Uge 37 I Teoretsk Statstk, 9.sept. 003. Fordelger kyttet tl N-ford. Gvet: uafhægge observatoer af samme N(µ,σ )-fordelte stokastske varabel. Formelt: X,X,,X uafhægge, alle N(µ,σ )-fordelt. Mddelværd µ og varas σ er ukedte parametre som v øsker at estmere udfra data, vs. fde de værder af µ og σ der "passer bedst mulgt" med data. Hvor uskre er dsse estmater? V øsker også at teste hypoteser om parametree. F.eks: Ka µ tækes at være 0 (eller ade fast, kedt værd)? Eksempel: dollarkurser Eksempel fra AJKM, sde 5: X,,X 3 er ædrgere dollarkurse fra jauar 983 tl december 984. Modelatagelse: X,,X m er uafhægge og N(µ,σ )-fordelte. Statstske spørgsmål: Hvad er estmatere for µ og σ? Hvor uskre er dsse estmater? Har ædrgere vareret omkrg 0, dvs. ka µ atages at være 0 (har kurse svget om samme veau)?
Estmato Ikke overraskede: µ= ˆ X = ( X+ + X) geemst (( ) ( ) ) σ ˆ = S = X X + + X X emp.varas Med adre observatoer vlle have fået adre estmater. Med adre ord: µ ˆ og σ ˆ er fuktoer af de stokastske varable X,,X m og dermed selv stokastske varable med e fordelg. Det er vgtgt at kede estmateres fordelg! Fordelg af ˆ µ = X Når X,,X m er uafhægge N(µ,σ )-fordelte, så er ( ) ( ) ( ) X + + X ~ N µ,σ µ= ˆ X= X + + X ~ N µσ, / Specelt har v altså at E[ µ ˆ ] =µ, dvs. at estmatore " geemst" rammer rgtgt. Varase på ˆµ aftager med så estmatet blver mere og mere præcst jo flere observatoer der er tl rådghed.
() Eksempel: dollarkurser Estmater µ ˆ og σ ˆ µ= ˆ X ~ N( µσ, / 3) obs. X :.47 σ ˆ = S ~ χ () obs. σˆ : 75.87 σ σ er uafhægge. (3) Eksempel: dollarkurser Hypotese: Kursædrgere har vareret tlfældgt omkrg 0, dvs. mddelværde af X er 0: H 0 : µ = 0 Oplagt at basere et test på størrelse af µ= ˆ X. V vl acceptere H 0 hvs X er "tæt på" 0; forkaste H 0 hvs X er "lagt fra" 0. Me hvad betyder "tæt på" og "lagt fra"?
Test af hypotese Ldt mere geerel hypotese: H 0:µ =µ 0 Vl basere testet på størrelse af µ ˆ µ 0 = X µ 0. Som før vl v acceptere H 0 hvs X er "tæt på" µ 0 ; forkaste H 0 hvs X er "lagt fra" µ 0. () Test af hypotese Hvs H 0 : µ = µ 0 er rgtg, så er 0 X ~ N( µ, σ / ) og dermed U = (X µ 0) ~ N(0,) σ Hvs v kedte σ vlle dette fortælle os, hvad der er stort og småt. Me v keder kke σ har ku et estmat: (X µ 0) T = ~ t( ) S t( ) er t-fordelge med frhedsgrader.
(3) Test af hypotese Fordelge af (X µ 0) T = ~ t( ) S afhæger altså kke af de ukedte parametre! Ka udersøge om de observerede værd af T er stor eller llle forhold tl e t(f)-fordelg (se eksempel). t(f) er symmetrsk om 0. t(f) har tugere haler ed N(0,), me lger N(0,) år f er stor (svarede tl at varase σ er godt bestemt af S ). (4) Test af hypotese Observeret værd af T er og T ~t(). V har at (X µ 0) 3 (.47 0) = =.79 S 758.7 P( T >.79) = P(T < -.79) + P(T >.79) = 0.04 så med sadsylghed 4% kue v have fået e T-værd, der var umersk større ed de observerede. V forkaster hypotese!
χ -fordelge Hvs U ~N(0,) sges U at være χ -fordelt med frhedsgrad: U ~ χ (). Hvs U,,U f er uafhægge N(0,)-fordelte sges være χ -fordelt med f frhedsgrader: Q ~ χ (f). Ma ka vse at χ (f) = Γ(f/, ½) så f/ f/ EQ [ ] = = f, varq [ ] = = f. ½ (½) f at = Q= U Fordelge af σ ˆ = S Husk at X~N(, µ σ ) så (X µ)/σ ~ N(0,) og dermed = ( X µ ) σ ~ χ () Erstattes parametere µ med estmatet µ ˆ = X fås stedet frhedsgrader (spaltgssætge): = ( ) X X ~ χ ( ) σ Afhægghed: (X X) + + (X X) = X+ + X X = 0.
() Fordelge af σ ˆ = S Altså: Specelt: = (X X) σ ˆ = S = ~ χ ( ) σ σ σ ˆ ˆ σ σ = σ = =σ E E ( ) σ 4 ˆ ˆ σ σ σ = σ = = var ( ) var ( ) σ Derfor dvderes med - stedet for S! Bemærk at : E[S] = E S σ. Smulta fordelg af µ ˆ = Xog σ ˆ = S V har u beskrevet de margale fordelger af µ= ˆ Xog σ ˆ = S : µ= ˆ X~N( µσ, /) ( X X) ) = σ ˆ = S = ~ χ ( ) σ σ σ Ma ka vse (spaltgssætge) at µ ˆ = Xog σ ˆ = S er uafhægge. De smultae tæthed er således produktet af de margale. Meget fordelagtgt med uafhægghed mellem de to estmater!
Spaltgssætge (forsmplet udgave) V har: Her er ( ) ( ) Q= X µ = X X+ X µ = = ( X X) ( X ) ( X X)( X ) = + µ + µ = = = = Q + Q + Q Q/ σ ~ χ (),Q / σ = ( (X µ )/ σ) ~ χ () og Q = 0. Spaltgssæt: Q og Q uafhægge og Q /σ ~ χ (-) Spaltgssætge (mere geerel udgave) X ~ N(µ,σ ): samme varas, me evt. forsk. mddelværder ( ) ( ) = = = = = Q= X µ = X a X+ a X µ ( X a X) ( a X ) ( X a X)( a X ) = + µ + µ = Q + Q+ Q Ved at Q/σ ~ χ (). Hvs Q = 0 og Q /σ ~ χ (k) så er Q og Q uafhægge og Q /σ ~ χ (-k)
t-fordelge Hvs U og Q er uafhægge og U ~N(0,) og Q ~ χ (f), så er T = U f Q ~ t(f) Dette var præcs hvad der "foregk" før: T ( ) ( ) X µ 0 X µ 0 σ ( ) U = = = S σ S ( ) Q F-fordelge Mage hypoteser ka testes ved at teste om to varaser er es: V σ S σ Q /( ) Q /( ) = = = S Q /( ) Q /( ) Derfor er følgede teressat: Hvs Q ~ χ (f ) og Q ~ χ (f ) samt Q og Q er uafhægge, så er Q/f V = ~F(f,f ) Q /f F-ford. med (f, f ) frhedsgrader. NB: T ~ t(f) Y T ~F(,f).