Alger, ligninger og uligheder I dette kpitel skl du rejde med ligninger og uligheder. Et esøg på Bkken kn give nledning til mnge overvejelser over priser. Det kunne fx være den smlede pris for turen og det ntl forlystelser, der kn prøves. Hvor mnge forlystelser kn jeg køre i, før det edst kn etle sig med et Turånd? Du hr tidligere rejdet med ligninger i forindelse med forskellige prolemstillinger. I dette kpitel skl du også rejde med uligheder. Hensigten er, t du får flere erfringer med t ruge ligninger og uligheder som redsker til t løse mtemtiske prolemstillinger. Det kn være hensigtsmæssigt t nvende digitle værktøjer, når du rejder med kpitlet. MÅL, FAGORD OG BEGREBER Målet er, t du: Du skl rejde med: kn ruge vrile i regneudtryk og formler prentesregler kn nvende og får overlik over forskellige kvdrtsætninger prentesregler reduktion kn undersøge og udvikle regler til t løse ligninger ligninger og uligheder med og uden digitle uligheder værktøjer intervller. kn løse ligninger og uligheder åde lgerisk og grfisk kn nvende ligninger og uligheder til prolemløsning i mtemtik. OPGAVE 3 Krl hr en tendens til t skrive lt for mnge prenteser i sine regneudtryk. Herunder kn du se tre f Krls regneudtryk. 3 + () 3 + ( (6 + ) + 7) ( + ()) + 7 ( + ) () + ( 6) () Se på de tre regneudtryk, og A fjern de unødvendige prenteser. B gør rede for, hvorfor de er unødvendige. C reducer udtrykket. OPGAVE Ptrick og Mikkel er rødre og tilsmmen er de 31 år. Ptrick er år ældre end Mikkel. A Hvor gmle er Mikkel og Ptrick? B Forklr, hvordn du fndt ud f, hvor gmle de er. C Brug ligninger til t eregne, hvor gmle Mikkel og Ptrick er. D Lv en lignende opgve med din egen fmilie. Byt opgve med din mkker, og løs hinndens opgver. OPGAVE Mille og Mikkel får en smiley, hver gng de hjælper til derhjemme. Efter fire måneder ser regnsket sådn ud: Smiley Mille 380 Mikkel 0 ALGEBRA, LIGNINGER OG ULIGHEDER 37 OPGAVE 6 Mrinne hr løst ligningen (3 + x) + = x + 18. Hun hr løst den som vist herunder. 1 + x + = x + 18 x x + 17 = 18 x = 18 17 x = 1 A Skriv forklringer ud for hvert skridt i ligningsløsningen, hvor du lndt ndet ngiver, hvilke regler, der er rugt. B Løs ligningerne herunder. For hvert skridt du tger ved løsningen, skl du forklre, hvd du gør og ngive, hvilken regel du hr rugt.. (x 3) 3 = x + 10. x 3 3 = (x 0) : 3 OPGAVE 7 Adrin er kommet til t viske for meget f sine ligninger ud, og nu kn hn ikke huske, om x = 7 eller x = 9. Hvordn kunne de færdige ligninger se ud, hvis x = 9? Hvordn kunne de se ud, hvis x = 7? A 3 + 9 = x + B (x + 3) = C 3x = (x ) + D 3x + 9 = FORHÅNDSVIDEN OPGAVE 1 Her ser du et udtryk: 3 + + 10 A Hvor mnge led er der i udtrykket? B Reducer udtrykket mest muligt. C Hvor mnge led er der i det reducerede udtryk? D Giv to forskellige eksempler på, hvilke værdier og kn hve, hvis udtrykket skl give. OPGAVE x 1 A Skriv et regneudtryk, der viser, hvordn du x kn eregne omkredsen f rektnglet. Udtrykket skl være så kort som muligt B Hvilke f nedenstående seks regneudtryk kn du ruge til t eregne rektnglets rel? 6x 1 (x 1) + x x x x 1 + x x x (x 1)x C Beregn relet og omkredsen f rektnglet, når x = 9, cm. Mikkel og Milles mor tilyder t veksle deres smileys til en tlet, der koster 3300 kr. A Den pris, Mikkels og Milles mor vil etle for en smiley, klder vi x. Opstil en ligning, der kn ruges til t eregne denne pris. B Hvor mnge penge er én smiley værd, hvis Mille og Mikkel veksler deres smileys til en tlet? Mikkel og Milles mor giver dem også et tilud om, t vente til de hr tjent 110 smileys, som de så kn veksle til en computer, der koster 609 kr. C Kn det edst etle sig t veksle til en tlet eller en computer, hvis mn vil hve den edste pris pr. smiley?
38 ALGEBRA, LIGNINGER OG ULIGHEDER ALGEBRA, LIGNINGER OG ULIGHEDER 39 PARENTESREGLER Tl, der i et regneudtryk dskilles f + (plustegn) eller (minustegn) kldes led. I regneudtryk, hvori der indgår en plusprentes eller en minusprentes, tælles prentesen som ét led. OMSKRIVNING OPGAVE 8 Reducer regneudtrykkene. Hvor mnge led er der, før og efter du hr reduceret? A 3x + 9 3 + B (3 + 7 c + ) C ( c) D + 9 3 + E 3 + 7 + F ( ) G + ( ) OPGAVE 11 Skriv to forskellige udtryk til hver figur, der eskriver figurens smlede omkreds. Det stiplede linjestykke er en åning, og det skl trækkes fr. Det ene udtryk skl indeholde mindst én prentes. A OPGAVE 1 Omskriv regneudtrykkene ved t gnge ind i prenteserne. A ( + ) B ( + c d) C ( + 6) D c ( + 3c) E c( + ) + d( + ) Plusprenteser kn mn hæve uden t ændre fortegn. + ( c + d) = + cc+ d OPGAVE 9 Tegn figurer, der psser til regneudtrykkene. A ( + 1 + ) 3 7 Minusprenteser kn mn hæve, hvis mn smtidig ændrer fortegn på lle leddene i prentesen. ( + c d ) = c + d d B ( + 3 + ) C ( + + c) D Omskriv udtrykkene ved t gnge ind i prenteserne. MULTIPLIKATION AF EN FLERLEDDET STØRRELSE MED ET TAL Mn gnger en flerleddet størrelse med et ndet tl ved t gnge hvert led med tllet. ( + c + d) = + c + d = + c + c d OPGAVE 10 Beregn A 3 B ( 8 + ) C (7 + ) D (9 + 3 + c 3) E 7 (9 7) B 6 6 c d F I udtrykket fr spørgsmål B sætter vi = 7. Fx 3 (1 + + ) = 3 1 + 3 + 3 = 1 ( + c d) = + c d = + c Fx (3 + 1) = 3 + 1 = 1 Hvilken værdi skl c i udtryk D så mindst hve, hvis resulttet f dette udtryk skl være det største f de fem resultter i A-E? G I udtrykket fr spørgsmål D sætter vi c =. Hvilken værdi kn i udtryk B så højst hve, hvis resulttet f dette udtryk skl være det mindste f de fem resultter i A-E? C 7 OPGAVE 13 Emilie, Ien og Alm deler to visruter. De hr fået udetlt 1070 kr. i lt i løn, som de skl dele mellem sig. På grund f ferie og sygdom hr de ikke delt lige mnge viser ud, hvorfor de heller ikke deler pengene ligeligt i mellem sig. Emilie får x kroner. 9 8 Ien får 80 kr. mere end Emilie. Alm får tre gnge så mnge penge som Ien. A Vis med et regneudtryk (udtrykt ved x), hvor mnge penge Ien får. B Vis med et regneudtryk (udtrykt ved x), hvor 3 3 mnge penge Alm får. C Vis med et regneudtryk (udtrykt ved x), hvor mnge penge de tre piger får til smmen. D Skriv en ligning, og find ud f, hvor mnge penge Emilie i virkeligheden får. E Hvor mnge penge får Ien? F Hvor mnge penge får Alm?
0 ALGEBRA, LIGNINGER OG ULIGHEDER ALGEBRA, LIGNINGER OG ULIGHEDER 1 FLERE PARENTESREGLER MULTIPLIKATION AF FLERLEDDEDE STØRRELSER Mn gnger to prenteser med flere led ved t gnge hvert led i den ene prentes med hvert led i den nden prentes. ( + ) (c + d) = c + d + c + d c c c d d d ( + ) (c d) = c d + c d c d d d OPGAVE 1 3 OPGAVE 1 Brug evt. tegningen i teorioksen, og forklr reglen A ( + ) (c + d) = c + d + c + d B ( + ) (c d) = c d + c d OPGAVE 16 Tegn og forklr, hvordn I kn omskrive regneudtrykkene. A ( + ) (1 ) B ( 3) (6 + 6) C ( ) ( 3 7) D (11 3) ( + 7) E (3 + 10) (0 3) OPGAVE 17 Find resulttet f regneudtrykkene. A ( + ) (1 + ) B (3 + ) ( + 3) C (x + ) ( 3 + y) D (8 + ) ( + 1) E (3 + ) ( + 3) OPGAVE 18 Beregn A værdien f x. B reknglets rel. Omkreds : 70 x + 6 OPGAVE 19 Beregn rektnglets A længde. B redde. C rel. OPGAVE 0 OPGAVE 1 3 3 Figur 1 Figur 3 A Find mindst otte rektngler med forskellige reler på tegningen ovenfor. B Hvd er relet f hvert f de fire urudte rektngler på tegningen? C Brug tegningen til t forklre og udregne (1 + 3) ( ). D Skift et f tllene på tegningen ud med tllet og vis, hvilken etydning det får for udregningen i A. OPGAVE 1 A Tegn det kvdrt, der hr dette rel: ( + 1 + ) (6 + ). B Forklr, hvordn mn kn gnge to prenteser, hvor den ene eller egge prenteser indeholder mere end to led. OPGAVE Skriv et vlgfrit regneudtryk, hvor to prenteser med mindst to led i hver prentes, liver gnget med hinnden. A Tegn en skitse f det rektngel, som regnestykket viser. B Beregn rektnglets sidelængder og dets rel. C Byt regneudtryk med din mkker og gentg A og B. Figur Figur Skriv et regneudtryk, og reducer mest muligt, for relet f A figur 1. B figur. C figur 3. D figur. E figur 1 + figur + figur 3. F den smlede figur. G Skriv to forskellige regneudtryk for omkredsen f den smlede figur. A Brug tegningen til t forklre, hvorfor (3 + ) ( + ) = 3( + ) + ( + ). B Skriv to ndre regneudtryk, der psser til tegningen. Omkreds : 70 x 3 OPGAVE 3 Tegn og reducer regneudtrykkene. A (3 + )( + ) B ( )( + ) (3x + )
ALGEBRA, LIGNINGER OG ULIGHEDER ALGEBRA, LIGNINGER OG ULIGHEDER 3 KVADRATSÆTNINGERNE En prentes med de to led og multipliceret med en nden prentes med de smme to led og, kn skrives på tre forskellige måder. ( + ) ( + ) ( ) ( ) ( + ) ( ) Disse tre smmenhænge er kendt som kvdrtsætningerne. Her er en udregning f de tre kvdrtsætninger. 1. Kvdrtet på en toleddet størrelse med ddition: ( + ) = ( + ) ( + ) = + + Kvdrtet på en toleddet størrelse med ddition er lig med kvdrtet på første led plus kvdrtet på ndet led plus det doelte produkt f de to led.. Kvdrtet på en toleddet størrelse med sutrktion: ( ) = ( ) ( ) = + Kvdrtet på en toleddet størrelse med sutrktion er lig med kvdrtet på første led plus kvdrtet på ndet led minus det doelte produkt f de to led. 3. To tls sum gnge de smme to tls differens: ( + ) ( ) = To tls sum gnge de smme to tls differens er lig med første tls kvdrt minus ndet tls kvdrt. OPGAVE OPGAVE 8 Tegn og forklr, hvordn du kn omskrive regneudtrykkene. A ( + ) B (3 + ) C ( + 3) D ( + ) A Hvilken f de tre kvdrtsætninger psser den geometriske repræsenttion til? OPGAVE 9 B Kvdrtet er opdelt i fire dele, to f delene kn Beregn værdien f regneudtrykkene i opgve 6, når udtrykkes ved () og ( ). Hvd kn de to sidste A = 3 og =? dele udtrykkes ved? B = og = 3? C Udregn kvdrtet størrelse, når = og =. C = og = 3? D Forklr kvdrtsætningen ved rug f figuren. OPGAVE 30 OPGAVE 6 Reducer regneudtrykkene. A ( ) B ( ) C ( + ) ( ) D ( ) ( + 3) A Hvilken f de tre kvdrtsætninger psser den OPGAVE 31 geometriske repræsenttion til? Beregn værdien f regneudtrykkene i opgve 8, når B Hvd er størrelsen f de fire dele, kvdrtet er A = og = 6? opdelt i? B = og = 6? C Udregn det frvede kvdrts størrelse, når = og = 3. OPGAVE 3 D Forklr kvdrtsætningen ved rug f figuren. Egil står på en plde med en pind i hver hånd. Hn siger Pldens ene side er lige så lng som egge OPGAVE 7 mine pinde tilsmmen, og den nden side er lige så lng som den længste pind minus den korteste pind. A Tegn en skitse f situtionen. B Skriv et regneudtryk, der eskriver pldens mål. C Hvd er pldens rel, hvis den ene pind er = 1 meter, og den nden pind er 1, meter? D Skriv et regneudtryk og rel for en nden plde, hvor pindene hr smme længde som i C, og denne plde på egge ledder hr plds til de to pinde i forlængelse f hinnden to gnge. E Hvor store er plderne i C og D, hvis egge A Hvilken f de tre kvdrtsætninger, psser den pinde er 1, m? geometriske repræsenttion til? B Hvd er størrelsen f de fire dele, kvdrtet er opdelt i? C Udregn det frvede områdes størrelse, når = 8 og =. D Forklr kvdrtsætningen ved rug f figuren. OPGAVE 33 Du skl rejde smmen med din mkker i denne opgve. A Udregn følgende multipliktionsstykker: 1 1 16 1 17 13 18 1 19 11 De sidste fire multipliktionsstykker kn opskrives som (1 + ) (1 ), hvor er et f tllene 1,, 3 eller. For eksempel er 16 1 = (1 + 1) (1 1). B Hvd er i hver er de tre sidste gngestykker? C Gør rede for, hvordn reglen om to tls sum gnge de smme to tls differens kn ruges til t udregne produkterne. D Udregn følgende multipliktionsstykker: 6 7 3 8 E Multipliktionsstykkerne kn opskrives som ( + ) ( ), hvor er det smme tl i lle tre opgver. Hvd er og i hver f opgverne? F Fremstil tre opgver efter smme mønster. Byt med din mkker og regn hinndens opgver. Tl smmen om opgverne, og gør rede for, hvilke værdier f og i hver især hr nvendt.
ALGEBRA, LIGNINGER OG ULIGHEDER ALGEBRA, LIGNINGER OG ULIGHEDER GRAFISK LØSNING AF LIGNINGER Du kn løse ligninger grfisk. Ligningen herunder kn løses grfisk. 3x + = x + Hver side i ligningen er regneudtrykket for en lineær funktion med forskrifterne: y = 3x + y = x + I koordintsystemet er grferne for de to funktioner tegnet ind. ( 1,) 7 6 3 1 0 3 1 0 1 3 1 3 y Løsningen til ligningen er t finde den x-værdi, hvor egge sider f lighedstegnet får smme værdi. De to grfer skærer hinnden i punktet ( 1, ). Det etyder, t for x = 1 vil egge sider f ligheds tegnet være. Løsningen til ligningen 3x + = x + er x = 1. x Du kn ruge et digitlt værktøj til løsning f en del f opgverne på dette opslg. OPGAVE 3 A Kontroller ved en eregning, t x = 1 er løsningen til ligningen i teorioksen. OPGAVE 3 Løs ligningerne grfisk. A x + 3 = 7x B x 7 = x + C x + 9 = 3x 3 D 6x + 3 = 9x 1 OPGAVE 36 Berit og Louise strter med smme elø i deres pung. Berit køer tre nner og hr fem kroner tilge. Louise køer fem nner og hr to kroner tilge. De skriver ligningen: 3x + = x +. A Løs ligningen grfisk. B Hvd koster nnerne pr. stk., og hvor mnge penge hvde de to piger, før de køte nnerne? Kj hr kroner mere end Ketil. Hun køer fire lotterisedler og hr 10 kroner tilge. Ketil køer syv lotterisedler, men liver nødt til t låne fire kroner f Kj. Alln og Brin kigger på en hjemmeside, hvor lle spil koster det smme. De får det smme elø f deres mor. Alln køer tre spil og hr 60 kroner tilge. Brin køer fem spil og hr 10 kroner tilge. C Skriv en ligning til hver f de to historier. Løs ligningen grfisk. D Hvd koster lotterisedlerne og spillene? E Hvor mnge penge hvde ørnene hver især, før deres kø. OPGAVE 37 Reducer ligningerne og løs dem åde grfisk og ved hjælp f CAS. A 3(x + 1) (x + ) = (x ) B (3x - ) = x( + 1) + (3 + ) (3 ) C x( + 3) (x + 3) = 3(x x) + ( 1) D 3x( + 1) 8x = E Hvilket digitlt værktøj kn du edst løse ligningerne med? Forklr hvorfor. OPGAVE 38 Løs opgven smmen med din mkker. Pernille, Peder, Henning og Kristin tger hver 180 skridt i minuttet, når de løer, men deres skridtlængde er meget forskellige. Pernille hr en skridtlængde på 0,9 m. Peder hr en skridtlængde på 1 m. Henning hr en skridtlængde på 1,1 m. Kristin hr en skridtlængde på 1, m. Den ene f jer skl løse nedenstående opgver grfisk og den nden ved hjælp f CAS. A Kristin og Peder løer smtidig, men Peder hr et forspring på 30 m. Skriv en ligning, der viser, hvornår Kristin overhler Peder. B Henning og Pernille løer smtidig, men Pernille her et forspring på m. Skriv en ligning, der viser, hvornår Henning overhler Pernille. C Kristin og Pernille løer smtidig, men Pernille hr et forspring på 1 m. Skriv en ligning, der viser, hvornår Kristin overhler Pernille. D Tl om, hvilket digitlt værktøj I helst vil ruge til løsning f opgverne. E Mål jeres egen skridtlængde og lv en ligning, der viser, hvilket forspring en f jer skl hve, hvis I skl løe lige lngt efter 100 skridt. OPGAVE 39 Du skl rejde smmen med din mkker, og I skl løse opgven med digitle værktøjer. Det er i dg lovpligtigt t energimærke en række forskelligt elektronisk udstyr. Energimærket viser, hvor meget strøm fx et kølesk ruger om året. I kn også se oplysninger om fx volumen (L) og lydniveuet på energimærket. Køleske, frysere og køle-/fryseske er energimærket på en skl fr A+++ til D. De mest energieffektive modeller er mærket med A+++. I skl i denne opgve undersøge, om det kn etle sig, t køe et illigt køle-/frysesk med lidt dårligere energi mærke, eller om det edre kn etle sig, t køe et dyrere et med et edre energimærke. Et køle-/frysesk hr en gennemsnitlig levetid på cirk 13 år. 1 kwh koster, kr. (016). KØLE-/FRYSESKAB A+++ Pris 700 kr. Energiforrug 178,00 kwh/år KØLE-/FRYSESKAB A++ Pris 300 kr. Energiforrug,00 kwh/år KØLE-/FRYSESKAB A+ Pris 00 kr. Energiforrug 3,00 kwh/år A Hvd koster elforruget for de tre køle-/fryseske pr. år? B Beregn de smlede udgifter for de tre køle-/ fryseske, hvis I regner med, t de hr en levetid på 13 år. C Tegn i smme koordintsystem tre grfer, der år for år viser, hvd udgifterne til de tre køle-/ fryseske hr været. Sæt ntl år ud d x-ksen (0 x 13), og sæt de smlede udgifter op d y-ksen. D Forklr ud fr grferne, hvilket køle-/frysesk I vil nefle t køe. Begrund jeres svr. E Angiv forskriften for hver f de tre udgiftsfunktioner. F Skriv en ligning, der viser, hvilket år den smlede udgift for køle-/fryseske A+++ og A++ er ens. Løs ligningen. G Tl med et ndet mkkerpr om, hvilke digitle værktøjer I hr rugt til t løse de forskellige opgver med. Diskuter fordele/ulemper ved t løse opgven med det/de nvendte værktøjer.
6 ALGEBRA, LIGNINGER OG ULIGHEDER ALGEBRA, LIGNINGER OG ULIGHEDER 7 ULIGHEDSTEGN, ULIGHEDER OG REGNEREGLER ULIGHEDER REGNEREGLER FOR ULIGHEDER En ulighed er to tl eller regneudtryk med et Mn kn regne på uligheder næsten ligesom, ulighedstegn mellem. mn kn regne på ligninger. Eksempler på uligheder: Mn kn lægge smme tl til på egge sider f < x 6 ulighedstegnet. x + 1 x + Mn kn trække smme tl fr på egge sider ULIGHEDSTEGN f ulighedstegnet. Der er fire forskellige ulighedstegn. Mn kn gnge med smme positive tl på Tegnet < læses mindre end. egge sider f ulighedstegnet. Mn kn også Hvis mn skriver < etyder det, t tllet er gnge med smme negtive tl på egge mindre end tllet. sider, men så skl mn vende ulighedstegnet. Tegnet læses mindre end eller lig med. Mn kn dividere med smme positive tl på Hvis mn skriver etyder det, t tllet er egge sider f ulighedstegnet. Mn kn også mindre end eller lig med tllet. dividere med smme negtive tl på egge Tegnet > læses større end. sider, men så skl mn vende ulighedstegnet. Hvis mn skriver > etyder det, t tllet er Eksempel på multipliktion med et negtivt tl: større end tllet. Der gælder 7 >. Hvis vi gnger 7 med 3 får vi 1. Hvis vi gnger med 3, får vi 6, og Tegnet læses større end eller lig med. 1 er mindre end 6. Hvis mn skriver etyder det, t tllet er større end eller lig med tllet. Altså får vi 7 > men ( 3) 7 < ( 3) Du kn ruge digitle værktøjer, fx CAS, til nogle f opgverne på dette opslg. OPGAVE Oversæt nedenstående udsgn til symoler, og vis, hvilke værdier f x der gør udsgnet sndt. OPGAVE 0 Undersøg, hvilke f tllene 1,, 3,,, 6, 7, 8 der er løsninger til ulighederne. A x + > x 3 B x < 10 C x 7 x D x x + E Løs ulighederne med CAS. A Summen f x og 1 er mindre end eller lig med 10. B x mulipliceret med 7 er større end eller lig med 1. C sutrheret med x skl være større end x dderet med. D Det hlve f x multipliceret med 16 er mindre end x dderet med. OPGAVE 1 A Løs uligheden x + 9 > 3 B Løs uligheden 3x + 9 > 3 OPGAVE 3 Løs mindst seks f ulighederne uden et digitlt værktøj og forklr, hvilke regler du ruger. A x 6 < x + 8 B x 7 > x + 3 C 1 x < x 9 D 1 x > x +3 E x + x + 3 F 7x + > 1 + 6x G x + 13 x + H x < 7x 8 I 18 1(x + 3) OPGAVE Skriv ligningerne og ulighederne og løs dem evt. med et CAS-progrm. A Ysin skl køe tre liter mælk, og hn hr fået 0 kr. med ud t hndle. Hn hr fået lov til t køe en is, og hn vil gerne hve en til 6 kr. Hvor meget må én liter mælken højst koste, hvis kn skl hve isen? B Jespers fr er år. For 7 år siden vr hn fem gnge så gmmel som Alm. Hvor gmmel er Alm nu? C Tllet x plus fire og gnget med tre er større end. Hvilke værdier kn tllet x hve? D Det doelte f tllet x plus tre gnget med fem er lig med tllet gnge fire minus tre gnget med syv. Hvd er tllet x? OPGAVE Muhmmed og Jens hr løst denne ulighed: x + 7 x + 8, men de hr løst den på to forskellige måder. Muhmmed Jens x + 7 x + 8 x + 7 x + 8 x + 7 x x + 8 x x + 7 x x + 8 x x + 7 8 7 x + 8 x + 7 7 8 7 7 8 x + 8 8 x 1 1 x x : ( ) 1 : ( ) 1 : x : x 0, 0, x A Løs selv uligheden. B Hvem f de to drenge hr løst uligheden forkert? Hvd kn hn hve gjort glt? Skriv en forklring til den f drengene, der hr løst uligheden forkert. OPGAVE 6 Peter tjener 760 kr. om måneden på trppevsk. En måned hr hn etlt 00 kr. i moilonnement, og derudover hr hn køt en trøje til 80 kr. Det er ikke ltid, hn spiser sin mdpkke, og de dge køer hn en sndwich til 17 kr. i kntinen. A Opstil en ulighed, der viser, hvor mnge gnge hn højst kn køe frokost i kntinen. B Løs uligheden. OPGAVE 7 En kueformet eholder skl indeholde mindst 8000 cm 3 vnd. A Skriv en ulighed, du kn ruge til t eregne, hvor lng kuens kntlængde mindst skl være. B Hvor lng skl kntlængden mindst være? En nden kueformet eholder skl mindst indeholde 1000 cm 3 og højst 337 cm 3. C Skriv en ulighed, du kn ruge til t eregne, hvor lng kuens kntlængde mindst skl være. D Skriv en ulighed, du kn ruge til t eregne, hvor lng kuens kntlængde højst må være. E Hvor lng skl kntlængden mindst være, og hvor lng må den højst være? OPGAVE 8 Skriv en regnehistorie til hver ulighed. A x > cm B 1000 dm 3 < x C 7 kr. x
8 ALGEBRA, LIGNINGER OG ULIGHEDER ALGEBRA, LIGNINGER OG ULIGHEDER 9 GRAFISK LØSNING AF ULIGHEDER Du kn på smme måde som med ligninger løse uligheder ved t tegne grfer og flæse på tegningen. Uligheden herunder kn løses grfisk. x < x + 3 Hver side i uligheden er regneudtrykket for en lineær funktion med forskrifterne y = x y = x + 3 I koordintsystemet herunder er grferne for de to funktioner tegnet ind. 1 11 10 9 y INTERVALLER Løsningerne på uligheder er ofte mere end et enkelt tl. Derfor er det hensigtsmæssigt t skrive disse løsninger som intervller. Mn kn vise, hvilket intervl løsningen til en ulighed tilhører ved fx t mrkere det på x-ksen som vist i eksemplet eller på en tllinje. Løsningen til uligheden x < x + 3 eller x > x + 3 er et åent intervl. Det er på tegningen mrkeret med en åen cirkel ud for tllet 7. Det etyder i dette tilfælde, t x = 7 ikke er en løsning. De to hlvlinjer fr den åne cirkel mrkerer, for hvilke x-værdier de to uligheder er snde. x < x + 3 1 0 1 3 6 7 8 OPGAVE 9 Løs ulighederne grfisk. Vis på tegningen det intervl, der er løsning. A 3x + > 1x 3 B x 7 < x + C x + 8 3x D 6x + 3 9x 1 OPGAVE 0 Reducer ulighederne og løs dem grfisk. A (x + ) (x + 3) (x 1) B (x ) < x( + 3) + ( + 3) ( 3) C x( 1) (x + 3) 3(x x) + 3( ) D 3x( 1) x 3 E (x + ) + (1 3x) > 3(x(3 + )) OPGAVE 1 Dette er grferne for to lineære funktioner. y 10 9 A Tegn uligheden ind i et koordintsystem og find ud f, hvilket helt ntl kroner, en frugt højst koster. Argumenter for, hvor mnge penge Thøger hvde, før hn køte frugter. B Mrker i hvilket intervl løsningen til uligheden ligger. OPGAVE 3 Arejd smmen med din mkker. Thilde ønsker sig en ny telefon i fødselsdgsgve. Hendes forældre er i tvivl om, hvorvidt de skl køe den kontnt, på fetling eller med onnement. De regner med t Thilde skl hve et onnement, der koster 199 kr. pr. mdr. Aonnementet indeholder fri tle, sms og mms og 0 GB dt, og det er muligt t ruge onnement frit i en række forskellige lnde. Det er smme onnementstype, der nvendes i de tre nedenstående muligheder. De hr følgende muligheder, som de gerne vil undersøge. Telefonen kn køes kontnt til 609 kr. 8 7 x > x + 3 8 7 Telefonen kn køes på fetling med 83 kr. om måneden over 1 måneder. 6 3 1 0 1 0 1 3 1 6 7 8 Af figuren ses, t de to grfer skærer hinnden for x = 7, og t grfen for y = x ligger under grfen for y = x + 3, når x < 7. For x < 7 er funktionsværdierne for y = x ltså mindre end funktionsværdierne for y = x + 3. Det etyder, t uligheden x < x + 3 er opfyldt for x < 7. Alle de tl, som er mindre end 7 er løsninger til uligheden, og vi skriver løsningen: x < 7. x 1 0 1 3 6 7 8 Løsningen til uligheden x x + 3 eller x x + 3 er et hlvåent intervl. Det er på tegningen mrkeret med en lukket cirkel ud for tllet 7. Det etyder i dette tilfælde, t x = 7 også er en del f løsningen. De to hlvlinjer fr og med den lukkede cirkel mrkerer, for hvilke x-værdier de to uligheder er snde. x <_ x + 3 1 0 1 3 6 7 8 x x + 3 1 0 1 3 6 7 8 6 3 1 0 6 3 1 0 1 3 1 A Skriv de fire uligheder og ligningen, der kn løses grfisk ved hjælp f figuren. B Angiv løsningerne til de fire uligheder og til ligningen. OPGAVE Thøger hr flere penge end Hnne. Thøger køer tre frugter og hr kroner tilge. Hnne køer fire frugter og hr 1 krone tilge. De opskriver uligheden 3x + > x +1 Telefonen kn køes med onnement, hvor de etler kontnt 00 kr. ved kø, og derefter inder sig i 6 måneder til et onnement til 199 kr./mdr. A Skriv for hver f de tre muligheder en ligning for den rette linje, der viser smmenhængen mellem prisen i kr. (y) og de første 1 måneder (x) Thilde hr telefonen. Tegn de tilhørende grfer ind i smme koordintsystem. B Undersøg, hvilket tilud der edst kn etle sig efter 1 måneder. C Hvor stor en forskel er der ved kø med onnement og fetling efter 6 måneder? D Undersøg, hvornår prisen for fetling er den smme som ved kø kontnt. E Hvor meget kommer Thildes forældre til t etle i lt med hver f de tre forskellige måder t finnsiere telefonen på? G Smmenlign de tre forskellige typer finnsiering og eskriv fordele og ulemper ved dem. I kn fx lve en video, skærmoptgelse eller lign.
0 ALGEBRA, LIGNINGER OG ULIGHEDER ALGEBRA, LIGNINGER OG ULIGHEDER 1 TEMA BRUG DIGITALE VÆRKTØJER TIL AT LØSE LIGNINGER OG ULIGHEDER GRAFISK Tem for to personer Mteriler: Digitlt værktøj DEL 1 LIGNINGER A Konstruer de to rette linjer y = x + og y = cx + d med et digitlt værktøj, således t,, c og d er vrile (skydere). Indstil skyderne til t fungere i intervllet [ ;] og en tilvækst på 0,. B Indstil til og til 3. Undersøg, hvilke værdier c og d kn hve, for t skæringen mellem de to rette linjer er et punkt med hele koordinter. C Diskuter, hvordn kn I undersøge systemtisk, så I kn være sikre på, t I får lle løsninger med. D Brug,, c og d til t undersøge disse tilfælde: Brug skyderne til t estemme værdier f,, c og d, således t de to linjer står vinkelret på hinnden. Hvilke etingelser opfylder tllene,, c og d, hvis de to linjer er prllelle. Vi ser nu på ligningen x + = cx + d Bestem værdier f,, c og d, således, t x = 0 er løsning. x = er løsning DEL ULIGHEDER A Tegn de rette linjer for disse to ligninger y = x + 3 og y = x 3 i et geometriprogrm. B Brug tegningen til t løse de disse fire uligheder grfisk. x + 3 > x 3 x + 3 < x 3 x + 3 x 3 x + 3 x 3 C Forklr forskellen på >, <, og. DEL 3 A I skl rejde videre med de to rette linjer fr DEL 1. I skl måle vinklen mellem de to linjer, så I kn se, hvornår vinklen mellem de to linjer er ret. B Indstil til, til, c til 0, og d til 1 og find koordintsættet til linjernes skæringspunkt smt vinklen mellem de to linjer. C Undersøg ved t ændre på,, c og d en række tilfælde, hvor de to linjer står vinkelret på hinnden. Skriv værdierne for,, c og d i et skem som det herunder. Find mindst tre tilfælde. c 0, D Beregn for hvert tilfælde, hvd c er. Forklr, hvilken smmenhæng der er mellem og c, når de to rette linjer står vinkelret på hinnden. E Undersøg, hvd forskriften er for en ret linje, som står vinkelret på linjen y = x +, og som går gennem punktet P( 1, ). F Få geometriprogrmmet til t vise løsningen til x > 0,x + 1. Forklr, hvilken smmenhæng der er mellem de to pr uligheder og løsningerne. d 1 c EVALUERING På denne side skl I enten ruge rket Begreer og fgord Alger, ligninger og uligheder (EX) eller jeres egen egresog. I kn ruge relevnte digitle værktøjer. DEL 1 I denne evlueringsopgve skl I rejde to til fire elever smmen. A Lv seks kort. Skriv ét f følgende egreer på hvert kort: REDUKTION PARENTESREGLER ULIGHEDER LIGNINGER KVADRATSÆTNINGER INTERVALLER B Læg kortene på ordet, så I kn se dem. C Vælg på skift et kort, som I kn forklre. Forklr egreet for de ndre i gruppen. Når lle i gruppen hr forstået egreet, så lægges kortet til side. I skiftes til t trække et kort og fortsætter til lle egreer er forklret og forstået. Det kn være en god ide t skrive stikord til de enkelte egreer undervejs. D Hvis der er egreer, som I ikke kn forklre eller forstå, så hænger I kortene med disse egreer op på tvlen. E Når lle grupper hr forklret de egreer, de kn, så skl egreerne på tvlen forklres for hele klssen. Det kn være en elev eller læreren, der hjælper med t forklre egreet. DEL For hvert f de seks egreer, du lige hr rejdet med, skl du A vise et eksempel eller en tegning. B skrive din egen forståelse f egreet. DEL 3 Skriv to forskellige x 6 regneudtryk for A omkredsen f figuren. x B relet f figuren. DEL Reducer regneudtrykkene. A ( + 3) B ( 3x) C (x + 3)( x) DEL Forklr evt. ved hjælp f en geometrisk tegning, hvorfor A ( + ) = + + B ( ) = + C ( + ) ( ) = DEL 6 Løs ligningerne og ulighederne og forklr, hvilke regler I ruger. A x + 0 = x + B 18 x = (6 + x) C 10x > 8x + 1 D x 6 x + 8 E 7x + 3( x) + x = + x G x x + H Vis på en tllinje løsningen til ulighederne. I Forklr, hvilke forskelle og ligheder der er mellem t løse ligninger og uligheder. DEL 7 Løs ligningerne og ulighederne fr DEL 3 A grfisk. B med et CAS progrm. DEL 8 Giv et eksempel på, hvordn A en ligning kn ruges til t løse et mtemtisk prolem. B en ulighed kn ruges til t løse et mtemtisk prolem.
ALGEBRA, LIGNINGER OG ULIGHEDER ALGEBRA, LIGNINGER OG ULIGHEDER 3 TRÆN 1 FÆRDIGHEDER TRÆN FÆRDIGHEDER OPGAVE 1 Hæv prenteserne, og reducer regneudtrykkene. A (3 ) B 3 + + ( + ) C + 3 ( 7 ) D 3( + ) + E ( 10) 11 + OPGAVE Beregn værdien f regneudtrykkene i opgve 1, når A = 3 og = B = 1 og = 3 C = og = 1 OPGAVE 3 Reducer regneudtrykkene. A x (x + ) + 3x(x ) B ( ) ( + ) OPGAVE x y x Figur 1 Figur OPGAVE 6 Skriv to forskellige ligninger, der hr A x = som en løsning. B x = som en løsning. C x = 3 som en løsning. OPGAVE 7 A Løs ligningerne fr opgve 6 grfisk. OPGAVE 8 Herunder er tegnet de rette linjer med ligningerne y = x + og y = x + 1. 7 6 3 y OPGAVE 1 Reducer regneudtrykkene. A ( 3) + ( + 3) B ( + ) 3( + ) C ( + 6)(7 ) D ( 3 + )( ) E ( + ) F ( 3) G (3 + )(3 ) OPGAVE Beregn værdien f regneudtrykkene i opgve 1, når A = 3 og = B = 1 og = 3 C = og = 1 OPGAVE 3 + x Figur 1 Figur x 1 Figur 3 OPGAVE Løs ligningerne. A 6 + 3x 8x + 1 = x + 1 B x 8 x = x + 16 C (x 3) (x + 3) = OPGAVE Skriv to forskellige ligninger, der hr A x = som en løsning. B x = 3 som en løsning. C nul løsninger. OPGAVE 6 A Løs ligningerne fr opgve grfisk. OPGAVE 7 Skriv en ulighed, der hr A x > 3 som en løsning. B 1 x som en løsning. C 10 x som en løsning. OPGAVE 8 En voksenillet til Zoo koster 170 kr., og et årskort koster 10 kr. A Skriv for hver mulighed en ligning for den rette linje, der viser smmenhængen mellem prisen og y Figur 3 Figur Skriv et regneudtryk for relet f A hver f de fire figurer. B figur 1 + C figur 3 + Skriv to forskellige regneudtryk for D relet f den smlede figur. E omkredsen f den smlede figur. OPGAVE Løs ligningerne. A x = 1 B x + = x + 1 C x + 1 = + 3x D 0 x = (6 + x) 3 1 0 1 0 1 3 1 3 Brug koordintsystemet til t løse ulighederne. A x + < x +1 B x + x +1 C x + x +1 D x + > x +1 E Vis på en tllinje, hvilke intervller der er løsning til de fire forskellige uligheder. x Figur Figur x x Skriv et regneudtryk for relet f A hver f de fem figurer. B figur 3 +. C figur 3 +. D figur 1 +. Skriv to forskellige regneudtryk for E relet f den smlede figur. F omkredsen f kvdrtet, der udgøres f figur 3 + +. G Beregn reler og omkreds fr opgve A-E, hvis x =. ntl esøg i Zoo. B Tegn de tilhørende grfer ind i smme koordintsystem. C Skriv en ulighed, der viser, hvor mnge gnge mn mindst skl esøge Zoo, før det edst kn etle sig t køe årskort. D Skriv en ulighed, der viser, hvor mnge gnge mn højst skl esøge Zoo, hvis det edst kn etle sig t køe enkeltilletter.
ALGEBRA, LIGNINGER OG ULIGHEDER ALGEBRA, LIGNINGER OG ULIGHEDER TRÆN 1 PROBLEMLØSNING TRÆN PROBLEMLØSNING OPGAVE 1 I en prøve løste Emm og Agnes den første del f ligningen x (x + 8) = 96 (x 3) på følgende måde: Emm x (x + 8) = 96 (x 3) x 8x + 8 = 96 8x 3 6x + 3 = 90 8x Agnes x (x + 8) = 96 (x 3) x 8x 3 = 96 8x + 6 6x 3 = 10 8x A Hvem f de to piger hr påegyndt løsningen f ligningen rigtigt? B Hvilke fejl gjorde den nden? C Løs ligningen åde ved eregning og grfisk. OPGAVE Storm, Axel og Bertrm hr tilsmmen 30 kr. Storm hr x kr. Axel hr tre gnge så mnge penge som Storm. Bertrm hr doelt så mnge penge som Axel. A Skriv et udtryk, der viser, hvor mnge penge Axel og Bertrm hr. B Skriv en ligning, som kn ruges til t eregne, hvor mnge penge Storm hr. C Hvor mnge penge hr Axel, og hvor mnge penge hr Bertrm? OPGAVE 3 Victor får hver uge x kroner f sin frfr og y kroner f sin morfr. Udtrykket 6(x + y) viser, hvor meget Victor får på 6 uger. A Skriv udtrykket uden prentes. B Hvor meget får Victor på 6 uger, hvis x = 60 kr. og y = 0 kr.? C Under en seksugers periode fik Victor 0 kr. Giv mindst to eksempler på, hvd hn kn hve fået f sin frfr, og hvd hn kn hve fået f sin morfr. D På et ntl uger fik Victor smmenlgt 30 kr. Hn fik lige meget f sin frfr og morfr. Giv mindst to eksempler på, hvor mnge uger det kn være. OPGAVE I kffeutikken Risteriet sælger de forskellige slgs kffeønner. Prisen for kffeønnerne fregnes efter vægt. Cu Coffee: 30 kr. pr. 100 grm. Keny Coffee: 0 kr. pr. 100 grm. Keny Coffee leveres ltid i en kffedåse til 30 kr. Jv Mocc: kr. pr. 100 grm. Jv Mocc leveres ltid i en stofpose til 10 kr. A Hvd er prisen for de tre forskellige typer kffe, hvis Jnne køer 00 grm kffe? 00 grm kffe? B Tegn i smme koordintsystem de tre grfer, der viser smmenhængen mellem pris og mængden f kffeønner. Ld x-ksen være ntl grm og y-ksen prisen i kr. C Skriv funktionsforskriften for hver f de tre tilud. D Skriv en ligning, der viser, hvornår prisen for Cu Coffee og Keny Coffee er ens. Keny Coffee og Jv Mocc er ens. E Løs ligningerne. F Skriv en ulighed, der viser, hvornår prisen for Cu Coffee er højere end prisen for Keny Coffee. Løs uligheden. G Forklr, hvilken prolemstilling ulighederne eskriver i forindelse med priserne på kffe. 0,30x 0,x + 10 0,0x + 30 < 0,x +10 OPGAVE 1 I 8. hr de fået stillet følgende opgve: I en treknt er vinkel B x grder. Vinkel A er doelt så stor som vinkel B. Vinkel C er 0 mindre end vinkel B. Skriv en ligning, der eskriver vinkelsummen. Jens, Ali og Le er ikke enige om, hvilken ligning der er det rigtige svr. De hr følgende ud: Jens: x + x + (x 0) = 180 Ali: x 0 = 180 Le: x + x + (x 0) = 180 A Undersøg, hvilken f de tre ligninger der er det rigtige svr. B Bestem grdstørrelsen f hver f trekntens tre vinkler. OPGAVE Cirkus Trpez er i yen. Billetterne til forestillingen koster 100 kr. for ørn og 160 kr. for voksne. Til en forestilling lev der solgt 00 illetter. D kssen efter forestillingen lev tlt op, vr der 800 kr. i den. A Hvor mnge ørneilletter, og hvor mnge voksenilletter vr der solgt? OPGAVE 3 Til festugen skl der rrngeres en stor koncert. Der kn højst være 100 tilskuere til koncerten. Koncertudvlget hr fået tilud fr tre forskellige nds, men de tre nds hr forskellige måder t eregne deres pris på. MyDy Pris: 80 000 kr. ufhængig f, hvor mnge illetter der liver solgt. Flling Pris: 90 kr. pr. illet der sælges. Pnic Pris: 30 000 kr. i strtelø og 0 kr. pr. illet der sælges. A Hvd koster de forskellige nds, hvis der sælges 00 illetter? 800 illetter? 100 illetter? B Skriv tre forskellige ligninger, der viser, hvor mnge illetter der skl sælges, hvis prisen for to f de tre nds skl være den smme. C Løs ligningerne. D Skriv to uligheder til estemmelse f de tilskuerntl (x), som evirker, t et f de tre nds er illigere end et ndet f de tre nds. E Løs ulighederne. F Lv en eskrivelse f de tre tilud til koncert udvlget, hvor du uddyer og egrunder, hvorfor de skl vælge det ene tilud fremfor de ndre i forskellige situtioner. Beskrivelsen skl indeholde rgumenter, hvor du inddrger økonomiske etrgtninger og eregninger. OPGAVE Ast og Noh diskuterer, hvd der edst kn etle sig. At få et estemt elø r kr. i rt, eller t få r % i rt. Kn det fx edst etle sig t få 0 kr. i rt eller t få 0% i rt? A Undersøg, hvd der edst kn etle sig t få kr. i rt eller t få % i rt, når vrens oprindelige pris er 0 kr. 130 kr. B Hvd skl vrens pris være, for t mn får det smme i rt ved egge metoder? C Vi klder vrens oprindelige pris x, rtten r og prisen med rt y. Skriv en ligning, der udtrykker smmenhængen mellem y, x og r, når 1. rtten er r kr.. rtten er r %. Hvilke værdier f x er relistiske i de to tilfælde? Hvilke værdier f r er relistiske? D Hvis vi sættter r = 0, så kn de to ligninger tegnes som to rette linjer i et koordintsystem. 1. Tegn de to linjer.. Skriv en ulighed, hvis løsning viser, hvornår det edst kn etle sig t få rtten som 0 % f førprisen. Løs uligheden grfisk. E Skriv en forklring, som egrunder, hvornår det edst kn etle sig t få et elø i rt, og hvornår det edst kn etle sig t få eløet som procentdel i rt. Forklringen skl indeholde en ulighed.