Matematik på Åent VUC Lektion 8 Geometi Indoldsfotegnelse Indoldsfotegnelse... Længdemål og omegning mellem længdemål... Omkeds og aeal af ektangle og kvadate... Omkeds og aeal af ande figue... Omegning mellem aealenede... Nogle geometiske egee og edskae.... Målestoksfoold... Rumfang... Omegning mellem umfangsenede... Massefylde... Sidelængde i etvinklede tekante (Pytagoas sætning)... Regne aglæns... Ligedanneted... Lektion 8 Side 1
Matematik på Åent VUC I geometi uges en lang ække fomle til eegning af l.a. aeal og umfang. På disse side, e de eksemple på, voledes man uge nogle af fomlene. Du skal ikke uske fomlene udenad. Du kan uge en fomel-samling. Længdemål og omegning mellem længdemål Vi uge flee foskellige måleenede, nå vi måle længde (elle afstand), men standadeneden e en mete (m). En mete kan - som vist eunde - opdeles i: - decimete (dm). De gå 10 dm til en mete. Odet "deci" etyde tiende-del. - centimete (cm). De gå 100 cm til en mete. Odet "centi" etyde undede-del. - millimete (mm). De gå 1000 mm til en mete. Odet "milli" etyde tusinde-del. (millimete e ikke med på tegningen - de va ikke plads) 1 m = 10 dm 1 dm = 10 cm 1 cm He e sammenængen mellem måleenedene stillet op i en tael: 1 m = 10 dm = 100 cm = 1.000 mm 1 dm = 10 cm = 100 mm 1 cm = 10 mm Hvis man måle støe afstande uge man ofte kilomete. - en kilomete (km) e 1.000 mete. Odet "kilo" etyde tusinde. Til opgavene øe et specielt skema, som kan uges ved omegning mellem måleenede. på opgave Omegn 97,5 cm til mm. Omegn 1.50 m til km. I skemaet stå de 10 fodi, ve cm svae til 10 mm. 97,5 cm 97,5 mm 10 975 mm I skemaet stå de : 1. 000 fodi, ve km svae til 1.000 m. 1.50 m 1.50 km :1.000 1,50 km Lektion 8 Side
,50 m m Matematik på Åent VUC Omkeds og aeal af ektangle og kvadate Et ektangel e en fikant, vo: - sidene e pavis lige lange - jønene e ette vinkle på ektangle: Et kvadat e en fikant, vo: - alle side e lige lange - jønene e ette vinkle på kvadate: Et kvadat e et sæligt pænt ektangel på opgave Find omkeds og aeal af et ektangel med længden 4 m og edden m. Find aealet af et ektangel med længden 50 cm og edden,50 m. Omkedsen findes ved: - enten at sige: 4 m m 4 m m 14 m - elle at sige: 4 m m 14 m ealet findes ved at uge fomlen: eal længde edde elle lot l 4 m m 1 m Tegningen vise, at ektanglet svae til 1 kvadate, som måle 1 m på ve led. Et sådant kvadat kaldes en kvadatmete (1 m ) 4 m Man kan ikke egne med åde m og cm, så 50 cm laves om til,50 m.,50 m,50 m 8,75 m Tegningen vise, at esultatet e imeligt. Hvis du tælle de ele, de alve og den kvate kvadatmete sammen, så få du 8,75 m. 50 cm =,50 m Hvis du e usikke på, voledes man omegne længdemål, så lad en side tilage. De e et pa eksemple. Lektion 8 Side
6 m 10 m Matematik på Åent VUC Omkeds og aeal af ande figue Tegningen til øje e en skitse af et us. Find usets aeal. 1 m Fo at finde aealet må uset opdeles i ektangle. Det kan f.eks. gøes således: 7 m De mangle tilsyneladende nogle mål fo det nedeste ektangel, men ved at kikke på tallene på skitsen kan man egne ud at: - aealet af det øveste ektangel må væe: 1 m 6 m 7 m - aealet af det nedeste ektangel må væe: 5 m 4 m 0 m I alt e uset defo: 9 m eale som det ovenfo kan ofte findes på flee måde. Tænk selv ove om du kunne ave fået esultatet på ande måde Ud ove ektangle og kvadate skal du kende tekante, paallelogamme, tapeze og cikle. I de næste eksemple kan du se, voledes de se ud. Find aealet af en tekant med gundlinie 5 cm og øjde cm. 1 g 1 5 cm cm 7,5 cm Tegningen vise, at aealet af tekanten svae til alvdelen af aealet af et ektangel, med længden 5 cm og øjden cm. 1 g øjde gundlinie Den lille tegning vise, at øjden i en tekant nogle gange kan falde uden fo. Lektion 8 Side 4
Matematik på Åent VUC Find aealet af et paallelogam med gundlinie 4 cm og øjde cm. g 4 cm cm 1 cm g Tegningen vise, at aealet af paallelogammet svae til aealet af et ektangel, med længden 4 cm og øjden cm. Du klippe venste ende af og flytte stykket mod øje. øjde gundlinie Find aealet af et tapez vo de paallelle side (a og ) e 6 cm og cm og øjden e 4 cm. 1 (a ) 1 4 cm (6 cm cm) 18 cm Tegningen vise, at tapezet kan klippes i stykke og laves om til et ektangel, med længden 4,5 cm og øjden 4 cm. 1 (a a øjde ) Den lille tegning vise, at tapeze godt kan væe skæve. Lektion 8 Side 5
Matematik på Åent VUC Find omkedsen af en cikel med en adius på 1,5 cm. (Det svae til en diamete på cm) - enten O d cm 9,4 cm - elle O 1,5 cm 9,4 cm adius diamete Tegningene vise en cikel, de ulles ud. Omkedsen et altid et estemt tal gange diameteen. Dette tal kaldes (læses pi). e et uendeligt decimaltal, som state med,14 Mange egnemaskine a en -knap. O elle O d adius diamete adius diamete omkeds Find aealet af en cikel med en adius på,5 cm.,5 19,6 cm På egnemaskinen tastes: X,5 x = På tegningen live ciklen skået i lagkagestykke og lagt omvendt. Foestil dig at stykkene gøes meget tyndee. Resultatet vil ligne et ektangel. Længden live en alv omkeds - altså,5 cm Højden live lig med adius - altså,5 cm ealet live defo,5,5,5 19,6 cm adius Lektion 8 Side 6
Matematik på Åent VUC Omegning mellem aealenede Man skal tænke sig meget godt om, nå man lave omegning mellem aealenede. Nå de skal 10 dm til en mete, kan man let to, at de også skal 10 dm til en m, men tegningen eunde vise l.a., at de gå 10 10 = 100 dm til en m. 1 m = 100 dm 1 cm 1 dm = 100 cm He e sammenængen mellem aealenedene stillet op i en tael: 1 m = 100 dm = 10.000 cm = 1.000.000 mm 1 dm = 100 cm = 10.000 mm 1 cm = 100 mm Bemæk at den mindste af enedene (mm ) ikke e med på tegningen Til opgavene øe et specielt skema, som kan uges ved omegning mellem måleenede. på opgave Omegn 500 cm til m. Omegn,5 cm til mm. I skemaet stå de : 10. 000 fodi, ve m svae til 10.000 cm. I skemaet stå de 100 fodi, ve cm svae til 100 mm. 500 cm 500 m :10.000 0,5 m,5 cm,5 mm 100 50 mm Lektion 8 Side 7
Matematik på Åent VUC Nogle geometiske egee og edskae. Nå man aejde med geometiske figue, a man ofte ug fo en passe og en vinkelmåle. Passeen skal uges til at tegne cikle, og den kan også anvendes til ande tegneopgave. Vinkelmåleen uges til at måle og afsætte vinkle. De to edskae e vist til øje. En vinkel e et mål fo støelsen af et cikeludsnit elle støelsen af et jøne (en vinkelspids) i f.eks. en tekant elle en fikant. En cikel måle 60 (læses 60 gade) ele vejen undt. Et lige jøne måle 90 og kaldes en et vinkel. Det e en kvat cikel. En vinkel på minde end 90 kaldes en spids vinkel. Den viste vinkel e 60 En vinkel på mee end 90 kaldes en stump vinkel. Den viste vinkel e 10 I en tekant e de te vinkle altid 180 tilsammen. Nogle sæligt pæne tekante a specielle navne: I en ligesidet tekant e alle sidene lige lange, og alle vinklene e 60. I en ligeenet tekant e to af sidene lige lange og to af vinklene lige stoe. I en etvinklet tekant e en af vinklene et - altså 90. Sæligt pæne figue kan væe egulæe elle symmetiske. He e et pa eksemple: Regulæ sekskant Symmetisk figu med vandet symmetiakse (elle spejlingsakse). Lektion 8 Side 8
0 m Matematik på Åent VUC Målestoksfoold Tegningen vise et us i målestoksfoold 1:00. Find usets længde og edde. Find også usets aeal. Gundids af us 1:00 Føst måles længde og edde på tegningen. Man få 7,5 cm og 4,0 cm. Så eegnes de igtige mål ved at gange med 00. - længde: 7,5 cm 00 1500 cm 15,00 m - edde: 4,0 cm 00 800 cm 8,00 m ealet eegnes til: 15 m 8 m 10 m På tegningen i eksemplet ovenfo e længdemålene 00 gange minde end i vikeligeden. Elle man kan sige, at målene på det igtige us e 00 gange støe end på tegningen. Det e definitionen på et målestoksfoold. Tegningen e en fomindsket kopi af uset. Men aealet af det igtige us e 00 00 = 40.000 gange støe end aealet af tegningen. Kik tilage på siden med "Omegning mellem aealenede". Så fostå du sikket vofo! En yggegund a fom som et ektangel. Længden e 0 m og edden e 0 m. Lav en tegning i målestoksfoold 1:500 Tegningens mål findes ved at dividee med 500. - længde: 0 m : 500 0,06 m 6 cm - edde: 0 m : 500 0,04 m 4 cm Tegningen se ud som til øje Hvis man vil skive mål på tegningen, skal det væe de igtige mål - ikke de tegnede mål. 0 m De fleste gange e det sådan, at vikeligeden e støe end tegningen, og målestoksfooldet live så fx.1:100 - man kan dog møde det omvendte foold: at vikeligeden e minde end tegningen, vis man fx. a en tegning af en meget lille maskindel i sådan et tilfælde kan målestoksfooldet fx. væe 50:1 så altså: - vis tegningen e et fomindsket illede at vikeligeden, kan målestoksfooldet fx.væe 1:100 - vis tegningen e et fostøet illede at vikeligeden, kan målestoksfooldet fx. væe 50:1 1:500 Lektion 8 Side 9
m 40 cm 9 cm øjde Matematik på Åent VUC Rumfang Ladet på en lastil a de mål, som e vist på skitsen. Hvo mange m (kuikmete) kan det umme? Rumfanget findes ved at uge fomlen: Rumfang længde edde øjde elle lot V l (Bogstavet V uges fo umfang) V 7 m m m 8 m Det etyde, at ladet kan umme 8 teninge-fomede kasse, som måle 1 m på ve led. En sådan tening kaldes en kuikmete (m ). 8 X 1 m m 7 m En kasse a de mål, som e vist på skitsen. Hvo mange lite kan den umme? Lite e det samme som kuikdecimete (dm ). (se evt. næste side om umfangsenede) Defo laves målene om fa cm til dm inden eegningen. 75 cm 0 cm V 7,5 dm dm 4 dm 90 dm elle 90 lite 5 cm En lille dåse a de mål, som e vist på skitsen. Hvo mange millilite (ml) kan den umme? Millilite e det samme som kuikcentimete (cm ) og dåsen a fom som en cylinde. V 5 9 707 cm elle 707 ml På egnemaskinen tastes: X 5 x X 9 = V adius Til øje e vist fomlen fo umfanget af en cylinde. De findes en ække ande fomle, som du også kan få ug fo, nå du egne opgave med umfang. Lektion 8 Side 10
Matematik på Åent VUC Omegning mellem umfangsenede De uges to systeme af umfangsenede. Mete-enede og lite-enede. Tegningen eunde vise l.a., at de gå 10 10 10 = 1.000 dm til en m. 1 dm = 1.000 cm 1 m = 1.000 dm 1 cm He e sammenængen mellem umfangsenedene vist i en tael: 1 m = 1.000 dm = 1.000.000 cm = 1.000.000.000 mm 1 dm = 1.000 cm = 1.000.000 mm 1 cm = 1.000 mm Man måle også umfang med lite-enede: lite (l), decilite (dl), centilite (cl) og millilite (ml). He e oppet mellem enedene kun en ti-gang. Det e vigtigt at vide, at: 1 lite 1 dl 1 cl 1 ml - 1 dm e det samme som en lite (l) - 1 cm e det samme som en millilite (ml) He e vist sammenængen mellem lite-enedene: 1 lite = 10 dl = 100 cl = 1.000 ml 1 dl = 10 cl = 100 ml 1 cl = 10 ml Omegn,5 m til lite. En lite e det samme som en dm. Defo skal man gange med 1.000.,5 m,5 dm 1.000.500 dm =.500 lite Lektion 8 Side 11
Matematik på Åent VUC Massefylde Masse e et andet od fo vægt, og fylde etyde umfang. Defo e massefylde det samme som vægt p. umfangsened. Som fomel skives det nomalt som vist til øje, men fomlen kan også omskives som vist eunde: Massefylde Vægt Rumfang Vægt = Rumfang Massefylde elle Rumfang Vægt Massefylde Hvis et mateiale a massefylden,5 g p. cm, etyde det, at en cm (en kuikcentimete-tening) veje,5 g. Vand a en massefylde på 1 g p. cm. Massefylde e vægt p. umfangsened. Fx vægt p. cm. Lette ting, de kan flyde (fx tæ), a en massefylde unde 1 g p. cm. Tunge ting, de ikke kan flyde (fx de foskellige metalle), a en massefylde på ove 1 g p. cm. Nå man egne med massefylde, e det vigtigt at ave sty på åde umfangsenedene (se foige side) og vægtenedene. 1 ton = 1.000 kg = 1.000.000 g 1 ton 1 kg = 1.000 g 1 kg 1 g på opgave En metalklods veje g og a et umfang på 85 cm. Hvad e massefylden? Hvo meget veje 5 m gus, nå massefylden fo guset e, tons p. m? Hvo meget fylde 0,5 kg alkool, nå massefylden e 0,8 kg p. lite? Massefylde g 85 cm,8 g p.cm Vægt 5 m 11,5 tons, tons p.m Rumfang 0,5 kg 0,8 kg p.lite 0,65 lite I eksemplene ovenfo e de sat enede på tallene i eegningene og ikke kun på facit. Det eøve man ikke, men mange synes, at det e en god jælp. Pas på med opgave vo de e små decimaltal som i eksemplet til øje. Man live let foviet! Lektion 8 Side 1
= 5 cm a = cm Man navngive jøne med stoe ogstave og side med små ogstave. Matematik på Åent VUC Sidelængde i etvinklede tekante (Pytagoas sætning) Læesætningen om sidelængdene i en etvinklet tekant, e måske den mest eømte egneegel inden fo matematik. Pytagoas a fået æen fo sætningen. Han levede i Gækenland fo mee end.000 å siden. B Det mest enkle eksempel e en såkaldt -4-5-tekant. Hvis man lave en tekant, vo sidene måle cm, 4 cm og 5 cm, vil tekanten altid væe etvinklet. Det gælde natuligvis også, vis man uge ande måleenede. Fx m, 4 m og 5 m. Man uge nomalt ogstavnavne som vist på tegningen, og sætningen lyde: c = 5 cm = 4 cm C a c Hvis du egne efte, få du at: og det e jo ganske igtigt. 4 5 elle 9 + 16 = 5, Denne sammenæng mellem sidelængdene gælde altid fo etvinklede tekante. c e den længste side - siden modsat den ette vinkel (kaldes ypotenusen). a og e de to kote side, de danne den ette vinkel (kaldes katete) på opgave Tegningen vise en etvinklet tekant. c = a = 1 cm B C Find den manglende sidelængde c. Skitsen vise en stige, de e stillet op ad en øj mu. Stigens længde e 4,50 m. 110 cm Hvo øjt nå stigen op? Man sætte ind i fomlen og løse en ligning: 1 5 144 5 c c a c Stigen, muen og joden danne en etvinklet tekant, vo c = 4,50 m og en af de kote side e 110 cm = 1,10 m. Denne side kaldes a. Siden langs muen kaldes og findes således: 1,10 4,50 169 c 1,1 0,5 c 169 1 cm 0,5 1,1 19,04 19,04 4,6 m Lektion 8 Side 1
Matematik på Åent VUC Regne aglæns Fomlene fo aeal og umfang uges (natuligvis) mest, nå man skal eegne aeale og umfang. Men vis man mangle et af længdemålene på en figu, og man kende figuens aeal elle umfang og det andet (de ande) længdemål, så kan man egne aglæns (lignings-løsning). på opgave Find edden af et ektangel med aealet 1 m og længden 4,8 m. Find øjden af en kasse, de umme 0,87 m og a længden 145 cm og edden 80 cm. Fomlen fo aealet af et ektangel e: Man sætte de kendte tal ind i fomlen og egne aglæns (løse en ligning): l Rumfangs-fomlen lyde: V l Fo at enedene kan passe sammen laves 145 cm om til 1,45 m og 80 cm laves om til 0,80 m l V l 1 4,8 0,87 1,45 0,80 1 4,8,5 0,87 0,87 1,16 1,16,5 m 0,75 0,75 m 75 cm på opgave Find aealet af en cikel de a en omkeds på 44 cm. Find adius i en cylinde de e 60 cm øj og kan umme 118 lite. De e ingen fomel, de diekte foinde omkeds og aeal, men man kan finde adius med denne fomel: O 44 44 44 6,8 6,8 7,0 cm Nu findes aealet med fomlen: 7,0 15,9 cm Rumfangs-fomlen lyde: V Fo at enedene kan passe sammen laves 60 cm om til 6 dm (usk at 1 lite = 1 dm ). V 118 118 118 18,85 6,6 18,85 6 6,6,5dm 5cm Lektion 8 Side 14
Matematik på Åent VUC Ligedanneted Nå to figue e pæcise fostøede/fomindskede kopie af inanden, sige man, at de e ligedannede. Men selv om man fostøe/fomindske længdemålene, så e e vinklene ufoandede. He e to ligedannede tekante vinklene i den ene e lige så stoe som vinklene i den anden. Sidene i den ene e doelt så stoe i den ene som i den anden. B E C D F DE e doelt så sto som B EF e doelt så sto som BC - DF e doelt så sto som C De e med ande od samme støelsesfoold mellem de tilsvaende side man kunne skive: B BC C = = DE EF DF læses: B foolde sig til DE ligesom BC foolde sig til EF og ligesom C foolde sig til DF elle: B divideet med DE e lig med BC divideet med EF e lig med C divideet med DF Hvis man altså kende nogle af sidene kan man eegne esten ved at stille ovenstående ligning op. på opgave BC og DEF e ligedannede - find længdene på liniestykkene B og BC B C = DE DF B 14 cm E 7 cm B 0 = 14 15 0 cm C D 15 cm F Lektion 8 Side 15
Matematik på Åent VUC 0 14 B = 15 B =18,7 B e altså 18,7 cm Da EF e alvdelen af DE, må BC væe alvdelen af B; altså: B BC = 18,7 BC = BC = 9,4 BC e altså 9,4 cm Paallelogammene e ligedannede - find længden på liniestykket a = 8 dm a = 7 dm B = 11 dm B a = B a 8 = 7 11 87 a= 11 a = 5,1 a e 5,1 dm Lektion 8 Side 16