i bunden af den uendelige ruse, men netop Go dels trick med at lade en formel snakke om sig selv svarer til at fa fat i dette punkt. Punktet forsøger at skabe en inverteret model af sig selv, hvilket naturligvis er umuligt. Punktet i bunden af rusen er en slags sort hul, og Go del viste altsa at alle formelle systemer ma have sa danne sorte huller. Thomas Bolander, UNF, F10 s. 33/34
Hvorfor er Gödels sætning speciel? Gödels sætning er meget atypisk og overraskende i matematisk sammenhæng, da den via matematiske metoder viser at der er grænser for hvad der kan opnås ved hjælp af matematiske metoder. Den har også sat en masse tanker i gang omkring grænser for (matematisk) erkendelse, og i det hele taget ændret grundlæggende på vores forståelse af matematikken og dens metoder. Det er interessant at resultatet bygger på selvreference netop selvreference af den problematiske slags man forsøgte at undgå ved at formalisere matematikken. Men der dog er intet paradoksalt ved Gödels resultat: Det viser blot at hvis vi antager både konsistens og fuldstændighed af et formelt system for talteori, så følger paradokserne med ind i det formelle system. Det bedste vi kan håbe på er således at lave formelle systemer som er konsistente, men ikke fuldstændige. Der vil så altid være formler som hverken kan bevises eller modbevises i systemet. Thomas Bolander, UNF, F10 s. 34/34