Forsøg med udkraget bjælke og ramme. - Analyse af dynamisk påvirkede konstruktioner

Forsøg med udkraget bjælke og ramme - Analyse af dynamisk påvirkede konstruktioner

Titel: Emne: Forsøg med udkraget bjælke og ramme Dynamisk analyse af simple konstruktioner Udført af: Vejleder: Projektperiode: Søren Hansen Ida Folke Møller Anders Hørkjær Pedersen Tina Højgaard Christiansen Jens Schmidt Ronnie Refstrup Pedersen 9. februar 25. marts 2009 Synopsis I projektet er der arbejdet med to simple konstruktioner: en udkraget bjælke og en ramme. Der er udført to forsøg med den udkragede bjælke, dels et afklingningsforsøg i hvilket systemets egenfrekvens blev fundet, og dels et forsøg med harmonisk påvirkning af systemet. Der er foretaget studier af systemet i ANSYS og det er fundet, at særligt samlingernes udformning er afgørende for egenfrekvensen. Fuldstændig stive samlinger giver ved studier i ANSYS væsentligt højere egenfrekvenser end eksperimentelt bestemte. Der er lavet forsøg med rammen. På baggrund af forsøgsdata er stivhedsmatricen og massematricen opstillet med formål at skabe grundlag for håndberegning af egenfrekvenserne i et 2DOF-system. Resultaterne sammenlignes med egenfrekvenserne bestemt ved en FFT-analyse. Matricerne anvendes endvidere til at lave numerisk tidsintegration (Newmark) i MATLAB med henblik på at bestemme dæmpningen. Resultatet sammenlignes med en 3Dmodel analyseret i ANSYS. De teoretiske forudsætninger er baseret på små flytninger og lineærteori og der er antaget viskos dæmpning. Sideantal: Oplag: Vedlagt: 66 8 1 CD indeholdende Appendiks A-E

Forord Dette projekt er udarbejdet af gruppe B6-2-F09 ved Aalborg Universitet Esbjerg. Projektet tager udgangspunkt PE-kurset dynamik på byggeretningens 6. semester, foråret 2009. I forbindelse med gennemførsel af kurset i dynamik afholdes foruden den teoretiske undervisning også tre laboratorieforsøg. Forsøgene beskæftiger sig med en udkraget bjælke og en ramme påvirket til svingninger. Der er anvendt FEM-programmet ANSYS, MATLAB og Logger Lite til projektarbejdet. Der anvendes MATLAB-scripts fra dynamikhjemmesiden. Projektet består af nærværende hovedrapport samt en appendiksrapport vedlagt elektronisk på CD. I hovedrapporten analyseres forsøgsresultaterne og sammenholdes med teoretiske og/eller numeriske løsninger. Appendiks A-C indeholder forsøgskurverne til hvert af de tre forsøg. Appendiks D indeholder scripterne til ANSYS-modellerne. Appendiks E indeholder en parameteranalyse for ANSYS. Kildehenvisninger fremgår af fodnoter. Søren Hansen Ida Folke Møller Anders Hørkjær Pedersen Tina Højgaard Christiansen Jens Schmidt

Indholdsfortegnelse 1 Indledning... 1 2 Udkraget bjælke påvirket til fri svingning... 2 2.1 Formål... 2 2.2 Beskrivelse af forsøg... 2 2.3 Forsøgsopstilling... 3 2.4 Teori... 4 2.4.1 Fri svingning... 4 2.4.2 Dæmpede svingninger... 7 2.5 Bearbejdning af forsøgsresultater... 9 2.5.1 Fastlæggelse af fjederkonstanten... 10 2.5.2 Bestemmelse af dæmpet egenfrekvens... 11 2.5.3 Dæmpningsforhold... 12 2.5.4 Bestemmelse af udæmpet egenfrekvens... 15 2.6 ANSYS... 19 2.6.1 Metode... 19 2.6.2 Forsøgsmodellering... 19 2.6.3 Resultater... 19 2.6.4 Indspændingens stivhed... 21 2.7 Diskussion og vurdering af forsøgsresultater... 22 2.7.1 Fjederkonstanten og systemets stivhed... 22 2.7.2 Egenfrekvens på baggrund af forsøgsresultater... 22 2.7.3 Laveste egenfrekvens for fjederen uden masse i toppen... 23 2.8 Fejlkilder og usikkerheder... 24 2.9 Konklusion... 25 3 Udkraget bjælke påvirket af harmonisk last... 26 3.1 Formål... 26 3.2 Forsøgsopstilling... 26 3.3 Beskrivelse af forsøg... 26 3.4 Teori... 27 3.4.1 Beating... 27 3.4.2 Resonans... 28 3.4.3 Harmonisk påvirkning af dæmpet system... 28 3.5 Bearbejdning af forsøgsresultater... 33 3.5.1 Bestemmelse af egenfrekvens... 33 3.5.2 Dæmpningsforhold... 33 3.5.3 Bestemmelse af forstærkningsfaktor... 34 3.6 ANSYS... 41 3.6.1 Formål... 41 3.6.2 Metode... 41

3.6.3 Model I... 41 3.6.4 Model II... 42 3.6.5 Resultater... 42 3.7 Diskussion og vurdering af forsøgsresultater... 44 3.8 Fejlkilder og usikkerheder... 44 3.9 Konklusion... 45 4 Rammekonstruktion påvirket af transient last... 47 4.1 Formål... 47 4.2 Forsøgsopstilling... 47 4.3 Beskrivelse af forsøg... 48 4.4 Teori... 48 4.4.1 Analytisk teori på udæmpet 2DOF-system... 49 4.4.2 Newmark tidsintegration... 50 4.5 Bearbejdning af forsøgsresultater... 51 4.5.1 Bestemmelse af stivhedsmatricen... 51 4.5.2 Beregning af egenfrekvenserne... 53 4.5.3 Bestemmelse af egenfrekvens med Fast Fourier Transformation... 55 4.5.4 Dæmpning ud fra accelerationskurven og Newmark... 57 4.6 ANSYS... 59 4.6.1 Formål... 59 4.6.2 Metode... 59 4.6.3 Model... 59 4.7 Diskussion og vurdering af forsøgsresultater... 63 4.7.1 Bestemmelse af egenfrekvenserne... 63 4.7.2 Bestemmelse af dæmpningen... 64 4.8 Fejlkilder og usikkerheder... 64 4.9 Konklusion... 65 5 Erfaringer... 66

AAUE B6-2-F09 1 1 Indledning En dynamisk påvirkning kan hidrøre fra forskellige belastninger. Man skelner mellem periodiske laster som fx vind eller bølger, harmoniske laster fra fx maskiner og transiente laster som stød eller jordskælv. Således vil mange bygge- og anlægskonstruktioner indeholde dele som er dynamisk påvirket. Det afgørende for, om en dynamisk påvirkning er farlig for en konstruktionsdel er, om den frekvens påvirkningen yder ligger tæt på konstruktionsdelens egenfrekvens. Derfor må man skabe overblik over såvel lastpåvirkningens karakter, som konstruktionsdelens karakter. Konstruktionsdelen karakteriseres ved dens stivhed og masse. Jo stivere et system, des mere energi kræves for at sætte det i svingninger. En konstruktions stivhed afhænger naturligvis af det materiale den er lavet af, men i høj grad også af hvordan den er samlet. Dette projekt beskæftiger sig med to simple stålkonstruktioner med svejste samlinger, en pladefjeder på fod og en rammekonstruktion fastgjort til en fod. Projektet har til hensigt at sammenholde teoretiske beregninger, numeriske beregninger og forsøgsresultater, med henblik på at diskutere afvigelser beregningerne i mellem. Samtidig overvejes konstruktionsudformningernes indflydelse på resultaterne. Det diskuteres i hvor høj grad forudsætningerne for anvendelse af teorien er opfyldt, særligt med hensyn til samlingerne. Projektet er bygget op omkring tre laboratorieforsøg, som indledningsvis behandles hver for sig. Det drejer sig om: 1. Udkraget bjælke påvirket til fri svingning 2. Udkraget bjælke påvirket af harmonisk last 3. Rammekonstruktion påvirket af transient last Opgaven afsluttes med en opsummering af erfaringer på projektarbejdet som helhed.

2 AAUE B6-2-F09 2 Udkraget bjælke påvirket til fri svingning 2.1 Formål Formålet med forsøget er at bestemme den udkragede bjælkes laveste egenfrekvens, altså egenfrekvensen svarende til første modeshape (svingningsform). Egenfrekvensen bestemmes på tre principielt forskellige måder: 1. Eksperimentelt, på baggrund af forsøgsdata 2. Teoretisk, på baggrund af bjælkens differentialligning 3. Numerisk, på baggrund af Finite Element Analyse De eksperimentelle, teoretiske og numeriske resultater sammenlignes og vurderes. Forsøgsemnets fjederkonstant bestemmes. 2.2 Beskrivelse af forsøg Et accelerometer fastgøres til forsøgsemnet som skitseret på figur 1. I toppen af forsøgsemnet fastgøres et eller flere lodder så forsøget kan gennemføres med forskellig masse. Forsøgsemnet sættes i svingning med tre forskellige masser. For hver af de tre masser måles svingningerne ved tre forskellige startudbøjninger. Navngivning af målinger ses i tabel 1. Afklingningsforsøg Lille startudbøjning Middel startudbøjning Stor startudbøjning Uden lod Måling 1 Måling 2 Måling 3 Med 1 lod Måling 4 Måling 5 Måling 6 Med 3 lodder Måling 7 Måling 8 Måling 9 Tabel 1: Målingsoversigt. Måleresultaterne registreres via EDB-programmet Logger Lite, der afbilder accelerationen som funktion af tiden. Der måles over tidsintervallet [0 s ; 60 s]. Med henblik på at bestemme fjederkonstanten laves et mindre sideforsøg, hvor samhørende værdier af kraft og udbøjning måles. Det vandrette træk i fjederen skabes ved at hænge lodder i en snor og trække dem over en trisse. Det tilsikres, at snoren er vandret, så der ikke optræder en lodret kraftkomposant. Udbøjning ved hjælp af en tommestok, som skitseret på figur 2. Mellem et og fem lodder fastgøres i snoren. Lodderne vejes og kraften kan da findes på baggrund af loddernes masse.

AAUE B6-2-F09 3 2.3 Forsøgsopstilling Forsøgsopstillingen er skitseret på figur 1 og figur 2. Figur 1: Skitse af forsøgsopstillingen. Alle mål i mm.

4 AAUE B6-2-F09 Figur 2: Skitse af sekundær forsøgsopstilling. Snoren fastgøres i samlingen mellem rundjern og fladjern. 2.4 Teori Når en konstruktion svinger, aktiveres inertikræfterne som modvirker bevægelsen. Den indspændte bjælke betragtes som et 1DOF-system. 2.4.1 Fri svingning Det første modeshape for den indspændte bjælke og den antagede model til håndberegningen er vist på figur 3. k m x Figur 3: Første modeshape for den indspændte bjælke. Den udæmpede egenfrekvens for det første modeshape findes som: hvor ω 0 er den udæmpede cykliske egenfrekvens for svingningen [rad/s] k er fjederkonstanten [N/m] m er massen [kg]

AAUE B6-2-F09 5 Udbøjningen, der bestemmes på baggrund af bjælkens differentialligning, findes som: Sammenhængen mellem udbøjningen, u, og kraften, P, er vist på figur 4. P 1 k u Figur 4: Sammenhængen mellem udbøjningen, kraften og fjederkonstanten, k. Med udgangspunkt i figur 4 kan fjederkonstanten, k, beregnes som: Den styrende differentialligning for den udæmpede, frie svingning af den indspændte bjælke: hvor m er massen [kg] er accelerationen [m/s 2 ] k er fjederkonstanten [N/m] x er stedkoordinaten [m] Svingningen af bjælken vil være en periodisk bevægelse, løsningen til differentialligningen gættes derfor til: hvor A er amplituden [m] φ er faseforskydningsvinklen [rad] En afbildning af en sådan periodisk bevægelse ses på figur 5.

6 AAUE B6-2-F09 x t Figur 5: Harmonisk svingning med tiden, t, ud af vandret akse og flytningen, x, opad lodret akse. Perioden, T, er tiden for en hel cyklus (2π) og den beregnes som: Egenfrekvensen, f, er antallet af svingninger pr. sekund [Hz] og den kan beregnes som: Den cykliske egenfrekvens beregnes ud fra kurven: Amplituden, A, og faseforskydningen, φ, findes ved hjælp af begyndelsesbetingelserne x 0 og : De to ligninger løses med hensyn til A og φ:

AAUE B6-2-F09 7 2.4.2 Dæmpede svingninger Systemet består af en masse, m, en fjeder med stivheden, k, og en dæmper, c, som omsætter kinetisk energi til varme. Der findes flere dæmpningsmodeller. Her anvendes, viskos dæmpning, der er karakteriseret ved at være proportional med hastigheden. Dæmpningskraften er modsat bevægelsesretningen. Ved dæmpede svingninger medtages dæmpningsleddet, hvorfor den generelle differentialligning bliver: Løsningen gættes til: (1) Ud fra løsningen kan den karakteristiske ligning findes som: Dæmpede svingninger måles ved at udføre et afklingningsforsøg, hvor en konstruktion påføres en given flytning, hvorefter konstruktionen vil svinge indtil den igen er i stilstand. Dæmpningsforholdet, ζ, defineres som: hvor c er dæmpningen c cr er den kritiske dæmpning, der er defineret som den dæmpning, hvor der netop ikke er svingning Den kritiske dæmpning er defineret som: Dæmpningsforholdet kan bruges til at karakterisere de tre typer løsninger til den karakteristiske ligning. Rødderne til den karakteristiske ligning bliver: (2) Dæmpningen, c, defineres som: hvor c, k og m er led i den karakteristiske ligning, der er opstillet på baggrund af den styrende differentialligning

8 AAUE B6-2-F09 Bevægelsesligningen kan således omskrives til: hvor er accelerationen [m/s 2 ] er hastigheden [m/s] Differentialligningen løses ved standardmetoder afhængende af størrelserne af diskriminanten D og. For dæmpede svingninger ved en fri svingning skelnes der således mellem: Overkritisk dæmpning Kritisk dæmpning Underkritisk dæmpning Det forudsættes for en udkraget bjælke at der alene forekommer underkritisk dæmpning. 2.4.2.1 Underkritisk dæmpning Der forekommer underkritisk dæmpning når diskriminanten, D, til karakterligningen er mindre end 0, og når dæmpningsforholdet ligger i intervallet. Karakterligningen giver således komplekse rødder, hvorfor løsningen til den underkritiske dæmpning bliver: hvor Ved hjælp af Euler-relationerne kan løsningen til (1) skrives som: hvor A og φ er integrationskonstanter ω d er den dæmpede, cykliske egenfrekvens [rad/s] Den dæmpede, cykliske egenfrekvens defineres som: Integrationskonstanten, A, findes som: Integrationskonstanten, φ, findes som:

AAUE B6-2-F09 9 x t Figur 6: Dæmpet, harmonisk svingning. Tiden, t, ud af vandret akse og flytningen, x, opad lodret akse. I forsøget med den udkragede bjælke måles accelerationen som funktion af tiden. For at plotte de fremkomne data således at dæmpningskurven fremkommer, er det nødvendigt at omskrive udtrykket for A for at kunne plotte løsningen som: Da v 0 sættes til 0 kan udtrykket for A omskrives således: hvor a er accelerationen [m/s 2 ] f er frekvensen [Hz] ζ er dæmpningsforholdet 2.5 Bearbejdning af forsøgsresultater På baggrund af forsøget er en række parvis samhørende data, som beskriver acceleration til tid, fremkommet. En grafisk afbildning af disse data, giver en række svingningskurver. Disse kurver er vedlagt på appendiks A. Desuden er der fundet parvis samhørende data for kraft og udbøjning, som kan anvendes til at bestemme fjederkonstanten. Bearbejdningen af forsøgsresultaterne består af 3 dele: Fastlæggelse af fjederkonstanten Bestemmelse af laveste egenfrekvens til given masse Fastlæggelse af dæmpningsforhold til given masse

10 AAUE B6-2-F09 2.5.1 Fastlæggelse af fjederkonstanten Fjederkonstanten, k, bestemmes på 2 forskellige måder: 2.5.1.1 Fjederkonstant på baggrund af bjælketeori Der er bøjning om den svage akse, hvorfor inertimomentet bestemmes af følgende: Der anvendes følgende elasticitetsmodul for stål: Længden er målt til: Fjederkonstanten bestemmes: 2.5.1.2 Fjederkonstant på baggrund af samhørende værdier af kraft og udbøjning Der er målt samhørende værdier af kraft, P, og udbøjning, u, jf. tabel 2. Der er en lineær sammenhæng mellem kraft og udbøjning, se figur 7: Værdierne skal derfor, når de afbildes i et koordinatsystem, give en ret linje gennem origo. Udbøjning [m] Kraft [N] 0,0365 3,127 0,0675 5,510 0,0973 6,813 0,1280 10,762 0,1555 12,900 Tabel 2: Måleresultater for udbøjning og kraft.

AAUE B6-2-F09 11 Figur 7: Graf over kraft som funktion af udbøjning. Med god tilnærmelse er der tale om en ret linje med skæring i (0,0). 2.5.2 Bestemmelse af dæmpet egenfrekvens Egenfrekvensen kan bestemmes på baggrund af svingningskurverne eller på baggrund af den teoretiske formel med udgangspunkt i forholdet mellem masse og fjederstivhed. 2.5.2.1 Bestemmelse af dæmpet egenfrekvens på baggrund af svingningskurver På baggrund af accelerationskurverne bestemmes perioden T. Rent praktisk måles 25 perioder og varigheden af en periode bestemmes som et gennemsnit, se figur 8. Figur 8: Udsnit af tilfældig svingningskurve til illustration af dæmpet periode, T d.

12 AAUE B6-2-F09 På baggrund af perioden kan dæmpet egenfrekvens og dæmpet cyklisk egenfrekvens bestemmes: Måling nr. Tidsdifferens, t 2 -t 1 [s] n Perioden, T [s] Cyklisk egenfrekves, ω d [rad/s] Egenfrekvens, f [Hz] Uden lodder, masse: 1420 g + 41 g +90,4 g = 1420 g + 131,4 g 1 11,8 25 0,472 13,26 2,11 2 11,9 25 0,476 13,19 2,10 3 11,9 25 0,476 13,26 2,10 Gennemsnit 0,475 13,24 2,10 Med 1 lod, masse: 1420 g + 131,4 g + 274 g = 1420 g + 405,4 g 4 15,7 25 0,623 10,12 1,61 5 16,1 25 0,643 9,80 1,56 6 15,6 25 0,624 10,05 1,60 Gennemsnit 0,630 9,99 1,59 Med 3 lodder, masse: 1420 g + 405,4 g + 297 g +243 g = 1420 g + 945,4 g 7 21,7 25 0,868 7,23 1,15 8 21,7 25 0,868 7,23 1,15 9 20,8 25 0,834 7,54 1,20 Gennemsnit 0,857 7,33 1,17 Tabel 3: Værdier for de 9 målinger bestemt ud fra svingningskurver. Fjederens masse er 1420 g, holder for lodder vejer 41 g og accelerometret vejer 90,4 g. 2.5.3 Dæmpningsforhold Den grafiske afbildning i appendiks A fremgår det, at svingningerne dæmpes. Man kan finde en indhyldningskurve, se figur 6. Der anvendes scriptet ttim_flytning 1. Da perioden for de forskellige accelerationskurver er bestemt i afsnit 2.5.2.1, kan der alene justeres på dæmpningsforholdet for at tilpasse dæmpningskurven til accelerationskurven. Der antages viskos dæmpning. Ved viskos dæmpning findes der netop én dæmpningskonstant, c, som relaterer sig til systemet. c angives i N s/m. Følgende indledende betragtninger gøres: 1 www.aaue.dk/bm/dynamics-fundamentals

acceleration [m/s-2] AAUE B6-2-F09 13 Det betyder samtidig, at: Af ovenstående udtryk fremgår det, at der hører ét dæmpningsforhold til én egenfrekvens. Derfor undersøges kun én kurve fra hver forsøgsgruppe med henblik på at bestemme dæmpningsforholdet eksperimentelt. Den dæmpede cykliske egenfrekvens er størst til mindst masse. Da c er konstant forventes, at det største dæmpningsforhold skulle findes ved forsøgsopstillingen uden lod, mens forsøgsopstillingen med 3 lodder forventes at give det mindste dæmpningsforhold. Afvigelse mellem teori og virkelighed betyder, at der ikke kan findes en dæmpningskurve som følger svingningskurven præcist. 2.5.3.1 Dæmpningsforhold, forsøgsopstilling uden lod Perioden er fastlagt til 0,475 s. Dæmpningskurven ses på figur 9. 40 Dæmpningskurve 30 20 10 0-10 -20-30 -40 0 10 20 30 40 50 60 tid [s] Figur 9: Måling 3. Dæmpningsforhold = 0,0120. Der er dårlig tilpasning i forsøgets sidste 40 sekunder. Der laves en dæmpningskurve som passer bedre på den sidste del. Dæmpningskurven ses på figur 10.

acceleration [m/s-2] acceleration [m/s-2] 14 AAUE B6-2-F09 Dæmpningskurve 40 30 20 10 0-10 -20-30 -40 0 10 20 30 40 50 60 tid [s] Figur 10: Måling 3. Dæmpningsforhold = 0,0065. Dæmpningsforholdet angives i et bredt interval. 2.5.3.2 Dæmpningsforhold, forsøgsopstilling med et lod Perioden er fastlagt til 0,630 s. Dæmpningskurven ses på figur 11. Dæmpningskurve 40 30 20 10 0-10 -20-30 -40 0 10 20 30 40 50 60 tid [s] Figur 11: Måling 4. Dæmpningsforhold = 0,0050. Der er rimelig tilpasning de første 30 sekunder, mens det igen registreres, at svingningerne dæmpes langsommere end teoretisk.

acceleration [m/s-2] AAUE B6-2-F09 15 2.5.3.3 Dæmpningsforhold, forsøgsopstilling med tre lodder Perioden er fastlagt til 0,857 s. Dæmpningskurven ses på figur 12. Dæmpningskurve 40 30 20 10 0-10 -20-30 -40 0 10 20 30 40 50 60 tid [s] Figur 12: Måling 9. Dæmpningsforhold = 0,0043. Der er god tilpasning i alle 60 sekunder. 2.5.4 Bestemmelse af udæmpet egenfrekvens Når dæmpningsforholdet og den dæmpede egenfrekvens er bestemt, er det muligt at bestemme den udæmpede egenfrekvens. 2.5.4.1 Beregning af udæmpet egenfrekvens på baggrund af forsøg Den dæmpede cykliske egenfrekvens er givet ved følgende: Dermed kan den udæmpede cykliske egenfrekvens beregnes: Forsøgsopstilling uden lod

16 AAUE B6-2-F09 Forsøgsopstilling med 1 lod Forsøgsopstilling med 3 lodder 2.5.4.2 Beregning af udæmpet egenfrekvens på baggrund af fjederstivhed Den udæmpede egenfrekvens bestemmes på baggrund af forholdet mellem masse og stivhed. Modellen antager en masseløs fjeder og en diskret masse i toppen. Her er der imidlertid ikke tale om en masseløs fjeder. Formålet med dette afsnit er at vurdere, hvor stor en del af fjederens masse, der kan placeres som diskret masse i toppen, hvis resten af fjederen betragtes som masseløs. Det vurderes, at forsøgsresultaterne kan benyttes som sammenligningsgrundlag. Fjederkonstanten er bestemt teoretisk og eksperimentelt. De to værdier afviger fra hinanden. Den eksperimentelle værdi anvendes som en nedre grænse for fjederkonstanten og den teoretiske som en øvre grænse. Jf. afsnit 0: Forsøgsresultater uden lod Beregning af egenfrekvensen på baggrund af den konservative formel:

AAUE B6-2-F09 17 Den konservative egenfrekvens ligger i intervallet [7,31 rad/s ; 7,74 rad/s] Afvigelsen fra forsøgsresultatet beregnes af følgende: Afvigelse fra forsøgsresultatet: ca. 43 % Forsøgsresultater med 1 lod Beregning af egenfrekvensen på baggrund af den konservative formel: Den konservative egenfrekvens ligger i intervallet [6,74 rad/s ; 7,13 rad/s] Afvigelse fra forsøgsresultatet: ca. 30 % Forsøgsresultater med 3 lodder

18 AAUE B6-2-F09 Beregning af egenfrekvensen på baggrund af den konservative formel: Den konservative egenfrekvens ligger i intervallet [5,92 rad/s ; 6,27 rad/s] Afvigelse fra forsøgsresultatet: ca. 18 % Afbildning af afvigelse på egenfrekvens mellem teori og forsøg Figur 13: Afbildning af den procentvise afvigelse mellem virkelighed og teori. m top er massen af lodder, accelerometer og holder for lodder. m total er massen af det samlede system. Det fremgår af figur 13 at jo større del af totalmassen der sidder placeret i toppen, jo bedre overensstemmelse er der mellem konservativ teori og virkelighed. 2.5.4.3 Beregning af udæmpet egenfrekvens på baggrund af overslagsformel I Teknisk Ståbi findes en overslagsformel til beregning af den dæmpede egenfrekvens: hvor Der indsættes i SI-enheder:

AAUE B6-2-F09 19 2.6 ANSYS Der laves en analyse i FEM-programmet ANSYS til kontrol af de beregnede frekvenser. Endvidere ønskes indspændingsforholdet analyseret med henblik på at bestemme samlingens stivhed. Parameteranalysen i appendiks E danner grundlag for parametervalg. 2.6.1 Metode Den indspændte bjælke kan modelleres i ANSYS på flere måder. Der arbejdes med en model, der tilpasses de tre situationer: uden lod, et lod og tre lodder. Bjælken modelleres i forhold til de målte dimensioner. Accelerometret og den diskrete masse modelleres som en masse i bjælketoppen. FEMmodellen udføres for hver situation med to parametersæt, A og B, svarende til grænserne for E-modulet og densiteten. Modellen indspændes i den ene ende. 2.6.2 Forsøgsmodellering Grænserne for det interval E-modulet og densiteten befinder sig i anvendes som test parametre. Der opstilles et parametersæt A med E-modul 2,10E5 MPa og densitet på 7800 kg/m 3 samt et parametersæt B med E-modul 2,05E5 MPa og densitet på 7850 kg/m 3. De øvrige modelparametre fremgår af tabel 4. Scripts til modellerne i forsøg 1 findes i appendiks D-3 Emne Data Element Beam 3 Mass 21 Poissons forhold 0,3 Tværsnitsareal 1) 138E-6 m 2 2) 503E-7 m 2 Inertimoment 1) 3,413E-10 m 4 2) 2,011E-10 m 4 Tykkelse 1) 0,00545 m 2) 0,008 m Placering af keypoints 1) 0;0;0 2) 0;0,330;0 3) 0;0,660;0 4) 0;0,990;0 5) 0;1,32;0 6) 0;1,42;0 Understøtningsforhold ALLDOF (1)=0 Diskret last Accelerometer 90,4 g 1 lod 274,0 g 3 lodder 814,0 g Tabel 4: Geometriske og materialeparametre for ANSYS-model til model 1. Kilde: ANSYS 2.6.3 Resultater For parametersæt A er frekvensen for situation 1 (uden lodder) bestemt for første modeshape til 2,221 Hz, se figur 14.

20 AAUE B6-2-F09 Figur 14: Model 1 alene belastet med accelerometer i deformeret tilstand (første modeshape). Kilde: ANSYS. Frekvenser for alle situationerne for første modeshape fremgår af tabel 5. Emne Målt frekvens [Hz] Parametersæt A [Hz] Afvigelse mellem frekvenserne Uden diskret last 2,10 2,221 6 % 1 lod 1,59 1,727 9 % 3 lodder 1,17 1,283 10 % Tabel 5: Frekvenser for parametersæt A. For parametersæt B er følgende frekvenser bestemt for første modeshape, se tabel 6. Emne Målt frekvens [Hz] Parametersæt B [Hz] Afvigelse mellem frekvenserne Uden diskret last 2,10 2,189 4 % 1 lod 1,59 1,704 7 % 3 lodder 1,17 1,266 8 % Tabel 6: Frekvenser for parametersæt B.

AAUE B6-2-F09 21 2.6.4 Indspændingens stivhed Afvigelsen for parametersæt A og B varierer ca. 2 %. Årsagen til afvigelsen mellem den målte og den numeriske frekvens, skal dermed findes i andre forhold. FEM-modellen er fast indspændt. Antages den nederste del af bjælken ikke at være momentstiv, vil en tuning af bjælkelængden i FEM-modellen give længden svarende til fleksibiliteten i samlingen. Denne forlængelse for de enkelte forsøg fremgår af tabel 7. Forholdet mellem forlængelsen og bjælkens længde kan udtrykke indspændingsgraden. Denne varierer forholdet mellem 0,91 0,95. Dette henføres til frekvensens følsomhed for længdeændringer i ANSYS. Emne (parametersæt A) ΔL [m] Uden diskret last 0,040 0,946 1 lod 0,065 0,921 3 lodder 0,078 0,912 Tabel 7: Nødvendig forlængelse af bjælken for at opnå fleksibiliteten i indspændingen svarende til forsøget. Kilde: ANSYS. Forskellen mellem den ved forsøg målte og den numerisk bestemte frekvens kan forklares ved at antagelsen om en fast indspændt fjeder ikke stemmer overens med virkeligheden. Sættes de to frekvenser lig hinanden: Indspændingsgraden findes som: hvor α 2 udtrykker indspændingsgraden. Af resultaterne for parametersæt A og B findes frekvensforhold og indspændingsgraden jf. tabel 8. Emne Frekvensforholdet parametersæt A α 2 Frekvensforholdet parametersæt B Uden diskret last 0,946 0,89 0,960 0,92 1 lod 0,921 0,85 0,933 0,87 3 lodder 0,912 0,83 0,924 0,85 Tabel 8: Forholdet mellem den målte og den i ANSYS bestemte frekvens samt indspændingsgraden for parametersæt A og B. Kilde: ANSYS. Indspændingsforholdet varierer inden for et interval på [0,83 ; 0,92] α 2

22 AAUE B6-2-F09 2.7 Diskussion og vurdering af forsøgsresultater 2.7.1 Fjederkonstanten og systemets stivhed I afsnit 0 blev fjederkonstanten undersøgt. Teoretisk blev fjederkonstanten beregnet til 93 N/m mens der ved forsøget blev fundet en fjederkonstant på 83 N/m. Systemet opfører sig altså ikke så stift som teorien foreskriver. Teorien er baseret på, at samlingen mellem fjeder og fod er fuldstændig stiv. Dette vil i praksis ikke være muligt, da samlingen uanset svejsningens kvalitet vil give mulighed for en rotation af større eller mindre grad. En målt stivhed der er lavere end den teoretiske er realistisk. 2.7.2 Egenfrekvens på baggrund af forsøgsresultater Egenfrekvenserne er bestemt på baggrund af 3 afklingningsforsøg. Den dæmpede og udæmpede egenfrekvens er stort set ens. Egenfrekvensen bliver mindre, når massen i toppen forøges, hvilket er i overensstemmelse med teorien. Jo større masse der er placeret i toppen, des mindre bliver afvigelsen mellem forsøgsresultat og konservativ teori. Dette er et udtryk for, at des mere masse der placeres i toppen, desto mere nærmer virkeligheden og teorien om den masseløse fjeder sig hinanden. I afsnit 2.5.4.2 blev der set på, hvor stor en del af fjederens masse der rent regneteknisk skulle medtages i den konservative formel, for at få et resultat i overensstemmelse med den eksperimentelt bestemte egenfrekvens. I Inman, p 29, peges på at hvor stangens masse ikke er negligerbar, kan 1/3 af stangens masse medtages i toppen, med forudsætning at hastigheden varierer lineært over fjederens længde: Fjederens masse udgør i alle tre forsøgsopstillinger mere end halvdelen af den samlede systemmasse, og er derfor ikke negligerbar. På figur 15 er sammenhængen mellem den koncentrerede masse i toppen, m top og andelen af fjedermassen, x, der skal medtages afbildet. Figur 15: Afbildning af sammenhæng mellem masse i toppen og andel af fjedermasse der skal medtages. Kilde: Eget materiale

AAUE B6-2-F09 23 Det fremgår af afsnit 2.5.4.2 at jo mere masse der placeres i toppen, des mere af fjederens masse skal medtages som diskret masse. Dette forhold skal man være opmærksom på, da for lidt medtaget masse vil give et resultat på den usikre side. Teoretisk set burde man være på den sikre side, såfremt man medtager ca. 1/3 af fjederens masse. Teorien bygger imidlertid på, at fjederens udbøjningsform vil være den samme uanset hvor meget masse der placeres i toppen, hvis startudbøjningen er den samme. Dette er imidlertid ikke i overensstemmelse med virkeligheden. Det forhold skyldes ikke-lineære effekter. Det er derfor vanskelligt at give noget klart svar på, hvor stor en del af fjederens masse der skal medtages. Derfor bør der laves forsøg, hvis man vil være helt sikker. En stor masse i toppen vil aktivere en større del af fjederen end en lille masse. På den anden side kan massen i toppen blive så stor, at fjedermassen i forhold til er negligerbar. På den sikre side er det dog altid, at medtage hele fjederens masse. På et tidspunkt bliver det ligegyldigt for værdien af egenfrekvensen, om man medtager fjederens masse eller ej. 2.7.3 Laveste egenfrekvens for fjederen uden masse i toppen Der er foretaget beregning af den laveste egenfrekvens for fjederen uden masse i toppen. Beregningerne er foretaget efter tre forskellige metoder. Det vurderes, at de eksperimentelle data er korrekte og beregningsresultaterne holdes op i mod forsøgsresultaterne. Den ved forsøget målte cykliske egenfrekvens er 13,24 rad/s svarende til en egenfrekvens på 2,10 Hz. 2.7.3.1 Konservativ formel på baggrund af bjælkens og bevægelsens differentialligning Når frekvensen bestemmes på baggrund af den konservative formel findes en egenfrekvens på 7,74 rad/s svarende til 1,23 Hz - et resultat på den meget sikre side. Anvendes i stedet den tilpassede konservative formel findes egenfrekvensen til: Afvigelsen er ca. 6 %. Den konservative formel beskriver ikke problemstillingen særlig godt, hvorfor der fremkommer meget stor unøjagtighed. 2.7.3.2 Overslagsformlen Anvendes overslagsformlen fra Teknisk Ståbi fås en egenfrekvens på 2,51 Hz. Overslagsformlen forudsætter en fuldstændig indspændt samling mellem fjeder og fod. Derfor er det forventeligt, at overslagsformlen vil give et resultat på den usikre side, da samlingen i virkeligheden netop ikke er fuldstændig stiv. Systemet er således slappere i virkeligheden end antaget, hvorfor det svinger med en lavere egenfrekvens end beregnet. 2.7.3.3 ANSYS ANSYS giver resultater i god overensstemmelse med forsøgsresultaterne. Egenfrekvensen beregnet for en ANSYS-model ligger i intervallet [2,189 Hz ; 2,221 Hz], svarende til ca. 5 % afvigelse. Det er fundet meget vigtigt, at modellen skal svare overens med virkeligheden for at opnå de bedste resultater. Ved ANSYS-beregningen er det forudsat at fjederen er fuldstændig indspændt, altså stivere end virkeligheden. Det er derfor forventeligt at egenfrekvensen fundet i ANSYS skal ligge højere end i virkeligheden, hvilket også er tilfældet. Afvigelse mellem de

24 AAUE B6-2-F09 målte resultater og de numeriske fra ANSYS vurderes desuden at skyldes unøjagtigheder på opmålinger og dermed uoverensstemmelse mellem virkelighed og model. Det er forsøgt at undersøge, hvor stiv samlingen mellem fjeder og fod er. Der er gjort forskellige forsøg på at udtrykke denne: Der er arbejdet med en model, hvor den nederste del af fjederen ikke er momentstiv. Betragtninger på baggrund af den klassiske teori, vha. af følgende udtryk: hvor α 2 udtrykker indspændingsgraden. Overvejelserne er gjort, fordi en ikke fuldstændig momentstiv samling mellem fjeder og fod, betyder, at en lille rotation i samlingen tillades. Det betyder, at systemets samlede stivhed mindskes, hvorved egenfrekvensen jf. teorien bliver lavere end i det idealiserede tilfælde. ANSYS-modellen beskriver det idealiserede tilfælde. Afvigelsen mellem forsøgsresultater og modellen forklares alene ved at samlingen ikke er fuldstændig stiv. Afvigelsen på det numeriske og det målte resultat kan ikke forklares alene på baggrund, men bør ses som et resultat af flere forskellige fejlkilder og måleusikkerheder. Det er vanskelligt at beskrive fodsamlingens præcise indflydelse på stivheden. Fodsamlingens karakter antages uændret uanset hvor og hvordan fjederen belastes. På figur 15 ses det, at resultatlinjen og den teoretiske linje krydser hinanden. Når resultatlinjen ligger over den teoretiske kan det forklares ved ikke lineære effekter. Ligger resultatlinjen derimod under den teoretiske kan den forklaring ikke anvendes. Det tyder på at det kun er den øverste del af fjederen, der aktiveres til at svinge. Påvirkningen i fodsamlingen vil i dette tilfælde ikke være særlig stor, hvorfor samlingens stivhed er af mindre betydning for systemets samlede stivhed. Jo mere vægt der tilføres i toppen, des større del af fjederen svinger aktivt, og des større påvirkning er der i fodsamlingen. Samlingens karakter bliver derfor af større betydning for systemets samlede stivhed end tidligere. Dette ses således også når resultaterne for indspændingsgraden betragtes, jf. tabel 8. Det kommer til udtryk ved, at der bliver større afvigelse mellem den målte og den numerisk bestemte egenfrekvens. Den tendens kan dårligt skyldes unøjagtig opmåling af fjederen, da samme fjedermodel anvendes i alle tilfælde, og alene den diskrete masse er ændret. 2.8 Fejlkilder og usikkerheder Det vurderes, at den væsentligste årsag til uoverensstemmelse mellem egenfrekvensen fundet ved forsøget og egenfrekvensen fundet i ANSYS, er samlingen mellem fjeder og fod, som i ANSYS er regnet fuldstændig momentstiv, men som i virkeligheden ikke er det. Der er desuden usikkerhed forbundet med opmålingen af forsøgsemnet, som er foretaget med tommestok og skydelære. Særlig fjederens længde har betydning for resultatet i ANSYS, desuden også for resultatet som findes vha. overslagsformlen. Det er fundet, at ANSYS-modellen skal modelleres i overensstemmelse med virkeligheden for at give et acceptabelt resultat. I den forbindelse skal det nævnes, at svejsninger o. lign. ikke er medtaget i ANSYS-modellen, fx svejsningen

AAUE B6-2-F09 25 mellem pladefjederen og rundjernet. Svejsningen er i virkeligheden rimelig kraftig, hvilket betyder at der sidder en lille ikke medregnet masse i toppen af fjederen. Denne masse vil bidrage til at sænke egenfrekvensen i forhold til ANSYS-modellen. Der er usikkerhed omkring stålets densitet og elasticitetsmodul, men det er forsøgt at tage højde for dette ved at undersøge for 2 parametersæt i ANSYS, hvor øvre og nedre ekstremgrænser er anvendt. Den højst tænkelige densitet er sammenholdt med laveste tænkelige elasticitetsmodul og omvendt. Egenfrekvensen angives i et interval [2,189 Hz ; 2,221 Hz]. Den målte egenfrekvens tilhører ikke intervallet. Det er et smalt interval, hvorfor det vurderes, at usikkerhed omkring materialekonstanter ikke er afgørende. 2.9 Konklusion Der er foretaget parameterstudier i ANSYS og det er fundet, at en bjælkemodel giver tilstrækkelig god beskrivelse af problemstillingen. Det der er afgørende for modellen i ANSYS er, at den modelleres i et passende detaljeringsniveau. Det er fundet, at den konservative teori ikke beskriver virkeligheden særlig godt, når der er tale om forsøgsemner, hvor massen i toppen er lille i forhold til fjederens egen masse. Teorien giver resultater på den meget sikre side. Jo større masse, der placeres i toppen, des bedre overensstemmelse mellem konservativ teori og forsøgsresultater findes der. Det er fundet, at for små dæmpningsforhold er den dæmpede egenfrekvens den samme som den udæmpede. Det konkluderes at man skal være særlig opmærksom på konstruktionens samlinger, i dynamisk påvirkede konstruktioner. Antages samlinger fuldstændigt stive, bliver egenfrekvenserne på den usikre side. Det er fundet, at jo større masse der er placeret diskret, des lavere bliver egenfrekvensen. Dette er i overensstemmelse med teorien.

26 AAUE B6-2-F09 3 Udkraget bjælke påvirket af harmonisk last 3.1 Formål Formålet med forsøget er at bestemme systemets egenfrekvens og desuden den ydre belastning som systemet skal påvirkes med for at der opstår hhv. beating og resonans. Forstærkningsfaktoren bestemmes med henblik på at afbilde denne som funktion af frekvensforholdet (forholdet mellem påtrykte frekvens og egenfrekvensen). 3.2 Forsøgsopstilling Der arbejdes med samme fjeder som i forsøg 1, se figur 1 (dvs. samme stivhedsegenskaber). Der fastgøres en motor i toppen af fjederen sammen med accelerometeret. Til motoren fastgøres en vægtstang, som når motoren kører, vil sættes i rotation, se figur 16. Figur 16. Skitse af forsøgsopstillingen. 3.3 Beskrivelse af forsøg Der laves indledningsvis 2 afklingningsforsøg på samme måde som i forsøg 1. Der laves 2 målinger til hvert afklingningsforsøg. I det første afklingningsforsøg medtages vægtstangen. Det sidste afklingningsforsøg laves uden vægtstangen. Afklingningsforsøget laves med henblik på at kunne bestemme forsøgsopstillingens egenfrekvens og dæmpningsforholdet.

AAUE B6-2-F09 27 Afklingningsforsøg Lille startudbøjning Middel startudbøjning Med svingarm Måling 1 Måling 2 Uden svingarm Måling 3 Måling 4 Tabel 9: Navngivning af målinger. Derefter udføres det primære forsøg. Motoren monteres på fjederen, og sættes i gang. Der justeres på spændingen i intervallet [5 V ; 15 V] og fjederens bevægelse observeres. Regulering af spændingen svarer til en regulering af motorens omdrejningshastighed og dermed en ændring af den påtrykte frekvens. Ved en spænding omkring 10 V vurderes det, at fjederen bevæger sig på en måde, som visuelt betragtet minder om beating. Spændingen øges yderligere og der kommer resonans, ved yderligere forøgelse af spændingen ændres fjederens bevægelse igen til noget der minder om beating. Der foretages derfor målinger i spændingsintervallet [10 V ; 12 V] for at undersøge for beating og resonans. Der logges samhørende data af tid og acceleration. 3.4 Teori Fjederens bevægelse undersøges, når den udsættes for en periodisk ydre påvirkning. Det er den ydre påvirkning som er afgørende for fjederens bevægelse. 3.4.1 Beating Når den påtrykte frekvens nærmer sig systemets egenfrekvens opstår fænomenet beating. Ved beating vil systemets svingninger øges, men på et tidspunkt aftager svingningerne igen og næsten ophører, for derefter at tiltage igen, osv. Grafisk afbildet ser udæmpet beating som på figur 17. Figur 17: Grafisk afbildning af udæmpet beating. Kilde: www.aaue.dk/bm/dynamics-fundamentals/doc/slides_jow/dynamics_lecture_4.pdf, slide 25. Når forsøgsresultaterne analyseres vil beating kunne genkendes på den karakteristiske svingmåde, men mønsteret vil være mest udtalt i begyndelsen og i løbet af noget tid vil beatingen ikke være så tydelig. Det skyldes, at der er dæmpning, hvorfor bevægelsen går mod steady state.

28 AAUE B6-2-F09 3.4.2 Resonans Når den påtrykte frekvens er den samme som systemets egenfrekvens forekommer resonans. Ved resonans udvikles kraftigere og kraftigere svingninger, som kun begrænses af systemets dæmpning. Grafisk afbildet ser udæmpet resonans ud som på figur 18. Figur 18: Grafisk afbildning af udæmpet resonans. Kilde: www.aaue.dk/bm/dynamics-fundamentals/doc/slides_jow/dynamics_lecture_4.pdf, slide 24. Resonans vil på samme måde som beating let kunne genkendes, men pga. dæmpningen vil amplituden på svingningskurven på et tidspunkt blive konstant. Når den påtrykte frekvens er lig systemets egenfrekvens (resonans) vil størrelsen af det maksimale udsving således gå mod en konstant værdi, når der er tale om et relativ lille dæmpningsforhold (ζ<0,1). 3.4.3 Harmonisk påvirkning af dæmpet system På figur 19 ses en principskitse af det dynamiske system. Figur 19: Principskitse af det dynamiske system. Kilde: Eget materiale Den differentialligning som styrer bevægelsen skrives på følgende måde: (3) hvor P 0 er den påtrykte kraft [N] Ligningen er en udbygning af ligning (1) afsnit 2.4.2, idet der nu på højresiden skrives den ydre påvirkning, cosinusleddet tilkendegiver at der er tale om en harmonisk påvirkning. Ved at dividere igennem med massen, m i (3) findes følgende: (4)

AAUE B6-2-F09 29 hvor Egenfrekvensen er: Dæmpningsforholdet er: Løsningen til (3) kan bestemmes som summen af den partikulære løsning, x p (t), og den homogene løsning, x h (t). (5) Den homogene løsning er bestemt i afsnit 2.4.2 Eller på formen: 3.4.3.1 Partikulær løsning Den partikulære løsning skrives på følgende måde: hvor X er amplituden [m] (6) Den fuldstændige løsning kan da skrives: Den partikulære løsning betragtes. Amplituden, X, er uafhængig af begyndelsesbetingelserne. Den partikulære løsning skrives som: hvor (7) (8)

30 AAUE B6-2-F09 er integrationskonstanter Dette har den fordel at løsningen er uafhængig af fasevinklen. Integrationskonstanterne bestemmes for t=0, samt t=π/2ω. G 1 og G 2 findes som: Den partikulære løsning kan da ved indsættelse i (8)skrives: Alternativt kan den partikulære løsning skrives som en funktion af amplituden, X, og fasevinklen, Ѳ: og Forholdet mellem den påtrykte frekvens og egenfrekvensen benævnes β:

AAUE B6-2-F09 31 Udtrykket for X omskrives, så det bliver uafhængigt af massen, da stivheden er kendt: Den partikulære løsning kan da omskrives til følgende: hvor D kaldes den dynamiske forstærkningsfaktor. 3.4.3.2 Den fuldstændige løsning Det er derfor muligt at finde flytningen, X, på baggrund af forsøget, da sammenhængen mellem flytning og acceleration er kendt. Ved indsættelse i den fuldstændige løsning findes:

32 AAUE B6-2-F09 Den fuldstændige løsning beskriver fjederens teoretiske bevægelse til ethvert tidspunkt. Differentieres den fuldstændige løsning to gange med hensyn til t, fås et udtryk for den teoretiske respons, afbildet som acceleration som funktion af tiden. Løsningen er differentieret i Mathcad. 3.4.3.3 Steady state Efter noget tid er det tilstrækkeligt alene at betragte den partikulære løsning fra afsnit 3.4.3.1. Det skyldes, at begyndelsesbetingelserne, som er afgørende for det transiente bidrag (den homogene løsning) efter nogen tid, afhængig af dæmpningen, bliver ubetydelige, hvorfor svingningen bevæger sig mod steady state. Steady state betyder, at der tilnærmelsesvis er tale om én harmonisk svingning, hvor amplituden er konstant. Det betyder, at beating og resonans ikke vil opleves som vedvarende fænomener, men at bevægelserne vil gå mod steady state. I steady state er det kun den partikulære løsning, der er interessant. Hvis ligning (6) differentieres 2 gange mht. tiden findes: Deraf fremkommer: Betragtes en svingningskurve, med accelerationen som funktion af tiden, aflæses amplituden (svarende til et tidspunkt, t 1, hvor cos(ωt 1 -Ѳ)=1) vil X kunne bestemmes, idet ovenstående da reduceres til: hvor

AAUE B6-2-F09 33 3.5 Bearbejdning af forsøgsresultater 3.5.1 Bestemmelse af egenfrekvens I forsøg 1 blev det fundet, at der ikke er stor afvigelse mellem fjederens dæmpede og udæmpede egenfrekvens, uanset om der var masse i toppen eller ej. Det vurderes derfor, at systemets (fjeder + motor og lod) udæmpede egenfrekvens kan findes direkte ved analyse af svingningskurverne fra afklingningsforsøget. Frekvenserne fundet ud fra afklingningsforsøgene fremgår af tabel 10. Kurverne kan ses i appendiks B. Måling nr. Tidsdifferens, t 2 -t 1 [s] n Perioden, T [s] Cyklisk egenfrekvens, ω 0 [rad/s] Med svingarm 1 20,7 25 0,826 7,60 1,21 2 20,7 25 0,826 7,60 1,21 Gennemsnit 20,7 25 0,826 7,60 1,21 Uden svingarm 3 18,4 25 0,736 8,54 1,36 4 18,4 25 0,736 8,54 1,36 Gennemsnit 18,4 25 0,736 8,54 1,36 Tabel 10: Værdier for de 4 målinger bestemt ud fra svingningskurver. Frekvenser for beating og resonans ses i tabel 11. Kurverne kan ses i appendiks B. Måling nr. Perioden, T [s] Cyklisk frekvens, ω [rad/s] Egenfrekvens, f [Hz] 5 0,822 7,64 1,22 1,005 6 0,816 7,70 1,23 1,013 7 0,821 7,65 1,22 1,007 8 0,862 7,26 1,16 0,955 9 0,794 7,93 1,26 1,043 10 0,813 7,78 1,23 1,024 11 0,847 7,43 1,18 0,978 12 0,840 7,50 1,19 0,987 13 0,826 7,60 1,21 1,00 Tabel 11: Frekvenser for beating og resonans. 3.5.2 Dæmpningsforhold Egenfrekvens, f [Hz] Dæmpningsforholdet bestemmes på baggrund af afklingningsforsøget med svingarm. Indhyldningskurven ses på figur 20.

acceleration [m/s-2] 34 AAUE B6-2-F09 15 damping curve 10 5 0-5 -10-15 0 10 20 30 40 50 60 time [s] Figur 20: Indhyldningskurve for afklingningsforsøg med svingarm. Dæmpningsforhold = 0,004. For indhyldningskurven på figur 20 er perioden: Dæmpningsforholdet er: 3.5.3 Bestemmelse af forstærkningsfaktor Den påtrykte kraft, P 0, vil ændre sig, når motorens hastighed og dermed frekvensen ændrer sig. Det betyder, at den påtrykte kraft skal findes for hver af de fundne frekvenser for motoren. Forstærkningsfaktoren bestemmes på tre forskellige måde: På baggrund af løsningen til differentialligningen (Metode I) På baggrund af beregning ud fra aflæsning af amplituden (Metode II) På baggrund af system med roterende masse i ubalance (Metode III) 3.5.3.1 På baggrund af løsningen til differentialligningen (Metode I) P 0 findes i den fuldstændige løsning til differentialligningen for et dæmpet system med en påtrykt kraft, som: Den påtrykte kraft findes ved at differentiere den fuldstændige løsning 2 gange, hvormed accelerationen findes. Herefter kan amplituderne for forskellige værdier af den påtrykte kraft sammenlignes med amplituder målt i forsøget. I resonans findes amplituden til 34 m/s 2, se figur 21. Den værdi af P 0, der er nødvendigt for at finde denne amplitude for den teoretiske resonanskurve, se figur 22, er 3 N, fundet ved tuning.

acceleration [m/s-2] acceleration [m/s-2] AAUE B6-2-F09 35 40 30 measured response A 20 10 0-10 -20-30 -40 0 10 20 30 40 50 60 70 80 time [s] Figur 21: Resonanskurve for forsøget. 40 response to harmonic load 30 20 10 0-10 -20-30 -40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 time [s] Figur 22: Teoretisk resonanskurve for P 0 = 3 N. På samme måde tilpasses kurverne for målingerne. De fundne værdier af den påtrykte kraft, amplituden og forstærkningsfaktoren fremgår af tabel 12.

36 AAUE B6-2-F09 Måling nr. ω [rad/s] Amplitude [m/s 2 ] Udbøjning [m] P 0 [N] β Forstærkningsfaktor, D 8 7,26 4,4 0,084 0,63 0,955 10,99 11 7,43 14 0,254 0,90 0,978 23,39 12 7,50 20 0,356 0,79 0,087 37,36 13 7,60 34 0,589 0,39 1,000 125,28 5 7,64 24 0,411 0,50 1,005 68,25 7 7,65 22 0,376 0,55 1,007 56,69 6 7,70 16 0,270 0,62 1,013 36,13 10 7,78 6,5 0,107 0,43 1,024 20,73 9 7,93 6 0,095 0,70 1,043 11,32 Tabel 12: Forstærkningsfaktor ved de målte frekvenser. Udbøjningen, X, findes på baggrund af amplituden som: Forstærkningsfaktoren, D, er: Måling nr. ω [rad/s] Amplitude [m/s 2 ] Udbøjning [m] P 0 [N] β Forstærkningsfaktor, D 8 7,26 4,4 0,084 0,63 0,955 10,99 11 7,43 14 0,254 0,9 0,978 23,39 12 7,5 20 0,356 0,79 0,987 37,36 13 7,6 34 0,589 0,39 1 125,28 5 7,64 24 0,411 0,5 1,005 68,25 7 7,65 22 0,376 0,55 1,007 56,69 6 7,7 16 0,270 0,62 1,013 36,13 10 7,78 6,5 0,107 0,43 1,024 20,73 9 7,93 6 0,095 0,7 1,043 11,32 Tabel 13: Forstærkningsfaktoren ved de målte frekvenser. Forstærkningsfaktoren som funktion af frekvensforholdet fremgår af figur 23.

AAUE B6-2-F09 37 Figur 23: Forstærkningsfaktor som funktion af beta. 3.5.3.2 På baggrund af beregning ud fra aflæsning af amplituden (Metode II) Den påtrykte kraft, P 0, findes ud fra amplituden og motorens frekvens i forsøgsgraferne. Amplituden kan udregnes som: Den påtrykte kraft findes hermed som: På figur 21 ses den målte graf i resonans. Amplituden, A, er markeret og flytningen, X, findes ud fra amplituden som: hvor ω er den cykliske frekvens for motoren [rad/s] A er amplituden på de målte kurver, accelerationen [m/s 2 ] På kurven på figur 21 aflæses:

38 AAUE B6-2-F09 Det medfører at, den påtrykte kraft i resonans bliver: Forstærkningsfaktoren i resonans er: Denne beregning udføres for de resterende måleresultater. Resultaterne fremgår af tabel 14. Graf nr. Amplitude [m/s 2 ] ω [rad/s] X [m] β P 0 [N] k X/P 0 8 4,39 7,26 0,083 0,955 0,607 11,39 11 13,32 7,43 0,241 0,978 0,899 22,28 12 19,75 7,5 0,351 0,987 0,795 36,66 13 34 7,6 0,589 1,0 0,390 125 5 23,96 7,64 0,410 1,005 0,453 75,22 7 23,47 7,65 0,401 1,007 0,538 61,82 6 15,75 7,7 0,266 1,013 0,611 36,06 10 6,34 7,78 0,105 1,024 0,423 20,55 9 5,58 7,93 0,089 1,043 0,653 11,29 Tabel 14: Kraft og forstærkningsfaktor til forskellige frekvenser. Forstærkningsfaktoren som funktion af β fremgår af figur 24. Figur 24: Forstærkningsfaktoren som funktion af beta. Kilde: Eget Materiale.

AAUE B6-2-F09 39 3.5.3.3 På baggrund af system med roterende masse i ubalance (Metode III) Flytningen, og dermed den påtrykte frekvens, og forstærkningsfaktoren kan også findes ved at betragte systemet som et system med en roterende masse i ubalance i toppen. Princippet fremgår af figur 25. m 0 m Figur 25: Princippet for systemet for den indspændte bjælke med svingarmen m 0 er inkluderet i m. Flytningen for systemet findes som: hvor m 0 er massen af den del af svingarmen, der er i ubalance [g] m er hele den masse der svinger, inklusive m 0 og en del af bjælkens masse [g] e er afstanden fra rotationscentrum for svingarm ud til massemidtpunktet for m 0 [mm] Svingarmen vejer 199 g og dens dimensioner fremgår af figur 26. Rotationscentrum Figur 26: Svingarmens dimensioner. Alle mål i mm. Stykket før og efter rotationscentrum antages at udligne hinanden, derfor bliver længden af stykket, der giver m 0 : m 0 Massen, m 0, bliver: Afstanden, e, fra rotationscentrum til massemidtpunktet for m 0 bliver:

40 AAUE B6-2-F09 Den del af fjederens masse, der svinger, findes som: hvor a er fjederens masseandel Masserne af de forskellige dele fremgår af tabel 15. Emne Masse [g] Svingarm 199 Motor og lod 513 Accelerometer 40 Rundjern 41 Fjeder 1420 Tabel 15: Masser af forsøgsopstillingens forskellige dele. Forstærkningsfaktoren er i dette tilfælde: De anvendte værdier til bestemmelse af forstærkningsfaktoren ses i tabel 16. Der tunes på beta i intervallet [0,92 ; 1,06], med henblik på at bestemme omega og flytningen. På baggrund af omega bestemmes fjederens masseandel, hvorefter forstærkningsfaktoren beregnes. β ω [rad/s] a m [g] X [m] 1,06 8,056 0,342 1239 0,0455 9,069 1,05 7,980 0,359 1263 0,0528 10,72 1,04 7,904 0,377 1289 0,0636 13,19 1,03 7,828 0,395 1314 0,0817 17,26 1,02 7,752 0,414 1341 0,1170 25,24 1,01 7,676 0,434 1369 0,2140 47,09 1 7,600 0,454 1397 0,5560 125,0 0,99 7,524 0,474 1426 0,2000 45,76 0,98 7,448 0,495 1456 0,1020 23,79 0,97 7,372 0,517 1487 0,0660 15,78 0,96 7,296 0,540 1519 0,0479 11,70 0,95 7,220 0,563 1552 0,0370 9,23 0,94 7,144 0,587 1586 0,0297 7,58 0,93 7,068 0,612 1621 0,0245 6,39 0,92 6,992 0,637 1658 0,0206 5,50 Tabel 16: Flytning og forstærkningsfaktor for forskellige værdier af beta.

AAUE B6-2-F09 41 Grafen for β som funktion af forstærkningsfaktoren, D, fremgår af figur 27. Figur 27: Graf for forstærkningsfaktoren som funktion af beta. 3.6 ANSYS 3.6.1 Formål Formålet med analysen er at sammenligne flytningen ved en harmonisk kraft fundet i ANSYS med håndberegningen, for der igennem at validere/bekræfte størrelsen af den påtrykte kraft. 3.6.2 Metode FEM-modellen tunes i forhold til indspændingsforholdet med henblik på at skabe sammenlignelige forhold. Længdeforøgelsen findes som forskellen mellem den faktiske længde, og den længde, der medfører, at egenfrekvensen i ANSYS svarer til den ved afklingningsforsøget målte. Der gennemføres en harmonisk analyse på modellen, hvor den fundne flytning til den påtrykte kraft ses i forhold til den i håndberegningen fundne flytning. 3.6.3 Model I Bjælkemodellen fra forsøg 1 anvendes, idet der tunes på bjælkens længde med henblik på at skabe sammenlignelige forhold i forhold til indspændingsforholdet. En længdeforøgelse på 98 mm medfører, at egenfrekvensen for modellen bliver 1,2101 Hz, hvor den målte egenfrekvens er 1,21 Hz. Parametersæt A fra forsøg 1, og det målte dæmpningsforhold på 0,0037 anvendes. Tyngdepunktet for motoren med svingarm er modelleret i højden 1,4089 m, hvor den harmoniske kraft regnes at angribe. Vægten af motor, svingarm og accelerometer er 752 g. Der gennemføres en analyse i frekvensintervallet [1 Hz ; 1,3 Hz] med 300 trin, svarende til spring på 1/1000 Hz. Modellen belastes med 0,395 N, værdien af den i håndberegningen fundne P 0.

42 AAUE B6-2-F09 3.6.4 Model II For at kunne vurdere udbøjningen fundet ved metode III laves yderligere en analyse i ANSYS. Der anvendes modellen fra forsøg 1, idet der ikke tunes på indspændingsforholdet. På den måde skulle resultatet fra metode III være direkte sammenligneligt med ANSYS-resultatet. Sammenligningen laves med henblik på at kunne vurdere, hvorfor resultatet fra metode III ikke stemmer overens med resultatet af metode I og metode II. Det er indledningsvis vurderet at det skyldes samlingen mellem fjeder og fod, og det kan undersøges på denne måde. Scripts til modellerne i forsøg 2 findes i appendiks D-4. 3.6.5 Resultater 3.6.5.1 Model I Amplituden for flytningen af knude 24 (hvor motoren er modelleret) i forhold til frekvensen fremgår af figur 28. Amplituden er i [m] og frekvensen i [Hz]. Figur 28: Flytningen af knude 24 i forhold til frekvensen i intervallet mellem 1 og 1,3 Hz. Resonanspunktet findes, hvor den påtrykte frekvens rammer egenfrekvensen. Kilde: ANSYS. Amplituden listet for frekvensen i intervallet [1,2050 Hz ; 1,2150 Hz] fremgår af tabel 17. Største flytning findes ved 1,2100 Hz til 0,592 m. Den største amplitude findes ved 1,2100 Hz, hvilket er meget tæt på egenfrekvensen 1,2101 Hz. Flytningen i dette punkt vil være en smule større, men forskellen på en 1/10000 Hz vurderes at være tilstrækkelig til at give et plausibelt billede af amplituden.

AAUE B6-2-F09 43 UX_2 ***** ANSYS POST26 VARIABLE LISTING ***** FREKVENS [Hz] AMPLITUDE [m] FASE [ ] 1,2050 0,381290-41,2316 1,2060 0,428122-47,4319 1,2070 0,479472-55,1683 1,2080 0,530588-64,6872 1,2090 0,572158-75,9677 1,2100 0,592361-88,4709 1,2110 0,584191-101,129 1,2120 0,551470-112,797 1,2130 0,505280-122,785 1,2140 0,455998-130,959 1,2150 0,409666-137,523 Tabel 17: Frekvensen (time) med tilhørende flytning (amplitude) listet i. Kilde: ANSYS. Udbøjningen bestemt ved FEM-analysen ved P 0 er 0,592 m. Udbøjningen bestemt ved håndberegningen er, jf. tabel 14, 0,589 m. FEM-analysen understøtter håndberegningen. 3.6.5.2 Model II Den fuldt indspændte model er lavet på baggrund af parametersæt A. Egenfrekvensen af systemet med den fuldstændig stive indspænding er fundet i ANSYS til 1,3510 Hz. Resultatet fra en harmonisk analyse med en påtrykt kraft på 0,395 N er listet i tabel 18. UX_2 ***** ANSYS POST26 VARIABLE LISTING ***** FREKVENS [Hz] AMPLITUDE [m] FASE [ ] 1,3390 0,204056 22,7170 1,3400 0,220417 24,5403 1,3410 0,239159 26,6605 1,3420 0,260737 29,1491 1,3430 0,285672 32,0987 1,3440 0,314520 35,6297 1,3450 0,347771 39,8960 1,3460 0,385624 45,0888 1,3470 0,427509 51,4273 1,3480 0,471285 59,1220 1,3490 0,412282 68,2838 1,3500 0,543129 78,7760 1,3510 0,556021 90,0882 1,3520 0,547305 101,402 1,3530 0,520178 111,897 1,3540 0,482203 121,063 1,3550 0,440739 128,762 1,3560 0,400575 135,104 1,3570 0,363992 140,300 Tabel 18. Frekvensen (time) med tilhørende flytning (amplitude) listet i. Kilde: ANSYS.

44 AAUE B6-2-F09 Ved en påtrykt frekvens på 1,3510 Hz svarende til egenfrekvensen findes den største udbøjning. Udbøjningen er 0,556 m og fasevinklen er bestemt til 90,10. 3.7 Diskussion og vurdering af forsøgsresultater Forstærkningsfaktoren og udbøjningen er fundet med 3 forskellige metoder; metode I, metode II og metode III. Metode I og metode II vurderes at være to forskellige metoder til, at nå frem til det samme på. Metode III adskiller sig fra de to øvrige metoder idet, at der i denne metode tages højde for excentriciteten af den roterende masse i beregningen af udbøjningen, frem for at aflæse udbøjningen på kurven. Det ses, at metoden III undervurderer udbøjningen en smule, da den aflæste udbøjning på kurverne i resonans er 0,589 m og den beregnede udbøjning bliver 0,556 m. ANSYS giver en udbøjning på 0,592 m når bjælken modelleres med den længdeforøgelse, der blev fundet nødvendig i forsøg 1 og den påførte kraft sættes til 0,395 N, hvilket ligger meget tæt på den målte udbøjning i metode I og metode II. ANSYS giver en udbøjning på 0,556 m når der arbejdes med den fuldstændig stive model, det resultat er i fuldstændig overensstemmelse med resultatet fra metode III. 3.8 Fejlkilder og usikkerheder Metode III og ANSYS-model II tager udgangspunkt i, at bjælken er fuldstændig indspændt i den ene ende. Der er således noget der tyder på, at afvigelsen mellem metode III og de øvrige metoder skyldes, at metode III antager fuldstændig stiv indspænding. ANSYS-model I finder den målte udbøjning, når modellens tunes på længden mht. egenfrekvensen. Metode III er en teoretisk metode, og der er i dette tilfælde ikke fuldstændig overensstemmelse mellem teori og virkelighed. Som i forsøg 1 er det tilfældet, at samlingen mellem fjeder og fod er årsag til de væsentligste fejl. I analysen af ANSYS-model er der kompenseret for fejlen, idet der er justeret på fjederlængden. Forstærkningsfaktoren er beregnet med tre forskellige metoder. Kurverne for forstærkningsfaktoren som funktion af frekvensforholdet for de tre metoder er plottet i figur 29. Det fremgår af figuren, at de tre metoder giver stort set sammenfaldende resultater. Forstærkningsfaktoren ved resonans er for alle metoder bestemt til 125, hvorfor værdien vurderes at være troværdig. Det bemærkes, at forstærkningsfaktoren tiltager voldsomt når den påtrykte frekvens nærmer sig egenfrekvensen (resonans, β = 1,0).

AAUE B6-2-F09 45 Figur 29: Grafer for forstærkningsfaktor som funktion af beta plottet oveni hinanden. Det var forventeligt med en stor forstærkningsfaktor, henset til det lave dæmpningsforhold. Fra Inman p 122 haves, at ζ 1 =0,1 medfører D 1 = 5, desuden, at ζ 2 =0,25 medfører D 2 = 2. Betragtes forholdet mellem dæmpningsforholdene og forholdet mellem forstærkningsfaktorerne findes det at dette forhold er konstant: Dæmpningsforholdet i forsøget er fundet til 0,004, hvorfor forstærkningsfaktoren findes til: Det tyder på, at der i resonans findes en direkte sammenhæng mellem dæmpningsforhold og forstærkningsfaktor. Fasevinklen ved ANSYS-model I er 88,4 grader, hvilket indikerer, at udbøjningen ikke er maksimal. Udbøjningen er meget følsom i forhold til det valgte analyseinterval. Gøres intervallet grovere falder udbøjningen, uanset om frekvensen 1,2100 Hz indgår i de analyserede frekvenser. Indsnævres intervallet med henblik på at komme tættere på egenfrekvensen, formindskes udbøjningen. Der er ikke fundet en forklaring på dette problem. 3.9 Konklusion Det er som i forsøg 1 fundet, at analysen i ANSYS giver gode resultater, såfremt input data er nøje afstemt. Hvis ikke modellen tunes således at egenfrekvensen passer, bliver der en afvigelse mellem den målte og den beregnede udbøjning på ca. 2 %.

46 AAUE B6-2-F09 Under forudsætning af at det fundne dæmpningsforhold er korrekt, er den fundne forstærkningsfaktor i resonans korrekt. Det er fundet, at for små dæmpningsforhold er forstærkningsfaktoren i høj grad afgørende for flytningens størrelse, når den påtrykte frekvens nærmer sig egenfrekvensen. Virkelige konstruktioner har typisk et dæmpningsforhold, der er mindre end 0,2. Forstærkningsfaktoren ganges på den statiske udbøjning. For konstruktioner med lave dæmpningsforhold, vil den reelle udbøjning i og omkring resonanspunktet derfor mangedobles i forhold til den statiske udbøjning. Derfor er det vigtigt at sørge for, at den påtrykte frekvens ikke ligger tæt på egenfrekvensen.

AAUE B6-2-F09 47 4 Rammekonstruktion påvirket af transient last 4.1 Formål Formålet med forsøg 3 er at lave eksperimentelle målinger på en model og herefter sammenligne måleresultaterne med en teoretisk håndberegning og computerbaserede beregninger. Der skal således foretages følgende: Stivhederne for de enkelte søjleelementer findes Egenfrekvenserne bestemmes, vha.: o Masserne og stivhederne o Forsøgsresultaterne FFT o FEM-baseret modelanalyse Dæmpning bestemmes, vha.: o Newmark tidsintegration o FEM-baseret transientanalyse 4.2 Forsøgsopstilling Forsøgsopstillingen ses på figur 30. Acc1 C Lod1 D B Acc2 Lod2 E A F Figur 30: Forsøgsopstilling, fastspændt til bord med skruetvinger. Alle mål i mm.

48 AAUE B6-2-F09 På figur 30 ses accelerometer nummer 1 (acc1) forneden og accelerometer nummer 2 (acc2) foroven. Desuden ses lodsituation 1 med alt masse placeret foroven og lodsituation 2 med alt masse placeret midt på rammen. 4.3 Beskrivelse af forsøg Der gennemføres to delforsøg, med henblik på at bestemme hhv. stivhedsmatricen og gennemføre accelerationsmåling. Ved stivhedsbestemmelsen påvirkes rammen med en kraft, der skaber en flytning. Kraften påføres, som i forsøg 1 med en trisse og 1 til 3 lodder. Flytningen måles med en lineal, hvorved stivheden kan bestemmes vha. nedenstående formel: Først findes stivheden for AB, se figur 30, ved at rammen påvirkes med et træk i B. Herefter findes stivheden for BC ved at påvirke rammen med et træk i C. Forsøget gentages med forskellige lodsituationer. Til accelerationsmålingen fastgøres to accelerometre til rammen på hhv. BE og CD. Systemet påvirkes herefter med først en flytning i B og dernæst i både B og C, hvorved systemet vil sættes i bevægelse og computersoftwaren kan afbilde forsøget. Herefter kan egenfrekvenserne i første og anden modeshape bestemmes. 4.4 Teori Første og anden modeshape for rammen fremgår af figur 31. Figur 31: De to første modeshapes for rammen. 1. modeshape med rød og 2. modeshape med blå.

AAUE B6-2-F09 49 4.4.1 Analytisk teori på udæmpet 2DOF-system Rammen regnes som et system med to frihedsgrader. Systemet fremgår af figur 32. k 1 k 2 m 2 m 1 x 1 x 2 Figur 32: System med to frihedsgrader. k er stivhed, m er masse og x er flytning. Bevægelsesligningen for systemet på figur 32 kan skrives på følgende vis: hvor er massematricen er stivhedsmatricen er accelerationsvektoren er positionsvektoren Ovenstående ligning omskrives til matrixform: Begyndelsesbetingelserne beskrives vha. følgende vektorer: og Ligesom for systemer med en frihedsgrad kan en harmonisk løsning indsættes i bevægelsesligningen: hvor u er en vektor af konstanter, der beskriver modeshape Indsættes ovenstående løsninger i bevægelsesligningen fås nedenstående ligning: Da trivialløsningen svarende til u = 0, reduceres ovenstående ligning og karakterligningen bliver:

50 AAUE B6-2-F09 Ved at finde løsningerne til karakterligningen kan den generelle løsning opstilles: hvor a, b, c og d bestemmes ud fra begyndelsesbetingelserne Herefter er det muligt at omskrive løsningen vha. Euler-relationerne: hvor findes vha. begyndelsesbetingelserne Af løsningen ses det at systemet svinger med to frekvenser, og. 4.4.2 Newmark tidsintegration Newmark tidsintegration anvendes til at bestemme aflastningstiden og dæmpningen for et 2DOF-system. Den trunkerede Taylorrække (Newmark algoritmen): Der anvendes en gennemsnitlig og det medfører: Step 1 (predictor step) til algoritmen bliver: Step 2 i algoritmen bliver: hvor M er massematricen K er stivhedsmatricen C er dæmpningsmatricen

AAUE B6-2-F09 51 Værdierne for stivhedsmatricen, massematricen, γ og β indsættes i Matlab og dæmpningen (Rayleigh-dæmpningen) findes som: 4.5 Bearbejdning af forsøgsresultater 4.5.1 Bestemmelse af stivhedsmatricen Resultaterne af trækforsøget ses i tabel 19 og tabel 20. Bemærk i kolonne Udbøjning øverst er angivet forskellen mellem den totale udbøjning, x 1, og udbøjningen i midten, x 2, svarende til udbøjningen for stykket BC, se figur 33. Figur 33: Udbøjningsforklaring. 1 lod, 2 lodder eller 3 lodder angiver, hvilken masse der er brugt til at skabe den pågældende udbøjning. Træk foroven Udbøjning øverst [cm] 1 lod (0,29485 kg) (0,6-0,2); (0,5-0,3); (0,5-0,3); (0,5-0,3); (0,45-0,2); (0,5-0,2); (0,6-0,3) 2 lodder (0,56785 kg) (1,1-0,5); (1,0-0,6); (0,95-0,6); (1,0-0,6); (0,9-0,45); (0,95-0,5); (0,9-0,5) 3 lodder (0,82542 kg) (1,6-0,8); (1,4-0,8); (1,4-0,8); (1,4-0,75); (1,4-0,7); (1,4-0,7); (1,4-0,7) Tabel 19: Udbøjningsresultater ved træk foroven. Udbøjning i midten [cm] 0,2; 0,3; 0,3; 0,3; 0,2; 0,2; 0,3 0,5; 0,6; 0,6; 0,6; 0,45; 0,5; 0,5 0,8; 0,8; 0,8; 0,75; 0,7; 0,7; 0,7 Træk i midten Udbøjning i midten [cm] Udbøjning øverst [cm] 1 lod (0,29485 kg) 0,2; 0,2; 0,2; 0,3; 0,3 0,2; 0,2; 0,2; 0,4; 0,25 2 lodder (0,56785 kg) 0,5; 0,5; 0,4; 0,6; 0,55 0,45; 0,45; 0,4; 0,7; 0,55 3 lodder (0,82542 kg) 0,65; 0,6; 0,6; 0,6; 0,8 0,65; 0,6; 0,65; 0,7; 0,85 Tabel 20: Udbøjningsresultater ved træk i midten.

52 AAUE B6-2-F09 4.5.1.1 Træk foroven Den gennemsnitlige udbøjning findes ved træk foroven. Udbøjningen for træk foroven, ses på figur 34. Figur 34: Udbøjning ved træk foroven.k1 er stivheden for BC og k2 er stivheden for AB. De gennemsnitlige stivheder for rammen bliver derved: 4.5.1.2 Træk i midten Den gennemsnitlige udbøjning findes ved træk i midten.

AAUE B6-2-F09 53 Udbøjningen for træk foroven, ses på figur 35. Figur 35: Udbøjning ved træk i midten. k1 er stivheden for BC og k2 er stivheden for AB. De gennemsnitlige stivheder for rammen bliver derved: 4.5.2 Beregning af egenfrekvenserne Egenfrekvenserne bestemmes ved stivheds- og massematricen: Massematricen opstilles: Masserne, m 1 og m 2, beskriver hhv. massen nederst og øverst i rammen. Nederste masse (m 1 ): Masse af lod: Masse af accelerometer: Masse af ramme: 1784,39 g 90 g

54 AAUE B6-2-F09 Akkumulerede masse (m 1 ): Øverste masse (m 2 ): Masse af lod: Masse af accelerometer: Masse af ramme: 0 g 90 g Akkumulerede masse (m 2 ): Massematricen kan herved opstilles: Stivhedsmatricen opstilles: Stivheds- og massematricen indsættes i nedenstående ligning: Beregner determinanten til bevægelsesligningen: Dermed kan egenfrekvenserne findes:

AAUE B6-2-F09 55 4.5.3 Bestemmelse af egenfrekvens med Fast Fourier Transformation Accelerationskurverne fremgår af appendiks C. For systemer med flere frihedsgrader vil det være for usikkert at aflæse perioden på kurverne og beregne frekvensen herudfra, som gjort i forsøg 1 og forsøg 2. Derfor anvendes Fast Fourier Transformation (FFT). 2 Resultaterne af FFTanalysen fremgår af appendiks C. FFT er en hurtigere version af Diskret Fourier Transformation (DFT). De målte data for accelerationen som funktion af tiden føres igennem en FFT med henblik på at bestemme frekvensen for første og anden mode. Målingen for afklingningsforsøget med lodsituation 2 ses på figur 36, hvor den røde kurve er acc1 og den blå kurve er acc2. Figur 36: Måling for lodsituation 2. Den røde kurve er acc1 og den blå kurve er acc2. Kilde: Logger Lite. Resultatet af FFT for lodsituation 2 for accelerometer 1 og 2 ses på henholdsvis figur 37 og figur 38. 2 www.aaue.dk/bm/dynamics-fundamentals

spectrum spectrum 56 AAUE B6-2-F09 3500 3000 2500 2000 1500 1000 500 0 0 5 10 15 frequency [Hz] Figur 37: Resultat af FFT for acc1 i lodsituation 2. Kilde: Logger Lite og Matlab. 3500 3000 2500 2000 1500 1000 500 0 0 5 10 15 frequency [Hz] Figur 38: Resultat af FFT for acc2 i lodsituation 2. Kilde: Logger Lite og Matlab. Spektre og frekvenser for figur 37 og figur 38, samt for de øvrige målinger fremgår af tabel 21. På figur 38 viser pilene de to steder, hvor rammen blev påvirket med slag, måling 4.

AAUE B6-2-F09 57 Toppen Midten Figur 39: Lastsituation for måling 4. Rammen får et slag samtidig på de to steder, hvor pilene er vist. I tabel 21 er resultaterne fra FFT listet. Initialudbøjningen er den målte. Måling nr. Mode nr. Frekvens [Hz] Initialudbøjning Lodsituation 1 1 3,075 39 mm i toppen 2 2 9,375 2 1 3,075 17 mm i midten 2 2 9,375 3 1 2,400 17 mm i midten 1 2 11,40 4 1 2,400 Slag, se figur 39 1 2 11,50 Tabel 21: Spektre og frekvenser for målingerne. 4.5.4 Dæmpning ud fra accelerationskurven og Newmark Systemet påføres en last på 22,9 N, som er den last der i ANSYS er fundet nødvendig, for at opnå en statisk udbøjning på 0,039 m. Impulsen påføres således at lasten starter på 22,9 N og i løbet af 0,05 sekunder (aflastningstiden) aftager til 0 N, se figur 40.

58 AAUE B6-2-F09 F(t) [N] 22,9 N 0,05 s Tid [s] Figur 40: Kraften som funktion af tiden. Dæmpningsmatricen findes ved at tune på faktorerne a 0 og a 1, så kurven for accelerationen som funktion af tiden er sammenfaldende med forsøgskurven. Faktorerne findes til: De sammenfaldende kurver fremgår af figur 41. Kurven for Newmark er grøn og forsøgskurven er blå. 40 30 2.dof displacement Last 20 10 0-10 -20-30 -40 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 Figur 41: Sammenfaldende kurver. Kurven for Newmark med grøn og kurven for acc2 med blå.

AAUE B6-2-F09 59 4.6 ANSYS 4.6.1 Formål Formålet med ANSYS-analysen er at bestemme egenfrekvenserne, med henblik på at vurdere hvorvidt samlingerne i konstruktionen er momentstive. Endvidere skal dæmpningsparametrene for rammen identificeres. 4.6.2 Metode Undersøgelsen af samlingerne gennemføres ved at sammenligne egenfrekvenserne identificeret ved forsøg med FEM-modellens egenfrekvenser. Såfremt egenfrekvenserne er identiske for de to modeller kan samlingerne anses at være momentstive. Alternativt tunes samlingerne i FEM-modellen i forhold til E-modulet med henblik på at skabe en model, der svarer til forsøgsopstillingen. For at bestemme dæmpningsparametrene skal den transiente belastning fastlægges. Startudbøjningen fra forsøget kendes og kraften, der giver en tilsvarende statisk flytning for den tunede model, identificeres. FEM-modellen analyseres herefter med henblik på at skabe overensstemmelse mellem accelerationen for modellen og forsøgsresultatet ved at tune på dæmpningsparametrene og aflastningstiden. Udgangspunktet for dæmpningsparametrene findes ved hjælp af en tidsintegration. Aflastningstiden justeres indtil FEM-modellen harmonerer med forsøgsresultatet. Belastningen på rammen simuleres som en over tiden lineært aftagende last, hvor tiden betegnes aflastningstiden. Beregningstiden for et tidsinterval på 2 sekunder med 200 beregninger pr. sekund for solidmodellen med 37800 frihedsgrader, er omkring 60 minutter, hvorfor der er analyseres på relativt korte intervaller. ANSYS er endvidere begrænset til 1000 integrationsstep, hvorfor længere analyseintervaller vil betyde grovere step, hvilket kan medføre, at en amplitude-top ikke findes (en mere kantet graf, der klipper toppen af). 4.6.3 Model Der anvendes en 3D solidmodel, hvor samlingerne samt understøtningerne tildeles selvstændige materialeparametre med henblik på at tune stivhederne ud fra E-modulet. Der anvendes elementtypen SOLID186, som har 20 knuder. Modellen meshes i firkantede elementer. Parametersæt A fra forsøg 1 anvendes, idet samlingerne dog tunes på E-modulet. Samlingerne mellem benene og tværstængerne tildeles E-modul, E 2, mens indspændingerne tildeles E- modul, E 3. E 2 og E 3 sættes indledningsvist til 210000 MPa (2,1E11 N/m 2 ) svarende til værdien i parametersæt A.Lodderne og accelerometrene modelleres med MASS21 placeret direkte på tværbjælkerne, og ikke hævet til disses tyngdepunkt, da tværstiverne er væsentligt stivere end benene. Vægten for accelerometret er 90 g, mens lodderne på nederste tværstang vejer henholdsvis 597,76 g og 1186,63 g. Scripts til modellerne i forsøg 3 findes i appendiks D-5. 4.6.3.1 Resultater Modalanalysen viser, at egenfrekvenserne i 1. og 2. mode for den ikke tunede model er:

60 AAUE B6-2-F09 Det var forventet, at egenfrekvenserne ville være større end de ved forsøget fundne, da samlingerne i FEM-modellen er momentstive. De første fire modes fremgår af figur 42. Figur 42: De fire første modes regnet fra venstre med første mode. Første og anden mode bevæger sig i rammens plan, mens tredje mode bevæger sig ud af planet og fjerde mode tvister ud af planet. Kilde: ANSYS Ved tuning på E-modulet for indspændingerne og samlingerne findes egenfrekvenserne for 1. og 2. mode: for E 2 lig med 2,5E10 N/m 2 og E 3 lig med 9,5E9 N/m 2. Accelerationen for rammen er målt ved en startudbøjning på 39 mm målt ved den øverste tværbjælke. Ved at belaste FEM-modellen med en kraft på 22.9 N i knude 9385 (øverste hjørne) opnås en flytning samme sted på 38,98 mm (se figur 43). Figur 43: Flytningen af øverste tværbjælke ved en belastning på 22,9 N placeret på knude 9385. Kilde ANSYS. Acceleration som funktion af tiden påvirkes af aflastningstiden og dæmpningsforholdet. Anvendes C=0,0001M+0,0005K som fundet ved den numeriske tidsintegration jf. afsnit 4.5.4,

AAUE B6-2-F09 61 vil en aflastningstid på 0,05 s medføre, at accelerationen i forhold til tiden bliver større end de målte jf. figur 44. Figur 44: Accelerationen i forhold til tiden. Den turkise kurve er fra ANSYS, og den blå kurve er fra Newmark. Dæmpningsparametre for massematricen og stivhedsmatricen er hhv. 0,0001 og 0,0005. Aflastningstiden er 0,05 s. Kilde: ANSYS. Ved at tune på aflastningstiden i forhold til accelerationen i forhold til tiden fundet ved forsøget, vil en aflastningstid på 0,0275 s give accelerationer, der passer med amplituderne for forsøget. Figur 45: Accelerationen i forhold til tiden. Den turkise kurve er fra ANSYS, og den blå kurve er fra Newmark. Dæmpningsparametrene for massematricen og stivhedsmatricen er hhv. 0,0001 og 0,0005. Aflastningstiden er 0,0275 s. Kilde: ANSYS.