Lektion 8 Differentialligninger Implicit differentiation Differentialligninger Separable differentialligninger
0.5 Implicit differentiation 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 0 0.5 y Vi kan finde måske løse ligningen.5 2 y + sin y = tan () og finde y = y() eksplicit som en funktion af. Men selv om det ikke kan lade sig gøre, så bestemmer () implicit y() som en funktion af. Ved at differentiere () mht får vi y + y + y cos(y) = + tan 2 og for = 0 bliver y(0) = 0 og y (0) =. Eksempel Ligningen 2 + y 2 = fastlægger y = y() implicit som en funktion af (når ±). Implicit differentiation giver 2 + 2yy = 0 (2) så y = /y. Løs (2) eksplicit og check! 2 y 0.5 0.5 2 Eksempel 2 Implicit differentiation af ligningnen 2 y 2 = giver 2 2yy = 0 (3) så y = /y. Løs (3) eksplicit og check!.5 y 0.5 2 2 0.5.5 2
Sædvanlige differentialligninger En (sædvanlig). ordens differentialligning er en ligning af formen dy = f(t, y) dt hvor f er en funktion af 2 variable. En (generel) løsning er en differentiabel funktion y = y(t) som opfylder at y (t) = f(t, y(t)) for alle t i et interval. Der er mange (generelle) løsninger. Begyndelsesværdiproblemet dy dt = f(t, y), y(t 0) = y 0 går ud på at finde den (partikulære) løsning y(t) som opfylder y(t 0 ) = y 0. Der er netop en (partikulær) løsning. Strømningsdiagrammet får vi ved at afsætte pilen (, f(t, y)) i hvert punkt (t, y). Ved at følge pilene finder vi løsningernes grafer. 3
Eksempel 3 Differentialligningen 2.5 Retningsdiagram for ty +y=0 y = y t y 0.5 2 4 6 8 0 har løsningen y = c/t, hvor c er en konstant, for ( ty + y = t c ) t 2 + c t = 0 for alle t 0 Eksempel 4 Differentialligningen y = t y har den generelle løsning y(t) = hvor c > 0 er en konstant, for t + yy = t + c 2 t 2 c 2 t 2, t c 2 t 2 = 0 når t < c. Den partikulære løsning med y() = er y(t) = 2 t 2, t < 2. Eksempel 5 Differentialligningen y = f(t) har den generelle løsning y = f(t)dt + C. Den partikulære løsning med y(a) = 0 er y(t) = t a f() d. 4
Eksempel 6 (Vandfordampning) Lad v(t) være vandvolumenet til tiden t i en sø. Antag at fordampningen er proportional med v(t) 2/3 og at vandtilførselen er r(t). Differentialligningen v (t) = r(t) cv(t) 2/3 en da en model for vandmængden i søen. Hvis r(t) = cv(t) 2/3 er der en ligevægtstilstand. Eksempel 7 (Newtons afkølingslov) En vulkan sender en 000 grader varm sten i havet. Stenens temperatur T (t) til tiden t er bestemt ved T = c(t 5), T (0) = 000 hvis havets temparatur er 5 grader. 5
Separable differentialligninger En separabel differentialligning er en differentialligning af formen y (t) = f(t)g(y) hvor højresiden er et produkt af en funktion f(t), kontinuert på et interval I, og en funktion g(y), differentiabel med kontinuert afledet på et interval J. Den generelle løsning findes sådan her:. Hvis g(y 0 ) = 0, så er den konstante funktion y(t) = y 0 en løsning. 2. Løs ligningen f(t)dt = g(y) dy for y. (Implicit differentiation viser at dette virkelig er en løsning.) Der findes netop en partikulær løsning y(t) med y(t 0 ) = y 0 for ethvert valg af begyndelsesbetingelser (t 0, y 0 ). 6
Eksempel 8 (Eksponentiel vækst) Differentialligningen dy dt = λy er separabel. Løsningerne er y = y 0 e λt som vi finder ved at følge opskriften:. Den konstante funktion y = 0 er en løsning. 2. De andre løsninger opfylder y dy = dt eller ln y = t + C og vi finder y ved at tage ep på begge sider af lighedstegnet. Eksempel 9 (Newtons afkølingslov) Differentialligningen har løsningen hvor T 0 = T (0). T (t) = c(t A) T (t) A = (T 0 A)e ct 7
y 0 5 0-5 -0 Opgave: Find den generelle løsning til differentialligningen Løsning: y = t y t dt = y dy Loesninger til dy/dt=/y -0-5 5 0 t 2 = y 2 + C y = ± t 2 C Opgave: Løs begyndelsesværdiproblemet y = 4 y2, y(0) = 2. Løsning: Ligningen y 2dy = 4 dt giver den generelle løsning y = C Da y(0) = 4t. 2 er C = 2 så y = 4 2 t er den søgte partikulære løsning. 8
Eksempel 0 (Model for cellevækst) Lad V (t) være volumenet af en celle. Da næringsoptagelsen sker gennem overfladen, som er proportional med V (t) 2/3, antager vi at cellens væksthastighed opfylder V (t) = kv (t) 2/3 hvor k > 0 er en konstant. Den generelle løsning er ( k ) 3 V (t) = 3 t + C som vi ser ved at følge opskriften. Eksempel (Allometrisk vækst) Lad (t) være længden af kroppen og y(t) længden af et bestemt organ for en organisme. Antag at den relative vækstrate (t) for hele kroppen og den relative vækstrate y y (t) for organet er proportionale. Det giver den separable differentialligning y y (t) = r (t) y (t) = yr (t) (t) som har den generelle løsning y = k r hvor k er en konstant. y 6 4 2 0 8 6 4 2 Retningsdiagram for V (t)=2*v(t)^(2/3) 0 0.5.5 2 g(y) = y, f(t) = r (t) (t) 9
Opgaver til Lektion 8. Find y () når y 3 + 3 =. 2. Find y () når / + /y =. 3. (Eksamen Marts 2002) Lad y() være en differentiabel funktion som opfylder at y() + y() 2 = for alle. Vis at y() er en løsning til differentialligningen y() + y () + 2y()y () = 0 4. Find løsningerne til differentialligningen dy d = 2y2. 5. Find løsningerne til differentialligningen dy d = 2 y. 6. (Eksamen Marts 2002) Lad N() være antallet af HTpassager ved billetpris kr. I en model for trafikanalyse antager man at der findes en konstant r så N () N() = r, > 0, (4) altså at den relative vækst i passagerantal N er omvendt proportional med billetprisen. a. Find løsningen til differentialligningen (4) ovenfor. b. Trafiktællinger viser at når billetprisen øges med 0%, så falder passagerantallet med 3%. Bestem r. 7. (Eksamen Januar 200) Find den generelle løsning til differentialligningen dy d = r y ( > 0) hvor r er en positiv konstant. Medtag forklaringer og mellemregninger. 8. Løs begyndelsesværdiproblemet dy = 3ty, y(0) = 2. dt 9. Løs begyndelsesværdiproblemet dy dt = 3yn, y(0) = y 0. 0. Find den generelle løsnng til differentialligningen dy d = ay + b hvor a og b er konstanter. (Vink: Hvordan fandt vi løsningen d for Newtons afkølingslov? Eller: d (y b a ) = a(y b a )). Offeret for et mord har kl 6 temperaturen 30 grader og kl 7 temperaturen 26 grader. Rummets temperatur er 8
grader. Hvornår er mordet sket? (Vi antager at liget følger Newtons afkølingslov). 2. Antag at menneskers vægt som en funktion af højden er en potensfunktion. Find den funktion ud fra oplysningerne at et menneske på 90 cm vejer 20 kg og et menneske på 40 cm vejer 60 kg.