Differential- regning

Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul

Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7 Differentialregning del udgave 6 6 Karsten Juul Dette hæfte kan downloades fra wwwmatdk Hæftet må benyttes i undervisningen hvis læreren med det samme sender en e-mail til kj@matdk som dels oplyser at dette hæfte benyttes, dels oplyser om hold, lærer og skole

Tretrinsreglen Definition af differentialkvotient Oplæg Figur a viser en interaktiv figur med grafen for funktionen (*),75,5 Linjen m er tangent til grafen for f () i grafpunktet med førstekoordinat Linjen l går gennem grafpunkterne med førstekoordinater og Man kan trække det hvide punkt frem og tilbage på førsteaksen og derved ændre tallet l går gennem punkterne (, y) (, f () ) og (, y ) (,75, f (,75) ) så l 's hældningskoefficient er y y f (,75) f (),75 hvilket er lig tallet på figur a,75 På figur b er så nær at l 's hældningskoefficient er næsten den samme som hældningskoefficienten for tangenten m Tangenthældningen f () er grænseværdien af l 's hældningskoefficient når går mod (c) Definition Ved differentialkvotienten f ( ) af en funktion f () i et tal forstås grænseværdien for gående mod af hældningskoefficienten for linjen gennem grafpunkterne med førstekoordinater og Med symboler kan denne definition skrives sådan: f ( ) lim f ( ) () f () l () f () f ( ) l,75 l 's hældn,75 m () Figur a,5 l 's hældn,75 m () Figur b Differentialregning Side 59 6 Karsten Juul

Øvelse (a) På figur a skærer l grafen i to punkter Beregn andenkoordinaten til hvert af disse punkter (b) Beregn hældningskoefficienten for linjen l på figur b (c) I tidligere afsnit har du (uden bevis) fået oplyst nogle formler der kan bruges til at beregne differentialkvotienter Brug disse til at beregne hældningskoefficienten for tangenten m i ramme Tretrinsreglen Oplæg Vi vil bruge definition c til at beregne hældningskoefficienten f () for tangenten m i ramme Dette gør vi i tre trin: () Grafpunkterne med førstekoordinater og har andenkoordinater, 5 og,75,5 Linjen l gennem disse to punkter har derfor hældningskoefficienten (,75,5 ),5 () Vi får lommeregneren til at reducere dette udtryk (se figur d) og får at det er lig,5 (,5) () Med metoden fra ramme 9 får vi at for gående mod er grænseværdien af l 's hældningskoefficient lig,5 (,5),75 Hældningskoefficienten f () for tangenten m er altså, 75 Figur d (e) Metode (tretrinsreglen) Differentialkvotienten f ( ) for en funktion f () i et tal kan bestemmes ved at gennemføre følgende tre trin: () Opskriv udtrykket for hældningskoefficienten for linjen gennem f-grafens punkter med førstekoordinater og () Omskriv udtrykket fra () så man kan bestemme dets grænseværdi for gående mod () Bestem denne grænseværdi Denne grænseværdi er f ) ( Differentialregning Side 6 6 Karsten Juul

4 Øvelse Gennemfør det der er beskrevet i oplægget i ramme 5 Kontinuerte funktioner (f) Regel Eksempel Da er Et regneudtryk med en variabel som er opbygget af de "sædvanlige" symboler, er kontinuert i enhver værdi af hvori udtrykket er defineret ( ) ( ) ( ) lim ( ) ifølge metoden fra ramme 9 For ifølge denne metode er grænseværdien lig værdien af for, da er kontinuert i 6 Øvelse (a) Bestem grænseværdien af (b) Bestem (c) Bestem lim ( ) lim 8 ( + ) for gående mod 7 Øvelse Brug tretrinsreglen (e) til at bestemme differentialkvotienten i 4 af Husk at du evt kan lade lommeregneren foretage reduktionen i trin () 8 Øvelse Brug tretrinsreglen (e) til at bestemme differentialkvotienten i af Differentialregning Side 6 6 Karsten Juul

9 Øvelse Brug tretrinsreglen (e) til at bestemme differentialkvotienten f ) for funktionen ( Differentiable funktioner Oplæg Vi vil forsøge at bestemme differentialkvotienten for tretrinsreglen: i ved hjælp af () Hældningskoefficienten for linjen gennem f-grafens punkter med førstekoordinater og er f ( ) () Vi lader lommeregneren reducere dette udtryk for hældningskoefficienten Vi får at vide at hældningskoefficienten er lig sign( ), dvs den er når er negativ, og når er positiv () Da hældningskoefficienten er når er negativ, og når er positiv, har den ikke nogen grænseværdi for gående mod Altså har ikke en differentialkvotient i (g) Definition af differentiabel funktion Man siger at en funktion f () er differentiabel i et tal hvis f ( ) hældningskoefficienten for linjen gennem grafpunkterne med førstekoordinater og har en grænseværdi for gående mod Øvelse (a) Forsøg at bestemme differentialkvotienten for i ved hjælp af tretrinsreglen f () (b) Hvorfor har hældningskoefficienten ikke en grænseværdi for gående mod? Differentialregning Side 6 6 Karsten Juul

Hvis differentiabel, så kontinuert Oplæg På figur h er tegnet grafen for en funktion f () som ikke er kontinuert i 4 Desuden er tegnet linjen l gennem grafpunkterne med førstekoordinater 4 og Det ses at hældningskoefficienten (*) f (4) 4 for l kan vi gøre så stor det skal være ved at vælge tæt nok på 4 Altså har (*) ikke nogen grænseværdi for gående mod 4, så f () er ikke differentiabel i 4 Figur h Hvis vi tegner grafen for en anden funktion f () der ikke er kontinuert i et tal, kan vi på lignende måde indse at funktionen heller ikke er differentiabel i tallet Der gælder: Hvis f () ikke er kontinuert i, så kan f () heller ikke være differentiabel i Dette er udtrykt i følgende sætning: (i) Sætning Når f () er en funktion, og er et tal, gælder Hvis f () er differentiabel i, så er f () kontinuert i Øvelse Vedr figur h f (4) (a) Bestem hældningskoefficienten for l når er 4, 5 og når er 4, 4 f (4) (b) Hvor tæt skal være på 4 for at er over? 4 Differentialregning Side 6 6 Karsten Juul

Formler for differentialkvotienter Differentialkvotient for (a) Sætning Når, gælder for ethvert tal at Bevis (* ) f () er differentiabel i og ( f ( ) ** ) For ethvert tal gælder at linjen gennem grafpunkterne med førstekoordinater og har hældningskoefficienten ( + )( ) + Da + er kontinuert i, har hældningskoefficienten en grænseværdi for gående mod (ifølge metoden fra ramme 9) Altså er (*) bevist Grænseværdien er værdien af + for, dvs + Altså er (**) bevist Øvelse (Uden hjælpemidler) (a) Udregn ( )( + + ) (b) Sætningen og beviset i ramme drejer sig om sætning med bevis der drejer sig om udtrykket for hældningskoefficienten Skriv en tilsvarende Brug svaret på (a) når du skal reducere Differentialregning Side 64 6 Karsten Juul

Differentialkvotient for a (b) Sætning For ethvert reelt tal a gælder: Hvis a så er a a Eksempel Hvis fås af sætning (b) at f ( ) Eksempel Vi vil finde differentialkvotienten for f Da ( ) fås Eksempel Vi vil finde differentialkvotienten af Da fås f ( ) 4 Øvelse Brug (b) til at bestemme differentialkvotienterne for følgende funktioner:,6, g ( ) og h( ),6 Differentialregning Side 65 6 Karsten Juul

5 Differentialkvotienten af og (c) Sætning Hvis så er Bevis Da f ( ) f ( ) kan vi bruge reglen for differentialkvotient af potens (regel b): hvilket skulle bevises (d) Sætning Bevis Hvis så er f ( ) Da kan vi bruge reglen for differentialkvotient af potens (regel b): f ( ) hvilket skulle bevises 6 Oversigt over differentialkvotienter f () f () k a a a f () f () a e k e ln a ln a e k k e cos sin sin cos Differentialregning Side 66 6 Karsten Juul

Regneregler for differentialkvotienter Differentialkvotient af f + g (a) Sætning om differentialkvotient af sum Bevis Hvis () to funktioner f () og g () er differentiable i et tal gælder: () Summen h ( ) + g( ) er differentiabel i, og () h ) f ( ) + g ( ) ( Linjen gennem h-grafens punkter med førstekoordinater og har hældningskoefficienten h (4) ( ) h ( ) ( + g( )) ( f ( ) + g( )) f ( f ( (5) + g( ) g( ) ) ) g( ) g( ) + Ifølge () har hvert af leddene i (5) en grænseværdi for gående mod Så må (4) også have dette, dvs vi har bevist () De to led i (5) har grænseværdierne f ( ) og g ( ), så udtrykket (5) må have grænseværdien f ( ) + g ( ) Dette er altså grænseværdien af (4), dvs vi har bevist () Øvelse (a) Brug (a) og 6 til at bestemme differentialkvotienten af hver af følgende: ln + e, (b) Bestem h () når h( ) + ln g ( ) +, p ( ) e + 6 og r( ) + e Differentialregning Side 67 6 Karsten Juul

Øvelse (a) Gæt ud fra tabellen grænseværdien af u ( ) for gående mod 4 (b) Gæt ud fra tabellen grænseværdien af u ( ) for gående mod 4 (c) Udfyld tabellens sidste række u ( ) + u ( ) : (d) Gæt ud fra den sidste række grænseværdien af u ) + u ( ) for gående mod 4 ( (e) Erstat tallene i tabellen med andre så der når går mod 4 gælder at summen af grænseværdierne af u ( ) og u ( ) er forskellig fra grænseværdien af u ) + u ( ), eller sig at det ikke kan lade sig gøre ( :,9,95,98 u ( ) :,5,, u ( ) : 5, 5,5 5, 4 Differentialkvotient af k f (b) Sætning om differentialkvotient af konstant gange funktion Hvis () en funktion f () er differentiabel i et tal og k er en konstant gælder: () Produktet h( ) k er differentiabelt i, og () h ) k f ( ) ( Eksempel Vi vil bestemme differentialkvotienten af Da og differentialkvotienten af er, fås af () i (b) at f ( ) Bemærk I () ovenfor står der k, der står ikke differentialkvotienten af k Hvis vi i eksemplet skulle have skrevet differentialkvotienten af, var resultatet blevet Hvis vi skal finde differentialkvotienten af g ( ) +, så skal vi derimod skrive differentialkvotienten af, altså Dette følger af () i sætning (a) Der gælder altså g ( ) + Differentialregning Side 68 6 Karsten Juul

5 Øvelse I ramme beviste vi sætning (a) ved hjælp af tretrinsreglen Sætning (b) kan bevises på lignende måde Gør det 6 Øvelse Brug (a), (b) og 6 til at bestemme differentialkvotienten for hver af følgende funktioner ln 4 ln, g( ) 4 + ln og h ( ) 4 7 Differentialkvotient af f g (c) Sætning om differentialkvotient af differens Hvis () to funktioner f () og g () er differentiable i et tal gælder: () Differensen h( ) g( ) er differentiabel i, og () h ) f ( ) g ( ) ( 8 Øvelse Sætning (c) kan bevises ved hjælp af tretrinsreglen på næsten samme måde som sætning (a) blev bevist, men du skal ikke bevise (c) på denne måde Du skal bevise (c) uden at bruge tretrinsreglen Det skal du gøre ved at bruge sætningerne (a) og (b) 9 Øvelse Brug (a), (b), (c) og 6 til at bestemme differentialkvotienten for hver af følgende funktioner ln, Øvelse (Uden hjælpemidler) g( ) e +, h( ) 4 ln Bestem en ligning for tangenten til grafen for funktionen + i punktet P (, f ()) Differentialregning Side 69 6 Karsten Juul

Differentialkvotient af f g (d) Sætning om differentialkvotient af produkt Bevis Hvis () to funktioner f () og g () er differentiable i et tal gælder: () Produktet h( ) g( ) er differentiabelt i, og () h ) f ( ) g( ) + f ( ) g ( ) ( Linjen gennem h-grafens punkter med førstekoordinater og har hældningskoefficienten h (4) ( ) h ( ) (5) g( ) f ( ) g( ) g( ) f ( ) g( ) + f ( ) g( ) f ( ) g( ) ( f ( )) g( ) + f ( ) ( g( ) g( )) f ( For gående mod gælder: ) g( ) g( ) g( ) + f ( ) Grænseværdierne af de to brøker i (5) er hhv f ) og g ) ifølge () Grænseværdien af g () er g ) da g () er kontinuert ifølge () ( Grænseværdien af f ) er f ) da f ) er en konstant ( ( Altså har (4) grænseværdien f ) g( ) + f ( ) g ( ), dvs () og () er bevist ( ( ( I tælleren er tilføjet f ) g( ) + f ( som er ( ) g( ( ) Øvelse Brug (d) til at bestemme differentialkvotienten for hver af følgende funktioner: ln og g( ) ( + ) e Differentialregning Side 7 6 Karsten Juul

Differentialkvotient af sammensat funktion Øvelse Der er givet funktionerne og g ( ) + (a) Bestem g () og f ( g() ) (b) Bestem g () og f ( g() ) (c) Bestem (t) f g(t) g og ( ) Øvelse Bestem f ( g() ) i hvert af følgende tilfælde: () ln( ) og g( ) () e og g ( ) + Definition af sammensat funktion (a) Definition Lad f () og g () være funktioner Man benytter følgende sprogbrug: f ( g() ) er en sammensat funktion hvor f () er den ydre funktion, og g () er den indre funktion Eksempler Hvis g ( ) og ( ) 8 Hvis g ( ) og I den sammensatte funktion ( ) f, så er ( g( ) ) 8 f, så er ( g( ) ) ( ) f er den indre funktion, og den ydre Bemærk at 'et i ikke er det der står i Man kunne have brugt forskellige bogstaver for de to 'er 4 Øvelse Angiv indre og ydre funktion for hver af følgende sammensatte funktioner: ( e ) +, g( ),7 e og ( ) ln( + ) h Differentialregning Side 7 6 Karsten Juul

5 Øvelse På hovedskærmen (den der fås frem ved at taste HOME ) kan man (som bekendt) bestemme en differentialkvotient ved hjælp af det blå d over 8-tallet F fås differentialkvotienten af hvis man skriver d(^,) og taster ENTER (a) Angiv differentialkvotienten for hver af funktionerne e, e + 5, e + 5 og e + Formuler en regel for at bestemme differentialkvotienter for funktioner af denne type Kontrollér om reglen også gælder når konstanterne er negative, og når konstanterne ikke er hele tal (b) Angiv differentialkvotienten for hver af funktionerne ln( ), ln( + ), ln( + 5), ln( + 5) Formuler en regel for at bestemme differentialkvotienter for funktioner af denne type Kontrollér om reglen også gælder når konstanterne er negative, og når konstanterne ikke er hele tal (c) Angiv differentialkvotienten for hver af funktionerne 4, ( +) 4, ( +5) 4 og ( +5) 4 Formuler en regel for at bestemme differentialkvotienter for funktioner af denne type Kontrollér om reglen også gælder når konstanterne er negative, og når konstanterne ikke er hele tal (d) Forestil dig at der i lommeregneren var indbygget to funktioner bip og pip hvor bip ( ) pip( ) Gæt differentialkvotienten af bip( a+ b) ved at sammenligne med dine svar på (a), (b) og (c) 6 Øvelse I tabellerne er funktionsværdierne afrundet til decimal Hvis der havde været flere decimaler, ville man kunne se at f-grafen og g-grafen krummer, 8, 9,,, g (), 6, 8,,, 4, 8, 9,,, f (), 4, 7,, 6, 9,, h ( ) f ( g( )) (a) Angiv skønnede værdier for g () og f () (b) Udfyld de tomme pladser i f ( g( )) -tabellen (c) Angiv skønnede værdier for () f g() h og ( ) Differentialregning Side 7 6 Karsten Juul

7 Øvelse (a) Om to funktioner f () og g () er oplyst at f ( 5) 4 og g ( ) Skriv tilnærmede værdier for de manglende funktionsværdier i f-tabellen og g-tabellen (b) Udfyld den tredje tabel, 8, 9,,, g () 5, 4, 8 4, 9 5, 5, 5, f () 7,, 9,, h ( ) f ( g( )) (c) Angiv en skønnet værdi for () f h (d) Udregn ( g( ) ) g () 8 Oplæg om differentialkvotient af sammensat funktion For at fremstille en vare skal man taste højden h i mm Prisen i kr afhænger af varens bredde b i mm Vi betragter følgende tre funktioner: br( h) bredde når højde er h, pr( b) pris når bredde er b, ( br( h) ) pris når højde er h PR( h) pr Når højde er mm, er bredde 9 mm, dvs br ( ) 9 Når højde er mm så øges bredde med mm hver gang højde øges mm, dvs b r ( ) Når bredde er 9 mm så øges pris med,5 kr hver gang bredde øges mm, dvs p r ( 9),5 Vi kan slutte at når højde øges mm, så øges pris i kr med (*),5 dvs P R ( ) Udregningen (*) kan også skrives Vi ser at r ( 9) br () r p eller p r ( br( ) ) b () ( br( h) ) br ( h) PR ( h) p r Differentialregning Side 7 6 Karsten Juul

9 Differentialkvotient af sammensat funktion (b) Sætning Hvis g () er differentiabel i og f () er differentiabel i g ( ) og funktionen ( ) f ( g( ) ) h er differentiabel i ( g( )) g ( ) h ( ) f, gælder at Eksemler på brug af sætning b Eksempel Vi vil bestemme differentialkvotienten af ln( + ) Det ses at ( g( )) h hvor h ( ) ln( ) og g ( ) + Da h ( ) og g ( ) er f ( ) h ( g( ) ) g ( ) g( ) + Eksempel Vi vil bestemme differentialkvotienten af Det ses at Da er + p ( ) 4( ) ( q( )) p ( ) r hvor r ( ) 4 + og q( ) r ( ) og q ( ) ( q( ) ) q ( ) ( q( ) ) ( ) ( ) p ( ) r Differentialregning Side 74 6 Karsten Juul

Øvelse Brug sætning b til at bestemme differentialkvotienten for hver af følgende funktioner: ln(4 ), g ( ) ( + + ), h ( ) + 4 Øvelse (Uden hjælpemidler) Bestem en ligning for tangenten til grafen for funktionen P (, f ( )) + i punktet Oversigt over regneregler for differentialkvotienter h () h () + g( ) f ( ) + g ( ) g( ) f ( ) g ( ) k f () k f () g( ) f ( ) g( ) + g ( ) g( ) f ( ) g( ) g ( ) ( g( ) ) f ( g() ) f ( g( ) ) g ( ) Differentialregning Side 75 6 Karsten Juul