Differentialligninger Hvad beskriver en differentialligning? Hvordan noget ændrer sig (oftest over tid) Tangenthældninger langs en kurve x Retningsfelter x x(t) sin(π t) + x / π cos(π t) Jeppe Revall Frisvad Oktober 9 t Hvad beskriver et system af differentialligninger? Hvordan noget ændrer sig (oftest over tid) Hvordan et dynamisk system udvikler sig fra et givent udgangspunkt x x System af differentialligninger som matrixligning Et homogent system af ordens differentialligninger kan skrives: A x skrives eller d x x A x, hvor x x x x x x x x og A System af differentialligninger som retningsfelt Ved simulering finder vi systemets udvikling fra et givent udgangspunkt Hvordan kan vi illustrere udviklingen fra et vilkårligt udgangspunkt? Tænk på vektoren som en retningsvektor Hvis vi tegner for jævnt fordelte x og x værdier, får vi x x x x x
Retningsfelter Et system af differentialligninger knytter til ethvert punkt i rummet ((x, x )-planet i eksemplet) en retningsvektor Et system af differentialligninger beskriver derfor hvad vi kalder et retningsfelt En tegning af et retningsfelt giver os en god ide om hvordan et system vil udvikle sig fra et vilkårlige udgangspunkt Differentialligningen har den velkene løsning ax x(t) x e at Lad os betragte systemet af differentialligninger: x x x x x a x + a x eller a x + a x Ax v e x(t) λt e λt e λt v e λt v, hvor λ, v og er konstanter og v v e x(t) λt e λt e λt v e λt v, hvor λ, v og er konstanter og v Lad os se om konstanterne kan bestemmes, så vores gæt virkelig er en løsning: v λe λt λe λt λe λt v Systemet af differentialligninger var Ax Vi har altså fundet en løsning, hvis λx(t) Ax(t) λx(t) v e x(t) λt e λt e λt v e λt v, hvor λ, v og er konstanter og v Vi har fundet en løsning, hvis Hvis vi indsætter x(t), får vi λe λt v λx(t) Ax(t) Ae λt v hvor e λt udgår, så vi har en løsning, hvis v v λ A,
Egenløsninger Egenløsninger Vi har fundet en løsning Vi har fundet en løsning x(t) e λt v, v, x(t) e λt v, v, til et system af differentialligninger Ax, hvis til et system af differentialligninger Ax, hvis λv Av λv Av Dette er præcis den sammenhæng, som opstår i Leslie matrix modellen, når forholdet mellem successive befolkningstal konvergerer Dvs når N i (t) λ for t og i,,, m, N i (t ) hvor N i er antallet af individer i aldersgruppen i λ kaldes en vækstparameter for befolkningen (en egenværdi for Leslie matricen) v kaldes en stabil aldersfordeling (en egenvektor for Leslie matricen) λ kaldes en egenværdi for A v kaldes den til λ hørende egenvektor for A Løsningen (λ, v), vi har fundet, kaldes en egenløsning Egenløsninger siger noget om hvordan et dynamisk system vil udvikle sig på sigt (som for Leslie matrix modellen) Egenvektorerne viser sig som tendenslinier i retningsfeltet Egenløsninger findes ved at løse ligningssystemet (for v ) λv Av (A λi)v Eksempel: Egenværdier Eksempel: Egenvektorer Egenløsninger findes ved at løse ligningssystemet (for v ) Egenløsninger findes ved at løse ligningssystemet (for v ) λv Av (A λi)v Da vi kræver v, kan vi finde λ ved at løse: det(a λi) x x x x dvs A Determinanten er det(a λi) det λ λ Vi skal altså løse andengradsligningen ( λ)( λ) ( ) det(a λi) ( λ)( λ) + ( λ)( λ) Løsningerne og dermed egenværdierne er λ og λ λv Av (A λi)v For egenværdien λ har vi v v v Hvis vi samler v erne på venstre side, får vi v v De ligninger er ens: v v En oplagt løsning er: v v v v v T er altså en til λ hørende egenvektor
Eksempel: Egenvektorer Eksempel: Egenløsninger i retningsfelt Egenløsninger findes ved at løse ligningssystemet (for v ) Vi har fundet egenløsninger λv Av (A λi)v (λ, v T ) og (λ, T ) For egenværdien λ har vi v v v Hvis vi samler v erne på venstre side, får vi v v De ligninger er ens: v v En oplagt løsning er: v v v v v T er altså en til λ hørende egenvektor til systemet af differentialligninger Egenvektorerne angiver retninger på tendenslinier i retningsfeltet, som skærer x Egenværdierne angiver systemets udvikling langs tendenslinierne Positiv: væk fra x Negativ: imod x Ax, hvor A x λ : x x λ : x x x Ligevægt og stabilitet Stabilitet: Dræn Når et system ikke ændrer sig, er det i ligevægt Et system ændrer sig ikke, når differentialkvotienten er Dvs systemet Ax er i ligevægt i et punkt x ˆx, når Aˆx Hvis det A, findes kun løsningen ˆx Det kan vises at det A λ λ Dvs: (a) Hvis begge egenværdier er forskellige fra, så har systemet kun ligevægten ˆx (b) Hvis én egenværdi er forskellig fra, så har systemet også ligevægte forskellige fra (c) Hvis begge egenværdier er, så er systemet konstant og derfor altid i ligevægt I det følgende betragter vi tilfældet (a), hvor begge egenværdier er forskellige fra Egenværdiernes fortegn bestemmer ligevægtens stabilitet Egenværdiernes fortegn bestemmer ligevægtens stabilitet Positiv: væk fra ˆx Negativ: imod ˆx Når begge egenværdier er negative: λ < og λ < x x x x
Stabilitet: Sadelpunkt Egenværdiernes fortegn bestemmer ligevægtens stabilitet Positiv: væk fra ˆx Negativ: imod ˆx Når egenværdier har forskellige fortegn: λ < og λ > (eller λ > og λ < ) Stabilitet: Kilde Egenværdiernes fortegn bestemmer ligevægtens stabilitet Positiv: væk fra ˆx Negativ: imod ˆx Når begge egenværdier er positive: λ > og λ > x x x x x x x x Hvordan tegner man et retningsfelt i MATLAB? MATLAB-kommandoen quiver tegner pile i en figur For hver pil skal MATLAB bruge input: x, y, u og v (x, y) er koordinater, som angiver pilens positionen (u, v) er en vektor, som angiver pilens retning 9 8 7 quiver(,,, ); 6 Hvis x, y, u og v er vektorer med n elementer, tegner MATLAB en pil for hver kombination: x(i), y(i), u(i), v(i), hvor i er indeks fra til n x y meshgrid(-, - ); uv ones(size(x)); quiver(x, y, uv, uv); 6 7 8 9