Matematik til Skolen for Livet

MATEMATIKKENS UENDELIGE UNIVERS Hvor kommer vi fra? Hvad er vi? Hvor går vi hen? Michael Gregaard 1999 Matematik til Skolen for Livet pp1

OVERSIGT Regning med fletninger Fascinerende knuder P 1 P2 Pn Ikke-euklidisk geometri Den hyperbolske plan Polygoner og polyedre Geometrisk tilgang til tallene Rumbegrebet i kunsten ' P 1 ' P 2 ' P n Diracs strengproblem 2 0 1 2 pp2

Regning med fletninger pp3

FLETNINGER P 1 P2 Pn Emil Artin (1898-1962) ' P 1 ' P 2 ' P n P1 P2 Pn En geometrisk fletning Projektion af fletning ' P 1 ' P 2 ' P n pp4

ELEMENTÆRE FLETNINGER 1 2 2 3 i i+1 σ 1 σ 2 σ i Den trivielle fletning ε Vil fungere som det neutrale element for produktstrukturen i fletningsgruppen. pp5

PRODUKT AF FLETNINGER β1 β 2 β 1 β 2 β β 1 2 pp6

INVERS FLETNING β β 1 β β 1 ε Neutralt element β β 1 Triviel fletning pp7

ARTINS FLETNINGSGRUPPE Fletningsgruppen B(n) har en præsentation med,, frembringere: σ 1 σ n 1 frembringende relationer: (1) (2) = σ i σ j σ j σ i σ i σ i+ 1 σ i σ i+ 1 σ i = σ i+ 1 (1) For i j 2 i i+1 j j+1 i i+1 j j+1 1 i, j n 1 σ i σ j σ j σ i (2) For 1 i n 2 i i+1 i+2 i i+1 i+2 σ i σ i+ 1 σ i σ i+ 1 σ i σ i+ 1 pp8

Fascinerende knuder pp9

KNUDER I KUNSTEN Skulpturen Immortality af den australsk-britiske kunstner John Robinson fremviser et Möbius bånd udformet som en kløverbladsknude. Immortality, 1982 pp10

BORROMEO LÆNKE Palazzo Vecchio, Firenze, Italien Detalje fra en vægdekoration. pp11

Ikke-euklidisk geometri pp12

EUKLIDISK GEOMETRI Thales (ca. 624-547 f.kr.) Geometri som en videnskab, der omfatter en samling af abstrakte udsagn om ideelle figurer, som kræver verifikation ved rene rationale overvejelser, blev grundlagt af grækerne; ifølge traditionen af Thales. Phytagoras (ca. 500 f.kr.) Grundlagde en berømt skole i Crotona i det sydlige Italien. Eudoxos (ca. 408-355 f. Kr.) Kendt for en teori for proportioner og for exhaustionsmetoden, som gjorde en stringent behandling af areal- og rumfangsbestemmelser mulig. Euklid (ca. 300 f.kr.) Den klassiske græske geometri er især overleveret gennem de berømte Euklids Elementer, som består af 13 bøger hvori den geometriske viden, som grækerne besad på Euklids tid, opsummeres og systematiseres på en sådan måde, at fremstillingen har præget al senere fremstilling af matematik. Indholdet kendes nu som euklidisk geometri. pp13

EUKLIDS POSTULATER Lad det være forudsat: 1. At man kan trække en ret linie fra et hvilken som helst punkt til et hvilkensomhelst punkt. 2. At man kan forlænge en begrænset ret linie i ret linie ud i et. 3. At man kan tegne en cirkel med et hvilkensomhelst centrum og en hvilkensomhelst radius. 4. At alle rette vinkler er lige store. 5. At, når en ret linie skærer to rette linier, og de invendige vinkler på samme side er mindre end to rette, så mødes de to linier, når de forlænges ubegrænset, på den side, hvor de to vinkler ligger, der er mindre end to rette. pp14

VINKELSUMMEN I EN TREKANT Euklids femte postulat: At, når en ret linie skærer to rette linier, og de indvendige vinkler på samme side er mindre end to rette, så mødes de to linier, når de forlænges ubegrænset, på den side, hvor de to vinkler ligger, der er mindre end to rette. Som en konsekvens af sine definitioner og det femte postulat viser Euklid i Elementerne, at der gælder følgende sætning: Vinkelsummen i en trekant: Summen af vinklerne i en trekant er summen af to rette vinkler. Det mest berømte angreb på problemet omkring Euklids femte postulat skyldes den italienske matematiker Gerolamo Saccheri (1667-1733), som forsøgte at bevise sætningen om vinkelsummen i en trekant ved alene at benytte de fire første af Euklids postulater. pp15

PARALLELAKSIOMET Den mest berømte ækvivalente formulering af Euklids femte postulat skyldes Playfair 1795 og kendes som Playfairs aksiom, eller Parallelaksiomet: Til en given linie i planen og et punkt uden for denne, findes der netop én linie gennem punktet, der ikke skærer den givne linie. Immanuel Kant (1724-1804) opfatter i sit hovedværk Kritik der reinen Vernunft fra 1781 rummet som en a priori given anskuelsesform. Derved udelukker han reelt andre rumbegreber end det euklidiske. Omkring 1830 offentliggjorde Johann Bolyai og Nikolai Ivanovitch Lobachevsky, at de kunne konstruere geometrier, som opfyldte alle egenskaberne i den euklidiske geometri pånær Euklids femte postulat, der derved fik status af et aksiom karakteristisk for euklidisk geometri. Karl Friedrich Gauss (1777-1855) havde fundet tilsvarende geometrier i 1816. pp16

Den hyperbolske plan pp17

DEN HYPERBOLSKE PLAN Henri Poincaré (1854-1912) har i 1887 beskrevet en særlig kendt model for en ikke-euklidisk plan: den hyperbolske plan. Poincarés cirkelskive model af den hyperbolske plan Punkterne i modellen er punkterne i det indre af cirkelskiven. De hyperbolske linier er de cirkelbuer, der skærer randcirklen i cirkelskiven under rette vinkler, eller diametre i cirkelskiven. pp18

MATEMATIK I KUNST Kunst i den hyperbolske plan Den hollandske kunstner M.C. Escher (1898-1972) har i fire cirkulære træsnit benyttet den hyperbolske plan. Circle Limit III, 1959 pp19

HYPERBOLSKE ISOMETRIER Ved en isometri af et geometrisk objekt udstyret med et afstandsbegreb og et vinkelbegreb forstås en bijektiv afbildning af objektet på sig selv, der bevarer afstande og er vinkeltro. I figuren er L en hyperbolsk linie hørende til cirklen C, der skærer randcirklen for den hyperbolske plan Φ under ret vinkel. Ved inversion i C afbildes på sig selv. Φ Hyperbolsk spejling Afbildning af den hyperbolske plan på sig selv defineret ved inversion i en hyperbolsk linie. Hvis den hyperbolske linie er en diameter i den hyperbolske plan definerer den sædvanlige spejling den hyperbolske spejling. Den hyperbolske plan kan udstyres med et afstandsbegreb så alle hyperbolske spejlinger er isometrier. Ved passende sammensætning af hyperbolske spejlinger kan man definere hyperbolske rotationer (med vilkårligt centrum) og parallelforskydninger (med vilkårlig akse). pp20

REGULÆRE HYPERBOLSKE FLISER Vinkelsummen i en regulær hyperbolsk n-kant opfylder: 0 < vinkelsum < (n-2) 180. For ethvert helt tal n 5 kan man konstruere en regulær hyperbolsk n-kant med vinkelsummen 360. For n =3,4 kan man konstruere en regulær hyperbolsk n-kant, hvor vinkelsummen går op i 360. pp21

HYPERBOLSKE FLISEBELÆGNINGER Flisebelægning med 3-kanter Flisebelægning med 7-kanter Flisebelægning med 8-kanter Den hyperbolske plan kan flisebelægges med kongruente regulære hyperbolske n-kanter for ethvert n 3. pp22

Polygoner og polyedre pp23

. POLYGONER OG POLYEDRE En polygon er en lukket plan kurve sammensat af linjestykker, kanter, der mødes i kurvens hjørner. Hvis polygonen er randen af en plan figur, kaldes denne også en polygon. Polygonen er konveks, hvis forbindelseslinjen mellem ethvert par af hjørner helt forløber i polygonen. En polygon med n kanter har også n hjørner og kaldes en n-kant. En regulær polygon er en n-kant med n lige lange kanter og alle vinklerne i hjørnerne lige store. Et polyeder er (overfladen på) et rumligt legeme begrænset af et antal polygonale sideflader, som indeholder polyederets hjørner og kanter. Polyederet er konvekst, hvis forbindelseslinjen mellem ethvert par af hjørner forløber helt i polyederet. Et regulært polyeder er et konvekst polyeder, hvor alle sideflader er kongruente regulære polygoner, og alle toplansvinkler mellem sideflader er lige store. Dodekaeder pp24

REGULÆRE POLYEDRE Tedraeder tetra=4 ild Heksaeder heksa=6 jord Oktaeder okta=8 luft Dodekaeder dodeka=12 verdensaltet Ikosaeder ikosa=20 vand De platoniske legemer pp25

EULERS POLYEDERSÆTNING h = 9 k = 19 f = 12 h = 12 k = 18 f = 8 h = # hjørner k = # kanter f = # polygonale flader h k + f = 2 pp26

Bevis for Eulers Polyedersætning Følgende bevis er publiceret i 1811 af Cauchy (1789 1857). Det indre af en sideflade i polyederet fjernes. Derved reduceres den alternerende sum h k+f med 1. Resten af polyederet kan skridtvis reduceres til et punkt uden at ændre den alternerende sum og bidrager således med 1. Deraf følger, at h-k+f = 2. h-k+f (h-k+f)-1 Det indre af en trekant fjernes (h-k+f)-1 Resten af polyederet krænges ud i en plan 1 pp27

DE FEM REGULÆRE POLYEDRE Et regulært polyeder er bygget op af ensformede regulære n-kanter for n 3, og der mødes m 3 i hvert hjørne. Antag, at der er f polygonale sideflader på polyederet. Så giver Eulers Polyedersætning h = # hjørner = f n m k = # kanter = f n 2 f = # flader = f 2 = h k + f = f ( n n + 1) m 2 Specielt følger: n ( 1 1 ) < 1 2 m 1 1 1 Da m 3, er ( ) 2 m 6. Derfor viser uligheden fra polyedersætningen, at n 5. Idet n 3 følger også, at kun m = 3, 4, 5 er mulige. For m = 3, er n = 3, 4, 5 de tilhørende muligheder; for m = 4, 5, kun n = 3. De fem mulige sammenhørende par af værdier for n og m kan alle realiseres. Resultatet er anført i skemaet. n 3 3 3 4 5 m 3 4 5 3 3 f 4 8 20 6 12 Polyeder Tetraeder Oktaeder Ikosaeder Heksaeder Dodekaeder pp28

Geometrisk tilgang til tallene pp29

GEOMETRISK TILGANG TIL DE REELLE TAL Det reelle talsystem er en yderst abstrakt struktur, for hvilken forståelsen kan lettes ved at knytte tallene til punkterne på en orienteret linie en talakse. 0 Konstruktionen af en talakse begynder med valg af en orienteret akse - en linie med en foretrukket gennemløbsretning. Valget er vilkårligt, men en gang valgt, fastholdes aksen. I konstruktionens næste trin vælges en fast underdeling af den orienterede akse i lige store intervaller og et origo (nulpunkt) 0 markeres. pp30

DE RATIONALE TAL 1 2 3 4 13 8-1 0 1 2 Afsæt de hele tal langs delepunkterne på aksen ved først at afsætte 0 og dernæst afsætte de positive hele tal i den positive retning, og de negative hele tal i den negative retning, af aksen. De naturlige tal (positive hele tal) blev brugt på intuitivt grundlag i de ældste kulturer. De negative hele tal bliver ofte tilskrevet Brahmagupta omkring 628. Det var også omkring dette tidspunkt at Hinduerne begyndte at bruge tallet nul som et sædvanligt tal. Ved på passende vis at underdele hvert af intervallerne mellem de hele tal kan vi afsætte alle brøker, som repræsenterer de rationale tal. pp31

DE IRRATIONALE TAL Kvadratet på diagonalen i et enhedskvadrat har arealet 2. Derfor repræsenterer længden af diagonalen kvadratroden af 2. Tallet 2 er et irrationalt tal - er ikke repræsenteret ved en brøk. 2 1 0 1 2 Punkterne på aksen repræsenterer de reelle tal. De punkter, som ikke svarer til rationale tal, repræsenterer de irrationale tal. Ved at identificere punkterne på aksen med tallene får vi en reel talakse. pp32

DE REELLE TAL Mængden af reelle tal adskiller sig fra mængden af rationale tal ved at have følgende grundlæggende egenskab: Intervalruseprincippet Enhver indsnævrende følge af lukkede og begrænsede intervaller [ a, b1 ] [ a2, b2 ]... [ a n, b 1 n [ a n, bn ]..., hvor længden af intervallet går mod 0 for voksende n, har netop ét reelt tal c som fælles punkt. c a1 a b 2 a b n bn 2 1 ] pp33

INDLEVELSE I DE REELLE TAL Mængden af rationale tal er tællelig. Bevis: Ved at følge spiralen fås en rækkefølge af de rationale tal: 1, 0, -1, -2, 2, ½, -1/2, ( 1,2) ( 1,1) ( 1,0) (0,2) (1,2) (2,2) (0,1) (1,1) (2,1) ( 0,0) ( 1,0) (2,0) Mængden af reelle tal er ikke tællelig. ( 1, 1) ( 0, 1) ( 1, 1) ( 2, 1) Bevis: I enhver tællelig mængde af reelle tal kan alle tallene udelukkes et efter et i en passende konstrueret intervalruse. r1 r2 rn c a1 a b 2 a b n bn 2 1 pp34

Tællelighed af de rationale tal De rationale tal kan tælles. ( 1,2) (0,2) (1,2) (2,2) ( 1,1) (0,1) (1,1) (2,1) ( 1,0) ( 0,0) ( 1,0) (2,0) ( 1, 1) ( 0, 1) ( 1, 1) ( 2, 1) 1 0-1 -2 2 ( 0,0) ( 1,0) ( 1,1) ( 0,1) ( 1,1 ) ( 1,0) ( 1, 1) ( 0, 1) ( 1, 1) ( 2, 1) ( 2,0) (2,1) Metoden giver denne rækkefølge af de rationale tal: 1,0,-1,-2,2,, 1 2 1 2, pp35

Tællelighed af de reelle tal De reelle tal kan ikke tælles. Indirekte bevis: Antag, at r, r 2,... Ved gentagen tredeling af intervallet i lige lange delintervaller konstrueres nu en intervalruse r n, r,... a, b 1 1] [ a 2, b ]... [ a n, b n]... a, b n ] [ 2 er samtlige reelle tal stillet op i en rækkefølge. 1 n [ a1 b1 ] r 1 Vælg et interval på den reelle talakse, som ikke indeholder tallet. [ n så tallet ikke ligger i intervallet og de efterfølgende intervaller. Denne intervalruse bestemmer er reelt tal, som per konstruktion er forskellig fra tallene. Der er således opnået en modstrid. r, r 2,..., r 1 n Dermed er det bevist, at de reelle tal ikke kan tælles. r1 r2 rn c... a1 a b 2 a b n bn 2 1 c pp36

Rumbegrebet i kunsten pp37

RUMBEGREBET I KUNSTEN Fra de tidligste tider har kunstnerne været med til at præge den fysiske rumopfattelse. I de ældste kulturer var billedkunsten ikke blot faktuel men også synsmæssigt plan, dvs uden dybde. I skulpturer har kunstnere tidligt forholdt sig til rummets tre dimensioner, men først med indførelsen af perspektivet i 1400-tallet blev rumlige forhold visuelt korrekt repræsenteret i planens to dimensioner. Symmetri har til alle tider været et vigtigt aspekt i kunsten. Formaliseringen af begrebet symmetri i matematikken er af afgørende betydning for forståelsen af rumbegrebet i sin videste betydning. pp38

SPEJLINGSSYMMETRI Bilateral symmetri P P C C B A A B pp39

SUMERISK KUNST Heraldisk design på sumerisk sølvvase; lavet til kong Entemena, som regerede i byen Lagash omkring 2700 f.kr. pp40

GRÆSK KUNST Bilateral symmetri realiseret ved omklapning omkring spejlingsaksen. Ajax og Achilleus ved brætspillet. Græsk vasemaleri fra ca. 530 f.kr. pp41

ROTATIONSSYMMETRI Cirklen er den fulde symmetriske figur ved rotation omkring et fast punkt i planen. En regulær n-kant kan bringes til at dække sig selv ved at dreje den et helt multiplum af 360/n grader ( 2π / n radianer) omkring O. 3 O 2 1 Regulær 3-kant 4 3 5 O 2 6 1 Regulær 6-kant O Et punkt med denne egenskab i relation til en figur kaldes en n-fold symmetri pol (en n-pol) for figuren. I tilfældet n = 2 er den regulære n-kant et liniestykke. Centrum er her en 2-pol svarende til en rotation på 180 grader. 2 O 2-pol 1 pp42

DREJNINGSGRUPPEN Når vilkårlige to drejninger af den regulære n-kant efterfølger hinanden, bliver den effektive virkning på n-kanten en drejning af samme type. Når drejninger på k 360/n og (n - k) 360/n grader efterfølger hinanden, neutraliseres den effektive virkning på n-kanten, og det samlede resultat svarer til den identiske afbildning af n-kanten på sig selv. 4 3 5 O 2 6 1 De n drejninger af den regulære n-kant, svarende til vinklerne { 0, 360, 2 360,, ( n 1) 360 n n n (målt i grader), har matematisk struktur som en såkaldt gruppe; betegnet Cn. Drejningsgruppen for den regulære n-kant kaldes den cykliske gruppe af orden n. } Gruppen Gruppen C2 C1 indeholder identiteten og en 180-graders rotation. indeholder alene den identiske afbildning. pp43

SPEJLINGSYMMETRIER i den regulære n-kant Den regulære n-kant har n spejlingssymmetrier. l 6 l5 3 l 4 2 l 3 l2 4 O 1 l1 5 6 Når to af disse spejlinger efterfølger hinanden svarer det til virkningen af en rotation på den dobbelte vinkel af vinklen mellem spejlingsakserne. pp44

DIEDERGRUPPEN Den regulære n-kant har n spejlingssymmetrier. Sammen med de n drejninger udgør de en ny gruppe, kaldet diedergruppen af orden 2n. Denne gruppe betegnes. Dn Gruppen D2 indeholder identiteten, en 180-graders rotation, og de to spejlinger, der afbilder et liniestykke på sig selv. Gruppen D1 indeholder en enkelt spejlingssymmetri og den identiske afbildning. 2 O 1 Diedergruppen udgør den fulde gruppe af symmetrier for den regulære n-kant. De n drejninger omtales som egentlige symmetrier, og de n spejlinger som uegentlige symmetrier, for den regulære n-kant. De cykliske grupper og diedergrupperne er samtlige endelige grupper af isometrier i planen som fastholder et punkt. l 6 4 l5 3 5 O l 4 2 6 l 3 1 l2 l1 Leonardo da Vinci (1452-1519) pp45

ORNAMENTIK Der er netop 17 typer af tapetmønstre med forskellig symmetrigruppe i mønstret. Alhambra pp46

Den matematiske idé bag perspektivet ligger i begrebet centralprojektion. Alberti (1404-1472) Formulerede lovene for perspektiv i 1435. Leonardo da Vinci (1452-1519) Videreudviklede perspektivlæren PERSPEKTIV Albrecht Dürer (1471-1528) Teoretiske arbejder om geometri og perspektiv. Træsnit af Albrecht Dürer 1525. Kunstner som tegner en lut pp47

Diracs strengproblem pp48

MATEMATIK SOM EN SJETTE SANS Diracs streng problem Forsiden af en bærepose pp49

MATEMATIK SOM EN SJETTE SANS Diracs streng problem Bagsiden af en bærepose pp50

MATEMATIK SOM EN SJETTE SANS Diracs streng problem Animation of figurer pp51

RUMMETS GEOMETRI Poster designet af Nadja Kutz for WMY 2000. pp52

Tak for opmærksomheden ALGEBRAISKE LIGNINGER OVER ENDELIGE TALLEGEMER HYLDEST TIL DEN GODE FORKLARING SEMIREGULÆRE POLYEDRE pp53

ALGEBRAISKE LIGNINGER OVER ENDELIGE TALLEGEMER Regning modulo et primtal Nogle yderst interessante endelige tallegemer L p opstår ved i de hele tal at regne modulo et primtal p. Ved regning modulo p anses to tal der afviger fra hinanden med et helt multiplum af p som det samme element i L p. Betragt eksempelvis primtallet 7. Ved regning modulo 7 skal to hele tal hvis differens er divisibel med 7 regnes for ens. Vi får derfor kun brug for talsymbolerne {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} ved regning modulo 7, idet tallene 7, 8, 9 i dette tallegeme er ækvivalent med hhv. 0, 1, 2. Når vi i det underliggende tallegeme for regning modulo 7 betegner addition og multiplikation med hhv. + 7 og 7 får vi bl.a. følgende sjove regnestykker 3 + 7 4 = 0 3 + 7 6 = 2 3 7 5 = 1 (3 + 7 6) 7 5 = 3. De fuldstændige additions- og multiplikationstabeller for regning modulo 7 ser således ud: + 7 0 1 2 3 4 5 6 0 0 1 2 3 4 5 6 1 1 2 3 4 5 6 0 2 2 3 4 5 6 0 1 3 3 4 5 6 0 1 2 4 4 5 6 0 1 2 3 5 5 6 0 1 2 3 4 6 6 0 1 2 3 4 5 7 0 1 2 3 4 5 6 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 4 5 6 2 0 2 4 6 1 3 5 3 0 3 6 2 5 1 4 4 0 4 1 5 2 6 3 5 0 5 3 1 6 4 2 6 0 6 5 4 3 2 1 Tilsvarende kan vi for ethvert primtal p = 2, 3, 5, 7, 11, 13,, danne et tallegeme L p for regning med hele tal modulo p. Cirkelligningen over endelige tallegemer Hvis vi i andengradsligningen x 2 + y 2 = 1 i stedet for reelle tal indsætter variable x og y fra tallegemet L p og regner modulo p, så svinder den lukkede cirkelkurve vi kender fra den sædvanlige euklidiske plan ind til en endelig punktmængde C p i planen. Punkterne C p i cirklen modulo p svarer netop til løsningerne (x, y) til andengradsligningen x 2 + y 2 = 1 når vi regner modulo p. C 2 indeholder kun to punkter: (1,0) og (0,1). C 3 indeholder netop fire punkter: (1,0), (0,1), (2,0) og (0,2). [(1,0), (2,0), (0,1),(0,2)] C 5 indeholder også netop fire punkter: (1,0), (0,1), (4,0) og (0,4). [(1,0), (4,0), (0,1), (0,4)] C 7 indeholder netop otte punkter: (1,0), (0,1), (2,2), (2,5), (5,2), (5,5), (6,0) og (0,6). [(1,0), (6,0), (0,1), (0,6), (2,2), (5,5), (2,5), (5,2)] I de kantede parenteser er punkterne opstillet parvist så de i hele tal svarer til (x,y) og (-x,-y), og derfor kan anses som antipodiske punkter modulo p på C p.

HYLDEST TIL DEN GODE FORKLARING AF VAGN LUNDSGAARD HANSEN Artikel til bladet MATEMATIK, Nr. 1, 2013, 41. årgang. Matematikken har sit udspring i konkrete fænomener vedrørende strukturer og mønstre man kan iagttage i omverdenen og i interaktionen mellem mennesker i bred forstand, og den søger at udvikle abstrakte idéer til at forstå sådanne sammenhænge. Under udviklingen af nye matematiske strukturer og metoder spiller beviser en afgørende rolle som sikring af konsistens i den abstrakte matematiske idéverden. Gode beviser har dog langt mere at byde på end dette, for de giver ofte en dybere indsigt i underliggende logisk tvingende sammenhænge og dermed en værdifuld øget forståelse af konkrete fænomener. Gode beviser kan endvidere - hos den der giver sig tid vække glæde over de matematiske strukturers skønhed i deres indre logik. Selv at kunne frembringe et bevis nærmer sig den ypperste form for kreativitet i menneskelige aktiviteter. Denne artikel er ment som en hyldest til de gode beviser og forklaringer som har en vigtig plads i matematikundervisningen. Min hyldest udtrykkes i en række små fortællinger og afsluttes med nogle generelle betragtninger om æstetik og beviser i matematikken. Når brikkerne falder på plads Man kommer ikke uden om Pythagoras' sætning når talen falder på beviser. Det formodentligt bedst kendte bevis for denne sætning kan man lege sig til. For hør nu her. Helle har i julegave fået et sæt brikker med otte ens eksemplarer af en retvinklet trekant T med kateterne a, b og hypotenusen c, samt tre kvadrater K(a), K(b) og K(c) med kantlængder a, b og c. Altså i alt elleve brikker. På æsken med brikkerne står der at man kan lave to ens kvadrater med kantlængden a + b. Helle fumler rundt med brikkerne og endelig lykkes det for hende. Sådan: b a a b T b b c K(b) b a c b c K(c) a a K(a) c T a a b a b Helle opdager nu, at når hun i hver figur fjerner de fire eksemplarer af trekanten T ser hun at som hun kan omskrive til ligningen 1

Helle har dermed selv opdaget Pythagoras' sætning. Og nu glemmer hun den aldrig. Christine har kigget med og er blevet stærkt begejstret. Hun foreslår Helle at de sammen går ned i sløjdlokalet og selv frembringer nogle nye sæt af puslespillene i forskellige farver som de kan dele ud til deres kammerater. For så kan de lære det! Det er naturligvis ikke helt nok at gå ned i sløjdlokalet og save sig frem til Pythagoras sætning. Man må gøre rede for at alle vinkler imellem brikkerne passer, men det er heller ikke svært. Der er dog grund til at være forsigtig med puslespils beviser for geometriske resultater. Mange kender sikkert eksempler på mystiske 'forsvindingsnumre' i puslespil med brikker af retvinklede trekanter og rektangler hvor kantlængderne er fire på hinanden følgende Fibonacci tal. Betragt fx følgende puslespil med seks brikker, hvoraf to brikker er retvinklede trekanter med kateterne af længde 3 og 8, to brikker er retvinklede trekanter med kateterne af længde 5 og 13, og to brikker er rektangler med kantlængder 5 og 8. Som vist i nedenstående figur kan dette puslespil matematisk korrekt lægges op i et kvadrat med kantlængde 13. Det samlede areal af brikkerne er dermed 169. Hvis man nu fumler lidt med brikkerne (prøv det selv) kan man uden at man umiddelbart ser fejlene tilsyneladende også først lægge brikkerne op i to retvinklede trekanter med kateterne 8 og 21, og dernæst lægge disse trekanter sammen langs hypotenuserne til et rektangel med kantlængder 8 og 21, som jo har arealet 168. Tilsyneladende er der altså forsvundet 1 arealenhed. Hvad gik galt? Er der mon overlap i brikkerne? Ja det er der! Og lader man Fibonacci tallene 5, 8, 13, 21 pladsvist erstatte 3, 5, 8, 13 som kantlængder i brikkerne, så bliver der små gab i det 'falske' rektangel.. 5 8 5 5 13 3 8 8 3 5 5 5 8 Om at se tingene fra den samme vinkel Som dreng lavede jeg på en af væggene i mit værelse to tegninger som gjorde mig i godt humør. Den ene tegning var en smuk rød tulipan i vandfarve og den anden var en detaljeret konstruktion med passer og lineal af synsvinkelbuen. Matematik og natur har åbenbart altid fanget min interesse. 2

Især konstruktionen af synsvinkelbuen fascinerede mig dybt. Tænk sig at det kan lade sig gøre at placere stolene i en skoleklasse så alle eleverne ser tavlen i sin fulde udstrækning under den samme vinkel. I den matematiske formulering af problemstillingen hedder det: Hvad er det geometriske sted for de punkter i en plan, hvorfra man ser et fast linjestykke under den samme vinkel? Svaret er en cirkelbue. Den konstrueres ved at udnytte at en korde-tangent vinkel til en cirkel er halvdelen af den bue den spænder over, præcis som det er tilfældet for en periferivinkel. Hold op hvor dette giver anledning til at tale om rigtig mange interessante geometriske begreber. Her er konstruktionen af cirkelbuen hvorfra et givet linjestykke ses under vinklen v. r v C v I løbet af denne konstruktion indså jeg pludselig hvordan jeg med to søm og en fast vinkel med lange ben bøjet i et stykke metal kan lave synsvinkelbuen på en træplade. Hopla! Når matematikken lukker sagen I en by langt borte siges der at være et postdistrikt med tre afgrænsede bebyggelser A, B og C, der ligger omkring en central plads T. De fire områder A, B, C, T er vist i nedenstående figur sammen med det vejnet på syv veje, der forbinder områderne. Langs alle de syv veje ligger der enkelte huse. B T C A På pladsen T ligger der et postkontor hvorfra posten skal bringes ud til alle huse i postdistriktet. 3

Postmesteren har fået den tanke at han kan effektivisere postomdelingen hvis han kan finde en rute langs hvilken et postbud kan komme rundt til alle huse i postdistriktet ved at køre langs hver af vejene netop én gang på en rundtur med start og slut ved posthuset. Han plager hver dag postbudene med omlægninger af postomdelingen for at se om det ikke vil lykkes. Men uden held. Så en dag kommer der et nyt postbud til posthuset som hurtigt bliver kendt som Nørden fordi han taler sort. Postmesteren spørger også Nørden: "Findes der en rute rundt i postdistriktet med start og slut ved posthuset hvor man passerer hver af de syv veje én og kun én gang?" En dag kommer Nørden glædestrålende på arbejde og siger til postmesteren: "Det er umuligt. Der findes ikke en sådan rute!" Postmesteren siger til Nørden at det er løgn og at han skal fortsætte med at forsøge indtil han har fundet en sådan rute. "Men jeg kan bevise at det er umuligt", siger Nørden, og går ivrigt i gang. "Du spørger ikke om hvad et postbud laver inde i de enkelte områder; det er kun passagen af vejene der tæller. Derfor skærer jeg nu al unødvendig information væk og repræsenterer de fire områder alene ved deres bogstaver A, B, C, T. Når jeg kører langs en vej repræsenterer jeg tilsvarende vejen ved 'ordet' bestående af de to bogstaver for de to områder vejen forbinder og med bogstaverne i den rækkefølge som svarer til retningen for gennemkørslen af vejen. Eksempelvis repræsenterer BC en vej der forbinder B og C i retning fra B til C. Hvis jeg passerer tre veje på en køretur repræsenterer jeg tilsvarende køreturen ved et 'ord' med tre bogstaver. Eksempelvis repræsenterer ordet TAC en køretur fra T til A og så til C. En køretur der passerer fire veje repræsenteres ved et 'ord' med fire bogstaver, og tilsvarende for ture med passage af flere veje. Eksempelvis repræsenterer TACBT en køretur der starter i T, fører ind i A, derefter ind i C, så ind i B, og endelig tilbage til T. Og nu kommer så min første pointe. Hvis man kan finde en køretur rundt i postdistriktet som passerer hver af de syv veje én og kun én gang og som begynder og ender samme sted må den beskrives ved et 'ord' med netop 8 bogstaver. Det kan du sagtens forstå, kære postmester. Og nu kommer så min anden pointe. Da området T er forbundet med de andre områder ved 5 veje, må bogstavet T optræde mindst 3 gange i et 'ord' der beskriver en lukket sløjfe som passerer alle vejene. Da hvert af områderne A, B, C er forbundet med de andre områder med 3 veje, må ethvert af bogstaverne A, B, C tilsvarende mindst optræde 2 gange i et 'ord' der beskriver en lukket sløjfe som passerer alle vejene. Hvis du kan følge mine argumenter, kære postmester, må du medgive mig at et 'ord' der beskriver en lukket sløjfe som passerer alle vejene må indeholde mindst 9 bogstaver. Og så kan der altså ikke findes en køretur rundt i dit postdistrikt som passerer hver af de syv veje én og kun én gang og som begynder og ender ved posthuset, for en sådan køretur skulle jo være beskrevet ved et 'ord' med netop 8 bogstaver." "Det skal jeg lige tygge på. Det er jo en kende abstrakt", sagde den forbløffede postmester. Og det havde han ganske ret i. For Nørdens bevis var jo en herlig beskrivelse af abstraktionsprocessens styrke. Postmesteren havde især svært ved at forstå optællingerne af antallet af gange man mindst skal befinde sig i et område ved passage af vejene på den forlangte måde. Men da Nørden lavede hosstående figur af en cirkel med otte cirkelbuer, der adskiller fire sorte og fire grå punkter, kunne han godt se, at man altid rammer tre sorte punkter på et forløb gennem fem cirkelbuer og to sorte punkter på et forløb gennem tre cirkelbuer. Og så var den der! 4

Postmesteren blev dermed til sidst overbevist om at Nørden havde ret og opgav herefter sit logisk set umulige projekt og lod postbudene være i fred. Og hvad med Nørden? Det blev senere kendt at hans tip - tip - tip - tip - oldefar var den berømte matematiker Leonhard Euler (1707-1783), som i 1735 havde fundet svaret på et spørgsmål om passage af syv broer i den gamle preussiske by Königsberg (nu russiske Kaliningrad) ved som den første at udvikle en sådan bevisteknik. Tallenes poesi Tallene har altid fascineret mange mennesker udover dem, der professionelt beskæftiger sig med matematik. Over årene har jeg modtaget ganske mange henvendelser og spørgsmål om tal. Et af de mere spøjse kom to dage før den såkaldte 123456789-dag. Denne dag indtræffer den syvende dag i ottende måned engang i hvert århundrede, denne gang den 7. august 2009, og dagen markeres i det sekund, hvor uret viser 12:34:56, så klokkeslæt og dato giver tallene 1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8, 9 i nummerorden. En journalist fra Jyllands Posten ringede til mig og spurgte mig om matematikeres syn på dagen. Jeg skuffede ham nok lidt ved at fortælle, at det ikke var noget matematikere som sådan gik op i, men at det da var en meget sjov observation. Fem er et primtal. Det går de mindre tal ikke op i. Jo, måske et enkelt, men ettallet tæller ikke her. Sammen med tre udgør fem parret af primtalstvillinger 3, 5, og tager vi syv med har vi primtalstrillingerne 3, 5, 7. Primtallene findes, så store man kan ønske sig. Mon der også er sæt af primtalstvillinger, så store man ønsker sig? Det er der ingen, der ved. Og det er ganske vist! Fem er et pragtfuldt tal. Der var 1 par kaniner i buret, så var der 2 par, så 3, hov 5, hopla 8, hallo 13, hjælp! skreg Fibonacci. Han så systemet: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, etc. Og så var 5 et Fibonacci tal. Vupti! I blomster er der ofte femfold rotationssymmetri i kronbladene. Pentagon i Washington er femkantet. Der er fem regulære polyedre i rummet. Det mest fantastiske er dodekaederet, som har tolv femkantede sideflader. For Platon repræsenterede dette polyeder selve verdensaltet. Femdages ugen er god, men da jeg gik i skole, havde vi også fem timer om lørdagen. Så nu er der ikke tid til Platon! Vagn Lundsgaard Hansen Sentura # 19, magasin for litteratur og levende billeder, 2005 Det lille stykke poesi ovenfor stammer fra tidsskriftet Sentura, som er et magasin for litteratur og levende billeder. Sentura udgav i 2005 som #19 en 'evighedskalender', hvor man bad 12 forfattere og 12 billedkunstnere om hver henholdsvis at skrive et stykke poesi om et tal mellem 1 og 12 og at producere et billedværk til illustration af tallet. I invitationen til mig hed det: Du har fået tallet 5. Altså hvis du vil bidrage til Senturas evighedskalender. Det ville jeg gerne. Min tekst er gengivet på side 44 i bogen Matematiske Horisonter, udgivet af DTU Informatik 5