6 Matematisk udledning af prisafsætningsfunktionen

6 Matematisk udledning af prisafsætningsfunktionen 6. Udledning af prisfunktionen ud fra forskellige oplysninger I sidste kapitel gennemgik vi, hvad du forståelsesmæssigt skal vide om omsætningsfunktioner. I mange eksamensopgaver får man dog typisk ikke direkte foræret prisfunktionen, men skal derimod selv udlede den matematisk ud fra nogle oplysninger givet, at den er lineær. Den lineære afsætningsfunktion kan beskrives ved: = αq + β, hvor α er hældningskoefficienten (negativ hældning ved normale varer og β er konstantleddet (skæringen med den lodrette akse. Det er vigtigt at kende til de forskellige metoder, som findes, når man skal finde en prisafsætningsfunktion. I nedenstående skema angives 7 informationssæt, som man kan støde på, når afsætningsfunktionen skal udledes. I hver boks kan du se, hvilken metode du skal benytte ved et givent informationssæt samt på hvilken side i dette kapitel, du kan finde metoden. Figur 9 Metoder til udledning af prisfunktionen Et punkt (Q, En pris og den tilhørende e En mængde (Q og den tilhørende e Hældningen (α Et punkt (Q, Metode 0 (Side 82 Metode & Metode 2 (Side 83-84 Metode 3 & Metode 4 (Side 85-86 Metode 5 (Side 87 En pris og den tilhørende e Metode & Metode 2 (Side 83-84 Metode 6 (Side 88 Metode 7 (Side 89 En mængde (Q og den tilhørende e Metode 3 & Metode 4 (Side 85-86 Metode 6 (Side 88 Metode 8 (Side 90 Hældningen (α Metode 5 (Side 87 Metode 7 (Side 89 Metode 8 (Side 90 8

Bemærk, at de gråt markerede felter blot er afspejlinger af de andre felter. Desuden skal du vide, at man ikke kan finde formlen for linjens ligning ud fra informationskombinationerne, hvis felter er markeret sorte, hvorfor du ikke vil møde en sådan opgave til eksamen. Endelig er det vigtigt at bemærke, at Metode 0 og Metode 5 kan bruges generelt til at finde formlen for linjens ligning. En anden formel, som typisk er antaget lineær, og som den studerende så skal udlede ud fra disse oplysninger, er den gennemsnitlige omkostningsfunktion AVC-funktionen. Her kan du altså også bruge Metode 0 og Metode 5. 6.2 Udledning af ud fra to punkter Matematisk har vi altså: (Q, og (Q 2, 2 METODE 0 UDLEDNING AF OG AVC UD FRA TO UNKTER (Q, og (Q 2, 2 ( Hældning: 2 α = Q Q 2 (2 Konstantled: β = α (3 Konklusion: = αq + β Bemærk, at denne metode altid kan bruges, når du skal udlede linjens ligning ud fra to punkter. Det kunne eksempelvis også være AVC-funktionen, du skulle udlede ud fra to punkter. Eksempel 6.A Der er i opgaveteksten givet to punkter M: (Q, = (4,5 og N: (Q 2, 2 = (8,5 der ligger på en ret linje. Det er yderligere antaget, at afsætningsfunktionen er lineær. Først bestemmes hældningen, α: ( 2 5 5 0 α = = = = 2,5 Q Q 8 4 4 2 Da hældningen ikke længere er ubekendt, er det muligt at bestemme konstantleddet, β: (2 β = α = 5 ( 2,5 4 = 25 82

(3 = α Q + b = 2,5Q + 25 Dette betyder, at afsætningsfunktionen skærer den lodrette akse i 25 og falder med 2,5, hver gang man vælger at afsætte én enhed mere. 6.3 Udledning af ud fra et punkt og en priselasticitet med tilhørende pris Matematisk har vi altså: (Q, og e p ved 2 Der eksisterer to mulige scenarier: 2 (Metode = 2 (Metode 2 METODE UDLEDNING AF UD FRA ET UNKT OG EN RISELASTICITET MED TILHØRENDE RIS ( 2 (Q, og e p ved 2 ( Konstantled: 2 β = + e β (2 Hældning: α = (3 Konklusion: = αq + β 2 Eksempel 6.B Der er i opgaveteksten givet et punkt M: (Q, = (6,2 og priselasticiteten e p(2 = 5 = 3. Det er yderligere antaget, at afsætningsfunktionen er lineær. Først bestemmes konstantleddet, β: ( 2 5 β = + 2 = + 5 = 8 e 3 p Vi er nu bekendt med koordinatsættet (0, β=8 og kan bestemme hældningen, α: b (2 8 2 6 α = = = = Q 6 6 83

= α Q + β = Q + 8 Dette betyder, at afsætningsfunktionen skærer den lodrette akse i 8 og falder med, hver gang man vælger at afsætte én enhed mere. METODE 2 UDLEDNING AF UD FRA ET UNKT OG EN RISELASTICITET MED TILHØRENDE RIS ( = 2 (Q, og e p ved = 2 ( Hældning: α = Q ep (2 Konstantled: β = α (3 Konklusion: = αq + β Eksempel 6.C Der er i opgaveteksten givet et punkt M: (Q, = (5,28 og priselasticiteten e p( = 28 = 2. Det er yderligere antaget, at afsætningsfunktionen er lineær. Først bestemmes hældningen, α: 28 28 ( α = = = = -2,8 Q e 5 2 0 p Da hældningen ikke længere er ubekendt, er det muligt at bestemme konstantleddet, β: (2 β = α = 28 ( 2,8 5 = 42 (3 = α Q + β = 2,8Q + 42 Hvilket betyder, at afsætningsfunktionen skærer den lodrette akse i 42 og falder med 2,8, hver gang man vælger at afsætte én enhed mere. 84

6.4 Udledning af ud fra et punkt og en priselasticitet med tilhørende mængde Matematisk har vi altså: (Q, og e p ved Q 2 Igen eksisterer der to mulige scenarier: Q Q 2 (Metode 3 Q = Q 2 (Metode 4 METODE 3 UDLEDNING AF UD FRA ET UNKT OG EN RISELASTICITET MED TILHØRENDE MÆNGDE (Q Q 2 (Q, og e p = k ved Q Q 2. Bestem nyt punkt (Q max,0 : Qmax = Q2 ep + Q2 2. Hældning: 2 α = Q Q 2 3. Konstantled: β = α 4. Konklusion: = αq + β Eksempel 6.D Det er i opgaveteksten givet, at punkt M: (Q, = (40,20 og priselasticiteten i en anden kendt mængde e 2 p(q2 = 30 =. Det er yderligere antaget, 3 at afsætningsfunktionen er lineær. Først bestemmes Q max (den maksimale afsætning: 2 Q = Q e + Q = 30 + 30 = 50 3 ( max 2 p 2 Da der nu er vished om yderligere et punkt N: (Q 2, 2 = (50,0 på afsætningsfunktionen, kan hældningen, α, bestemmes: (2 2 0 20 20 α = = = = 2 Q Q 50 40 0 2 Da hældning ikke længere er ubekendt, er det muligt at bestemme konstantleddet, β: (2 β = α = 20 ( 2 40 = 00 85

(3 = α Q + β = 2Q + 00 Dette betyder, at afsætningsfunktionen skærer den lodrette akse i 00 og falder med 2, hver gang man vælger at afsætte én enhed mere. METODE 4 UDLEDNING AF UD FRA ET UNKT OG EN RISELASTICITET MED TILHØRENDE MÆNGDE (Q = Q 2 (Q, og e p ved Q = Q 2 ( Hældning: α = Q e p (2 Konstantled: β = α (3 Konklusion: = αq + β Eksempel 6.E Det er i opgaveteksten givet, at punkt M: (Q, = (8,72 og samtidig er priselasticiteten kendt i punktet e p(q = 8 = 2. Det er yderligere antaget, at afsætningsfunktionen er lineær. Først bestemmes hældningen: ( 72 α = = = 2 Q e 8 2 p Da hældning nu er kendt, er det muligt at bestemme konstantleddet, β: (2 β = α = 72 ( 2 8 = 08 (3 = α Q + β = 2Q + 08 Dette betyder, at afsætningsfunktionen skærer den lodrette akse i 08 og falder med 2, hver gang man vælger at afsætte én enhed mere. 86

6.5 Udledning af ud fra et punkt og en hældning Matematisk har vi altså: (Q, og hældningen. METODE 5 UDLEDNING AF OG AVC UD FRA ET UNKT OG EN HÆLDNING (Q, og α ( Hældningen, α, er givet (2 Konstantled: β = α (3 Konklusion: = αq + β Bemærk, at denne metode altid kan bruges, når du skal udlede linjens ligning ud fra et punkt og en hældning. Det kunne eksempelvis også være AVC funktionen, du skulle udlede ud fra et punkt og en hældning. Eksempel 6.F Det er i opgaveteksten givet, at punkt M: (Q, = (25,60 og vi får oplyst, at hældningen er = -2. Det er yderligere antaget, at afsætningsfunktionen er lineær. Konstantleddet bestemmes: (2 β = α = 60 ( 2 25 = 0 (3 = α Q + β = 2Q + 0 Dette betyder, at afsætningsfunktionen skærer den lodrette akse i 0 og falder med 2, hver gang man vælger at afsætte én enhed mere. 87

6.6 Udledning af ud fra en mængde og pris med hver deres priselasticitet Matematisk har vi altså: e p ved og e p2 ved Q 2 METODE 6 UDLEDNING AF UD FRA EN MÆNGDE OG RIS MED HVER DERES RISELASTICITET e p ved og e p2 ved Q 2 ( Konstantled: β = + e p (2 Bestem nyt punkt (Q max,0 : Qmax = Q2 ep2 + Q2 (3 Hældning: α = β Q max (4 Konklusion: = αq + β Eksempel 6.G Der er i opgaveteksten givet to priselasticitet e p( = 300 = 3, og e p2(q2 = 00 = 6. Det er yderligere antaget, at afsætningsfunktionen er lineær. Først bestemmes konstanten, som er den maksimale pris, man kan sætte: ( 300 β = + = + 300 = 400 e 3 p Derefter findes den mængde, vi maksimalt kan sælge: (2 Qmax = Q2 ep2 + Q2 = 00 6 + 00 = 700 88 Nu har vi fundet to punkter: (0, β = (0,400 og ( Q max,0 = (700,0. Når vi sætter den maksimale pris, er vores afsætning lig 0, og den maksimale mængde afsættes, når prisen er lig 0. Ved hjælp af de to punkter finder vi hældningen: β 400 4 (3 α = = = Q 700 7 max 4 (4 = α Q + β = Q + 700 7

Dette betyder, at afsætningsfunktionen skærer den lodrette akse i 700 og falder med 4, hver gang man vælger at afsætte én enhed mere. 7 6.7 Udledning af ud fra en hældning og en pris med tilhørende priselasticitet Matematisk har vi altså: e p ved og hældningen α METODE 7 UDLEDNING AF MED EN HÆLDNING OG EN RIS MED TILHØRENDE RISELASTICITET e p = k ved og α ( Bestem Q : = e α (2 Konstantled: β = α (3 Konklusion: = αq + β p Eksempel 6.H Der er i opgaveteksten givet en priselasticitet e p(= 80 = 4. Samtidig er hældningen på efterspørgselskurven oplyst til = -3. Det er yderligere antaget, at afsætningsfunktionen er lineær. Først bestemmes den tilhørende mængde, vi kan afsætte til. ( 80 = = = 5 e α 4 ( 3 p Konstantleddet kan bestemmes til: (2 β = α = 80 ( 3 5 = 225 (3 = α Q + β = 3Q + 225 Dette betyder, at afsætningsfunktionen skærer den lodrette akse i 225 og falder med 3, hver gang man vælger at afsætte én enhed mere. 89

6.8 Udledning af ud fra en hældning og en mængde med tilhørende priselasticitet Matematisk har vi altså: e p ved Q og hældningen α METODE 8 UDLEDNING AF UD FRA EN HÆLDNING OG EN MÆNGDE MED TILHØRENDE RISELASTICITET e p ved Q og α ( Bestem : = ep α (2 Konstantled: β = α (3 Konklusion: = αq + β Eksempel 6.I Der er i opgaveteksten givet en priselasticitet e p(= 250 = 2,5. Samtidig er hældningen på efterspørgselskurven oplyst til = -,5. Det er yderligere antaget, at afsætningsfunktionen er lineær. Først bestemmes den tilhørende pris, når vi afsætter en mængde af størrelsen Q : ( = k α = 2,5 250 (,5 = 937,5 Konstantleddet bestemmes til: (2 β = α = 937,5 (,5 250 = 32,5 (3 = α Q + β =,5Q + 32,5 Dette betyder, at afsætningsfunktionen skærer den lodrette akse i 32,5 og falder med,5, hver gang man vælger at afsætte én enhed mere. 90

Opgave 6.A Om -funktionen vides det, at den er lineær og går igennem de to punkter (2,28 og (8,4. Spørgsmål : Udled funktionen for. Opgave 6.B Om AVC-funktionen vides, at den går igennem punktet (2,4 og har hældningen 2. Efterspørgselsfunktionen går igennem punktet (4,4, og ved prisen 8 er priselasticiteten lig. Idet begge funktioner antages lineære, bedes du besvare nedenstående spørgsmål. Spørgsmål : Udled AVC-funktionen. Spørgsmål 2: Udled efterspørgselsfunktionen. Spørgsmål 3: Ved hvilken mængde er omsætningen (TR størst? Find løsningen på opgaverne på www.manukurser.dk 9