DTU. License to Thrill

XM @ DTU License to Thrill Den bedste rette linje S. Markvorsen & P. G. Hjorth Institut for Matematik, Bgning 303S, DTU DK-800 Kgs. Lngb 1

Den bedste rette linje Hvordan findes den "bedste"rette linje igennem en given mængde af punkter i planen? Hvad betder "bedst"og er der altid præcis én ret linje, der så er den bedste? Eksperimenterne i denne øvelse går ud på at besvare disse spørgsmål. Figur 1: En linje ser ud til at approksimere den givne punktmængde. Er det den bedste tilnærmelse? Niveau: C, B, og A. Tidsforbrug: Fra til 5 lektioner. Faglige mål: Rette linjer i planen, akkumulerede cirkelskivearealer, bestemmelse af minima for funktioner af én og to variable. Beskrivelse (detaljeret): Vi ser på n punkter i planen: { p 1, p, p 3,..., p n }, og ønsker at approksimere dem med en ret linje L med ligningen L : a + b + c = 0, hvor a, b, og c er konstanter (dog sådan at a og b ikke samtidig er 0). Opgave 1) Hvad er a, b, og c for hver af de linjer, der har ligningerne henholdsvis = 3 = 7 + 4 = 6 3 = 7 + 8 = 1.

Opgave ) Hvorfor må a og b ikke samtidig være 0? Da a og b ikke samtidig er 0 kan vi antage, at a = cos(v) og b = sin(v) hvor v er en vinkel i intervallet ]0,π]; linjen L har derefter ligningen: L : cos(v) + sin(v) + c = 0. (0.1) Opgave 3) Hvorfor kan vi uden videre antage at L nu kan skrives på den form? Opgave 4) Hvad er værdien af v for hver af de linjer, der er angivet i opgave 1)? Opgave 5) Tegn linjerne fra opgave 1) og angiv for hver af dem, hvor på tegningen vinklen v optræder. Fordelen ved at indføre vinklen v er rimelig klar: Nu kan linjen beskrives ved brug af kun konstanter nemlig v og c, hvor vi før brugte 3: a, b, og c. Opgave 6) Men linjer, der har ligning på den mere velkendte form: L : = α + β kan jo også beskrives med kun to konstanter! Hvorfor gør vi så ikke det i stedet? Vi indfører et mål for, hvor tæt punkterne ligger ved linjen L, eller med andre ord et mål for hvor godt linjen repræsenterer punkterne. Ofte er det jo sådan, at punkterne er fremkommet ved et laboratorieforsøg hvor man for eksempel har aflæst et antal sammenhørende værdier for strøm igennem en modstand og den tilhørende spænding over modstanden. Så skal der helst være (ifølge Ohm s lov) en nogenlunde lineær sammenhæng mellem strøm og spænding, dvs. målepunkterne skal ligge tæt ved en ret linje i et strøm-spændings-koordinatsstem, og hældningskoefficienten af den rette linje er netop værdien af den Ohm ske modstand. Men målepunkter vil sædvanligvis ikke ligge eksakt på en ret linje, så vi har brug for at kunne finde den linje, der passer bedst. Til den ende gør vi følgende: Vælg (for eksemplets skld) 7 tilfældige punkter { p 1, p, p 3,..., p 7 } i planen. Vi antager, at planen er udstret med et sædvanligt retvinklet koordinatsstem, så de 7 punkter har koordinaterne: p 1 = ( 1, 1 ) p = (, )... p 7 = ( 7, 7 ). Vælg dernæst en ret linje L i planen som et gæt på den bedste rette linje, der tilnærmer de valgte punkter. Find dernæst ligningen for linjen på formen 0.1. Se for eksempel figur. Eksempelvis er der i den figur vist 7 punkter der har følgende koordinater med hensn til det viste koordinatsstem: [.78,.178],[.308,1.04],[.696,1.5],[ 1.5,.169],[.775,.113],[1.11,.811],[1.01,1.70], 3

og den viste linje har ligningen: L : 1 + 3 1 = 0, dvs. linjen er karakteriseret ved, at v = π/3 og c = 1/. Men det gæt er ikke den bedste rette linje, det er ikke den linje, der bedst approksimerer de sv punkter. Den bedste linje er vist i figur 6; det er den vi er på jagt efter. Figur : Sv tilfældige punkter i planen og en ret linje. Hvert punkt p i i mængden af punkter, { p 1, p, p 3,..., p 7 }, bidrager selvstændigt med et bidrag til målet for hvor langt punktmængden er fra at ligge på den givne rette linje L. Lad os først betragte det valgte punkt p 1. Det punkt har en afstand fra L; lad os kalde den afstand for r 1. Tegn nu den cirkel, der har radius r 1 og centrum i p 1 - det er den cirkel, der lige præcis tangerer L, se figur 3. Figur 3: Et af de 7 punkter med linje-tangerende cirkel med radius r 1. Den cirkel omkredser et areal, som er givet ved A 1 = πr 1. (0.) 4

Dette areal udregnes nu for alle punkterne og arealerne lægges sammen - bemærk, at overlap tælles med, se figur 4: hvor vi har indført betegnelsen S for A = π = A i πri = π ( r1 + r +... + r7 ) = Sπ, S = r 1 + r +... + r 7. (0.3) Figur 4: Det totale cirkelskive-areal er mål for hvor meget punkterne afviger fra at ligge på den valgte rette linje. Kunsten er nu at finde den linje, der giver den mindst mulige totale sum af cirkelskivearealerne, dvs. den mindst mulige værdi af S. Det er den linje, vi vil kalde den "bedste" approksimation til den givne punktmængde. Opgave 7) Vis, at med den valgte ligning (0.1) for L kan r 1, og generelt r i, udtrkkes ved v og c på følgende måde: r i = i cos(v) + i sin(v) + c. (0.4) Så har vi S = S(v,c) = ( i cos(v) + i sin(v) + c), (0.5) og den resterende opgave er altså at finde v og c sådan at dette udtrk for S (med de givne punkt-koordinater) er mindst mulig. Den linje, vi har valgt at gætte på i første omgang kan roteres og parallelforskdes med henblik på at gøre S værdierne mindre, men omkring hvilket punkt skal vi rotere og i hvilken retning skal vi parallelforskde? Se animationerne. 5

Som et eksperiment kan vi først prøve at finde den bedste linje blandt alle de linjer, der er parallelle med aksen. Vi har så konstant v = π/ for alle de linjer, vi nu kigger på, og derfor er L : = c, og dermed S = S(π/, c) = = ( i + c) = 7c + c ( i + c i + c ) ( ) ( ) i + i, Funktionen S er så en funktion af den ene variable c og vi kan derfor finde den mindste værdi som S antager ved at finde den værdi af c for hvilken funktionen S(c) har vandret tangent, altså hvor S (c) = 0: ( ) S (c) = 14c + i, så den søgte c værdi er derfor c = 1 7 ( ) i og den søgte linje parallel med aksen er derfor: ( ) = 1 7 i Vi kan naturligvis som et næste eksperiment også finde den linje parallel med -aksen, som giver mindst S blandt alle linjer af formen = c, hvor c igen opfattes som den ene variable. Dette svarer til at vælge fast vinkel v = 0 i det generelle udtrk (0.5). Opgave 8) Tegn grafen for S(c) i hvert af de to betragtede tilfælde for de konkrete punkter i figur og aflæs de c værdier der giver mindste S(c) for de vandrette henholdsvis lodrette linjer. De to akseparallelle linjer, vi dermed har fundet, har et skæringspunkt; det er massemidtpunktet for de 7 punkter: P = (P, P ) = 1 7 ( ) i, i Opgave 9) Find massemidtpunktets koordinater for de konkret givne 7 punkter i figur og sammenlign med resultatet i opgave 8). 6.,.

Ovenstående eksperimenter peger således på et ganske bestemt punkt, massemidtpunktet, omkring hvilket det dernæst er oplagt at rotere en linje for at finde den linje, der giver mindst værdi for S blandt alle de linjer, der går igennem massemidtpunktet. Lad os dog først få den gode idé, at vi måske kan bentte ovenstående fremgangsmåde til helt generelt at bevise, at følgende faktisk er et korrekt udsagn: Sætning 0.1. Den mindste værdi for S findes for en linje, som går igennem massemidtpunktet for de givne punkter. Bevis. Ideen er selvfølgelig at vælge v til en fast værdi (ikke nødvendigvis hverken π/ eller 0). Så er S(c) = = = 7c + c ( i cos(v) + i sin(v) + c) (c + c ( i cos(v) + i sin(v)) + ( i cos(v) + i sin(v)) ) ( i cos(v) + i sin(v)) + ( i cos(v) + i sin(v)), hvor v og 1,..., 7, og 1,..., 7 jo er konstanter. Vi differentierer S som funktion af c og sætter det resulterende udtrk lig med 0: som er 0 hvis og kun hvis S (c) = 14c + = 14c + cos(v) ( i cos(v) + i sin(v)) i + sin(v) i, c = cos(v) 1 7 i sin(v) 1 7 i = P cos(v) P sin(v). Vi indsætter nu denne c værdi i ligningen for L og får dermed den bedste retlinjede approksimation til de 7 punkter blandt alle de linjer der har den konstante givne v værdi: L v : ( P )cos(v) + ( P )sin(v) = 0. (0.6) Alle disse linjer - dvs. for et vilkårligt valg af vinklen v - går tdeligvis igennem massemidtpunktet P = (P, P ) for de 7 punkter! Og det var det, vi skulle bevise. Det er nu klart, at for at finde den bedste rette linje skal vi blot betragte alle linjerne L v, som som går igennem massemidtpunktet, og så blandt dem finde den eller de linje(r) der har v-værdi(er) for hvilke(n) S(v) er mindst mulig. 7

Overraskende nok er der enten lige præcis én sådan linje eller også er alle linjerne igennem massemidtpunktet løsninger til problemet! Det kan vi se på følgende måde: Da vi kun kigger på linjerne givet ved udtrkket (0.6) får vi følgende relativt simple udtrk for S(v): S(v) = (( i P )cos(v) + ( i P )sin(v)) = cos (v) ( i P ) + sin (v) = Acos (v) + Bsin (v) + C cos(v)sin(v), ( i P ) + cos(v)sin(v) hvor vi har indført følgende betegnelser for de tre konstanter: A = B = C = ( i P ) ( i P ) ( i P )( i P ). Opgave 10) Bestem konstanterne A, B, og C for de konkret givne punkter i figur. ( i P )( i P ) Vi må nu eksperimentere lidt med funktionen S(v) for at se, hvordan dens minimumspunkter afhænger af konstanterne A, B, og C: Hvis f.eks. C = 0 og A = B, så er S(v) konstant, S(v) = A for alle v. Alle linjer igennem massemidtpunktet giver i så fald den sammme mindste S-værdi og er derfor lige gode - og bedst! Vi vil nu indse, at hvis det ikke gælder, at C = 0 og A = B, så er der netop én ret linje, der approksimerer de givne punkter bedst muligt. Lad os først se på differentialkvotienten: S (v) = Acos(v)sin(v) + Bcos(v)sin(v) + C ( cos (v) sin (v) ) = Asin(v) + Bsin(v) + C cos(v). Heraf fås, at S (v) = 0 for tan(v) = C A B, (0.7) 8

således at netop når der ikke samtidig gælder, at C = 0 og A = B, så er der præcis to vinkler v [0,π[, som opflder ligningen ovenfor, nemlig v = 1 ( ) C arctan (0.8) A B og v = π + 1 ( ) C arctan A B Hvis v tilhører intervallet fra 0 til π, så ligger v selvfølgelig i intervallet fra 0 til π så vi må afgøre hvilke værdier funktionen tan(v) antager: (0.9) tan(v) 4 0 4 0 1 v 3 Figur 5: Funktionen f (v) = tan(v) i intervallet v [0,π[. Bemærk, at for enhver værdi = q [, ] er der netop to værdier af v, således at tan(v) = q. Præcis én af v værdierne i (0.8) og (0.9) svarer til den linje gennem massemidtpunktet som giver minimal S; den anden vinkel svarer til den linje som giver maksimal S værdi blandt alle linjerne gennem massemidtpunktet. Bemærk, at de to linjer står vinkelret på hinanden. Opgave 11) Find de to linjer for de konkrete sv punkter i figur og sammenlign med figur 6. Figur 6: Den bedste retlinjede approksimation (og den dårligste) til de 7 givne punkter findes ved rotation omkring massemidtpunktet. Sammenlign med gættet i figur 4. Dermed har vi løst opgaven. Løsningsproceduren er altså først at bestemme massemidtpunktet og dernæst at finde de to løsninger til vinkel-problemet omkring massemidtpunktet og endelig 9

vælge den vinkel v 0, der giver mindst S værdi. Så er løsningen, dvs. den bedste rette linje, simpelthen givet ved ligningen (0.6) med dette v 0 indsat: L : ( P )cos(v 0 ) + ( P )sin(v 0 ) = 0. (0.10) Opgave 1) Bent fremgangsmåden til at finde den bedste rette linje for 0 punkter, som alle ligger tæt på aksen, men som samtidig er rimeligt fordelt langs med aksen. Hvornår er C = 0 og A = B? Hvis punkterne alle ligger i en hob, måske endda smmetisk omkring massemidtpunktet, må vi forvente, at den bedste rette linje ikke er så veldefineret, altså at vi netop er i en situation hvor der næsten gælder: C = 0 og A = B, således at den brøk, der optræder på venstre side i (0.7) er ret usikker. Lad os derfor for eksperimentets skld undersøge, hvad der sker ved smmetriske konfigurationer med f.eks. 3, 4, eller 8 punkter smmetrisk fordelt på en cirkel omkring (0,0)? Så er S(v) konstant for alle linjer, der roteres om massemidtpunktet, se figur 7 og de tilhørende animationer. Figur 7: Rotation om (0, 0) med smmetrisk 3-, 4-, og 8-punktkonfiguration. Det totale cirkelskiveareal er i alle 3 tilfælde konstant! Enhver ret linje igennem massemidtpunktet er bedst mulig! 10

Opgave13) Mon det forholder sig sådan, at C = 0 og A = B kun kan opnås med en smmetrisk placering af punkterne omkring massemidtpunktet, som antdet i figur 7? Grafisk inspektion af S(v,c) Et alternativ til den skridtvise fremgangsmåde ovenfor er at bentte en direkte inspektion af graf-fladen for funktionen S(v,c). I figur 8 er vist den grafflade, der hører til de 7 konkret givne punkter i figur. Det ses, at fladen, landskabet, netop har to minimums-punkter, og ved at se på det tilsvarende højdekurve-plot i figur 9 fremgår det tdeligt, at de to minimumspunkter er henholdsvis ca. (v,c) = (.17, 0.51) og ca. (v,c) = ( 0.94, 0.51). S v c Figur 8: Grafen for funktionen S(v,c) for de 7 valgte punkter i figur. 1 1 c 0 c 0 1 1 3 1 0 1 3 3 1 0 1 3 v v Figur 9: Højdekurve-plot for funktionen S(v,c). Det ses, at S har (samme) minimum for ca. (v,c) = (.17, 0.51) og for ca. (v,c) = ( 0.94, 0.51). 11

Opgave 14) Det ser ud som om der er to minimumspunkter for S(v,c) i figurerne 8 og 9. Betder det, at der skulle være to linjer, der er bedste approksimation til de konkrete givne punkter? Hvilke to i så fald? Vink: Se næste spørgsmål. Opgave 15) Hvorfor er forskellen mellem de to v værdier for de to minimumspunkter ca. π? Hvorfor er de to tilsvarende c værdier ca. hinandens modsatte? Materialer: Animationer: Se i mappen: http://www.mat.dtu.dk/people/s.markvorsen/display/ - i undermapperne: XMatDTU/XMwriteF07/ REGRESSION/AnimRegres/ og REGRESSION/AnimSmRot/ Animationerne hedder henholdsvis: RegresEperim.html AnimRot3.html AnimRot4.html AnimRot8.html Litteratur [1] M. P. Bendsøe, A. Bertelsen, P. G. Hjorth, og S. Markvorsen: Optimale Konstruktioner. Perspektiv (3), Fsikforlaget, (003) 1-8. [] Se, f: http://www.mat.dtu.dk/info/mathematics/emma/ [3] H.H. Finkelstein: Wh Eperimental Mathematics Is The Ke To Good Math Instruction, Cambridge Tets in Applied Mathematics (008). [4] S. Toft Jensen og J. Matthiasen (red.) Matematiske Ideer, Matematikforeningen, 1993. [5] S. Markvorsen, Integration i flere Variable, Noter, Institut for Matematik, DTU, 007. http://www.mat.dtu.dk/education/01005/mws/integrator5/int5tekst.pdf [6] S. Markvorsen, Math Education at a Crossroads, MAT-Report No. 006-19, Institut for Matematik, 006. http://www.learninglab.dtu.dk/frikoebsprojekter/mat1.asp [7] Yu. A. Shashkin, Fied Points, American Mathematical Societ, MAA, 1991. [8] V. M. Tikhomirov, Stories about maima and minima, American Mathematical Societ, MAA, 1990. 1

INSTITUT FOR MATEMATIK, MATEMATIKTORVET, DTU BYGNING 303 SYD, 800 KGS. LYNGBY. 13