Lektion 6 Logaritmefunktioner Den naturlige logaritmefunktion Andre logaritmefunktioner log() Regneregler Integration ln() =, ln(e) = ln(a b) = ln(a) + ln(b) ln(a r ) = r ln(a) d = ln + C En berømt grænseværdi (eller to)
Den naturlige logaritmefunktion Den naurlige logaritmefunktion ln = t dt, >, 5 4 3 Definition af ln 3 4 5 måler arealet mellem.-aksen og grafen for y = t begrænset af de lodrette linjer t = og t =. Funktionen ln, >, er voksende og differentiabel med d d ln =, > Da ln = og ln 4 > + 3 + 4 = 3 > findes der et tal, e, et sted mellem og 4 så ln e =. ln(4)>/+/3+/4.5 De vigtigste egenskaber er.5.5.5.5 3 3.5 4 ln() =, ln(e) = ln( y) = ln() + ln(y), ln ( ) = ln() ln(y) y ln( m n ) = m n ln() lim ln =, lim + ln = Graf for ln() 3 4 5 6 7 3
Hvorfor? Hold y > fast og kig på funktionen ln(y). Dens afledte d d ln(y) = y y = = d d ln() er den samme som den afledte for ln(). Derfor er forskellen mellem de to funktioner konstant. Indsætter vi = ser vi at den konstant er ln y. Altså har vi demonstreret at ln(y) = ln() + ln(y) for alle positive tal og y. Men så er ln( ) = ln() for ln() + ln( ) = ln( ) = ln =. For alle hele tal n er så ln( n ) = n ln(). Heraf får vi n ln( m n ) = ln ( ( m n ) n) = ln( m ) = m ln() Grænseværdierne for den voksende funktion ln() for gående mod følger af at ln e n = n går mod og ln e n = n mod for n. 3
Logaritmer med andre grundtal Den naturlige logaritme funktion opfylder ln(y) = ln() + ln(y), ln(e) = Funktionen log() = ln() ln() som opfylder at 3 ln og log 4 6 8 log( y) = log() + log(y), log() = er logaritmen med grundtal. Helt generelt, når a er et positivt tal, kaldes funktionen som opfylder log a () = ln() ln(a) log fkt med grundtal og / log a ( y) = log a () + log a (y), log a (a) = logaritmen med grundtal a. De forskellige logaritmefunktioner er proportionale. 4 4 4 6 8 Eksempel log() =, log(, ) = og log(65) = log(, 65) + 3. Dette blev tidligere brugt til beregninger. log (8) = 3, log (/8) = 3 = log / (8). 4
Integration Formlen d = ln + C er kort for d = ln() når > og d = ln( ) når <. Integration ved substitution giver u () d = ln u() + C u() for enhver positiv (eller negativ) differentiabel funktion u(). Feks d = ln + C d = ln + C sin tan d = d = ln cos + C cos Partiel integration giver ln d = = ln ln d d = ln + C 5
Eksempel (Anvendelse af ln) Når ellers cos så er + tan =. For < < π/ følger det at cos eller ( ) d d ln cos + tan cos d = ln + tan + C cos = ln cos + = cos Omvendt substitution u = cos ( tan, giver nu ( du) u cos = ) d = ln cos = cos + tan = (ln u + cos + C cos, du d = tan d cos cos + C u + C)( cos ) så vi har vist at du = ln u u u + + C Eksempel 3 Ved omvendt substitution u =, du =, får vi d + u du = ( u ln( + u)) + C 6
6 4 Sammenligning 3 4 5 6 7 To berømte grænseværdier Lad r > være et positivt tal (en brøk). Både potensfunktion r og logaritmefunktionen ln() går mod for. Hvem vinder? Potensfunktion r går mod og ln() går mod for +. Hvem vinder? Det gør potensfunktionen: lim ln() r = = lim + r ln() Hvorfor? Af grafen for ln() ser vi at ln() < for alle positive. Specielt for > har vi så ln r = ln( r r ) r = ln() r r r r r r = r r hvor den sidste brøk går mod for. Det giver den første af de to grænseværdier. Den anden fås nu ved at sætte = /y og lade y +. 7
Opgaver til Lektion 6. Find d d ln( + ).. Find 3+ d. 3. Find + +4 d. 4. Bestem tangenten til y = 3 ln i punktet (, ). 5. Find den kvadratiske (. ordens) approimation til f() = ln( + ) tæt ved =. Brug det til at beregne ln(, ). Hvad siger lommeregneren? 6. Hvad er lim n n n? 7. På en logaritmisk skala afsætter vi = i, = i,..., n i n. Hvor afsætter vi 5? 8. (Eksamen Januar ) a) Brug substitution til at finde det ubestemt integral d ( > ) ln b) Brug dit resultat fra punkt a) til at beregne den eksakte værdi af det bestemte
integral 3 ln d 9. Find f () for f() = ln +3 4+5.. Find f () for f() = ln +.. (Logaritmisk differentiation) Vis, at d ( ln f() ) d f() = f() d d for enhver positiv funktion f(). Brug det til at beregne den afledte af f() = 3 ( + ) 3 ( 3 + ) 4. En hypotese: Vedmassen er den samme i ethvert vandret tværsnit af et træ. Gør rede for at denne hypotese vil betyde at D = d + d hver gang en gren med diameter D deler sig i to grene med diametre d og d. Det giver os en metode til at teste hypotesen i praksis. Gør det!
3. (Arkimedes spiral) En myre kravler med konstant fart ud ad sekundviseren på et ur. Myrens bane beskrives ved ligningen r(t) = at hvor r(t) er afstanden til urskivens centrum, t er tiden og a er en konstant. En cylinder rullet op om sig (feks et tusindben) danner denne spiral. 4. (Logaritmisk spiral) En myre kravler ud ad sekundviseren på et ur sådan at dens fart er proportional med dens afstand til centrum. Myrens bane beskrives ved ligningen ln r(t) = at hvor t er tiden og a er en konstant. En kegle rullet op om sig (feks et sneglehus, en kamæleons hale) danner denne spiral. En natsværmer på vej mod et stearinlys følger denne spiral.