Højere Teksk Eksme ugust 009 HTX09-MAA Mtemtk A Forberedelsesmterle tl 5 tmers skrftlg prøve Udervsgsmsteret Fr osdg de 6. ugust tl torsdg de 7. ugust 009
Sde f 6 sder Forberedelsesmterle tl 5-tmers skrftlg prøve Der er fst 0 tmer på dge tl rbejdet med forberedelsesmterlet tl de 5-tmers skrftlge prøve. Nogle f spørgsmålee ved 5-tmers prøve tger udggspukt det mterle, der fdes dette oplæg. De øvrge spørgsmål omhdler emer fr udervsge. Oplægget deholder teor, eksempler og opgver tlkytg tl et eme fr udervsge. Resulttere f rbejdet med dette forberedelsesmterle bør medtges tl de skrftlge prøve. Alle hjælpemdler er tlldt, og det er tlldt t modtge vejledg.
Sde f 6 sder Itegrtosprcpper. Idledg Udformg f de kostruktoer, der dgår vores omgvelser, hr e stor dflydelse på vores hverdg. I e del f de tekske beregger, der lgger tl grud for udformge f dsse kostruktoer, dgår ofte tegrlregg. I dette forberedelsesmterle skl v beskæftge os med eksempler på, hvord m ved hjælp f tegrlregg k bestemme reler, tygdepukter og overfldereler f omdrejgslegemer.. Arel I dette fst ser v på flder fgræset f grfer for fuktoer. E forudsætg er, t fuktoere er kotuerte. Itegrlregge er udspruget f teresse for t kue berege reler f vlkårlge flder. Arelberegg er e del f kerestoffet mtemtk på ht, me for fuldstædghedes skyld geemgås prcppet bg bereggere kort her. V vl bestemme relet f området mellem grfere for to fuktoer. Fgur vser grfere for de b ; og f( ) > g ( ). to fuktoer f og g, hvor [ ] Fgur
Sde 3 f 6 sder Fgur vser et gråtoet område, der er fgræset f grfere for fuktoere f og g, smt ljere = og = b. Fgur Fgur 3 V strter med t bestemme e tlærmelse tl det øskede rel. V ddeler tervllet [ b ; ] lge store stykker således t = b. ( ( ) ( )) og højde f ( ) g( ) I hvert deltervl [ ] ; vælges et tl og v bereger A = f g. Et eksempel er vst på fgur 3, og m ser t A er relet f rektglet med bredde lle rektgleres reler smme, ( ( ) ( )) A = f g = =. E tlærmelse tl det øskede rel fås ved t lægge Dee sum kldes e mddelsum for fuktoe f g b ;. Jo flere deltervller der beyttes, desto bedre tlærmer mddelsumme det øskede rel. V ved fr tegrlregge, t mddelsumme hr e græseværd, år går mod ul eller går mod uedelg, og dee græseværd er det bestemte tegrl. V hr hermed på tervllet [ ] Sætg Arelet der er fgræset f grfere for fuktoere f og g, hvor f ( ) g( ) [ b ; ] smt ljere = og = bk bestemmes ved 0 = b ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) A= lm f g = f g d > for ()
Sde 4 f 6 sder Eksempel Fgure vser grfere for to fuktoer f og g. Fuktoere f og g hr regeforskrftere f g [ ] ( ) = + + og ( ) = +, 0;3 Arelet A mellem grfere for de to fuktoer er hehold tl () ( ( ) ( )) 3. Tygdepukt 3 0 A = f g d = 9 Skær e crkel ud f et krftgt stykke pp. Læg crkelskve på e rud blyt på et bord. Hvs m bre lægger skve på e tlfældg måde ove på blyte, vl de lmdelghed vppe tl de ee sde. Hvs m dermod plcerer skve præcs således, t blyte følger e dmeter for crkle, og derfor lgger lge uder crkles cetrum, vl skve være blce. E lje geem et plt legeme med dee egeskb kldes e tygdepuktskse. Crkelskve hr uedelg mge tygdepuktskser emlg lle dmetre og de skærer hde ét pukt, emlg crkles cetrum. Dette pukt kldes crkles tygdepukt. Tygdepuktet hr også e særlg betydg for crkelskves blce. Rejser v blyte op og forsøger t blcere crkelskve på blytes spds, vl det ku kue lde sg gøre, hvs spdse er lge uder crkles tygdepukt. M k getge ekspermetet med ppskver f dre former. Uset forme vl det gælde, t skve hr uedelg mge tygdepuktskser, hvor de lge kkurt k holde blce over de rude blyt, der lgger på bordet. Og lle tygdepuktskser vl gå geem ét pukt, skves tygdepukt. I dette fst vl v udlede formler tl t bestemme tygdepukter. Det grudlæggede fysske prcp v skl beytte, er vægtstgsregle: Hvs to puktformede msser m og m brges på e vppe fstdee d og d fr omdrejgspuktet, vl vppe være blce etop hvs m = () d md Fgur 4
Sde 5 f 6 sder Idlægges e -kse lgs vppe som vst fgur 4, og beteges tygdepuktets posto med T, gælder der d = T, d = T (3) Idsættes dette (), k tygdepuktets posto bestemmes. M fder m + m T = (4) m + m Opgve Geemfør detljer lle udregger, der leder fr () tl (4). Vægtstgsprcppet k geerlseres tl et system f flere puktmsser, der er brgt ple. På fgur 5 er vst et eksempel med tre msser. Hvs m tæker sg, t mssere er forbudet med meget lette stve stæger, k m opftte dette som e pl fgur, der hr et tygdepukt. I dledge tl dette fst så v, t tygdepuktet er skærge f fgures tygdepuktskser. V hr derfor blot brug for tygdepuktskser for t bestemme tygdepuktet, og vælger t fde ksere, der er prllelle med hhv. - og y-kse. Fr fysske prcpper, der er de smme som lgger bg de smple vægtstgsregel (), k m vse, t lje med lgge = T er e tygdepuktskse, hvs m + m T = m + m + m3 Dee lje er prllel med y-kse. Tlsvrede vl e lje prllel med -kse med lgg y = y T være e tygdepuktskse, hvs y T = m + m + + m 3 3 m y + m y + m3 y3 m 3 De to tygdepuktskser skærer hde (, y T T ), som derfor er mssesystemets smlede tygdepukt. Fgur 5
Sde 6 f 6 sder Opgve ) Bestem tygdepuktet for systemet f tre msser m = 00, m = 00, m 3 = 500 som er brgt puktere (,y ) = (,0), (,y ) = (0,3), ( 3,y 3 ) = (,). Målee er cm, og mssere måles g. b) Idteg puktmssere og tygdepuktet et koordtsystem, og overvej om dt resultt er rmelgt. c) Hvor lgger tygdepuktet, hvs mssere er gvet kg stedet for g ltså 000 gge større? For et system med puktmsser m, m,, m, der er plceret puktere, y ),(, y ),, (, y ), er tygdepuktets koordter helt geerelt bestemt som: ( Sætg Tygdepuktet ( T, y T) f et system f msser T = = m plceret pukter (, y ) m my = = = (5) og yt = (6) m m er V vl u beytte tkegge fr sætge ovefor tl t bestemme tygdepuktet for e geerel flde. V opdeler derfor flde elemeter. V k stedet for hele flde betrgte det system f puktmsser, der fås ved t brge msse f hvert elemet et vlkårlgt dre pukt (, y) f elemetet. Hvs flde er fremstllet f et mterle med mssetæthed (SI-ehed: kg/m ), vl det te elemet hve msse m = ρ A, hvor A er elemetets rel. Stutoe er vst på fgur 6. V beteger tygdepuktet for systemet f puktmsser med ( ~, ~ T yt ). Sætter v d lgg (5) fder v m ρ A ρ A A S y = = = = = A m ρ A ρ A A = = = = T = = = = Fgur 6
Sde 7 f 6 sder Her hr v dført relmometet om y-kse for puktmssere S = A y = og v beteger fldes smlede rel med A. Hvs flde blver ddelt flere og flere elemeter, som blver mdre og mdre, k v håbe på, t S ~ y kovergerer mod e bestemt værd, som v klder fldes relmomet om y-kse, S y. For flde k v så fde tygdepuktets -koordt som S = y T A (7) Efter smme procedure k v fde y-koordte tl fldes tygdepukt. V fder først relmometet om -kse for puktmssere S = A y = og fder græseværde f dee, år størrelse f elemetere går mod ul. Beteges dee græseværd S, er y-koordte tl fldes tygdepukt gvet ved S y = T A (8) Fgur 7 Det k lyde meget dvklet med dsse græseværder. Ide v gver os kst med t rege på dem, vl v beytte formlere (7) og (8) tl t fde relmometere for e meget smpel flde, emlg et rektgel. På grud f rektglets symmetr er det klrt, t sderes mdtormler er tygdepuktskser, og tygdepuktet er derfor deres skærgspukt. Se fgur 7. Når tygdepuktet er kedt, k v fde relmometere som S = A og S = A y (9) y T T M k vse, t hvs e flde F opdeles to dele T og G, der kke overlpper, k det smlede relmomet for F fdes som summe f de to deles relmometer, dette kldes ddtosprcppet. Skrevet symboler: S ( F) = S ( T ) S ( G) y y + y
Sde 8 f 6 sder og tlsvrede for S S ( F) = S ( T) + S ( G ) Opgve 3 Vs, t ddtosprcppet gælder for systemer f puktmsser. Nu er v klr tl t fde tygdepuktet for e flde, der er fgræset f grfere for to kotuerte fuktoer f og g, hvor f( ) > g ( ) og ljere = og = b. Se fgur 8. V opdeler tervllet [ b ; ] lge lge b deltervller f lægde =. Mdtpuktet det te deltervl beteges. V tlærmer flde med rektgler, hvor et eksempel er vst på fgur 8. Det te rektgel hr bredde og højde f ( ) g( ). Dets rel er Fgur 8 A = ( f ( ) g( )) og tygdepuktet er rektglets mdtpukt med koordter f( ) + g( ) T, = og y T, = Ifølge (9) er de to relmometer f rektglet Sy, = A T, = ( f ( ) g( )) S = A y = ( f ( ) g( )), T, f( ) + g( ) ( ( ) ( )) ( ( ) ( = f g f + g )) = ( f ( ) g( ) ) Nu beytter v ddtosprcppet tl t fde de smlede relmometer for lle rektgler, der tlsmme tlærmer flde.
Sde 9 f 6 sder, ( ( ) ( y )) = = S = f g (0) S = f g, ( ( ) ( ) ) = = () Summe (0) er e mddelsum for fuktoe ( ( ) ( )) f g. Når 0 ærmer rektglere sg de rgtge flde, og mddelsumme hr e græseværd, som er det bestemte tegrl. Tlsvrede for (). Herf fås () og (3): Beteges fldes rel A fås edelg tygdepuktets koordter b S y = ( f ( ) g( )) d () S = ( ( ) ( ) ) b f g d (3) Sætg 3 y T T b S ( f ( ) g( )) d y = = b A ( f ( ) g( )) d b ( ( ) ( ) ) b S f g d = = A ( f ( ) g ( )) d (4) (5) Eksempel V ser ge på flde fr eksempel og vl u bestemme tygdepuktets koordter. V hr fr eksempel t A = 9 f ( ) = og ( ), 0;3 + + g = + Først bestemmes relmometet om hhv. y- og -kse b S = f ( ) g( ) d = 5,75 y ( ) ( ( ) ( ) ) S = = 9 b f g d Herefter k tygdepuktets koordter bestemmes S y T = =, 75 A S yt = = A, y er vst på fgure. Plcerge f ( ) T T
Sde 0 f 6 sder Opgve 4 Fgure vser e del f de prbel, der hr rødder 0 og og toppukt (, y) postve tl. hvor og y er ) Vs, t lgge for prble er 4y y = + 4 De vste del f prble og -kse fgræser et område. b) Bestem koordtere tl tygdepuktet for området, udtrykt ved og y. y Opgve 5 På fgure er vst dele f grfere for fuktoere f ( ) = + 4 og 4 3 g ( ) = +. 4 Grfere og -kse fgræser et område, som er vst gråtoet. ) Bereg T, -koordte tl områdets tygdepukt. E plde udformes som det gråtoede område, og opstlles svrede tl t -kse er vdret og y- kse er lodret, det vl sge t plde opstlles lodret. Hvs tygdepuktet lgger udefor pldes uderstøtg vælter de. b) Vælter plde? Nu vælges e de udformg f plde, hvor fuktoe g ædres tl g ( ) = + 3. c) Vælter de ye plde?
Sde f 6 sder 4. Overflderel f omdrejgslegemer E overflde f et omdrejgslegeme er e overflde, der fremkommer ved drejg f e grf for e fukto eller e kurve om e kse. V vl udelukkede se på de tlfælde, hvor koordtksere er omdrejgsksere. Omdrejg om -kse Fgur 9 vser et omdrejgslegeme, der er fremkommet 0 ved, t grfe for fuktoe for f drejes 360 om -kse. V forudsætter t grfe for f er glt, det vl sge t ( ) f er kotuert. f er dfferetbel og ( ) Desude forudsættes t f er kke-egtv for [ b] ;. V strter med t bestemme e tlærmelse for det øskede rel A. Her opftter v hele omdrejgslegemet som et tl keglestubbe, der hver hr højde. V b ; op udertervller, hver deler derfor tervllet [ ] b med e lægde på, hvor =. Derefter vl v ud fr dee tlærmelse bestemme relet f hele overflde. Fgur 9 Fgur 0 vser et f dsse udertervller smt ljestykket P P. Det k ved hjælp f mddelværdsætge vses (se Apped A), t der det te udertervl ] ; [ fdes e værd så lægde L f ljestykket P P k bestemmes som L = P P = + f (6) hvor =. ( ) Fgur 0 Lægde f ljestykket, vst på fgure, k ltså bestemmes ved hjælp f dfferetlkvotete for fuktoe f. 0 Keglestubbe, der fremkommer ved t ljestykket P P drejes 360 om -kse, er vst på fgur. Fr udervsge ved v, t overflderelet for e keglestub er A= π rl, hvor L er de skrå R+ r sdehøjde og mddelrdus rm =. Her er R og r hhv. de store og de llle rdus keglestubbe. På fgur hr keglestubbe e skrå sdehøjde på L og mddelrdus er r = ( f ( ) + f ( ) ) m
Sde f 6 sder Overflderelet f de på fgur vste keglestub er A = πrl = π ( f ( ) + f ( ) ) L Fr (6) hvde v, t ( ) L = P P = + f hvor ;. Dette dsættes, og v får følgede udtryk for relet er e værd det te udertervl ] [ ( ( ) ( )) ( ) A = π f + f + f Fgur Når Derved fås blver meget llle, vl det gælde t f ( ) f ( ) og f ( ) f ( ), d f er kotuert. og e tlærmelse tl det smlede overflderel fås ved t lægge lle delrelere smme ( ) ( ) A π f + f ( ) ( ) A π f + f = = Summe ovefor er e mddelsum for fuktoe ( ) ( ) π f + f. Når 0 ærmer mddelsumme sg det øskede overflderel, og mddelsumme hr e græseværd, som er det bestemte tegrl. Der gælder derfor Sætg 4 V k bestemme relet f overflde, der fremkommer år grfe for de kke-egtve 0 fukto y= f ( ), b drejes 360 om -kse, som ( ) ( ) b A = π f + f d (7)
Sde 3 f 6 sder Eksempel 3 Fgure vser grfe for e fukto f, med regeforskrfte Overflde f omdrejgsfgure er vst edefor. Overflderelet bestemmes fr udtrykket M fder ( ) b A = π f ( ) + f d Arelet f omdrejgslegemet blver d Opgve 6 f( ) = + +, 0;3 f ( ) = + 3 ( ) ( ) A = π f + f d = 60,83 0 Blledet vser e skål. Fgure vser et st mdt geem skåle. Alle mål er cetmeter. Ved t dreje grfe for f om -kse fremkommer t omdrejgslegeme. Bemærk t fgure er drejet 90 0 forhold tl blledet. 57 5 Bestem overflderelet f omdrejgslegemet. Fuktoe f hr regeforskrfte f ( ) = + 5, [ 0;5] Opgve 7 Vs formel (6) ved hjælp f mddelværdsætge Apped A.
Sde 4 f 6 sder Omdrejg om y-kse Fgur vser et omdrejgslegeme, der er 0 fremkommet ved, t grfe for f drejes 360 om y-kse. For t bestemme overflderelet f dette lege- b ; som før uder- me ddeles tervllet [ ] tervller, hver med e lægde på. Overflderelet f keglestubbe k bestemmes som ved drejg om -kse. Se fgur, der vser omdrejgslegemet og fgur 3, som vser et tlærmet delelemet med form som e keglestub. Som ved drejg om -kse tlærmer v grfe for f med et ljestykke, der hr lægde L bestemt på smme måde som tdlgere. Fgur V strter med t bestemme e tlærmelse for det øskede rel A. Mddelrdus keglestubbe er r = ( + ) Overflderelet f de vste keglestub er A = πrl = π ( + ) L Fr (6) hvde v, t ( ) L = P P = + f Fgur 3 hvor Når v gør er e -værd det te udertervl ] [ ;. meget llle, vl og, d f er kotuert. Derved fås ( ) ( ) A = πrl = π + L π + f V k u tlærme det smlede rel f omdrejgslegemet ved ( ) π = = A + f
Sde 5 f 6 sder Summe ovefor er e mddelsum for fuktoe ( ) π + f. Når 0, ærmer mddelsumme sg det øskede overflderel, og mddelsumme hr e græseværd, som er det bestemte tegrl. Der gælder derfor Sætg 5 V k bestemme relet f overflde, der fremkommer år grfe for de gltte kkeegtve fukto y= f ( ), b drejes 360 om y-kse, 0 ved ( ) b A = π + f d (8) Eksempel 4 V ser på de smme fukto som eksempel 3. = + + f( ), 0;3 V vl u bestemme overflde f omdrejgslegemet fremkommet ved e drejg om y-kse. Formle for overflderelet er Det øskede rel er d ( ) b A = π + f d 3 ( ) A = π + f d = 34,0 0
Sde 6 f 6 sder Apped A Mddelværdsætge Sætg Ld der være gvet e fukto f, som er kotuert [ b ; ] og dfferetbel ] b [ Der fdes d mdst et pukt c, c ] b ; [ således t ;. ( c) f = ( ) f ( ) f b b Fgur 4 vser de geometrske betydg f mddelværdsætge, emlg t der ltd fdes e værd mellem og b. hvor hældge f grfes tget er lg med hældge tl det rette ljestykke, der forbder puktere A og B på grfe for fuktoe. I forberedelsesmterlet beytter v mddelværdsætge med A= P og B = P smt med =, og b= c = Fgur 4
Opgve er produceret med vedelse f kvltetsstyrgssystemet ISO 900 og mljøledelsessystemet ISO 400