Paradokser og Opgaver Mogens Esrom Larsen (MEL) Vi modtager meget gerne lserbesvarelser af opgaverne, samt forslag til nye opgaver enten per mail (gamma@nbi.dk) eller per almindelig post (se adresse pa bagsiden). Frste indsendte, korrekte lsning til en af de stillede opgaver bringes i nste nummer af Gamma. Igen stiller Mogens Esrom Larsen nogle drilske sprgsmal, hvorefter lsningerne pa sidste nummers opgaver gives. En af opgaverne, nemlig opgaven om de lystige kroner, er blevet besvaret af vores lser, Mikkel Winther Jurgensen, der gar i 2. g. pa Kolding Amts Gymnasium. Skovturen Arrangren af institutskovturen, Jorg Trinkwasser, var fanatisk afholdsmand. Han ville derfor forsge at lokke deltagerne til at miste chancen for en snaps til frokosten ved at foresla flgende julileg: Han stillede 50 lukkede kasser pa rkke, og i hver kasse lagde han navnet pa en af de 50 deltagere, sa hvert navn la i en og kun en kasse. Nu foreslog han deltagerne at ga ind til kasserne en ad gangen og abne 25 kasser. Hvis nu det lykkedes for samtlige deltager at nde sit eget navn i en af de abnede kasser, sa skulle der serveres snaps til frokost. Deltagerne drftede om det ikke var lidt for chancelst. Hvis hver deltager valgte 25 tilfldigt ud, sa var chancen for en snaps jo 1 50, et ikke 2 sa stor tal igen. Den snapseglade Jeppe Borwein mente, at man kunne forge chancen lidt. Man matte jo sikre sig, at alle kasser blev abnet. Var der f. eks. 2 deltagere, var deres bedste strategi jo at aftale at abne hver sin kasse. Er der et godt forslag til de snapseglade? 51
Paradokser og opgaver Gamma 143 Barneleg { 1 Lille Peter Dummkopf sidder og leger med sine klodser. Han har 9 klodser, og pa dem star tallene fra 1 til 9. Stiller han nogle af dem pa rkke, danner de jo et tal. Nogle af tallene er primtal. Hvad er det strste primtal, han kan fa frem pa denne made? Barneleg { 2 Efter at have fundet lsningen, kaster Peter sig i stedet over sine puslebrikker: han har 3 u-formede og 5 i-formede: Han prver nu pa, om han kan dkke de 3 U-er med de 5 I-er uden at lade de ens brikker lappe over hinanden. Vil det lykkes for ham? De glemte byttepenge Der var udsalg hos den lokale matematiker. Man kunne kbe 100 formler for 5 kr. stykket, sa det var ikke underligt, at ved udsalgets start kl. 7 om morgenen var der allerede en k pa 100 begejstrede amatrer. I sin distraktion havde matematikeren glemt at fa byttepengene med, men det kunne maske lade sig gre at fa solgt de 100 formler alligevel. Faktisk havde 50 af personerne i ken lige penge, mens de vrige 50 kun havde en 10 krone. Sa hvis vi var sa heldige, at de 50 med femmerne stod forrest, sa kunne det jo sagtens ga. Selvflgelig kunne man ogsa tnke sig, at folk snakkede sammen og sa videre. Men egentlig kunne matematikeren ikke lide at indrmme, at han ikke havde husket byttepengene. 52
Gamma 143 Paradokser og opgaver Problemet er, hvor stor er sandsynligheden for, at ingen opdager, at der mangler byttepenge? Altsa, hvad er sandsynligheden for, at for hver 10'er i ken er der en 5'er, der kommer fr 10'eren til kassen? Et trekantet problem Der er givet tre parallelle linier. Man skal sa i al sin enkelhed konstruere en ligesidet trekant, der har et hjrne pa hver af de tre parallelle linier. 53
Paradokser og opgaver Gamma 143 Svar - de lystige kroner Problemet er illustreret pa tegningen, der viser seks mnter placeret i en trekant pa et bord. Opgaven gik ud pa at bestemme om den verste mnt (C), altid vil ligge lige langt fra de to nederste, hjrnemnter (A og F). C B E A D F Hver centrum af cirklerne har faet tildelt et bogstav og stregerne indikerer alle de cirkler hvis centrum har lige prcis 2 radius afstand imellem hinanden. Derfor glder at lngderne AB = BC = CE = BD = DE = EF = 2 radius Firkanten BCED ma derfor danne et parallelogram da alle siderne er lige lange. Hvis man sa forestiller sig alle lngderne som vektorer far man at flgende vektorer har samme kordinater:?! BC =?! DE og?! BD =?! CE Da jbdj og jbaj er lige lange og mdes i et flles punkt ma vi logisk konkludere at vektor BD og vektor AB har de samme koordinater bortset fra modsat fortegn i j-koordinaterne. Koordinaterne for?! BD bliver saledes i?!?j og for AB bliver det i?! j Det samme kan nu gres med vektorerne BC og?! EF, og ved at bruge tallene i 1 og j 1, fas koordinaterne:?! DE = i 1 j 1 og?! EF = i1?!?!?!?j 1. Vektoren AC vil sa vre givet ved AB + BC, eller i j + i1 j?! 1. Tilsvarende er = i 1 +i j 1 +j CF = i1 +i?j 1?j. Vi har nu to vektorer, som spnder over lngderne AC og CF og vi kan se at de er ens bortset fra at de har modsat fortegn i j-koordinaterne. Dog har dette ingen betydning nar man udregner lngden af dem da 54
Gamma 143 Paradokser og opgaver fortegnene kun indikere retningen. Dette kan bevises ved at udregne de to lngder med Pythagoras' stning: jacj = (i 1 + i) 2 + (j 1 + j) 2 = i 2 1 + i 2 + 2 i 1 i + j 2 1 + j 2 + 2 j 1 j og jcf j = (i 1 + i) 2 + (?j 1? j) 2 = i 2 1 + i 2 + 2 i 1 i + j 2 1 + j 2 + 2 j 1 j Og dermed er jacj = jcf j Og det vil sige at svaret til sprgsmalet er: Ja den vil altid vre lige langt fra de to yderste mnter. Mikkel Winther Jurgensen Svar - Til ss I sidste nummer skulle vi hjlpe hvdingen af paskeerne med at nde den lngste vandskirute indenfor koralrevet (de to overlappende cirkelbuer), der lige netop tangerede hans hytte (A). D A C B Banen skal vlges parallel med centerforbindelseslinien. Ligegyldigt hvordan vi lgger en ret linie gennem A, sa vil vinklerne C og D blive de samme, nemlig halvdelen af buen AB. Alle mulige trekanter 4BCD bliver derfor ensvinklede, sa hvdingen far den lngste vandskitur (afstanden CD), ved at vlge siden BC eller BD lngst mulig. Dvs. som diameter i den pagldende cirkel. Det bliver de heldigvis samtidig. Svar - Fluen i asken Af uransaglige grunde, var en 4 cm lang tndstik havnet i en aske med bund-radius 5 cm, og svovlhovedet la prc is i midten af asken. Samtidig slingrede en fordrukken ue rundt pa askens yderkant. Opgaven gik sa ud 55
Paradokser og opgaver Gamma 143 pa at placere uen, sa lngden af tndstikken (fra uens synspunkt) syntes strst. uen 4 cm 5 cm svovlhoved Svaret er 3 cm fra tndstikkens ende. Hvis vi lader uen sidde, og blot roterer tndstikken om svovlet, sa er det klart, at den synes strst, nar sigtelinien fra ue til tndstikende er tangent til den cirkel, tndstikken beskriver. Sa afstanden bliver den ene katete i en retvinklet trekant med hypotenuse 5 cm og den anden katete 4 cm. Svar - Vejerboden Opgaven var en variant af den tidlse 'kugler pa vgten' opstilling. Denne gang skulle den aparte kugle ndes blandt 14 kugler, vha. 3 vejninger og et lod med samme vgt som de 13 andre. Lad os kalde kuglerne 1{14. Vi vejer nu 1{5 mod 6{9 + loddet. Hvis der er ligevgt, sa er den aparte blandt 10{14. Vi vejer sa 10{11 mod 12+loddet. Er der ligevgt, vejer vi 13 mod loddet. Hvis 10{11 mod 12+loddet giver udslag, vejer vi 10 mod 11. Hvis nu 10 gar ned og 11 op, ser vi pa, om 10+11 gik op. I sa fald er den aparte 11, ellers er det 10. Hvis derimod 1{5 gik op og 6{9+loddet ned, sa vejes 1,2,6,7 mod 3,8,10,11. Gar nu 1,2,6,7 atter op, sa er enten 8 tungere eller 1 eller 2 lettere. Derfor vejes 1 mod 2. Gar derimod 1,2,6,7 ned, sa er enten 3 56
Gamma 143 Paradokser og opgaver lettere eller 6 eller 7 tungere. Det afgres med 6 og 7 pa hver sin skal. Er endelig 1,2,6,7 i ligevgt med 3,8.10,11, sa er den aparte jo en af 4, 5, der er lettere eller 9, der er tungere. Det afgres af 4 mod 5. 57