Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination Preben Alsholm 18 februar 008 1 Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination 11 Et eksempel Et eksempel 100g mælk Komælk Fåremælk Gedemælk Protein g 6g 8g Kulhydrat 49g 0g 44g Fedt g 89g 41g Kan man opnå en blanding, der pr 100g indeholder 4g protein, 4g kulhydrat og g fedt? Brøkdele: Komælk x, Fåremælk y, Gedemælk z Postevand w Proteinmængden: x + 6 y + 8 z = 4 Kulhydratmængden: 49 x + 0 y + 44 z = 4 Fedtmængden: x + 89 y + 41 z = Summen skal være 1: x + y + z + w = 1 Udregning i Maple 1 Et generelt lineært ligningssystem Et generelt lineært ligningssystem Et lineært ligningssystem: a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n = b 1 a 1 x 1 + a x + + a n x n = b a m1 x 1 + a m x + + a mn x n = b m Koefficienterne er tallene a 11, a 1,, a mn De ubekendte er x 1, x,, x n På højresiden befinder sig tallene b 1, b, b m 1
En løsning er et sæt af n tal, der indsat i stedet for x 1, x,, x n i ligningerne gør disse til sande udsagn af typen =, 7 = 7, 11 = 11 eller 0 = 0 1 Koefficientmatrix, Totalmatrix Koefficientmatrix, Totalmatrix Koefficientmatricen A = 6 4 a 11 a 1 a 1n a 1 a a n 7 a m1 a m a mn Totalmatricen (Lay: the augmented matrix) T = 6 4 a 11 a 1 a 1n b 1 a 1 a a n b a m1 a m a mn b m 7 A er en m n-matrix, fordi A har m rækker og n søjler T er en m (n + 1)-matrix, fordi T har m rækker og n + 1 søjler Maple: Et tilfældigt valgt lineært ligningssystem 14 Tilladelige operationer Tilladelige operationer Tilladte operationer på ligningerne: 1 Ombytning to ligninger Multiplikation af en ligning med et tal forskellig fra nul Erstatning af ligning nr i med summen af ligning i og et tal gange ligning j, når i 6= j Tilladte operationer på rækkerne: 1 R i $ R j R i := cr i hvor c 6= 0 R i := R i + cr j hvor i 6= j Maple: Illustration af de tilladte operationer
1 Eksempel ved Gausselimination I Eksempel ved Gausselimination I Systemet x 1 + x + x = x 1 + 7x + x = 4 x 1 + x = Totalmatricen T = 4 7 4 1 0 1 Vi vil ved rækkeoperationer bringe matricen på echelonform: 4 # 0 # eller 4 # 0 0 # eller 4 # 0 0 # 0 0 # 0 0 0 # 0 0 0 0 16 Eksempel ved Gausselimination II Eksempel ved Gausselimination II Rækkeoperationen R := R R 1 giver 4 1 0 1 1 0 1 Rækkeoperationen R := R + R 1 giver 4 1 0 1 1 0 9 7 14 Rækkeoperationen R := R 9R giver nu matricen på echelonform: 4 1 0 1 1 0 0 Rækkeoperationen R := 1 R giver en pænere version: 4 1 0 1 1 17 Eksempel ved Gausselimination III Eksempel ved Gausselimination III Det tilsvarende ligningssystem er x 1 + x + x = x + x = x = 16 Dette kan løses nedefra og op:
1 Først findes x = 16 Derefter x = x = 16 = 14 Til sidst x 1 = x x + = 4 + + = 7 Løsningen er altså x = 4 x 1 x x = 4 7 14 16 18 Eksempel ved Gausselimination IV Eksempel ved Gausselimination IV Totalmatricen på echelonform var 4 1 0 1 1 Man kunne gå videre til reduceret echelonform: Rækkeoperationerne R := R R og R 1 := R 1 R giver 4 1 0 0 1 0 14 Rækkeoperationen R 1 := R 1 R giver 4 1 0 0 1 0 0 7 14 Det tilsvarende ligningssystem er nu ekstremt simpelt: 19 De tilfælde De tilfælde x 1 = 7 x = 14 x = 16 Ovenfor så vi et ligningssystem med præcis én løsning Der er to andre muligheder Eksempel og 4 i Maple De tilfælde kan illustreres ved følgende eksempler på en til echelonform reduceret totalmatrix: 4 # 0 # 4 # 0 0 # 4 # 0 0 # 0 0 # 0 0 0 # 0 0 0 0 I første tilfælde er der præcis én løsning Det tilsvarende system løses nedefra og opefter (ingen frie variable) I andet tilfælde er der ingen løsning pga den sidste række, der svarer til en ligning af typen 0 = I tredie tilfælde er der uendeligt mange løsninger Pivoteringssøjler er søjle 1 og søjle, så x 1 og x er basale variable, mens x er fri Det tilsvarende system løses nedefra og opefter, men med (i dette tilfælde) én fri variabel 4
110 Linearkombination I Linearkombination I Ved en af linearkombination af vektorerne v 1, v,, v p forstås et udtryk af formen c 1 v 1 + c v + + c p v p hvor c 1, c,, c p er reelle tal Spørgsmål: Kan vektoren b skrives som en linearkombination af vektorerne a 1, a, a hvor 0 1 0 1 0 1 0 1 b = @ 4 A, a 1 = @ 1 A, a = @ 7 0 A, a = Vi skal om muligt finde x 1, x, x, så x 1 a 1 + x a + x a = b Systemet skrevet ud: x 1 + x + x = x 1 + 7x + x = 4 111 Linearkombination II, Span Linearkombination II, Span x 1 + x = @ 1 Men det er jo systemet fra Eksempel, hvis totalmatrix kan skrives [a 1 a a b] og som havde løsningen 4 x 1 7 x = 4 14 x 16 Altså har vi 7a 1 + 14a 16a = b Generalisering: Vektorligningen x 1 a 1 + x a + + x p a p = b har samme løsningsmængde som ligningssystemet med totalmatricen a 1 a a p b Ved Span a 1, a,, a p forstås mængden af linearkombinationer af vektorerne a 1, a,, a p 11 Matrix-vektor-multiplikation Matrix-vektor-multiplikation Lad A være en m n-matrix og lad x R n Skriv A = [a 1 a a n ], hvor a i R m Produktet Ax defineres ved Ax = x 1 a 1 + x a + + x n a n Ligningssystemet med koefficientmatricen A og højresiden b kan nu skrives Ax = b A
Systemet Ax = b har åbenbart en løsning, hvis og kun hvis b Span (a 1, a,, a n ) Systemet Ax = b har en løsning for ethvert b R m, hvis og kun hvis Span (a 1, a,, a n ) = R m Alternativ udregning af Ax: Skalarprodukterne af rækkerne i A med søjlen x Regneregler: A (u + v) = Au + Av og A (cu) = cau 6