Differentiation Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.
Indhold 1 Introduktion 1 2 Definitoner 2 2.1 Differentiabilitet..................... 4 2.2 Afledet funktion...................... 10 2.3 Tangenter......................... 12 2.4 Højere afledede...................... 13 3 Sætninger om differentiation 13 3.1 Basale funktionstyper.................. 14 3.2 Regneregler........................ 22 3.3 En udfordring....................... 29 4 Tangenter og approksimationer 31 4.1 Tangentens ligning.................... 31 4.2 Det approksimerende førstegradspolynomium... 33 4.3 Den relative fejl og linearitet til første orden..... 35 5 Monotoni og Ekstremer 38 6 Avancerede anvendelser 40
Resumé I dette dokument laver vi en præcis definition af hvad det vil sige at differentiere en funktion, og bagefter gennemgår vi nogle sætninger om hvordan differentiation foregår i praksis. Til sidst kommer vi forbi nogle meget vigtige anvendelser af differentiation, nemlig optimering og begrebet vækstrate. 1 Introduktion Differentiation er nok det mest succesfulde begreb der nogensinde er indført i matematikken 1. Det blev udviklet i løbet af 1600-tallet og for alvor gjort præcist af Newton og Leibnitz lige omkring år 1700 2 I dette dokument definerer vi helt præcist hvad differentiation er. Bagefter gennemgår vi nogle sætninger om differentiation og giver eksempler og uddybende forklaringer på disse sætninger. Til sidst skal det handle om hvad differentiation kan bruges til. Beviser for sætningerne bliver gennemgået i seperate dokumenter. Forudsætninger For at forstå dette dokument er det nødvendigt at du har styr på funktionsbegrebet 3 og begrebet grænseværdier 4. Hvis du aldrig har hørt om differentiation før, og du er den utålmodige type, kan det godt være svært at holde koncentrationen fordi 1 Måske bortset fra selve talbegrebet, men det kan dårligt siges at være indført i matematikken. 2 Sjovt nok blev denne utroligt store opdagelse gjort samtidigt af Newton som var fysiker og Leibnitz som var matematiker. Det er en lang og underholdende historie som du kan læse mere om her 3 Læs en hurtig gennemgang af funktionsbegrebet her 4 Læs om grænseværdier her side 1
fremstillingen er så grundig. I så fald er det en god ide at læse dokumentet pointen med differentiation først, for at få en ide om hvad det hele egentlig handler om 5. Terminologi Når vi i dette dokument taler om en funktion, så vil det hele tiden være underforstået at det er en funktion med de reelle tal, R, som både primærmængde og sekundærmængde. 2 Definitoner Allerførst har vi brug for en teknisk definition, fordi vi vil gøre forskel på elementerne i en funktions definitionsmængde. Definition 1 (Indre punkt). Hvis f er en funktion, så vil vi sige at et element x 0 i definitionsmængden er et indre punkt i definitionsmængden hvis vi kan vælge et åbent interval, I =]a;b[ sådan at x 0 ligger inde i intervallet, og hele intervallet er indeholdt i definitionsmængden. Kort skrevet: x 0 I og I Dm(f ) 5 Læs om pointen med differentiation her side 2
Eksempel 1. Hvis Dm(f ) =] 2;2] (se figur 1) så er 0 et indre punkt i definitionsmængden. Vi kan nemlig f.eks. lade I være det åbne interval: I =] 1;1[ Et andet indre punkt er 1,99. Her kan vi nemlig f.eks. lade I være det åbne interval: I =](1,987);(1,995)[ Derimod er 2 ikke et indre punkt, fordi vi aldrig kan finde et åbent interval som indeholder 2, og som holder sig inden for Dm(f ) =] 2;2] Man siger derimod at 2 er et randpunkt. Med i mængden, men ikke et indre punkt Ikke med i mængden Indre punkter -4-3 -2-1 0 1 2 3 4 R Figur 1: Indre punkter i et interval Bemærk at så længe definitionsmængden er et interval, så er alle andre punkter end endepunkterne indre punkter. Eftersom langt de fleste af vores funktioner vil være defineret på et interval, så kan vi næsten tillade os at tænke på et indre punkt som det modsatte af et intervalendepunkt. side 3
Der findes dog funktioner med så skøre definitionsmængder at vi er nødt til at være mere præcise når vi laver vores definitioner. Ellers risikerer vi at definitionerne ikke giver mening for disse funktioner, og det har vi ikke lyst til. Øvelse 1. Beskriv hvilke punkter som er indre punkter i definitionsmængderne for følgende funktioner. f 1 (x) = cos(x) f 2 (x) = 1 x x R x 0 f 3 (x) = x x 0 f 4 (x) = x 2 x {1,8,17,99} 2.1 Differentiabilitet Definition 2. Hvis f er en funktion og x 0 er et indre punkt i definitionsmængden, Dm(f ), så siger vi at f er differentiabel i x 0 hvis størrelsen: d(x) = f (x) f (x 0) har et reelt tal som grænseværdi når x x 0 Bemærkninger Dén definition er svær at læse! Hvis man skal forstå hvad der står, er man nødt til at se grundigt på betydningen af størrelsen d(x): side 4
Den brøk som det hele handler om: d(x) = f (x) f (x 0) kaldes for en differenskvotient for f, fordi det er en kvotient (en brøk) med differenser (minus-operationer) i både tæller og nævner. Når vi kalder den for d, og betragter den som en funktion af x, så er det vigtigt at gøre sig klart at den selvfølgelig også afhænger af x 0 og af hvilken funktion f vi har med at gøre. Grunden til at vi alligevel fremhæver at det er en funktion af x er selvfølgelig at vi senere skal tale om grænseværdien af d når x nærmer sig x 0. Punktet x 0 skal man tænke på som et helt fast udgangspunkt. Nu vælger vi så punktet x et sted i nærheden af x 0 (og lader senere x nærme sig x 0 ). Med valget af x har vi to punkter på grafen for f, nemlig: og (x 0 ; f (x 0 )) (x; f (x)) (se figur 2). Mellem disse to punkter giver det mening at trække en ret linje. Sådan en ret linje kaldes en sekant til grafen. Hvis man nu læser definition 2 igen, kan man se at størrelsen d(x) ganske enkelt er lig med hældningen af sekanten mellem de to punkter (x 0 ; f (x 0 )) og (x; f x)). Nu er det nemmere at se hvad definitionen siger nemlig at sekanthældningerne skal have en grænseværdi når man lader punktet x nærme sig x 0. Eksempel 2. Betragt funktionen f defineret ved: f (x) = x 2 side 5
3 2 1 y=f(x) x 0 x -1 Figur 2: Sekanten mellem to punkter på en graf og det indre punkt x 0 = 17 i definitionsmængden. Hvis vi skal undersøge om f er differentiabel i x 0, skal vi se på differenskvotienten: f (x) f (17) x 17 = x2 17 2 x 17 Hvis vi på snedig vis bruger den tredie kvadratsætning til at omskrive tælleren, så får vi: x 2 17 2 x 17 = (x + 17) (x 17) x 17 = x + 17 Og nu er det nemt at se hvad der sker med differenskvotienten når x nærmer sig 17. Den nærmer sig nemlig: 17 + 17 = 34 Man har ikke forstået begrebet differentiabilitet før man har set et side 6
300 200 100 y=x 2 5 10 x 15 x 0 Figur 3: Differentiabilitet af funktionen fra eksempel 2 eksempel på en funktion som ikke er differentiabel. side 7
Eksempel 3. Betragt funktionen f defineret ved: Og betragt det specielle punkt { x, x 0 f (x) = x = x, x < 0 x 0 = 0 Hvis vi kigger på differenskvotienter for denne funktion, så kommer de til at se forskellige ud, alt efter om det andet punkt x ligger på højre eller venstre side af x 0. Hvis x < 0, bliver differenskvotienten: d(x) = f (x) f (x 0) x 0 = x 0 = x x = 1 Men hvis x > 0 bliver differenskvotienten: d(x) = f (x) f (x 0) x 0 = x 0 = x x = 1 side 8
og at Vi ser altså at: d(x) 1,når x 0 d(x) 1,når x 0 + Eftersom differenskvotienten har en forskellig grænseværdi, alt efter om x nærmer sig x 0 fra højre eller venstre, kan den ikke siges at have en reel grænseværdi. Derfor er funktionen f ikke differentiabel i x 0. Hvis man ser på grafen (se figur 4), er det også klart at det ikke giver mening at tale om grafens hældning i x 0 = 0. 3 y=f(x) 2 1-4 -3-2 -1 1 2 3 4-1 Figur 4: Nummerisk værdi-funktionen er ikke differentiabel i nul Definition 3. Hvis en funktion f er differentiabel i alle indre punkter x 0 i definitionsmængden, så siger man at funktionen f er differentiabel. side 9
Øvelse 2. Betragt kubikrodsfunktionen f defineret ved: f (x) = 3 x = x 1 3, x R Denne funktion er ikke differentiabel, fordi der er præcis et indre punkt x 0 i dens definitionsmængde hvor den ikke er differentiabel. Find det punkt x 0 hvor f ikke er differentiabel. Det kan du gøre ved at tegne grafen for f og spørge dig selv hvorhenne der er problemer med at tale om hældningen af grafen. Bevis at f ikke er differentiabel i dette punkt ved at betragte differenskvotienten. 2.2 Afledet funktion Definition 4. Hvis f er en funktion som er differentiabel i et indre punkt x 0 Dm(f ), så vil vi omtale grænseværdien af differenskvotienterne: f (x) f (x 0 ) lim x x 0 som grafhældningen af f eller den afledede af f i punktet x 0, og den skrives som: f (x 0 ) Dette læses som: Eller simpelt hen som: f differentieret i x 0 f - mærke - i x 0 side 10
Bemærkninger Bemærk at den afledede (eller grafhældningen) af f kan udregnes i alle indre punkter hvor f er differentiabel. På den måde bliver f en ny funktion som er defineret i alle disse punkter. De fleste af vores funktioner vil være defineret på åbne intervaller og være differentiable i alle punkter, så i disse tilfælde bliver f defineret i præcis de samme punkter som f. Idet vi betragter f som en ny, selvstændig funktion, er det mere naturligt at angive dens værdi i et punkt ved navn x i stedet for x 0 (også selvom x spillede en helt anden rolle i selve definitionen af f ). Således vil vi f.eks. fremover oplyse at for funktionen f (x) = x 2 er den afledede funktion givet ved: for alle x R. (Se eksempel 2.) f (x) = 2x Grafhældningen af en funktion f i et punkt x 0 er et kært barn med mange navne. En anden meget udbredt måde at skrive dens værdi i et punkt x på er følgende: f (x) = d f d f (x) (x) = d x d x De sidste to skrivemåder er på mange måder smartere, men de er også meget sværere at bruge korrekt. Vi vil i dette dokument holde os fuldstændigt til den første skrivemåde 6 Den afledede funktion, f siger noget om hvor hurtigt den oprindelige funktion ændrer sig. Hvis den oprindelige funktion angiver en position som funktion af tiden, så kan man altså tænke på f som hastigheden af denne bevægelse. 6 Læs om historien bag og anvendelsen af de andre to skrivemåder her side 11
Øvelse 3. Betragt den konstante funktion, f, givet ved: f (x) = 8 Hvad er f (299792458)? (Tænk på hvordan grafen ser ud!) 2.3 Tangenter Den rette linje som går gennem punktet (x 0 ; f (x 0 )) og har hældningen f (x 0 ) kaldes tangenten til grafen for f i x 0. (Se figur 5) Man kan således (lidt upræcist) sige at... sekanterne nærmer sig tangenten når de to punkter kommer meget tæt på hinanden 3 2 1 y=f(x) -1 x 0 Figur 5: Tangenten til grafen for f i x 0 fra figur 2 side 12
2.4 Højere afledede Når man differentierer en funktion, f, så opstår der en ny funktion, nemlig den afledede funktion, f. Hvis ellers f er differentiabel, så kan man differentiere en gang mere, og dermed fremkommer den såkaldte anden afledede funktion af f, og den skrives som: f (Det læses som f-dobbeltmærke.) Det kræver ikke meget fantasi at forestille sig at dette kan fortsætte. Dermed får man en hel familie af funktioner: f, f, f, f,... Hvis man differentierer en funktion 22 gange, så kan det være uoverskueligt at sætte (eller for den sags skyld læse) alle de mærker. Derfor har man opfundet notationen: f (22) (bemærk parentesen!) som betyder den 22. afledede af f eller hvad man oftere har brug for: f (n) som betyder den n te afledede af f (hvis n er et naturligt tal.) Det er meget sværere at se hvad de højere afledede har med den oprindelige funktion at gøre. Men f.eks. f siger jo noget om hvor hurtigt f ændrer sig. Så hvis f angiver en position som funktion af tiden, og man tænker på f som en hastighed, så vil f være accelerationen i denne bevægelse. 3 Sætninger om differentiation Nu skal vi i gang med at vise sætninger om hvordan man differentierer i praksis. Vi beviser kun nogle få af dem her. De øvrige beviser kan findes i seperate dokumenter. Den allerførste sætning handler om hvilke funktioner der er differentiable. side 13
Sætning 5. Hvis en funktion f er differentiabel i et indre punkt, x 0, så er den også kontinuert i x 0. Bevis. Den eneste måde hvorpå brøken: d(x) = f (x) f (x 0) kan have en grænseværdi når x x 0 er hvis tælleren går imod nul. 7 Men at tælleren nærmer sig nul er det samme som at sige at f (x) f (x 0 ), når x x 0 Hvilket præcis er hvad det vil sige at f er kontinuert i x 0. Hvis en funktion er differentiabel, er den altså også kontinuert. Sagt på en anden måde: De differentiable funktioner udgør en delmængde af de kontinuerte funktioner. Der findes masser af kontinuerte funktioner som ikke er differentiable. Det mest oplagte eksempel er nummerisk værdifunktionen fra eksempel 4. 3.1 Basale funktionstyper 7 Dette er temmelig svært at argumentere for, fordi vores grænseværdibegreb ikke er helt præcist nok. Men løst sagt er det fordi nævneren under alle omstændigheder går mod nul, og derfor vil brøken blive uendeligt stor medmindre tælleren også går mod nul. side 14
Sætning 6 (Konstante funktioner). Hvis a R, så er den konstante funktion f givet ved: f (x) = a differentiabel, og dens afledede funktion er: f (x) = 0 Eller på sloganform: En konstant funktion differentieret giver nul. Dette er meget logisk hvis man tænker på hvordan grafen for en konstant funktion ser ud (det er en vandret linje), og samtidigt husker at differentiation handler om at finde grafhældning. Beviset er da også lige ud af landevejen: Bevis. Differenskvotienten i et hvilket som helst punkt x 0 bliver: d(x) = f (x) f (x 0) = a a = 0 Det er derfor klart at d(x) har grænseværdien nul, når x nærmer sig x 0. Dermed har vi vist at: f (x 0 ) = 0 Sætning 7 (Identitetsfunktionen). Hvis f er identitetsfunktionen givet ved: f (x) = x side 15
så er f differentiabel, og dens afledede funktion er: f (x) = 1 Igen er dette meget indlysende, når man tænker på grafen (en ret linje med hældningskoefficient 1.) Bevis. Differenskvotienten i et hvilket som helst punkt, x 0 bliver: Så det er klart at d(x) = f (x) f (x 0) = = 1 d(x) 1, når x x 0 Altså har vi vist at f (x 0 ) = 1 Indtil videre har beviserne været meget lette, fordi differenskvotienten ved nærmere eftersyn har været fuldstændig uafhængig af hvorhenne punkterne x og x 0 måtte ligge. Det bliver lidt sværere nu, så derfor vil resten af sætningerne i dette afsnit blive præsenteret uden bevis. Sætning 8 (Potensfunktioner). Hvis f er en potensfunktion givet ved: f (x) = x a (hvor a R \ {0} er et givet tal), så er: f (x) = a x a 1 i alle de punkter x hvor f er differentiabel. side 16
Bemærkninger Bemærk at vi ikke siger noget om hvilke punkter potensfunktioner er differentiable i. Det er fordi det er en temmelig indviklet historie. (Se f.eks. opgave 2). Hvis du er nysgerrig efter disse detaljer, kan du finde dem i det dokument hvor sætningen bliver bevist 8. I praksis kan man godt glemme detaljerne om hvorhenne potensfunktionerne er differentiable, fordi man næsten altid arbejder med en begrænsning af definitionsmængden til de positive reelle tal, hvor alle potensfunktioner er differentiable. Selve reglen er ret nem at huske hvis man får en fornemmelse af at differentiationen piller potensen ned foran samtidigt med at man gør den oprindelige potens 1 mindre. Bemærk at tilfældet hvor a = 1 allerede er bevist i sætning 7, og at a = 2 stort set er klaret i eksempel 2. Sætning 9 (Trigonometriske funktioner). Hvis f (x) = si n(x) så er f differentiabel i alle reelle tal x, og: Og hvis f (x) = cos(x) f (x) = cos(x) så er f differentiabel i alle reelle tal og: f (x) = si n(x) 8 Læs et bevis for sætning 8 her side 17
Bemærkninger Bemærk fortegnet når man differentierer cosinus. Man kan huske dette ved at huske det lille rim: Der skal minus foran sinus (når man differentierer) En anden god metode til at huske sætning 9 på er cirklen på figur 6. Man skal blot huske at cosinus har noget med x-aksen at gøre, at sinus har noget med y-aksen at gøre, og at differentiation foregår i urets retning. Fortegnene giver sig selv. Engang for længe siden har du muligvis fået at vide at den rigtige definition af de trigonometriske funktioner kræver at man angiver vinkler i radianer. Denne sætning er lige præcis grunden til dette! Hvis man måler vinkler i grader, så svarer det til at tage graferne for cosinus og sinus og skrive forkerte enheder på x-aksen. (Der hvor der står 2π skriver man f.eks. 360.) På den måde bliver hældningen af graferne for cosinus og sinus næsten vandret, og det er helt klart at sætning 9 ikke længere er rigtig! Sætning 10 (Den naturlige eksponentialfuntion). Hvis f (x) = e x så er f differentiabel i alle reelle tal x og: f (x) = e x Bemærkninger På sloganform kan denne sætning formuleres som: Den naturlige eksponentialfunktion er uændret ved differentiation side 18
sin Differentiation -cos cos -sin Figur 6: Differentiation af de trigonometriske funktioner. Denne sætning er præcis grunden til at den naturlige eksponentialfunktion kaldes naturlig. At en funktion differentieret giver sig selv betyder at dens grafhældning er lige så stor som dens funktionsværdi. Denne egenskab er en meget almindelig opførsel af funktioner som forekommer i naturen. Hvis f.eks. funktionen angiver en fysisk størrelse som afhænger af tiden (antallet af celler i en cellekultur, antallet af dyr i en dyrebestand, mængden af frigivet energi ved en ustabil kædereaktion i et radioaktivt materiale,... ), så svarer egenskaben til at størrelsen vokser hurtigere jo større den er. Sætning 11 (Den naturlige logaritme). Hvis f (x) = ln(x) side 19
så er f differentiabel i alle positive reelle tal, x og: f (x) = 1 x = x 1 Bemærkninger Den tager vi også lige på sloganform: Den naturlige logaritmefunktion differentieret giver reciprokfunktionen! Hvis man kigger grundigt efter i sætning 8, så er reciprokfunktionen den eneste potensfunktion som ikke kan fremkomme 9 ved differentiation af en anden potensfunktion. (Hvis man differentierer x 0 giver det jo nul). Man kan derfor tænke på at den naturlige logaritme lige præcis udfylder det hul som mangler blandt potensfunktionerne, nemlig en såkaldt stamfunktion til reciprokfunktionen (se figur 7) Vi slutter afsnittet med en oversigt: (Lær den udenad!) 9 Sådan næsten, da... Vi tillader os lige at glemme at potensen også skal trækkes ned foran og ganges på. Dette lille problem er dog let klaret. Du kan læse mere om hvordan man helt præcist finder stamfunktioner til potensfunktioner her side 20
ln(x) x -2 x-1 x 0 x 1 x 2 x 3 0 Figur 7: Differentiation af potensfunktioner og den naturlige logaritme (idet vi glemmer konstanterne som skal ganges på) f (x) f (x) Bemærkninger k 0 For konstanter k R x a a x a 1 For potenser a 0 og for alle de x hvor f er differentiabel. sin(x) cos(x) cos(x) sin(x) Der skal minus foran sinus e x e x Den naturlige eksponentialfunktion differentieret giver sig selv ln(x) 1 x For x > 0. Den naturlige logaritme differentieret giver reciprokfunktionen side 21
Øvelse 4. Betragt funktionen f defineret ved: Find den afledede funktion til f. f (x) = x 4 Bestem værdien af den afledede funktion i x = 2. For at du kan kontrollere dig selv, afslører vi at svaret på det sidste spørgsmål er: f (2) = 1 8 3.2 Regneregler Sætning 12 (Summer). Hvis f og g er to differentiable funktioner, og h er summen af de to funktioner givet ved: h(x) = f (x) + g (x) så er h differentiabel, og dens afledede funktion er: h (x) = f (x) + g (x) Sætning 13 (Differenser). Hvis f og g er to differentiable funktioner, og h er differensen af de to funktioner givet ved: h(x) = f (x) g (x) så er h differentiabel, og dens afledede er: h (x) = f (x) g (x) side 22
På sloganform siger disse to sætninger at: Summer og differenser af funktioner differentieres led for led Vi beviser kun sætningen om summer. Den anden kan bevises på præcis samme måde. Bevis. Antag at f og g er to funktioner, og at x 0 er et punkt hvor de begge er differentiable. Vi vil vise at f + g er differentiabel i x 0, så vi opskriver differenskvotienten: d(x) = (f + g )(x) (f + g )(x 0) = f (x) + g (x) (f (x 0) + g (x 0 )) Efter en hurtig ombytning af led i tælleren kan dette skrives som: d(x) = f (x) f (x 0) + g (x) g (x 0 ) = f (x) f (x 0) + g (x) g (x 0) Men disse to led er jo differenskvotienter for henholdsvis f og g i x 0, og da f og g er differentiable i x 0, ved vi at disse differenskvotienter nærmer sig henholdsvis f (x 0 ) og g (x 0 ) når x x 0. Dermed har vi vist at: d(x) f (x 0 ) + g (x 0 ), når x x 0 side 23
Eksempel 4. Hvis f er funktionen defineret ved: f (x) = x 3 + sin(x) så differentieres f ved at differentiere hvert af de to led. Altså: f (x) = 3x 2 + cos(x) Eksempel 5. Hvis en funktion består af mere end to led, som f.eks. funktionen f defineret ved: f (x) = x 2 cos(x) + e x 5 så differentieres f stadig bare led for led. Dette kan forklares med flere anvendelser af sætning 12 og 13, idet funktionsforskriften læses med nogle fornuftige parenteser: f (x) = ( x 2 cos(x) ) + ( e x 5 ) Sætning 14 (Produkter). Hvis f og g er to differentiable funktioner, og h er produktet af de to funktioner, defineret ved: h(x) = f (x) g (x) så er h differentiabel, og dens afledede funktion er: h (x) = f (x) g (x) + f (x) g (x) side 24
Denne regel er meget mere indviklet end det første man ville finde på. Men den er nem at huske hvis man får en god fornemmelse af hvordan man differentierer et produkt ved at: Differentiere den ene og lade den anden stå plus Lade den første stå og differentiere den anden Bevis. Lad x 0 være et indre punkt i definitionsmængden for både f og g. Vi ser på en differenskvotient for h: d(x) = h(x) h(x 0) = f (x) g (x) f (x 0) g (x 0 ) Nu skal vi bruge et smart lille trick for at komme videre. Hvis vi trækker noget fra oppe i tælleren og øjeblikkeligt lægger det til igen, så har vi ikke ændret på brøken. Vi har lyst til at gøre dette med udtrykket: f (x 0 ) g (x) (Bemærk at det er en slags mellemting mellem de to led der i forvejen står i tælleren). Dermed får vi: d(x) = f (x) g (x) f (x 0) g (x) + f (x 0 ) g (x) f (x 0 ) g (x 0 ) = f (x) g (x) f (x 0) g (x) + f (x 0) g (x) f (x 0 ) g (x 0 ) = f (x) f (x 0) g (x) + f (x 0 ) g (x) g (x 0) Nu er vi i en situation, hvor vi kan se hvad der sker med d(x) når x nærmer sig x 0. For det første vil: g (x) g (x 0 ), når x x 0 fordi g er kontinuert i x 0. For det andet er de to brøker bare differenskvotienter for henholdsvis f og g, så når x nærmer sig x 0, vil de gå imod henholdsvist f (x 0 ) og g (x 0 ). Alt i alt har vi: d(x) f (x 0 ) g (x 0 ) + f (x 0 ) g (x 0 ), når x x 0 side 25
Hvilket er det samme som at sige at h (x 0 ) = f (x 0 ) g (x 0 ) + f (x 0 ) g (x 0 ) Eksempel 6. Hvis f er funktionen defineret ved: f (x) = (x 2 1) sin(x) Så er f et produkt af to funktioner. Når f således skal differentieres, får vi: f (x) = 2x sin(x) + (x 2 1) cos(x) Bemærk at vi fik brug for sætning 13 til at differentiere den første af de to funktioner i produktet. Sætning 15 (Brøker). Hvis f og g er differentiable funktioner, og h er brøken af de to funktioner defineret ved: h(x) = f (x) g (x) differentiabel i alle de punkter x hvor g (x) 0, og dens afledede funktion er: h (x) = f (x) g (x) f (x) g (x) g (x) 2 Eksempel 7. Lad os differentiere en meget vigtig brøk af to funktioner, nemlig: f (x) = tan(x) = sin(x) cos(x) side 26
Umiddelbart giver sætning 15 at: f (x) = cos(x) cos(x) sin(x) ( sin(x)) cos(x) 2 = cos(x)2 + sin(x) 2 cos(x) 2 Men hvis man husker den såkaldte idiotformel, kan dette omskrives til: f 1 (x) = cos(x) 2 Hvis ikke man har lyst til det, kan man i stedet dividere nævneren op i begge leddene. Det giver: f (x) = cos(x)2 cos(x) 2 + sin(x)2 cos(x) 2 = 1 + tan(x)2 Begge disse (fuldstændig ens) funktionsudtryk er almindelige måder at skrive den afledede af tangens på. Den sidste regneregel kaldes ofte for kædereglen. Den handler om hvordan man differentierer sammensætninger af funktioner, og når man første gang kommer til at bruge den flere gange inde i hinanden 10, f.eks. til at differentiere funktionen f defineret ved: ( ) f (x) = ln sin(e (x2) ) så forstår man hvor kælenavnet kommer fra. Sætning 16 (Sammensatte funktioner). Hvis f og g er to funktioner, så er sammensætningen h = f g defineret ved: h(x) = f (g (x)) 10 Du kan se en nydelig illustration af kædereglen på figur 8 side 27
differentiabel i alle de punkter x som opfylder at g er differentiabel i x f er differentiabel i g (x) Dens afledede funktion i disse punkter er givet ved: h (x) = f (g (x)) g (x) Bemærkninger Denne regel tager rigtig lang tid at vænne sig til. Det kan hjælpe at tænke på den på følgende måde: I en sammensat funktion altså hvor h = f g h(x) = f (g (x)) omtaler man som regel g som den indre funktion og f som den ydre funktion. Hver gang man ser en sammensat funktion, skal man starte med at gøre sig klart hvilken funktion der er den indre og hvilken der er den ydre. Når man så skal differentiere sammensætningen, så starter man med at lægge en hånd 11 hen over den indre funktion og tænke at der står f af snik-snak. Når dette skal differentieres, så giver det naturligvis f af snik-snak, men i det øjeblik man skriver snik-snak -delen, skal man lige huske at bagefter skal den differentieres og ganges på det hele. 11 eller en arm eller en finger, alt efter hvor stort man skriver... side 28
Eksempel 8. Hvis h er den sammensatte funktion givet ved: h(x) = sin(cos(x)) så spiller cosinus rollen som den indre funktion, og sinus spiller rollen som den ydre. Når man differentierer sinus til snik-snik så får man cosinus til snik-snak. Men snik-snak er i dette tilfælde funktionen cosinus som lige skal differentieres og ganges på. Det giver: h (x) = cos(cos(x)) ( sin(x)) Øvelse 5. Differentier funktionerne f 1, f 2,... f 6 defineret ved: f 1 (x) = cos(x) + sin(x) ln(x) + x 5, x > 0 f 2 (x) = e x x 2, x R f 3 (x) = 5 x 2, x R f 4 (x) = 5 x, x R f 5 (x) = e sin(x), x R ( ) f 6 (x) = ln sin(e (x2) ) 3.3 En udfordring Her er en udfordrende opgave hvis du mener at have styr på at differentiere: side 29
Figur 8: En illustration af kædereglen. side 30
Øvelse 6. Start med at betragte funktionen f (x) = cos(x) og find de fire første afledede af f, altså: Bemærk at f, f, f og f f = f altså at cosinus giver sig selv når den differentieres fire gange. Husk også at den naturlige eksponentialfunktion giver sig selv allerede første gang man differentierer den. Spørgsmålet er nu: Findes der en funktion som giver sig selv når den differentieres to gange (men ikke før)? Altså: Findes der en differentiabel funktion, g, som opfylder at g = g, men hvor g g? Og nu det helt store spørgsmål: Hvad med tre gange? ;) 4 Tangenter og approksimationer 4.1 Tangentens ligning Den første anvendelse af differentiation er en direkte konsekvens af noget som allerede er nævnt flere gange 12 : 12 Bemærk blot at vi har skiftet bogstavet x ud med x 0, fordi vi vil bruge x til noget andet her. side 31
f (x 0 ) angiver hældningen af grafen for f i punktet (x 0 ; f (x 0 )). Det betyder at grafen for f i punktet (x 0 ; f (x 0 )) hælder på samme måde som den rette linje der går gennem det samme punkt og har hældning f (x 0 ). Denne rette linje kaldes tangenten til grafen for f i punktet (x 0 ; f (x 0 )), og den kan selvfølgelig beskrives med en ligning af formen: y = ax + b hvor hældningskoefficienten allerede er kendt, nemlig: a = f (x 0 ) og skæringen med y-aksen, b, nemt kan udregnes idet vi bruger at linjen går gennem punktet (x 0 ; f (x 0 )): dvs. Dermed bliver linjens ligning: f (x 0 ) = ax 0 + b b = f (x 0 ) ax 0 = f (x 0 ) f (x 0 ) x 0 Eller som ligningen ofte skrives: y = f (x 0 ) x + f (x 0 ) f (x 0 ) x 0 Sætning 17. Hvis f er en funktion som er differentiabel i et punkt x 0 R, så er tangenten til grafen for f i punktet (x 0 ; f (x 0 )) beskrevet ved følgende ligning: y = f (x 0 ) + f (x 0 ) ( ) side 32
Eksempel 9. Betragt funktionen f, defineret ved: f (x) = x 2 + 4 Vi vil finde en ligning for tangenten i punktet Først differentierer vi funktionen: Herefter kan vi udregne: x 0 = 1 f (x) = 2x f (x 0 ) = f (1) = 1 2 + 4 = 5 f (x 0 ) = 2 1 = 2 Dermed er den ønskede tangent beskrevet ved ligningen: y = f (x 0 ) + f (x 0 ) ( ) = 5 + 2 (x 1) Eller hvis man har lyst: y = 2x + 3 Øvelse 7. Tegn grafen for funktionen i eksempel??, og indtegn den rette linje med ligningen: y = 2x + 3 4.2 Det approksimerende førstegradspolynomium Tangenten kan også ses som graf for funktionen p 1 defineret ved: side 33
p 1 (x) = f (x 0 ) + f (x 0 ) ( ) Denne funktion har et meget fint navn, nemlig det approksimerende førstegradspolynomium til f omkring punktet x 0. Det er selvfølgelig fordi der også findes approksimerende polynomier af højere grad, men den historie gemmer vi til et andet dokument 13. Eksempel 10. Funktionen f defineret ved: f (x) = sin(x) + e x er differentiabel. Dens afledede funktion er: f (x) = cos(x) + e x Vi vil bestemme det approksimerende førstegradspolynomium omkring punktet x 0 = 0. Derfor udregnes: f (x 0 ) = sin(0) + e 0 = 1 f (x 0 ) = cos(0) + e 0 = 2 Dermed er det approksimerende førstegradspolynomium p 1 omkring x 0 givet ved: p 1 (x) = 1 + 2 (x 0) = 2x + 1 Se graferne for f og for p 1 på figur 9 Bemærkning 1. Resten af dette afsnit er meget teknisk, og indholdet har ikke ret mange 13 Læs om Taylorpolynomier her side 34
7 y=f(x) 6 y=p 1 (x) 5 4 3 2 1-4 -3-2 -1 0 1 2 3 4-1 -2 Figur 9: Grafen for funktionen f og for dens approksimerende førstegradspolynomium p 1 omkring 0 praktiske anvendelser. Derimod er det meget interessant fra et teoretisk synspunkt, idet det giver en ny måde at tænke på differentiabilitet på. Desuden skal det bruges i beviset for kædereglen (sætning 16). Men hvis du er mest interesseret i praktiske anvendelser, bør du springe resten af dette afsnit over og i stedet læse om monotoni og optimering i afsnit 5. 4.3 Den relative fejl og linearitet til første orden Det approksimerende førstegradspolynomium har den samme funktionsværdi som f i selve punktet x 0, fordi p 1 (x 0 ) = f (x 0 ) + f (x 0 ) (x 0 x 0 ) = f (x 0 ) side 35
Men ikke nok med det: Grafen for p 1 er tangent til grafen for f, så derfor vil den have næsten de samme funktionsværdier som f i punkter som ligger tæt på x 0. Dette næsten vil vi gøre mere præcist med den følgende definition: Definition 18. Hvis f er en funktion som er differentiabel i et punkt, x 0, og p 1 er det approksimerende førstegradspolynomium til f omkring x 0, så definerer vi den relative 14 fejl omkring x 0 til at være funktionen ε givet ved: ε(x) = f (x) p 1(x), x x 0 For en god ordens skyld definerer vi også at: ε(x 0 ) = 0 Den relative fejl har to meget vigtige egenskaber. Dem formulerer vi i en sætning. Sætning 19. Lad f være en funktion som er differentiabel i et punkt x 0, og lad p 1 være det approksimerende førstegradspolynomium til f omkring x 0. Den relative fejl ε opfylder at: f (x) = p 1 (x) + ε(x) ( ), for alle x (1) ε(x) 0, når x x 0 (2) Bemærkninger Disse to egenskaber afslører helt præcist hvor godt p 1 og f stemmer overens når man kommer tæt på x 0. Egenskab 1 siger at forskellen på side 36
de to funktioner er: ε(x) ( ) og egenskab 2 siger hvor hurtigt denne forskel nærmer sig nul når x nærmer sig x 0. Det viser sig nemlig at både ε(x) og (x x 0 ) går imod nul når x nærmer sig x 0. Det betyder at forskellen går hurtigere imod nul end ( ). Man siger at funktionen f og funktionen p 1 er ens til første orden eller at f er lineær til første orden omkring x 0. Disse udtryk bliver brugt meget i teoretisk fysik. Man kan let vise at hvis en funktion er lineær til første orden omkring et punkt x 0, så er den differentiabel i dette punkt. At være lineær til første orden er altså præcis det samme som at være differentiabel. Bevis (Bevis for sætning 19). Den første påstand er klart rigtig når x = x 0, og når x x 0 bevises den ved en direkte udregning af højresiden: p 1 (x) + ε(x) ( ) = p 1 (x) + f (x) p 1(x) ( ) = p 1 (x) + (f (x) p 1 (x)) = f (x) Den anden påstand er en smule mere tricky. Det handler om at se på definitionen af ε for x x 0, idet vi indsætter definitionen af p 1 : ε(x) = f (x) p 1(x) = f (x) ( f (x 0 ) + f (x 0 ) ( ) ) = f (x) f (x 0) f (x 0 ) ( ) = f (x) f (x 0) f (x 0 ) side 37
Men brøken er jo bare en differenskvotient for f i x 0, så den vil nærme sig f (x 0 ) når x x 0. Derfor vil ε(x) 0, når x x 0 5 Monotoni og Ekstremer Den næste anvendelse er lidt mere dybsindig, og meget mere nyttig i praksis. Faktisk er anvendelsen af differentiation til bestemmelse af monotoniforhold og ekstremer så vigtig en metode at den gennemgås i sit eget dokument 15. Her vil vi blot gennemgå de centrale sætninger som ligger til grund for metoden. Definition 20. En funktion f kaldes en C1-funktion hvis f er differentiabel og dens afledede funktion f er en kontinuert funktion. Bemærkning Lige som definition 1 er denne definition temmeligt teknisk, og eftersom alle de mest almindelige funktioner er kontinuerte, kan man godt tillade sig at tænke på at alle differentiable funktioner er C1-funktioner, selvom dette ikke er korrekt 16. Sætning 21. Hvis f er en C1-funktion, og x 0 er et indre punkt i Dm(f ), så gælder at: 15 Læs om monotonianalyse og optimering her 16 Se et eksempel på en funktion som er differentiabel, men som ikke er en C1- funktion her side 38
Hvis f (x 0 ) > 0 så er f voksende i et interval omkring x 0. Hvis f (x 0 ) < 0 så er f aftagende i et interval omkring x 0. Hvis f (x 0 ) = 0 så har grafen for f en vandret tangent i punktet (x 0 ; f (x 0 )). Bemærkninger Bemærk at konklusionen i det sidste tilfælde er meget svagere end de to andre. Man kan ikke konkludere at f er konstant i et lille interval omkring x 0, bare fordi f (x 0 ) = 0. Tænk på funktionen f defineret ved: f (x) = x 3 Den opfylder at f (0) = 0, men den er absolut ikke konstant på noget som helst interval (faktisk er den voksende). At de to første tilfælde er så forskellige fra det sidste hænger sammen med at et positivt/negativt tal forbliver positivt/negativt når man ændrer det en lille smule. Dette er ikke tilfældet med et tal som er lig med nul. Det er ekstremt svært at se hvorfor man har brug for antagelsen om at funktionen er en C1-funktion, og ikke bare at funktionen er differentiabel. Men ikke desto mindre findes der funktioner som er differentiable, har positiv tangenthældning i et punkt, og som ikke er voksende på noget som helst interval omkring punktet. Sætning 22. Hvis f er en differentiabel funktion og x 0 er et indre punkt i definitionsmængden for f som er et lokalt ekstremumssted for f, så er f (x 0 ) = 0 side 39
Bemærkninger Læg godt mærke til hvilken vej logikken vender! Det er meget nemt at komme til at tro at det omvendte gælder altså at et punkt, x 0 hvor f (x 0 ) = 0 automatisk er et lokalt ekstremumssted. Men dette er slet ikke rigtigt. Man behøver blot at tænke på funktionen f givet ved: f (x) = x 3 Sætningen er alligevel meget nyttig, når man skal finde lokale ekstremumssteder. Det skyldes at man som regel af en eller anden årsag ved at ens funktion har et eller flere ekstremumssteder. I stedet for så at skulle undersøge samtlige funktionsværdier og se hvilken en der er størst eller mindst, så siger sætningen at vi kun behøver at undersøge punkter x 0 som enten ikke er indre punkter (f.eks. intervalendepunkter) eller som er løsninger til ligningen: f (x 0 ) = 0 6 Avancerede anvendelser Differentiation kan anvendes på masser af andre smarte måder til at løse problemer. Et par eksempler som du kan læse om i andre dokumenter er: Nummerisk ligningsløsning 17 Bestemmelse af specielle grænseværdier 18 Teoretisk modellering ved hjælp af differentialligninger 19 Approksimationer af komplicerede funktioner med polynomier 20 17 Læs om iterative metoder til nummerisk ligningsløsning her 18 Læs om l Hôpitals regel her 19 Læs om teoretisk modellering her 20 Læs om Taylorapproksimationer her side 40