Funktionsterminologi Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en arkiveret udgave af dokumentet som muligvis ikke er den nyeste tilgængelige.
Indhold 1 Introduktion 1 2 Værdimængde 2 2.1 Bemærkninger og eksempler.............. 2 2.2 Begrænsede funktioner................. 4 3 Ekstremalværdier 5 3.1 Globale ekstremer.................... 5 3.2 Lokale ekstremer.................... 7 4 Monotoni 11 4.1 Lidt indledende logik.................. 11 4.2 Monotone funktioner.................. 12 4.3 Monotoniintervaller................... 15 4.4 Uligheder i et nyt lys.................. 16 5 Injektivitet 17 5.1 Injektive funktioner................... 17
Resumé I dette dokument indfører vi nogle egenskaber som en funktion kan have. Vi skal tale om funktioners værdimængder, deres monotoniforhold og eventuelle ekstremalværdier. Til sidst møder vi begrebet injektivitet som leder direkte videre til teorien om inverse funktioner og sektioner. 1 Introduktion Når man lærer om funktioner er det vigtigt at man ikke udelukkende tænker i praktiske anvendelser, fordi funktionsbegrebet først og fremmest er et sprog som skal læres inden man overhovedet kan forstå hvad det skal bruges til. Ikke desto mindre kan vi allerede i dette kapitel begynde at se anvendelsesmuligheder: Funktioner bruges jo til at udtrykke hvordan størrelser kan afhænge af hinanden. Forestil dig f.eks. en fabrik som producerer mobiltelefoner. Deres fortjeneste afhænger af hvilken pris de vælger at sælge deres telefon til. Hvis prisen er for høj vil de ikke sælge særligt mange telefoner, og hvis prisen er for lav tjener de måske ikke engang produktionsomkostningerne hjem. Tricket består naturligvis i at vælge præcis den pris som gør deres fortjeneste størst muligt. Til dette formål ville det være smart, hvis man kunne beskrive nøjagtigt hvordan den samlede fortjeneste afhænger af prisen ved hjælp af en funktion 1, og derefter undersøge hvilken pris (x) som bevirker at fortjenesten (f(x)) bliver størst muligt. Det kunne også være interessant at undersøge hvorvidt en lille ændring i den nuværende pris ville øge eller sænke den samlede fortjeneste. Det er præcis den slags egenskaber ved en funktion som vi skal give navne til i dette dokument. 1 At vælge den rigtige funktion er naturligvis en vanskelig opgave i sig selv. Kunsten at gøre dette kaldes modellering, og det kan du læse om her side 1
Forudsætninger Dokumentet er en direkte fortsættelse af Funktioner 2, og det forudsættes selvfølgelig at man har læst dette dokument først. Eftersom alting skal handle om funktioner med primær og sekundærmængde R, vil vi indføre en generel regel: Når ordet funktion optræder i dette dokument, så skal det læses som: En funktion med primærmængde R og sekundærmængde R. 2 Værdimængde Som udgangspunkt består en funktion af en primærmængde (hvor de elementer som funktionen kan tages på kommer fra), en sekundærmængde (hvor funktionsværdierne havner ) og en regel for hvordan elementer i primærmængden bliver lavet om til elementer i sekundærmængden. Sammen med reglen kommer der en definitionsmængde som består af de elementer fra primærmængden som reglen må anvendes på. Vi definerer nu en anden vigtig mængde som er knyttet til enhver funktion. Definition 1 Hvis f er en funktion, så defineres værdimængden af f som: V m(f) = {f(x) x Dm(f)}. 2.1 Bemærkninger og eksempler Værdimængden er altså en mængde der består af alle de funktionsværdier, f(x), som man kan opnå ved at tage f på et element, x, i 2 Læs om funktioner her side 2
definitionsmængden. Dermed bliver V m(f) en delmængde af sekundærmængden. Den består af de elementer som rent faktisk rammes af funktionen. Man kan passende udvide sit abstrakte billede af funktionen til det på figur 1. Primærmængde Sekundærmængde Definitionsmængde x a Regel Værdimængde f(x) f(a) Figur 1: Et abstrakt billede af en funktion med indtegning af værdimængden Eksempel 1 Betragt funktionen f givet ved forskriften f(x) = x 2. Da det er underforstået at definitionsmængden og sekundærmængden begge er R, vil værdimængden for f bestå af de reelle tal, som kan opstå ved at man opløfter et reelt tal i anden potens. Med andre ord: V m(f) = R + {0} side 3
Det er meget nemt at få et overblik over en funktions værdimængde ved at kigge på dens graf. Husk på at grafen består af punkter (x; y) hvor y = f(x). Hvis man vil vide hvad værdimængden er, skal man altså bare undersøge hvilke y-værdier som optræder på grafen. Øvelse 1 Bestem værdimængden for følgende funktioner: f 1 (x) = 3 x f 2 (x) = x 1 (Tænk over definitionsmængden!) f 3 (x) = sin(x) f 4 (x) = tan x f 5 (x) = x { 1 x, x > 0 f 6 (x) = 17, ellers Bemærk at grafen sagtens kan springe nogle y-værdier over. Det betyder at værdimængden til tider kan være ret kompliceret at skrive ned. Men for de fleste pæne 3 funktioner bliver værdimængden et interval (enten med åbne eller lukkede endepunkter). 2.2 Begrænsede funktioner Et fænomen som nu skal have sit eget navn er når en funktions værdimængde ligger inden for en afgrænset del af den reelle akse. Det gør vi mere præcist med følgende definition: 3 Vi skal se hvad ordet pæn helt præcist betyder når vi skal snakke om begrebet kontinuitet. Det kan du læse om her side 4
Definition 2 En funktion, f, kaldes begrænset hvis der findes to tal, m og M med den egenskab at: f(x) m og f(x) M for alle elementer x i definitionsmængden for f. Det svarer til at værdimængden for f er en delmængde af intervallet [m; M] Øvelse 2 Hvilke af funktionerne fra opgave 1 er begrænsede? 3 Ekstremalværdier Med en ekstremalværdi for en funktion mener man enten en maksimal (størst mulig) eller en minimal (mindst mulig) værdi for funktionen. Begrebet er dog en smule mere kompliceret end dette. Dels fordi en funktion ikke altid har ekstremalværdier, og dels fordi man både ønsker at tale om såkaldt globale og lokale ekstremalværdier. Derfor gør vi klogt i at indføre alle disse ord omhyggeligt med nogle definitioner: 3.1 Globale ekstremer side 5
Definition 3 Hvis f er en funktion, så kaldes et element x Dm(f) for et globalt minimumssted hvis funktionsværdien f(x) er mindre end eller lig med alle andre funktionsværdier. Selve denne funktionsværdi kaldes en global minimumsværdi for f. Definition 4 Hvis f er en funktion, så kaldes et punkt x Dm(f) for et globalt maksimumssted hvis funktionsværdien f(x) er større end eller lig med alle andre funktionsværdier. Selve funktionsværdien f(x) kaldes for en global maksimumsværdi. Bemærkninger: Globale minimumssteder og maksimumssteder kaldes under et for globale ekstremumssteder, og tilsvarende kaldes globale minimumsværdier og maksimumsværdier under et for globale ekstremumsværdier. Bemærk at vi skriver mindre end eller lig med og større end eller lig med i ovenstående definitioner. Dermed kan en funktion sagtens have mange globale miniumssteder og maksimumssteder. (Prøv at give et eksempel!). Den kan dog højst have en global minimumsværdi, og højst en global maksimumsværdi. (Prøv at forklare hvorfor!) Det kan nemt forekomme at en funktion overhovedet ikke har nogen ekstremumssteder, og dermed heller ingen ekstremumsværdier. (Prøv at give nogle eksempler!) side 6
Når man oplyser globale ekstremumssteder og ekstremumsværdier for en funktion, oplyser man som regel en ekstremumsværdi sammen med det sted hvor den antages. Ofte giver man lige ekstremumsstedet et navn i forbifarten. Man skriver f.eks: Funktionen f har et globalt maksimumssted i x = 14 med global maksimumsværdi f(x) = 117. Eksempel 2 Betragt funktionen g, hvis graf er angivet på figur 2. Denne funktion har tilsyneladende et globalt minimumssted i x 1 = 2 og den tilhørende globale minimumsværdi er g(x 1 ) = 3 Den har tilsyneladende et globalt maksimumssted i med global maksimumsværdi x 2 = 3,5 g(x 2 ) 7,3 3.2 Lokale ekstremer Et lokalt ekstremumsted er præcis det som man tror det er: Et punkt, som ligner et globalt ekstremumspunkt hvis man kun kigger på et lille udsnit af grafen, men som eventuelt kan blive overgået et andet sted på grafen. Vi må dog hellere lave en mere præcis definition: side 7
10 5 y=g(x) 1 0 1 2 3 4 5-5 Figur 2: Grafen for funktionen i eksempel 2 Definition 5 Hvis f er en funktion, så kaldes et element x Dm(f) for et lokalt minimumssted hvis der findes et (eventuelt meget lille) interval ]a; b[ på den reelle akse med egenskaberne: intervallet omslutter x. funktionsværdien f(x) er mindre end eller lig med alle andre funktionsværdier som f antager på intervallet ]a; b[. Selve funktionsværdien f(x) kaldes en lokal minimumsværdi for f. Definition 6 Hvis f er en funktion, så kaldes et element x Dm(f) for et lokalt maksimumssted hvis der findes et (eventuelt meget lille) interval ]a; b[ på den reelle akse med egenskaberne: side 8
intervallet omslutter x. funktionsværdien f(x) er større end eller lig med alle andre funktionsværdier som f antager på intervallet ]a; b[. Selve funktionsværdien f(x) kaldes en lokal maksimumsværdi for f. Bemærkninger: Lokale minimumssteder og maksimumssteder kaldes under et for lokale ekstremumssteder, og tilsvarende kaldes lokale minimumsværdier og maksimumsværdier under et for lokale ekstremumsværdier. En funktion kan have masser af lokale ekstremumssteder, og også masser af lokale ekstremumsværdier. (Prøv at give eksempler!) Et globalt ekstremumssted er automatisk også et lokalt ekstremumssted, idet det omtalte interval bare kan sættes til at være hele den reelle akse: ] ; [. Det kan nemt forekomme at en funktion overhovedet ikke har nogen lokale ekstremumssteder, og dermed heller ingen lokale ekstremumsværdier. (Prøv at give nogle eksempler!) Man oplyser lokale ekstremumssteder og ekstremumsværdier for en funktion på samme måde som de globale. Man skriver f.eks: Funktionen f har et lokalt maksimumssted i x = 14 med lokal maksimumsværdi f(x) = 117. Lokale ekstremumssteder er meget nemme at finde ved at kigge på grafen for en funktion: Man leder ganske enkelt efter x-koordinater til punkter, hvor grafen har en top eller en side 9
bakkedal. Bemærk dog at intervalendepunkter, hvor grafen enten stopper eller laver et spring meget ofte vil være lokale ekstremumspunkter også! 4 Eksempel 3 Betragt igen funktionen g, hvis graf er vist på figur 2. Udover de globale ekstremer, har denne funktion et lokalt maksimumssted i med lokal maksimumsværdi x 3 = 0 f(x 3 ) = 1 Den har også et lokalt minimumssted i med lokal mimimumsværdi x 4 2,5 f(x 4 ) = 0 Øvelse 3 Tegn grafer for funktioner som har følgende egenskaber. (Du behøver ikke at finde en funktionsregel for dem!) 1. En funktion f 1 som har et globalt minimumssted i 3 og et lokalt maksimumssted som ikke er globalt i 2. 4 Man skal være lidt kreativ for at opfinde en funktion som er defineret på et lukket interval, f.eks. [0; 1], og hvor intervalendepunkterne ikke er lokale ekstremumssteder. Prøv selv! side 10
2. En funktion f 2 som ikke har nogen globale ekstremumssteder, men som har mindst et lokalt ekstremumssted. 3. En funktion f 3 som har global minimumsværdi 5 og global maksimumsværdi 7 og som er defineret i alle de reelle tal. 4. En funktion f 4 som har globale ekstremumssteder i 1, 2, 3, 4 og 5, og som ikke er konstant. (Der er mange rigtige besvarelser til hvert spørgsmål.) Øvelse 4 Find lokale ekstremumssteder og lokale ekstremumsværdier for følgende funktioner: 1. f 1 (x) = x 3 3x x 1, x < 0 2. f 3 (x) = x x 2, x [0; 2] 3 x, x > 2 3. f 2 (x) = 2 sin x + x 4 Monotoni 4.1 Lidt indledende logik Ordet monoton betyder noget i stil med det samme hele tiden. Her skal man dog være lidt forsigtig når man bruger sin sproglige intuition, fordi sådan som vi vil definere at en funktion er monoton, så viser det sig at de mest kedelige funktioner, nemlig de konstante, ikke må kaldes monotone. side 11
Forestil dig grafen for en funktion f. Når man skal læse grafen skal man gå en tur på x-aksen (fra venstre mod højre, naturligvis) og holde øje med funktionsværdierne. En funktion kaldes monoton hvis dens funktionsværdier enten vokser hele tiden eller aftager hele tiden. Vil vil nu lave nogle helt præcise definitioner. Dertil vil vi bruge et meget kompliceret logisk tegn, nemlig implikationspilen: = Når man skriver denne pil mellem to udsagn, så betyder det samlede udsagn at hvis udsagnet til venstre er sandt så er udsagnet til højre også sandt. Man siger intet om hvorvidt nogen af udsagnene er sande eller ej! Man kan f.eks. sige, at for ethvert reelt tal x gælder at: Udsagn af typen: x > 0 = x + 1 > 0 A = B (hvor A og B er to udsagn) læses enten som Hvis A så B eller ganske enkelt som A medfører B. 4.2 Monotone funktioner En funktion kaldes voksende hvis to forskellige punkter i definitionsmængden altid vil opføre sig sådan at funktionsværdien i det mindste af dem er mindre end funktionsværdien i det største. Med andre ord: Funktionsværdierne blive større jo længere man kommer ud af x-aksen. Man kan sige dette meget kort og præcis som: Definition 7 En funktion f kaldes voksende hvis der for alle elementpar, x 1 og x 2 i Dm(f) gælder: x 1 < x 2 = f(x 1 ) < f(x 2 ) side 12
Helt tilsvarende kaldes en funktion aftagende hvis to forskellige punkter i definitionsmængden altid vil opføre sig sådan at funktionsværdien i det mindste af dem er større end funktionsværdien i det største. Med andre ord: Funktionsværdierne blive mindre, jo længere man kommer ud af x-aksen. Igen kan dette siges meget kort og præcis som: Definition 8 En funktion f kaldes aftagende hvis der for alle elementpar, x 1 og x 2 i Dm(f) gælder: x 1 < x 2 = f(x 1 ) > f(x 2 ) Desuden indrammer vi lige fællesbetegnelsen for voksende og aftagende funktioner: Definition 9 Voksende funktioner og aftagende funktioner kaldes under et for monotone funktioner. Til sidst skal det understreges en ekstra gang at funktioner som tager den samme værdi hele tiden ikke kaldes monotone, selvom de er kedelige. Definition 10 En funktion f kaldes konstant hvis der for alle elementpar, x 1 og x 2 i Dm(f) gælder: f(x 1 ) = f(x 2 ) side 13
Øvelse 5 Afgør om følgende funktioner er monotone: f 1 (x) = sin x f 2 (x) = 10 f 3 (x) = 3x + 1 f 4 (x) = 1 x f 5 (x) = x 2 med Dm(f 5 ) = {10} Bemærkninger: Læg mærke til at en funktion skal være voksende hele tiden eller aftagende hele tiden før vi kalder den monoton. Hvis den skifter mellem at vokse og aftage, har vi et andet begreb, nemlig monotoniintervaller. (Se næste afsnit.) Hvis man skal vise at en funktion er f.eks. voksende er man nødt til at vise implikationen x 1 < x 2 = f(x 1 ) < f(x 2 ) for alle elementpar x 1 og x 2 i definitionsmængden. Da definitionsmængden som regel er uendeligt stor, bliver man naturligvis aldrig færdig med dette. Man må i stedet finde et overbevisende argument for at implikationen gælder uanset hvilket elementpar man finder frem. Hvis man skal vise at en funktion ikke er f.eks. voksende, skal man i stedet fremvise et elementpar x 1 og x 2 fra definitionsside 14
mængden, hvor implikationen ikke gælder. Altså hvor x 1 < x 2 men hvor f(x 1 ) f(x 2 ). 5 Funktionen f 5 fra opgave 5 ovenfor har en ekstremt lille definitionsmængde. Faktisk kan det aldrig lade sig gøre at fremvise et elementpar fra definitionsmængden overhovedet. Derfor er f 5 automatisk voksende (og aftagende og konstant!). 4.3 Monotoniintervaller Mange funktioner er hverken voksende eller aftagende. Derfor indfører vi et nyt begreb: Definition 11 Lad f være en funktion. Et interval, som ligger inde i Dm(f) kaldes et monotoniinterval for f, hvis f er monoton, når man kun betragter elementpar x 1 og x 2 fra dette interval. Bemærkninger Man siger at en funktion er voksende eller aftagende på sine monotoniintervaller. F.eks. er funktionen g, hvis graf er vist på figur 2 voksende på [( 2,5); 0], den er aftagende på [0; 2], og den er voksende på [2; (3,5)]. Når man angiver monotoniintervaller for en funktion, skal man oplyse så store intervaller som muligt. F.eks. er det korrekt at funktionen g fra figur 2 er aftagende på ]0; 1[, men dette er ikke så informativt som informationerne ovenover. 5 Dette er en logisk negation af definitionen på at være voksende. Du kan læse mere om udsagnslogik og negationer af sammensatte udsagn her side 15
4.4 Uligheder i et nyt lys I afsnittet om uligheder i ULULU-dokumentet 6 opstillede vi nogle meget simple regler for hvordan man måtte omskrive på uligheder. Nogle af omskrivningerne indebar at man skulle vende ulighedstegnet om. Med terminologien fra dette afsnit kan vi pludselig se præcis hvorfor disse regler gælder, og endda udtrykke dem meget mere generelt: Sætning 1 En ulighed gælder fortsat hvis man tager en voksende funktion på begge sider af ulighedstegnet. Sætning 2 En ulighed gælder omvendt hvis man tager en aftagende funktion på begge sider af ulighedstegnet. Generelt er den bedste måde at løse en ulighed på dog fortsat den samme: Man løser en ulighed ved først at løse den tilsvarende ligning, og derefter danne sig et overblik over løsningsintervallerne Til at danne det nævnte overblik er funktionsbegrebet også en stor hjælp, sådan som vi så i afsnittet om grafisk overblik over ligninger og uligheder i dokumentet Funktioner. 6 Læs om uligheder her side 16
5 Injektivitet 5.1 Injektive funktioner Vi kaster os direkte ud i en definition mere: Definition 12 En funktion f kaldes injektiv hvis der for alle elementpar, x 1 og x 2 i Dm(f) gælder: x 1 x 2 = f(x 1 ) f(x 2 ) Den bedste måde at tænke på injektivitet på, er ved at have det abstrakte billede af funktionen inde i hovedet: En funktion er injektiv hvis to forskellige elementer i definitionsmængden aldrig bliver til det samme når man tager funktionen på dem. Dette er forsøgt illustreret på figur 3 Figur 3: Injektivitet af en funktion side 17
Figur 3 forklarer også valget af ordet injektiv : Det kommer af det samme som det engelske ord to inject At sprøjte ind. Og det er jo lige netop hvad en injektiv funktion gør: Den sprøjter elementerne fra definitionsmængden ind i sekundærmængden, uden af nogen elementer kommer til at ligge præcis det samme sted. Det er nemt at se på en funktions graf om funktionen er injektiv eller ej. At funktionen er injektiv betyder at grafen aldrig besøger den samme y-koordinat mere end én gang. (Se figur 4.) x 1 x 2 Figur 4: Injektivitet af en funktion Øvelse 6 Hvilke af følgende funktioner er injektive? f 1 (x) = 1 x f 2 (x) = 5x + 1 f 3 (x) = x 2 f 4 (x) = x 3 f 5 (x) = sin x side 18
Begreberne monoton og injektiv er beslægtede. Det viser følgende sætning: Sætning 3 Hvis f er en monoton funktion, så er f injektiv. De to begreber er dog ikke præcis det samme. (Det ville også være fjollet.) En injektiv funktion behøver ikke at være monoton. Øvelse 7 Undersøg sammenhængen mellem injektivitet og monotoni: Lav et formelt bevis for sætning 3. Altså: Antag at f er en monoton funktion, og bevis at hver eneste gang x 1 og x 2 er forskellige elementer i definitionsmængden, så er f(x 1 ) og f(x 2 ) nødvendigvis forskellige. 1. 2. Giv et eksempel på at sætning 3 ikke gælder omvendt. Altså at der findes funktioner som er injektive, men som ikke er monotone. Begrebet injektivitet bliver meget vigtigt når vi skal lave omvendte funktioner altså baglæns udgaver af givne funktioner 7. Det viser sig nemlig at de funktioner som kan vendes om præcis er dem som er injektive. 7 Læs om inverse funktioner her side 19