Matematik B-niveau 31. maj 2016 Delprøve 1

Matematik B-niveau 31. maj 2016 Delprøve 1 Opgave 1 - Ligninger og reduktion (a + b) (a b) + b (a + b) = a 2 ab + ab b 2 + ab + b 2 = a 2 + ab Opgave 2 - Eksponentiel funktion 23 + 2x = 15 2x 2 = 8 x = 4 2 Hvis man kigger på værdien f(x), når x = 0, så er f(0) = 5. For at bestemme fordoblingskonstanten, så ses der på den y-værdi der er dobbelt af 5. Dvs. at når y-værdien er 10, så aflæses værdien på x-aksen, dvs. at når f(x) = 10, så er x = 3. Altså er T 2 = 3. Opgave 3 - Differentialregning Funktionerne f(x) = 5x 2 og g(x) = 4 ln(x) + 7 Differentieres. f (x) = 5 2x 2 1 = 10x og g (x) = 4 1 x + 0 = 4 x. Opgave 4 - Andengradspolynomiet Andengradspolynomiet f(x) = x 2 8x + 15 Diskriminanten findes. d = b 2 4ac oplysningerne indsættes. d = ( 8) 2 4 1 15 = 64 60 = 4 x-værdierne findes. x = 8±2 2 = 5 3 Dette passer med opgavens forudsigelse. Toppunktet findes til førsteaksen. T x = b 2a = 8 2 = 4 T y = d 4a = 4 4 = 1 Så førstekoordinaten til toppunktet er x = 4

Opgave 5 - Integralregning Integralet er givet ved (6x 2 e x ) dx Stamfunktionen findes. 1 F(x) = 6 2+1 x2+1 e x + k = 2x 3 e x + k Som er stamfunktionen til f. Opgave 6 - Lineære funktioner Tabellen er givet ved oplysninger. Der vælges for nr. 1 og nr. 2. Så funktionen a = y 2 y 1 x 2 x 1 = 7 4 1 0 = 3 1 = 3 b = y 1 ax 1 = 4 3 0 = 4 f(x) = 3x + 4 Der gøres prøve og ses, om den går gennem alle punkter. Der indsættes i x-værdierne. f(0) = 3 0 + 4 = 4 f(1) = 3 1 + 4 = 7 f(2) = 3 2 + 4 = 10 f(3) = 3 3 + 4 = 13 Dvs. at den lineære model kan ikke bruges i denne sammenhæng.

Matematik B-niveau 31. maj 2016 Delprøve 2 Opgave 7 - Eksponentielle funktioner a) Opgaven handler om eksponentiel regression og dette udføres via Maple 2016. I forskriften over grafen kan man aflæse hhv. b og a værdierne. Værdien a aflæses til: 1.5766 og b aflæses til: 6.2610 Dette giver forskriften f(x) = 6.2610 1.5766 x Som beskriver den globale solenergi, målt i GW. b) Tallet a skal omregnes til procent, da der er tale om en eksponentiel udvikling. a = 1 + r Tallet a indsættes og løses for r. 1.5766 = 1 + r r = (0.5766) 100 = 57.66% Dvs. at for hvert år efter 2006 stiger udviklingen med 57.6% c) Året for den installerede solenergi kan regnes ved at sætte 1000 lig med f(x). 6.2610 1.5766 x = 1000 6.2610 1.5766 x = 1000 6.2610 6.2610 1.5766 x = 1000 6.2610 x log 10 (1.5766) log 10 (1.5766) x = 11.143 Dette lægges til år 2006. x log 10 (1.5766) = log 10 ( 1000 6.2610 ) = log 10 ( 1000 6.2610 ) log 10 (1.5766)

2006 + 11 = 2017 Så i år 2017 vil udviklingen af den installerede solenergi være 1000GW. I Maple 2016 kunne man benytte sig af solve funktionen. Opgave 8 - Geometri a) Man kan bestemme hypotenusen ved hjælp af cosinusrelationerne. AB = AC 2 + BC 2 + 2 AC BC cos(c) Oplysningerne fra figuren indsættes. AB = 10.5 2 + 12.1 2 2 10.5 12.1 cos(101.8 o ) = 17.567 Som er længden af hypotenusen AB. I Maple 2016 kunne dette udføres ved dens trekantsberegner. b) Det oplyses, at arealet af trekanten BCD er 93. Det oplyses endvidere, at trekantens længde BC er 12.1. Da mangler man kun vinkel C for at kunne udregne længden CD. Vinkel C udregnes ved 180 o 101.8 o = 78.2 o Disse oplysninger er nok til at regne CD, da vinkel C nu er bestemt. 1 appelsinformlen for 2 vilkårlige trekanter anvendes. 93 = 1 2 12.1 CD sin(78.2o ) 93 6.05 sin(78.2 o ) = 6.05 CD sin(78.2o ) 6.05 sin(78.2 o )

93 CD = 6.05 sin(78.2 o ) = 15.703 Dette er den passende længde af CD i trekanten BCD. Opgave 9 - Lineære funktioner a) Opgavens informationer aflæses og heraf ses det, at dette er en lineær udvikling i antal medlemmer af et fitnesscenter. Værdien a aflæses til: 43 000 og b aflæses til: 460 000. Det er nok til at kunne opstille modellen f(x) = 43000 x + 460000 Der beskriver udviklingen fra år 2006 til 2010 af medlemmer. I år 2006 var antallet af medlemmer 460 000 personer, og dette forventes stigende med 43 000 pr. år til år 2010. b) Det oplyses, at i år 2014 vil der være 810 000 medlemmer. Dette undersøges ved at finde en x værdi. Det oplyses, at det er i år 2014, så man ønsker at finde den x-værdi der kan anvendes. Derfor 2014 2006 = 8 Dette indsættes i x f(8) = 43000 8 + 460000 = 804000 Så der er en lille difference med 6000 medlemmer, så det viser, at modellen ikke passer efter år 2010. Opgave 10 - Potensfunktioner a) Modellen for en dybhavsfisk Zenopsis conchifera er givet ved m = 0.025 L 2.70 Det forventes, at man finder fiskens vægt af en 35 cm fist. Derfor indsættes 35 i L. m = 0.025 35 2.70 = 368.912 Fisken der er 35 cm lang vil have en vægt på 368.912 gram. Alternativt kunne dette udregnes i Maple 2016: b) Der skal undersøges for, hvor meget fiskens vægt øges med, når dens længde øges med 25%. Derfor defineres r x = 25 = 1 = 0.25 som anvendes i formlen nedenfor: 100 4 r y = ((1 + r x ) a 1) 100 Heri indsættes oplysningerne. r y = ((1 + ( 25 2.70 100 )) 1) 100 = 82.665% Så når fiskens længde øges med 25%, så øges vægten med 82.6

Opgave 11 - Differentialregning a) Man starter med at differentiere f(x) = 0.125x 3 4.5x 2 + 48x 151 Ved differentiering fås f (x) = 0.375x 2 9x + 48 Dette er en alm. andengradsligning. Den kan løses ved diskriminanten. Men der anvendes Maple 2016. Det ses, at alle rødderne er reelle, så man kan roligt slappe af. Inden de lokale ekstrema findes, findes monotoniforholdet over funktionen Vi gør prøve og ser hvordan f(x) forløber sig. De lokale ekstrema findes ved indsættelse af rødderne for den afledede. f(8) = 0.125 8 3 4.5 8 2 + 48 8 151 = 9 f(16) = 0.125 16 3 4.5 16 2 + 48 16 151 = 23 Da ved man, at f har lokal maks. I x = 8, og aflæsning af y-aksens ses 9. f har lokal min. I x = 16, og aflæsning af y-aksens ses 23. Dette påvises i GeoGebra.

b) Ligningen for tangenten til grafen for x regnes ved hjælp af punktet P = (4, f(4)). Dette indsættes i den afledede og den alm. funktion. f(4) = 0.125 4 3 4.5 4 2 + 48 4 151 = 23 f (4) = 0.375 4 2 9 4 + 48 = 18 Dette kan anvendes til at opstille en tangentligning. y = f (x 0 )(x x 0 ) + f(x 0 ) Deri indsættes oplysningerne. y = 18(x 4) 23 y = 18x 95 Som er tangentlinjen gennem punktet P(4, f(4)) c) Det oplyses nu, at man får hældningskoefficienten 4.5. Der skal bestemmes førstekoordinaterne til hver af tangenterne. Dette kan gøres ved at sætte 4.5 lig med den afledede funktion. Dette gøres i Maple 2016. Her fås to x værdier der hver er førstekoordinaterne til tangenterne for grafen. Dvs. tangentlinjen ved x = 14 er parallel med tangentlinjen ved x = 10. I GeoGebra vises det.

Opgave 12 - Integralregning a) Denne opgave kan laves på mange måder. I Maple 2016, GeoGebra, men også i hånden. Det oplyses, at x = 3 er en grænseværdi. Det antages, at x = 0 også er en grænseværdi. Derved har man: 3 M = (0.5x 2 + 1) dx = [ 1 0 2 1 3 x2+1 + 1 x]0 = 7.5 0 = 7.5 Som er arealet af M. I Maple 2016 gøres det sådan: 3 = [ 1 3 6 x3 + x] = [ 1 0 6 33 + 3] [ 1 6 03 + 0] I GeoGebra gøres det sådan: b) Den løses hurtigt i Maple, men anvendelse af indskudsreglen kan også benyttes. På næste side ses det, hvordan man løser den alm.

Den løses også i hånden k 3.75 = (0.5x 2 + 1) Løses en ligning for k 0 Dette gøres også ved det andet integral. 3.75 = (0.5x 2 + 1) k 3 Løses en ligning for k = [ 1 2 1 k 3 x2+1 + 1 x]0 [ 1 6 k3 + k] 0 = 3.75 k = 2.13 = [ 1 2 1 3 x2+1 + 1 x]k 7.5 [ 1 6 k3 + k] = 3.75 k = 2.13 3 = [ 1 k 6 x3 + x] = [ 1 0 6 k3 + k] 0 = [ 1 3 6 x3 + x] = [ 1 k 6 33 + 3] [ 1 6 k3 + k] Heraf fås den samme k-værdi, så k angiver midterlinjen for hvornår M 1 og M 2 har præcise samme areal. Dette påvises i GeoGebra. Her fås en cirka værdi. Slut på opgavesæt.