6.1 Reelle Indre Produkter

SEKTION 6.1 REELLE INDRE PRODUKTER 6.1 Reelle Indre Produkter Definition 6.1.1 Et indre produkt på et reelt vektorrum V er en funktion, : V V R således at, for alle x, y V, I x, x 0 med lighed x = 0, II x, y = y, x, III αx + βy, z = α x, z + β y, z. Associeret til det indre produkt er en længde (eller norm) v = v, v for v V. Aksiom I fortæller, at v =0 v = 0. Læg mærke til, at av = a v for alle a R og v V. Eksempel 6.1., 1: skalarproduktet i R n x, y = x T y er et indre produkt på R n. Eksempel 6.1., : indre produkt induceret med hjælp af en basis Hvis det reelle vektorrum V har ordnet basis V = {v 1,..., v n }, så er, V, givet ved x, y V = ([x] V ) T [y] V, et indre produkt. Aksiomerne I, II, og III følger nemt af de tilsvarende egenskaber for skalarprodukt, fordi koordinatiseringsafbildningen θ V er en lineær isomorfi. Det viser sig, at alle indre produkter på endelig dimensionale reelle vektorrum er af denne form. Eksempel 6.1., 3: et indre produkt på C[a, b] Et indre produkt på C[a, b] er givet ved f, g = b a f(x)g(x)dx. Lineariteten af integralet viser II, III umiddelbart. For I, vi bemærker, at f, f = b a (f(x)) dx er integralet af en kontinuert reel og ikke-negativ funktion, så f, f 0. Hvis f(x 0 ) 0, så er (f(x)) 1 (f(x 0)) > 0 for x i et (måske lille) interval I, lad os sige af længde l(i), omkring x 0 så så hvis f 0, f, f > 0. b a (f(x)) dx 1 (f(x 0)) l(i) > 0; 9

SEKTION 6.1 REELLE INDRE PRODUKTER Definition 6.1.3 Lad V være et reelt vektorrum med indre produkt,. u, v V er ortogonale (i kort form u v) hvis u, v =0. Sætning 6.1.4 (Pythagoras) Lad V være et reelt vektorrum med indre produkt,, og lad u, v V være ortogonale. Der gælder u + v = u + v. u + v = u + v, u + v = u, u + u, v + v, u + v, v = u, u + 0 + 0 + v, v = u + v. Definition 6.1.5 Lad V være et reelt vektorrum med indre produkt,. Hvis u, v V, v 0, så er skalarprojektionen af u på v α = ( ) 1 mens vektorprojektionen er p = α v v u, v v, = u,v v,v v. Lemma 6.1.6 Lad V være et reelt vektorrum med indre produkt,, lad u, v V med v 0, og lad p være vektorprojektionen af af u på v. 1. u p, p er ortogonale.. u = p hvis, og kun hvis, u er et skalarmultiplum af v. 1. u p, p = u, p p, p = u,v v,v α =0.. Hvis u = βv, så er p = βv,v v,v v = βv = u. Hvis u = p så er u = p = α v v. 93

SEKTION 6.1 REELLE INDRE PRODUKTER Sætning 6.1.7 (Cauchy Schwarz) Lad V være et reelt vektorrum med indre produkt,. Lad u, v V. Der gælder u, v u v, og ligheden gælder hvis, og kun hvis, u, v er lineært afhængige. Hvis v = 0, så har vi lighed, u, v =0= u v. Hvis v 0 lad p være vektorprojektionen af u på v. Da p, u p er ortogonale ifølge Lemma 6.1.6, 1, gælder u = p + u p, så så Vi har derfor u, v u v. u, v v = α = p = u u p, u, v = u v u p v u v. Ligheden holder i ( ) hvis, og kun hvis, u = p. Det følger nu af Lemma 6.1.6,, at ligheden i Cauchy-Schwarz-uligheden gælder hvis, og kun hvis, v = 0 eller u er et skalarmultiplum af v, dvs. hvis, og kun hvis, u, v er lineært afhængige. ( ) Sætning 6.1.8 (Trekantsuligheden) Lad V være et R-vektorrum med indre produkt,. 1. Lad u, v V. Der gælder, at u + v u + v. ( ). Ligheden gælder i ( ) u = av eller v = au med a 0. 94

SEKTION 6.1 REELLE INDRE PRODUKTER 1. u + v = u + v, u + v = u, u + u, v + v, u + v, v u + u v + v (Cauchy Schwarz) =( u + v ), så u + v u + v.. Det er klart, at udsagnet gælder, når v = 0. Så vi antager v 0. Det fremgår af udregningen ovenfor, at u + v = u + v u + v =( u + v ) u, v = u v u, v = u v : Cauchy Schwarz ligheden gælder, så u, v er lineært afhængige. Da v 0, må dette betyde, at u = av, a R. Vi har derfor u, v = av, v = a v, v = a v og u v = av v = a v. Så u, v = u v a = a, dvs. a 0. : Hvis u = av med a 0, så er u, v = a v og u v = a v. Da a = a er u, v = u v, så u + v = u + v. Korollar 6.1.9 Lad V være et R-vektorrum med indre produkt,. lad v 1,..., v k V. Der gælder v 1 +... + v k v 1 +... + v k, med lighed hvis, og kun hvis, der findes i, 1 i k og reelle tal a 1,..., a k 0 og a i =1 med v j = a j v i for j =1,..., k. 95

SEKTION 6.1 REELLE INDRE PRODUKTER Hvis der findes i, 1 i k og reelle tal a 1,..., a k 0 og a i = 1 med v j = a j v i for j =1,..., k, så er v 1 +... + v k = (a 1 +... + a k )v i så ligheden gælder i dette tilfælde. =(a 1 +... + a k ) v i ( fordi a 1 +... + a k er reelt og ikke-negativt) = a 1 v i +... + a k v i ( fordi a 1,..., a k er reelle og ikke-negative) = v 1 +... + v k, Resten af argumentet er induktivt over antallet k af elementer. Resultatet gælder umiddelbart når k =1. Antag så, at det gælder for k elementer; vi må vise, at det gælder for k +1elementer. Lad så v 1,..., v k+1 V. Vi har v 1 +... + v k+1 v 1 +... + v k + v k+1 (pga. trekantsuligheden) v 1 +... + v k + v k+1 (pga. induktionshypotesen) ( ) som ønsket. Antag nu, at Så er begge uligheder i ( ) ligheder, så v 1 +... + v k+1 = v 1 +... + v k + v k+1. enten er v 1 +... + v k = 0 eller findes der reel α 0 så v k+1 = α(v 1 +... + v k ) (pga. trekantsligheden), og der findes i, 1 i k og reelle tal a 1,..., a k 0 og a i = 1 med v j = a j v i for j =1,..., k (pga. induktionshypotesen). Hvis v 1 +... + v k = 0, så er (a 1 +... + a k )v i = 0. Da a 1 +... + a k > 0, fordi a j 0 for j =1,..., k og a i =1, må v i =0. Men så er v j = a j v i = 0 for j =1,..., k, og v j = b j v k+1 med b j =0for j =1,..., k og b k+1 =1. Hvis v k+1 = α(v 1 +... + v k ), så er v k+1 = α(a 1 +... + a k )v i. Lad a k+1 = α(a 1 +... + a k ); så er v j = a j v i for j =1,..., k +1med a j 0 for j =1,..., k +1og a i =1. Induktionsskridtet er taget, og resultatet derved bevist. 96

SEKTION 6. KOMPLEKSE INDRE PRODUKTER 6. Komplekse Indre Produkter Definition 6..1 Lad V være et C vektorrum. Et (komplekst) indre produkt er en afbildning, : V V C, som tilfredsstiller: I v, v er reel og ikke negativ for alle v V ; og er 0 hvis, og kun hvis, v = 0. II v, w = w, v for alle v, w V III αv + βw, z = α v, z + β w, z for alle α, β C, v, w, z V. Det følger af II og III at: IV u,αv + βw =ᾱ u, v + β u, w for alle α, β C, u, v, w V. Associeret til det indre produkt er en længde (eller norm) Aksiom I fortæller, at v =0 v = 0. v = v, v for v V. Læg mærke til, at av = a v for alle a C og v V. Eksempel 6.., 1: skalarproduktet i C n (se [L], s. 345) Det komplekse skalarprodukt i C n u, v af vektorer u =[u 1,..., u n ] T, v =[v 1,..., v n ] T fra C n defineres ved u, v = v H u = v 1 u 1 + v u + + v n u n ; her v = gælder. v 1. v n, og v H =( v) T = [ v 1,..., v n ]. Direkte udregninger viser at aksiomerne II og III For aksiom I beregner vi v, v = v 1 v 1 + + v n v n. Hvis v j = a j + ib j, med a j,b j reelle, så er v j v j = a j + b j og v, v = n (a j + b j), j=1 som er en sum af kvadrater af de reelle tal a j,b j,j=1,..., n, derved reel og ikke-negativ, og 0 hvis og kun hvis a j =0,b j =0for j =1,..., n, dvs. hvis og kun hvis v = 0. Normen eller længden af en kompleks vektor v C n er da givet ved v = v, v = v 1 v 1 + + v n v n. 97

SEKTION 6. KOMPLEKSE INDRE PRODUKTER Eksempel 6.., : indre produkt induceret med hjælp af en basis Lad V være et C vektorrum med ordnet basis V =[v 1,..., v n ]. Et indre produkt, V er givet ved skalarproduktet af koordinatiseringer mht. V: u, v V = [u] V, [v] V for u, v V. Aksiomerne I, II, III følger nemt fra de tilsvarende egenskaber ved skalarproduktet, fordi koordinatiseringsafbildningen θ V er en lineær isomorfi. Det viser sig, at alle indre produkter på endelig dimensionale komplekse vektorrum er af denne form. Eksempel 6.., 3: rummet C([a, b], C) af komplekse funktioner [a, b] C Lad f :[a, b] C være en funktion. Der defineres funktioner Re(f), Im(f) : [a, b] R ved Re(f)(x) = Re(f(x)), Im(f)(x) = Im(f(x)) for alle x [a, b]; f er kontinuert hvis og kun hvis Re(f), Im(f) er kontinuerte. Vi definerer b a f(x)dx = b a Re(f)(x)dx + i Vi definerer et indre produkt i C([a, b], C) ved f, g = b a b a Im(f)(x)dx for f C([a, b], C). f(x)g(x)dx. Lineariteten af integralet viser aksiomerne II og III umiddelbart. For aksiom I, vi bemærker, at f, f = b a (Re(f)(x)) + (Im(f)(x)) dx er integralet af en kontinuert reel og ikke negativ funktion, og er derfor (med et lignende argument til det i Eksempel 6.1., 3) 0 hvis, og kun hvis, (Re(f)(x)) + (Im(f)(x)) =0for alle x [a, b], altså hvis, og kun hvis, Re(f) =0og Im(f) =0, altså hvis, og kun hvis, f =0. Definition 6..3 Lad V være et C-vektorrum med indre produkt,. u, v V er ortogonale hvis u, v =0. Proposition 6..4 ( Pythagoras) Lad V være et C-vektorrum med indre produkt,, og lad u, v V være ortogonale. Der gælder u + v = u + v. 98

SEKTION 6. KOMPLEKSE INDRE PRODUKTER u + v = u + v, u + v = u, u + u, v + v, u + v, v = u + v, fordi u, v =0og v, u = u, v = 0 =0. Definition 6..5 Lad V være et C-vektorrum med indre produkt,. Hvis u, v V, v 0, så er skalarprojektionen af u på v tallet α = u, v v ; mens vektorprojektionen er ( ) 1 p = α v v u, v = v, v v. Lemma 6..6 Lad V være et komplekst vektorrum med indre produkt,, lad u, v V med v 0, og lad p være vektorprojektionen af u på v. 1. u p, p er ortogonale.. u = p hvis, og kun hvis, u er et skalarmultiplum af v. 1. Vi har og så p, p = u, p = αᾱ v, v = αᾱ v ᾱ u, v =ᾱα, v u p, p = u, p p, p =ᾱα αᾱ =0.. Hvis u = βv, så er p = βv,v v,v v = βv = u. Hvis u = p så er u = p = α v v. 99

SEKTION 6. KOMPLEKSE INDRE PRODUKTER Sætning 6..7 (Cauchy Schwarz Uligheden) Lad V være et C vektorrum med indre produkt,. Lad u, v V. Der gælder u, v u v. Ligheden gælder hvis, og kun hvis, u, v er lineært afhængige. Hvis v = 0 så har vi lighed, u, v =0= u v. Hvis v 0 lad p være vektorprojektionen af u på v. Da p, u p er ortogonale ifølge Lemma 6..6, 1, gælder p + u p = u, så så u, v v = α = αᾱ = p = u u p, u, v = u v u p v u v. Vi har derfor u, v u v. Ligheden holder i ( ) hvis, og kun hvis, u = p. Det følger nu af Lemma 6..6,, at ligheden i Cauchy Schwarz uligheden gælder hvis, og kun hvis, v = 0 eller u er et skalarmultiplum af v, dvs. hvis, og kun hvis, u, v er lineært afhængige. ( ) Korollar 6..8 (Trekantsuligheden) Lad V være et C vektorrum med indre produkt,. Lad v, w V. Der gælder 1. v + w v + w. Ligheden gælder hvis, og kun hvis, v = aw eller w = av med a R, a 0. 100

SEKTION 6. KOMPLEKSE INDRE PRODUKTER 1. En udregning viser Så v + w v + w, som ønsket. v + w = v + v, w + w, v + w ; = v + Re( v, w )+ w (fordi w, v = v, w ) v + v, w + w v + v w + w (Cauchy Schwarz) =( v + w ).. Det er klart, at udsagnet gælder, når w = 0. Så vi antager w 0. Det fremgår af beregningerne ovenfor, at v + w = v + w ( v + w ) =( v + w ) v w = v, w = Re( v, w ) v w = v, w = Re( v, w ). Vi har altså Cauchy Schwarz ligheden, så v, w er lineært afhængige. Da v 0, må dette betyde, at v = aw, a C. Vi har derfor v, w = aw, w = a w, w = a w, v w = aw w = a w. Så v, w = v w a = a a R, a 0. Korollar 6..9 Lad V være et C-vektorrum med indre produkt,. lad v 1,..., v k V. Der gælder v 1 +... + v k v 1 +... + v k, med lighed hvis, og kun hvis, der findes i, 1 i k og reelle tal a 1,..., a k 0 og a i =1 med v j = a j v i for j =1,..., k. et er ordret det samme som beviset for den reelle version 6.1.9. 101

SEKTION 6.3 NORMER 6.3 Normer Trekantsuligheden er et meget naturligt krav til en afstandsfunktion: afstanden fra x til z må da være mindre end afstanden fra x til y plus afstanden fra y til z... En afstandsfunktion behøver ikke at være tilknyttet et indre produkt, ej heller til en lineær struktur. Jeg holder mig dog til den lineære situation: Definition 6.3.1 ([L], s. 50) Et R- eller C-vektorrum V er et normeret vektorrum, hvis der er en funktion : V R således, at I v 0 med lighed v = 0. II αv = α v for alle α R (eller C). III v + w v + w for alle v, w V. Det følger nemt af definitionen, at defineret ud fra et indre produkt på et R- eller C-vektorrum tilfredsstiller I og II, og vi har vist III i 6.1.8 (R-tilfælde) og 6..8 (C-tilfælde). Der er andre vigtige eksempler, som ikke nødvendigvis er udledt af et indre produkt. Eksempler 6.3. Lad x = x 1. x n K n (hvor K er R eller C). p, p 1, defineret ved x p =( n i=1 x i p ) 1 p, defineret ved x = max 1 i n x i, er alle normer på K n. Når n =1er disse ens; x p = x for alle x K, for alle p, 1 p. Når n>1 er de ret forskellige. Det er nemt at se, at aksiomerne I og II gælder for disse normer. Aksiom III, trekantsuligheden, er sværere at påvise, specielt for generel p. 1, og er ret ofte benyttet. De andre bruges sjældent i praktisk sammenhæng. er normen udledt af skalarproduktet på K n, mens de andre kan ikke udledes af et indre produkt når n>1. 10

SEKTION 6.3 NORMER En norm udledt af et indre produkt har specielle egenskaber: Proposition 6.3.3 (parallellogram identitet) Lad V være et reelt eller komplekst indre produkt rum. Skriv, for det indre produkt, for den udledte norm. Der gælder, for u, v V, at u + v + u v = u + v. u + v + u v = u + v, u + v + u v, u v = u, u + u, v + v, u + v, v + u, u v, u u, v + v, v = ( u + v ). Eksempel 6.3.4 Vi viser, at normerne p på K n, K = R eller C, n>1, kan ikke udledes af et indre produkt for 1 p,p ; vi gør det ved at vise, at parallellogram-identiteten ikke gælder for dem. Lad 1 0 e 1 = 0, e = 1.. være de to første standard-basis vektorer i K n. Vi beregner og Så, for 1 p<, mens e 1 p = e p =1for alle p, 1 p e 1 + e p = e 1 e p = { 1 p 1 p<. 1 p = e 1 + e p + e 1 e p ( e 1 p + e p)= p 4 = 4( p 1 1), e 1 + e + e 1 e ( e 1 + e )= 4=. Parallellogram-identiteten gælder således ikke for 1 p,p ; så p kan ikke udledes af et indre produkt for disse p. 103

SEKTION 6.3 NORMER Eksempel 6.3.5: et forkert argument i [L] I bunden af s. 51 ser [L] på på R. Lad [ [ ] 1 4 x 1 =, x ] = R, så x 1 + x = [L] beregner og [ ] 3. 4 x 1 =, x =4, så x 1 + x = 0, x 1 + x =4, så x 1 + x = 16. [L] påstår, med henvisning til Pythagoras, at x 1 + x, x 1 + x ville være ens hvis kom fra et indre produkt, fordi x T 1 x =0. Argumentet er forkert! Der er faktisk mange indre produkter, V på R med x 1 + x V x 1 V + x V. For eksempel, lad {[ [ 1 0 V =,, ] 1]} en ordnet basis i R. Vi har så og [x 1 ] V = x 1 = v 1, x = 4v 1 + 10v, [ 1 0], [x ] V = [ ] 4, [x 10 1 + x ] V = [ ] 3, 10 x 1 + x V = 109, x 1 V + x V = 1 + 116 = 117. Dette er ikke så overraskende, fordi x 1, x ikke er ortogonale mht., V, idet x 1, x V = ([x 1 ] V ) T [x 1 ] V = 4. [L] s observation at x T 1 x =0er egentlig irrelevant! 104

SEKTION 6.3 NORMER Det er faktisk sådan, at indre produktet kan gendannes fra normen, den inducerer: Proposition 6.3.6 (polariserings identitet) Lad V være et reelt eller komplekst indre produkt rum; skriv, for det indre produkt, for den udledte norm. Lad u, v V. R-tilfælde: C-tilfælde: u, v = 1 4 ( u + v u v ), u, v = 1 4 ( u + v u v + i( u + iv u iv )). Man regner højresiderne ud: R-tilfælde: u + v u v = u, u + u, v + v, u + v, v ( u, u u, v v, u + v, v ) = ( u, v + v, u ) =4 u, v C-tilfælde: u + v u v + i( u + iv u iv ) = u, u + u, v + v, u + v, v u, u + u, v + v, u v, v + i( u, u + u,iv + iv, u + iv,iv u, u + u,iv + iv, u iv,iv ) = u, v + v, u +i( u,iv + iv, u ) = u, v + v, u +i( i u, v + i v, u ) = u, v + v, u + u, v v, u =4 u, v. 105

SEKTION 6.4 ORTOGONALE OG ORTONORMALE MÆNGDER 6.4 Ortogonale og ortonormale mængder Notation 6.4.1 Lad K = R eller C. Et K-vektorrum med et indre produkt angivet kaldes et indre-produkt rum. Definition 6.4. Lad V være et indre-produkt rum. Lad v 1,..., v n V \{0}. Hvis v i, v j =0for i j, er {v 1,..., v n } en ortogonal mængde. Sætning 6.4.3 ([L], 5.5.1) Lad V være et indre-produkt rum. Hvis {v 1,..., v n } V er en ortogonal mængde, så er v 1,..., v n lineært uafhængige. Skriv, for V s indre produkt. Antag, at c 1 v 1 + + c n v n = 0, med c 1,..., c n K. Vi har da, for i =1,..., n 0= 0, v i = c 1 v 1 + + c n v n, v i = c 1 v 1, v i + + c n v n, v i = c i v i, v i, idet v j, v i =0for j i, = c i v i Da v i 0, v i 0; så c i =0. Dette gælder for i =1,..., n, så der er ingen ikke-trivielle lineære relationer blandt v 1,..., v n ; dvs. de er uafhængige. Definition 6.4.4 En ortonormal mængde er en ortogonal mængde af enhedsvektorer (dvs. vektorer af længde 1). Så {u 1,..., u n } er ortonormal u i, u j = δ ij, hvor { 1 i = j δ ij = 0 i j (det såkaldte Kronecker-delta ). En ortonormal mængde kan altid nemt findes ud fra en ortogonal mængde: hvis {v 1,..., v n } er ortogonal, så er { 1 v v 1 1 1,..., v v n n} ortonormal. 106

SEKTION 6.4 ORTOGONALE OG ORTONORMALE MÆNGDER Eksempel 6.4.5 ([L], s. 56, Example 3) Betragt C([, π]) med indre produkt givet ved Da er en ortogonal mængde, idet f, g = 1 π f(x)g(x)dx. {1, cos x, sin x, cos x, sin x, cos 3x, sin 3x,... } 1, cos nx = 1 π 1, sin nx = 1 π cos nx dx = 1 π sin nx dx = 1 π [ 1 n sin nx] π =0, [ 1 n cos nx] π =0, og, for m n, cos mx, cos nx = 1 π sin mx, sin nx = 1 π sin mx, cos nx = 1 π = 1 π = 1 π = 1 π cos mx cos nx dx 1 (cos(m + n)x + cos(m n)x) dx =0, sin mx sin nx dx 1 (cos(m n)x cos(m + n)x) dx =0, sin mx cos nx dx 1 (sin(m + n)x + sin(m n)x) dx =0. (Vi har brugt sumformlerne for sin, cos i en anden udformning: cos a cos b = 1 (cos(a + b) + cos(a b)), sin a sin b = 1 (cos(a b) cos(a + b)), sin a cos b = 1 (sin(a + b) + sin(a b)).) { 1, cos x, sin x, cos x, sin x,... } er ortonormal, idet 1 1, = 1 1 1 π dx =1, og cos nx, cos nx = 1 π sin mx, sin mx = 1 π cos nx dx = 1 π sin mx dx = 1 π 1 (1 + cos nx) dx =1, 1 (1 cos mx) dx =1. 107

SEKTION 6.4 ORTOGONALE OG ORTONORMALE MÆNGDER Eksempel 6.4.6 For b R defineres Læg mærke til, at e ib = cos b + i sin b C. e ib = e ib. Der følger umiddelbart af sumformlerne for cos og sin, at Vi bruger disse egenskaber til at vise, at e i(b+d) = e ib e id for b, d R. {1,e ix,e ix,e ix,e ix,... } er en ortonormal mængde i C([, π], C) mht. indre produktet f, g = 1 π π f(x)g(x)dx, idet, for n Z, e inx,e inx = 1 π e inx e inx dx = 1 π 1dx =1, og, for m, n Z, m n, e imx,e inx = 1 π = 1 π = 1 π =0. e imx e inx dx e i(m n)x dx cos(m n)x dx + i 1 π sin(m n)x dx Definition 6.4.7 Lad U = {u 1,..., u n } være en ortonormal mængde i et indre-produkt rum, og lad S = Span{u 1,..., u n }. Så er U en basis for S, en ortonormalbasis. Det er ofte meget nemmere at arbejde med ortonormale mængder og ortonormale baser end med uafhængige mængder og baser. I de efterfølgende 6.4.8, 6.4.9 og 6.4.10, lad V være et indre-produkt rum, med indre produkt,, og lad {u 1,..., u n } være en ortonormal mængde i V. Sætning 6.4.8 ([L], 5.5.) Hvis v = c 1 u 1 + + c n u n, så er c i = v, u i. v, u i = n j=1 c ju j, u i = n j=1 c j u j, u i = c i. 108

SEKTION 6.4 ORTOGONALE OG ORTONORMALE MÆNGDER Sætning 6.4.9 ([L], 5.5.3) Hvis u = n i=1 a iu i og v = n j=1 b ju j, så er { n i=1 u, v = a ib i R-tilfælde n i=1 a i b i C-tilfælde n n R-tilfælde: u, v = a i u i, b j u j i=1 i=1 j=1 j=1 n n = a i b j u i, u j = = n a i b i u i, u i i=1 n a i b i. n n C-tilfælde: u, v = a i u i, b j u j i=1 i=1 i=1 j=1 j=1 n n = a i bj u i, u j = = n a i bi u i, u i i=1 n a i bi. i=1 Korollar 6.4.10 (Parsevals formel, [L], 5.5.4) Hvis v = c 1 u 1 + + c n u n, så er v = { c 1 + + c n R-tilfælde c 1 + + c n C-tilfælde Dette følger umiddelbart af Sætning 6.4.9, idet v = v, v ; i det komplekse tilfælde anvendes også, at z z = z for z C. 109

SEKTION 6.4 ORTOGONALE OG ORTONORMALE MÆNGDER Eksempel 6.4.11 (Ex. 5, s. 58 i [L]) Vi beregner sin4 x dx. Dobbeltvinkelformlen for cos giver cos x = cos x sin x =1 sin x, så sin x = 1 1 (1 cos x) = 1 1 cos x. { 1, cos x} er en ortonormal mængde i C[, π] mht. f, g = 1 π π f(x)g(x) dx. Så Parsevals formel giver, at Men sin x = 1 π sin x =( 1 ) +( 1 ) = 1 + 1 4 = 3 4. sin4 x dx, så sin 4 x dx = 3 4 π. Definition 6.4.1 Lad V være et indre produkt rum med indre produkt,, og lad S være et underrum af V. Det ortogonale komplement til S i V er S = {v V v, s =0}. Lemma 6.4.13 S er et underrum af V. Lad u, v S, α, β K. For alle s S gælder αu + βv, s = α u, s + β v, s =0, så αu + βv S. Hvis V er af endelig dimension, vil vi se, at der er lignende relationer mellem S, S,V og projektioner, som der er mellem T, T, R n og projektioner, når T er et underrum af R n. Men vi vil argumentere anderledes, med hjælp af ortonormale mængder og baser. 110

SEKTION 6.4 ORTOGONALE OG ORTONORMALE MÆNGDER Sætning 6.4.14 ([L], 5.5.7) Lad S være et underrum af det indre-produkt rum V med indre produkt,. Lad {s 1,..., s k } være en ortonormalbasis for S, og lad v V, p S. Der gælder, at k p v S p = v, s i s i. i=1 Da p S, vi kan skrive p = c 1 s 1 + + c k s k med c 1,..., c k K. ffaktisk har vi, ifølge Sætning 6.4.8, at c i = p, s i for i =1,..., k. Så p = k i=1 p, s i s i. Der gælder p v S s, p v =0for alle s S a 1 s 1 + + a k s k, p v =0for alle a 1,..., a k K a 1 s 1, p v + + a k s k, p v =0for alle a 1,..., a k K s i, p v =0for i =1,..., k s i, p = s i, v for i =1,..., k p, s i = v, s i for i =1,..., k k p = v, s i s i. i=1 Notation 6.4.15 Lad S være et underrum af det indre-produkt rum V med indre produkt,, lad {s 1,..., s k } være en ortonormalbasis for S, og lad v V. p = k i=1 v, s i s i kaldes projektionen (eller ortogonalprojektionen) af v på S. Sætning 6.4.16 ([L], 5.5.8) Lad S være et underrum af det indre-produkt rum V med indre produkt,, lad v V, og lad p S være projektionen af v på S. Så er p det nærmeste punkt i S til v, dvs. s v > p v for s S \{p}. Lad s S \{p}. Da p v S, er p v s p, så s v = s p + p v, ifølge 6.1.4 eller 6..4 (Pythagoras). Da s p > 0, fordi s p, så er s v > p v, og s v > p v. 111

SEKTION 6.4 ORTOGONALE OG ORTONORMALE MÆNGDER Korollar 6.4.17 Lad S være et underrum af R m, S {0}. Hvis {u 1,..., u k } er en ortonormalbasis for S og b R m, så er (ortogonal)projektionen p af b på S givet ved p = UU T b, hvor U =[u 1,..., u k ] i søjleform. Vi bruger skalarproduktet, x, y = x T y. p S er den ortogonale projektion af b på S b p S. Ifølge Sætning 6.4.14 har vi p = b, u 1 u 1 + + b, u k u k b, u 1 u T 1 b = U = U = UU T b.. b, u k. u T k b For alle b R n, P b er projektionen af b på S. I notationen fra tidligere, P er SMR for den ortogonale projektion P S af R n på S, betragtet som afbildning R m R m. Vi har tidligere set, i Korollar 5..10, at hvis {a 1,..., a k } er en basis for et underrum S i R n, så er P = A(A T A) 1 A T, hvor A =[a 1,..., a k ] i søjleform. Derfor i situationen fra Korollar 6.4.17 er P = U(U T U) 1 U T. Vi får simplificeringen P = UU T fordi: Lemma 6.4.18 Lad U Mat m,n (R) være således, at dens søjler udgør en ortonormal mængde. Så er U T U = n. Lad 1 i, j n. Vi finder den (i, j) te indgang i U T U: (U T U) ij = {i te række i U T } {j te søjle i U} =(u i ) T u j = u i, u j = { 1 i = j 0 i j. Så U T U = I n. 11

SEKTION 6.4 ORTOGONALE OG ORTONORMALE MÆNGDER Definition 6.4.19 En matrix Q Mat n,n (R) er ortogonal hvis søjlerne i Q udgør en ortonormal basis for R n. Eksempler 6.4.0 1. Matricen for en rotation i R gennem θ, [ ] cos θ sin θ er ortogonal. sin θ cos θ. Lad σ være en permutation af {1,..., n}, dvs. en invertibel afbildning fra {1,..., n} til sig selv. Definer Q σ =[e σ(1),..., e σ(n) ], en n n-matrix i søjleform. Q σ er en permutationsmatrix. Dens søjler er σ permutationen af søjlerne i n, og dens rækker er σ 1 permutationen af rækkerne i n. Q σ er ortogonal. Sætning 6.4.1 ([L], s.59) Lad Q Mat n,n (R). Følgende er ækvivalente udsagn: (a) Q er ortogonal, (b) Q T Q =, (c) Q T = Q 1, (d) (Qx) T (Qy) =x T y for alle x, y R n, (e) Qx = x for alle x R n. (a) (b): Dette er et specielt tilfælde af Lemma 6.4.18. (b) (d): (Qx) T (Qy) =x T Q T Qy = x T y for alle x, y R n. (d) (a): Skriv Q =[q 1,..., q n ] i søjleform. Der gælder q T i q j =(Qe i ) T Qe j = e T i e j = δ ij ; så {q 1,..., q n } er en ortonormal mængde, så en ortonormal basis for R n. (b) (c): Lemma 1.4.10. (c) (b): Følger fra definitionen af invers. 113

SEKTION 6.4 ORTOGONALE OG ORTONORMALE MÆNGDER, fortsat (d) (e): Qx =(Qx) T Qx = x T x = x for alle x R n. (e) (d): Lad x, y R n. Den reelle polariseringsidentitet 6.3.6 giver og x T y = 1 4 ( x + y x y ) (Qx) T (Qy) = 1 4 ( Qx + Qy Qx Qy ) = 1 4 ( Q(x + y) Q(x y) ). (e) foretæller, at højresiderne ovenfor er ens, så venstresiderne er ens: (Qx) T (Qy) =x T y. Endnu to vigtige egenskaber ved ortogonale matricer er: Korollar 6.4. Lad Q Mat n,n (R) være ortogonal. Så er Q T ortogonal. Ifølge Sætning 6.4.1, (a) (c), er Q T = Q 1, så (Q T ) T Q T = QQ T =. Så Q T er ortogonal ifølge Sætning 6.4.1, (b) (a). Korollar 6.4.3 Lad A, B Mat n,n (R) være ortogonale. Så er AB ortogonal. Da A, B er ortogonale er A T A = I, B T B = I, ifølge Sætning 6.4.1, (a) (b). Så (AB) T (AB) = (B T A T )(AB) =B T (A T A)B = B T B = B T B =, og AB er ortogonal ifølge Sætning 6.4.1, (b) (a). 114