Beregningseksempel af SC F for profil med ellipseformet hul

[A1] Beregningseksempel af SC F for profil med ellipseformet hul Et profil, RHS120x80x4, udsættes for ren bøjning med et moment på 2000 Nm. I kroppen er placeret et elliptisk hul, der vender som vist på tegningen ovenfor. Ellipsen er 60 mm høj og 50 mm bred. Profilet er symmetrisk og derfor skæres profilet over på langs. Momentet er derfor 1000 Nm. Inertimomentet om stærk akse for profilets halve tværsnit er: Med inertimomentet kan den lokale nominelle spænding findes: Den maksimale spænding i hulranden aflæses i en FE analyse til: Figur 50 i afsnit 9.1.3. Forholdene a/h = 0,25 og a/b = 1,25. Den angivne ligning for SCF ved a/h = 0,25 på Figur 49: Afvigelsen mellem de fundne SCF værdier er 1,2 %.

[A2] T rækprøvningsforsøg 1.1 Formål y b, 1.2 Forsøgsopstilling Til forsøget anvendes trækprøvningsmaskinen Lloyd 50K i materialelaboratoriet. De udskårne dogbones monteres i maskinens kæber, illustreret ved Figur 1. Maskinen har egen flytningsmåler og vejecelle og kan derved fastlægge flyde- og brudspændingen samt elasticitetsmodulet. Figur 1: Forsøgsopstilling ved trækprøvning. Ledningerne er til de påmonterede strain gauges, anvendt ved dogbone 5.

Poissons forhold skal måles ved montering af strain gauges, der måler tøjningen i længde- og bredderetningen. De monterede strain gauges er illustreret på Figur 2. Trækprøvningsmaskinen har en stor usikkerhed i flytningsmåleren pga. kæbernes indgreb i materialet samt i de bevægende dele. Der er derfor anvendt en ekstern flytningsmåler ved dogbone 4. Den eksterne flytningsmåler måler med laser løbende afstanden mellem to små stykker specialtape placeret på dogbonen. Den eksterne flytningsmåler kan ikke anvendes i forbindelse med strain gauges, da metallet er slebet og laserlyset derfor reflekteres, hvilket forstyrrer flytningsmåleren. 1.3 Udførelse Figur 2: Strain gauges monteret på dogbone 5. Der er udført i alt 5 trækprøvninger fordelt således at der ved dogbone 1-3 er anvendt trækprøvningsmaskinens egen flytningsmåler, mens der ved dogbone 4 er anvendt ekstern flytningsmåler. Ved dogbone 1-4 er trækhastigheden 10mm/min. Ved dogbone 5 er anvendt strain gauges, illustreret ved Figur 2. Trækhastigheden ændres til 1 mm/min for dogbone 5 hvilket vælges for at få flere målinger i det elastiske område således Poissons forhold kan bestemmes. 1.4 Resultat De overtrukne dogbones er illustreret på Figur 3. Brudlinjen er placeret midt på hver dogbone med undtagelse af dogbone 3. Dogbone 5 og 6 er blevet slebet blanke da strain gauges har været monteret på disse. 1.4.1 Dogbone 1-3 og 5 Resultatet af trækprøvning med dogbone 1-3 og 5 er illustreret på Figur 4. Der er tvivl om hvorvidt tøjningen er målt korrekt pga. kæbernes indgreb og derfor kan maskinens flytningsmåler give for høje værdier. På Figur 4 kan det ses at flydespændingen og bundspændingen har omtrent den samme værdi for alle forsøg. Flydespændingen befinder sig i intervallet 405 til 440 MPa og 1 2 3 4 5 6 Figur 3: Dogbones med brudlinjer. Testen af dogbone nr. 6 mislykkedes og denne er derfor medtaget for at illustrere længdeforlængelse.

bundspændingen 495 til 530 MPa. Flyde og brudspændingen er derfor et gennemsnit af værdierne, men målinger har vist at tværsnit get fra de oprindelige mål som følge af tolerancer i bearbejdningsprocessen. Denne ændring i tværsnitsarealet betyder at den beregnede spænding er forkert. Det antages derfor, med udgangspunkt i Figur 4, at flydespændingen er 400 MPa og at brudspændingen er 510 MPa. Beregnes elasticitetsmodulet ud fra Figur 4 giver dette i gennemsnit 9500 MPa, hvilket kan forkastes. Denne fejl skyldes at maskines flytningsmåler er upræcis og værdien af tøjningen på Figur 4 forkastes. Figur 4: Trækprøvningskurve for dogbone 1-3 og 5. Flydespændingen estimeres til 400 MPa og brudspændingen til 510 MPa. Det hak der forekommer ved dogbone 1-3 markeret med blå ring skyldes trækprøvningsmaskinen. Opstart af trækprøvningsmaskinen betyder at data markeret med rød ring opstår. 1.4.2 Dogbone 4 Trækprøvningskurven for dogbone 4 er anderledes i forhold til de øvrige trækprøvningskurver, hvilket er illustreret på Figur 5. Den eksterne flytningsmåler er her anvendt, hvilket giver en anden

værdi af tøjningen. Flyde- og brudspændingen er beliggende i samme interval som ved dogbone 1-3 og 5. Beregnes elasticitetsmodulet ud fra Figur 5 ved at indlægge en tangent til to punkter kan denne beregnes til 211000 MPa, hvilket passer overens med de forventede 210000 MPa. Der vælges derfor at arbejde videre med 210000 MPa. Den beregnede værdi af elasticitetsmodulet tyder derfor på at tøjningen er målt korrekt i det elastiske område. Figur 5: Trækprøvningskurve for dogbone 4. Flydespændingen og brudspænding svarer overens med dogbone 1-3 og 5. På Figur 6 sammenlignes trækprøvekurven for dogbone 4 med trækprøvekurven for dogbone 1-3. Forskellen mellem flydetøjningen på dogbone 1-3 og dogbone 4 er ca. 6 %. Antages det at tøjningen målt i det elastiske område er korrekt ved dogbone 4, kan tøjningen målt med intern flytningsmåler fratrækkes 6 procent point. Det er altså den fejl, som trækprøvningsmaskinen genererer i opstartsfasen af hvert forsøg. Denne fejl vil påvirke hele trækprøvningskurven og derfor fratrækkes 6 procent point fra alle værdier af tøjningen på trækprøvningskurver for dogbone 1-3. Det vil sige at brudtøjningen, markeret på Figur 6 ikke antager værdien 26 % men derimod 20 %.

Figur 6: Trækprøvningskurve for dogbone 1-4. Forskellen mellem flydetøjningen målt med ekstern og intern flytningsmåler er ca. 6 procent point, markeret med de røde linjer. Brudtøjningen har værdien 26 % ved dogbone 1-3 og er markeret med den blå linje. Denne værdi skal reduceres med 6 procent point, dvs. brudtøjningen = 21 %. Selvom det antages at værdien er af tøjningen i det elastiske område er korrekt, er der stadig tvivl om værdien af tøjningen i det plastiske område. Længden af de 5 dogbones måles efter trækprøvningen og dette er noteret i Tabel 1. Tabel 1: Tøjningen i procent beregnet ud fra slutlængden af hver dogbone efter brud. Dogbone nr. Startlængde [mm] Slutlængde [mm] Forlængelse [mm] Logarimisk l 1 50 68 18 0,307 2 50 67,5 17,5 0,300 3 50 63,5 13,5 0,239 4 50 71 21 0,351 5 50 67 17 0,293 Gennemsnit: 0,298 I Tabel 1 er den logaritmiske tøjning 1 er beregnet således: 1 Den logaritmiske tøjning anvendes som mål for tøjningen, da den relative længdeforlængelse ikke er relevant for tøjninger over 10 %. Den logaritmiske tøjning anvendes også som mål for tøjninger beregnet i ANSYS.

Den gennemsnitlige logaritmiske tøjningen ved fuldt udviklet brud er beregnet til 29,8 % og her skal flydetøjningen lægges til for at opnå den totale tøjningen ved fuldt udviklet brud af tøjningen ved fuldt udviklet brud antages at være 30 %. Flydetøjningen lægges den målte tøjning til da et dogbone vil trække sig sammen med den elastiske tøjning når belastningen forsvinder. Dette sker også ved deformationshærdning. Det antages på baggrund af målingerne i Tabel 1, at den logaritmiske tøjning ved fuldt udviklet brud er 30 %. Den tøjning, der er beregnet ved trækprøvningsmaskinen er den relative længdeforlængelse. Omregnes den logaritmiske tøjning til den relative længdeforlængelse giver dette: Dette betyder at den relative længdeforlængelse ved fuldt udviklet brud er 35 %. Dette er overens med Figur 6, hvor det fuldt udviklede brud forekommer efter 40-42 %. Fratrækkes 6 procent point i det elastiske område, pga. fejl i opstartsfasen, svarer trækkurverne for dogbone 1-3 på Figur 6 til den målte længdeforlængelse. På baggrund af disse betragtninger kan den plastiske tøjning målt med ekstern flytningsmåler kasseres. Brudtøjningen svarer herefter til ca. 21 % jf. Figur 6. Brudtøjningen for S355J2G3 er 22 % [Maskinståbi s.234]. Det anvendte materiale er S355J2H, men dette har ikke betydning for brudtøjningen og derfor anvendes en brudtøjning på 22 %. Omregnes dette til logaritmisk tøjning svarer brudtøjningen til ca. 19,9 %. 1.4.3 Poissons forhold På dogbone 5 er der monteret strain gauges, og derved kan poissons forhold bestemmes. Denne er defineret som tværtøjningen divideret med længdetøjningen. Målingerne med strain gauges har resulteret i en række data for ændringen af tøjningen. Poissons forhold er derefter beregnet og på Figur 7 er poissons forhold illustreret i forhold til tiden.

Figur 7 de første 6 sekunder er frasorteret da der er meget store udslag. Gennemsnitsværdien af poissons forhold i intervallet 6-180 sek er 0,29. Trækhastigheden ved dogbone 5 var 1 mm/min. Tøjningen hvor flydning opstår beregnes til: Med en trækhastighed på 1 mm/min opstår flydetilstanden ved 5,71 sek. Derfor burde trækhastigheden i forsøget være for høj. Men antages det at det kræver 6 % relativ længdeforlængelse for at opnå flydegrænsen jf. Figur 6, betyder dette at længdeforlængelsen ved flydning er 3 mm. Omregnes dette til en tid, svarer dette til 3 minutter eller 180 sek. Derved har trækhastigheden været tilstrækkelig lav. Beregnes poissons forhold som et gennemsnit af data fra Figur 7 i intervallet 6 til 180 sekunder findes poissons forhold til: Det forventede poissons forhold var 0,30 og der arbejdes derfor videre med denne størrelse.

1.5 Konklusion Trækprøvningsforsøget er udført og resultaterne er med forholdsvis små afvigelser. Der er usikkerhed vedr. målingen af tøjningen, da trækprøvningsmaskinens kæber først skal have indgreb i % relativ længdeforlængelse, hvilket opstår i det elastiske område af arbejdskurven. Ved trækprøvningsforsøget er materialespecifikationerne bestemt og disse er opstillet i Tabel 2. Tabel 2: Materialespecifikationer for anvendt materiale til trækprøvningsforsøgene. Disse specifikationer anvendes også til 4-point-bending forsøget. Ståltype S355J2H Flydespænding [MPa] 400 Brudspænding [MPa] 510 Elasticitetsmodul [MPa] 210000 Flydetøjning [%] 0,1905 Logaritmisk brudtøjning [%] 19,9 Logaritmisk tøjning ved fuldt udviklet brud [%] 30 Poissons forhold 0,3

[A3] Oversigtstegninger af testbjælker Tegning Reference bjælke, Koordinatsystem Tegning Perforeret bjælke, Koordinatsystem Tegning Perforeret bjælke, Målsætning

[A6] Straingaugens virkemåde 1.1 Strain gauges [L13] Antages det at en strain gauge har en modstand modstanden er, fås følgende relation: og at eventuel tøjnings forårsaget ændring af Hvor er en gauge faktor, som er en koefficient, der udtrykker gagens følsomhed. Strain gaugen limes fast til testemnet, hvorefter strain gaugen følger testemnet og måler den aktuelle tøjning. Idet den tøjningsforårsagede modstand er meget lille, benyttes Wheatstone bridge, se Figur 14, til at omdanne denne modstand (ohm) til en spændingsændring (her tænkes på strøm spændingen dvs. V). Figur 1: Wheatstone bridge Idet modstanden er de fire modstande R 1, R 2, R 3 og R 4 og hvis broens spænding (V) kaldes for E fås spændingen e 0 (V) af ligningen:

Hvis der antages at strain gauge er modstanden R 1 og at ændringen i denne ved tøjning er spændingen e 0 (V):, bliver Hvis R 1 = R 2 = R 3 = R 4 =R, kan formlen skrives til: Idet R er meget større end bliver: Denne formel gælder kun for en quarter bridge. Hvis der er tale om en half bridge ganges tøjningen med 2 og ved full bridge ganges tøjningen med 4. Formålet med full og half bridge er at det signal der kommer ud bliver større og dermed mere præcis. Ulempen er at til half og full bridge kræves at strain gauges placeres i samme snit, for dermed at have samme numeriske værdi. Dette kan være besværligt i praksis. Dermed begås en fejl ved at antage at de numeriske værdier i strain gaugene er ens. I dette projekt anvendes half bridge til strain gauges og flytningsmålerne, hvorimod der anvendes full bridge til kraftmåleren. I projektet tilslutes en strain gauge per Wheatstone bridge, og der er således tale om en quarter bridge. Idet dataloggerne kun kan klare half og full bridge, er der på den ledning der forbinder strain gaugen med dataloggeren anbragt en kendt modstand, for dermed at yder de sidste to modstande. Ved at deformere bjælken kan tøjningerne, i punktet hvor strain gaugen er limet fast, aflæses på computer. Når der går en spænding igennem strain gaugen, vil denne spænding enten aftage eller øges, afhængigt af hvordan testemnet tøjes. De målte tøjninger er normaltøjninger i straingaugens retning. Tøjningerne måles flere steder med rosetter af strain gauges, hvor 3 er placeret i det samme punkt, men i forskellige retninger. Herved kan tøjningerne omregnes til tøjninger for en plan spændingstilstand. 1.2 T ransformation af målte tøjninger De målte tøjningerne er normaltøjninger i 3 retninger. De målte tøjninger betegnes og. Retningerne hvor tøjninger er målt ligger under vinklerne og.

De testede emner er RHS profiler hvor godstykkelsen er konstant, og lille i forhold til tværsnittets mål. For at kunne beregne spændingerne i de anvendte rosetter, antages spændingstilstanden i bjælkerne at være en plan spændingstilstand, i de målte områder. Det særlige ved en plan spændingstilstand er at kun spændingskomponenterne i planen antages at være forskellige fra nul. Spændingerne i en plan spændingstilstand benævnes og. Retningerne i planen for de forskellige målepunkter er defineret således at X følger bjælkens akse, mens Y er vinkelret på X, og følger den flade hvor der måles, illustreret i [A3]. Dette fremgår også af Figur 2. Hvis tøjningerne for den plane spændingstilstand kendes, og kan normaltøjningen, i en given retning [L14]. bestemmes ved ligning 5.16a i Straingauge Figur 2: Orienteringsvinkel for straingauges på bjælkeflader. Bemærk at y-aksen følger bjælkens overflade. Denne ligning anvendes ligeledes på tøjningerne og, hvorved der opbygges det lineære ligningssystem: Hvis den opstillede matrice benævnes kan tøjningerne for den plane spændingstilstand findes af: Disse tøjninger anvendes til at finde spændingerne for en plan spændingstilstand, hvilket gøres ved hjælp af den konstitutive betingelse, D, for et lineært elastisk, isotropt materiale. På matrix form:

Når spændingerne for den plane spændingstilstand er beregnet, kan von Mises spændingen ved den pågældende rosette ligeledes beregnes. Dette gøres vha. ligning 7.29 i [L14]. Herefter kan de 4 beregnede spændinger i hver rosette sammenlignes med de analytiske og numeriske resultater. Under forsøgene blev tøjningerne i hver rosette logget for hver 0,5 sekund. Derfor er det fordelagtigt at anvende et Matlab script til at foretage beregningen ud fra en input fil, hvor de målte tøjninger er listet for hvert tidsskridt. De målte tøjninger blev efter forsøgene udskrevet i.txt filer til behandling i matlab. Matlab koden kan beregne de 4 ønskede spændinger,, og for hvert tidsskridt, og herefter gemme dem i en ny.txt fil. Matlab koden til transformation af målte tøjninger er vedlagt rapporten som [A4].

[A9] Strukturel elementmetode I de følgende afsnit gennemgås opbygningen af en FE-kode, fra den matematiske baggrund i kontinuummekanikken, til selve kodens opbygning og virkemåde. Derudover beskrives også hvordan FE-koden afprøves på forskellig vis. Dette gøres med Patchtests og konvergensstudier, hvorefter det konkluderes hvorvidt koden virker. De opbyggede FE-koder findes i [A8]. 1.1 Matematisk baggrund Figur 1: Infiniticimal kubus med alle forekommende spændingskomposanter i x 1 retningen. Kubusen har voluminet dx 1 dx 2 dx 3. Af Figur 1 kan projektionsligevægten for en infiniticimal kubus opstilles således: På tensorform haves for de 3 retninger: Ligningssystem omskrives til vektorform. Der søges en løsning der udgør flytningsfelterne i de 3 retninger, for de 3 differentialligninger. er en løsning til ligningssystemet.

Derfor skal også gælde følgende for hele kontinuumet, altså den betragtede kubus: De opstillede differentialligninger tilfælde kan vælges arbitrært. kan ganges med en såkaldt testfunktion der i ovenstående Da kan vælges arbitrært anvendes i ligningen, og der integreres op over den betragtede kubus, hvis volumen betegnes. Herved haves ligningen på integral form. Der anvendes en omskrivningsregel fra appendiks 6 i [L17]. Denne er eksemplificeret ved - retningen, men gælder også for - og -retningerne. Hvor: er -komponenten af den fra overladen ud ad rettede normalvektor. er kubusens overflade Formlen anvendes på alle leddene, osv. Til eksempel omskrives således. Efter en række omskrivninger skrives ligningen på svag form, i stedet for integralformen. Den svage form ser således ud [L16]. Hvor er en vektor med de 6 tøjningskomponenter, og er en vektor der indeholder de 6 spændingskomponenter. er spændingsvektoren på randen af den betragtede kubus. For at omdanne ligning til et ligningssystem på diskretiseret form gættes på et løsningsfelt der beskrives ved en række knudeværdier og formfunktioner. Løsningsfeltet antages at være løsningen til

et makroskopisk element. Derved medfører overgangen fra den svage form til diskretiseret form også en overgang fra infiniticimalt niveau til makroskopisk niveau. Figur 2: Makroskopisk element, hvortil flytningsløsningen er approksimeret vha. 20 formfunktioner. For et eksempel med en 20 knudet kubus, se Figur 2, haves i dette system 20 forskellige formfunktioner i, og 60 formfunktioner i alt, således at får dimensionerne 3x60, og dimensionerne 60x1. Indsættes det diskretiserede løsningsgæt i ligningen ovenfor, indføres først:,, og der er den konstitutive betingelse i: Herved fås udtrykket: Da er uafhængig af -, - og -retningen elimineres den blot. Dette udtryk oftest ses som den diskretiserede form af ligevægtsligningerne for et element, i dette tilfælde en kubus med 20 knuder:

Hvor: er kubusens elementstivhedsmatrice. er de påsatte lasters konsistente knudekraftvektor. er knudeflytningerne, der er størstedelen af den søgte løsning. Ligningssystemet kan assembleres til et globalt ligningssystem for en given geometri, ved at dele geometrien op i et antal elementer, og beregne og for hvert element. Således haves for et kontinuum med vilkårlig geometri, den dikretiserede form med flere elementer: Dette system opbygges i den programmerede FE-kode, for 4 forskellige 2 dimensionelle skiveelementer. Dette gennemgås i [A9] afsnit 1.3.

1.2 Konvergensstudier For at validere den opbyggede finite element kode, foretages bl.a. konvergensstudier af løsninger opnået med koden. Formålet med et konvergensstudie er at eftervise at løsningen til et givet problem konvergerer mod et asymptotisk resultat, som den anvendte elementinddeling forfines. Konvergensstudier mellem numeriske og analytiske løsninger kan anvendes til at validere FEM koder, fordi konvergensfænomenet kan beskrives matematisk. FE koden testes også for evnen til at bestemme spændinger, i [A9] afsnit 1.3. 1.2.1 Matematisk baggrund Hvis der på et kontinuum haves et kontinuert felt, eksempelvis et flytningsfelt, der approximeres med elementmetoden til kan fejlen findes ved: FE løsningens præcision afhænger af de anvendte elementers formfunktioner. Disse opbygges vha. Pascals Trekant, der til = 3. orden er vist nedenfor. Tallene angiver hvert polynomiums orden. Hvis fejlbetragtningen undersøges i 1 retning, kan et elements formfunktioner beskrive et felt med en præcision der tilsvarer et Taylorpolynomium af orden. Taylorpolynomier af orden beskrives således [L15]: Feltet, dets approksimation og fejlen fremgår af Figur 1. Det bemærkes at forskellen mellem og svarer til, således at Taylorpolynomiet evalueret ved er: Der ses umiddelbart at grundet den første brøk i Taylorpolynomiet er osv.

Dette er ikke gældende, hvis afledede er meget store. Dette er ikke tilfælde med den undersøgte i dette projekt, hvorfor antagelsen anvendes. Figur 3 p og forskellen mellem de to, afhængig af en karakteristisk elementlængde h. Fejlen beskrives blot ved at subtrahere funktionerne: Antagelsen om leddenes størrelse medfører at den største del af fejlen skyldes laveste del af Taylorpolynomiet, der ikke kan beskrives af formfunktionen af orden.. Dette er den Hvis der indføres mål, findes som. for antallet af elementer pr længdeenhed i den betragtede retning, kan dette Når fejlen plottes i et dobbeltlogaritmisk koordinatsystem fås en ret linje med den logaritmiske hældning -. For at teste den opbyggede FE kode foretages konvergensstudier med forskellige elementer. Hvis der med disse studier findes potensfunktioner for fejlen, med logaritmiske hældninger på - må elementerne konkluderes at virke.

1.2.2 Anvendt fremgangsmåde For at kunne foretage et konvergensstudie og opnå den rigtige hældning på fejlfunktionen er det nødvendigt at kende den eksakte analytiske værdi af feltet. De elementer der ønskes testet med konvergensstudier er: Constant Strain Element (CST), 3 knudet skive Q4, 4 knudet skive Linear Strain Element (LST), 6 knudet skive Q8, 8 knudet skive Alle elementerne er todimentionelle skivelementer. Det betyder at eksempelvis en analytisk bjælkeløsning (Bernoulli Euler) ikke er tilstrækkeligt til at beskrive kontinuumets flytninger. Der anvendes i stedet forud bestemte flytningsfelter for analyserne. Hvor Flytningsfeltet anvendes på et rektangulært kontinuum med og. Flytningsfeltet er afbildet på Figur 2, hvor den maksimale flytning er skaleret på figuren til 0,15m. Den anvendte er 1mm. Figur 4: Forudbestemt flytningsfelt 1 med u 0 sat til 0,15m. 2 ser næsten ligeledes ud.

Af flytningsfeltet findes de bodyforces, der kræves for at danne flytningsfeltet, vha. ligevægtsligningerne for et strukturelt kontinuum, hvorefter disse bodyforces påsættes elementerne og systemet løses. Herefter kan de fundne flytninger sammenlignes med det analytiske felt. 1.2.3 Bestemmelse af nødvendige bodyforces For at kunne danne det foreskrevne flytningsfelt anvendes Eq. 2.22 [L14]. Derved findes de 2 bodyforces for et 2 dimentionelt kontinuum af: Derfor skal spændingerne i kontinuumet bestemmes ved: Hvor tøjningerne bestemmes med Eq. 3.15 [L14]: er den konstitutive betingelse for en plan spændingstilstand, der fås ved bl.a. at invertere matricen i Eq. 6.17 i [L14]. Det kendte flytningsfelt indsættes i, og efter nogen regning fås de to bodyforces til: Hvis

Hvor er Poissons forhold er Youngs Modulus Alternativt anvendes også et andet flytningsfelt i metoden,, der er opbygget på samme ide som sinusfeltet, men blot med to polynomier, og. Polynomierne er af 4. Orden således at de kan have 0 gradienter langs randene af det undersøgte kontinuum. Polynomiernes koefficienter er bestemt vha. A-metoden, hvor og evalueres i forskellige punkter. Indsættes i fås de to bodyforces til: I FE koden udregnes de to bodyforces i elementinddelingens knuder, og interpoleres herefter til de anvendte gausspunkter. Derved findes den konsistente knudekraftvektor for kræfterne i 1 retningen således: Hvor er elementernes tykkelse er determinanten til Jacobimatricen er den respenktive Gauss vægt I FE koden klares begge retninger dog i samme operation. Når den konsistente knudekraftvektor er bestemt for hvert element og assembleret globalt, løses systemet, og flytningerne gemmes til sammenligning med der er de teoretiske flytninger.

1.2.4 Beregning af F E approksimationens fejl på et kontinuum For at få det mest muligt præcise mål for FE approksimationens fejl ved beregning af det anvendte flytningsfelt, integreres fejlen op over hele kontinuumet, med elementinddeling. I FE koden gøres dette ved at integrere fejlene i Gausspunkterne op. Den analytiske flytning findes ved først at bestemme og koordinaterne til hvert Gausspunkt, ved at interpolere knudekoordinaterne., Herefter anvendes og til at evaluere det analytiske flytningsfelt i hvert Gausspunkt. Flytningen i Gausspunktet bestemt af FE koden findes ligeledes ved at interpolere værdierne i elementets knuder ind til det relevante Gausspunkt. Fejlen beregnes derved af: Fejlen beregnes ved først at køre en elementløkke hvorefter kan beregnes. Herefter køres endnu en elementløkke hvor beregnes.

1.2.5 Resultater fra konvergensstudier Der er udført konvergensstudier på de 4 forskellige elementer, CST, Q4, LST og Q8. Konvergensstudierne er udført for 2 forskellige flytningsfelter, et sinusbaseret og et polynomisk. Ved hvert konvergensstudium er der anvendt 4 forskellige elementinddelinger. Et eksempel på inddelingerne er vist på Figur 3, der er elementinddelingerne for Q8 elementets konvergensstudier. N = 5 N = 10 N = 15 N = 20 Figur 5: Elementinddelinger til konvergensstudiet med Q8 elementer. Bemærk at forholdet mellem sidelængderne er 1 for elementerne. N er antallet af elementer pr. meter. For CST og Q4 elementerne er følgende elementinddelinger anvendt: For LST og Q8 er lidt grovere elementinddelinger anvendt, grundet det højere antal frihedsgrader pr. element: Elementinddelingerne er forfinet til det maksimale elementantal der kunne løses med 2GB ram. De forventede logaritmiske hældninger for de udførte konvergensstudier kan aflæses af Figur 4. Hældningen er som tidligere beskrevet, hvor er den graden af Figur 6: Anvendte dele af Pascals Trekant for de 4 testede elementer.

det højeste komplette polynomium i Pascals Trekant, for det pågældende element. Det betyder at hældningen de forskellige elementer bliver: De opnåede resultater er plottet på Figur 7 og Figur 8, hvor det fremgår at alle konvergensstudierne resulterer i fejl der følger rette linjer i de dobbeltlogaritmiske koordinatsystemer. Derved kan det sluttes at fejlene følger potensfunktioner, som forudsagt vha. Taylorpolynomier. "#$%) * *% "#$%(.* "#$%' +,- /,-.' "#$%& A "#$% " Figur 7: Konvergensstudie for sinusbaseret flytningsfelt. Bemærk at kurverne er meget tæt på rette linjer. Dette betyder at elementernes løsning konvergerer mod den analytiske, med en fejl der følger en potensfunktion. Af Figur 7 og Figur 8 fremgår det at de beregnede fejl er næstens ens for 2. ordens elementerne er næstens ens, imens der er forskel for 1. ordens elementerne. Dette skyldes forskellen i flytningsfelterne, da dette er den eneste forskel mellem analyserne. Selve flytningsfelterne ligner hinanden til forveksling, men deres afledede er forskellige af natur. Bemærk størrelsen af fejlen i punkt A på Figur 7 og Figur 8. Sinusfeltet er uendeligt differentiabelt og dets afledede er trigonometriske funktioner. Det polynomiske flytningsfelt kan højst afledes 5 gange, og de afledede er polynomier af forskellig grad. Dette må være årsag til forskellen, idet flytningsfeltet afledes 2 gange, ved bestemmelse af bodyforces, jf. afsnit 1.2.3.

4EF>AD ; ;A 4EF>AB 4EF>AC 4EF>A= A 8"9 :; <"9 := 4EF>A@ 4EF>4A " Figur 8: Konvergensstudier for polynomisk flytningsfelt. Bemærk igen at for alle 4 konvergensstudier følger fejlen en ret linje, som elementinddelingen forfines. De logaritmiske hældninger for de udførte konvergensstudier er indført i Tabel 1, hvor det fremgår at de opnåede hældninger tilsvarer de forventede,. Den største afvigelse fås ved approksimation af det polynomiske flytningsfelt, med 1. ordens elementerne, CST og Q4. Tabel 1: Logaritmiske hældninger for de 8 udførte konvergensstudier. "#$%&'(&)*)+,-.+$#$/&,)-+ 01-.$12#&3,-.+$#$/&,)-+ 451*6)$ 751*6)$ 451*6)$ 751*6)$ 8"9 :; <"9 := 8"9 :; <"9 := 4 4 7 7 4 4 7 7 >7 >7 >? >? >7 >7 >? >? >45@47 >45@=7 >?5A=@ >?5?=? >45BC? >45C?7 >?5A4D >?5A7= A5@@@@ 45AAAA A5@@@@ A5@@@= A5@@@@ A5@@@@ 45AAAA 45AAAA I Tabel 1 skal det bemærkes at hældningerne og varierer med 16 % for 1.ordens elementer ved det polynomiske flytningsfelt. Denne afvigelse bekræfter problemet ved at med at et polynomisk flytningsfelt af for lav en grad da flytningsfeltet afledes 2 gange i løbet af processen. Afvigelsen mellem hældningerne og mindskes, hvis et polynomisk flytningsfelt af højere grad var anvendt. værdierne er medtaget for at vise hvor godt en potensfunktion kan tilnærmes de fundne data, og det fremgår i alle tilfælde at potensfunktionen er det rigtige bud. Afvigelserne i forhold til de forventede hældninger forsvares med den anvendte approksimation: 1.2.6 Delkonklusion Det kan således konkluderes at alle elementerne konvergerer mod den anvendte analytiske løsning til de påsatte bodyforces. Heraf kan konkluderes at FE koden virker med hensyn til bestemmelse af flytninger ud fra en given lastvektor.

1.3 Matlabkode Matlabkoden er indsat og der kommer en løbende forklaring på hvad de enkelte rutiner gør. Matlab koden er skrevet med "#$%&$'(&)* mens den forklarende tekst er skrevet med Times New Roman. Afsnittene er opdelt i geometri, materiale, randbetingelser, gausspunkter, opbygning af stivhedsmatrice og postprocessering. Der tages udgangspunkt i det skript, der viser patch-testen, hvorefter de ændringer som udgør konvergensstudiet vises. Formålet med en patchtest er at kontrollere om hvorvidt den beregnede spænding svarer overens med den påsatte last i alle elementets knudepunkter. FE-koderne uden kommentarer findes i [A8]. 1.3.1 Geometri Skriptet startes med at opbygge meshet. Dette kan gøres manuelt ved at definere en matrice med koordinater, +, og derefter forbinde dem med hinanden i den rigtige rækkefølge,,"--&,..' ' +'/'01''''1'''''23-#4&5' '''''5''''1''''' ' '''''6''''1' '''''6''''5' '''''6''''6' '''''5''''6' '''''1''''6' '''''1''''5' '''''576''57689' ',"--&,.'/'05'6':';' '''''''''''6'<'=':' ''''''''''':'='>'?' ''''''''''';':'?'@89' ' x-matricen er opbygges som [x y], og connect-matricen er opbygget således at hver søjle fortæller hvilke knuder, der tilhører hvilke elementer. Figur 9: Elementnummerering og inddeling til patch test. Opbygningen af meshet kan også foregå Knudenr. er vist med cirkler og elementnr. er vist med firkanter. ved at bygge en fil op i programmet G- mesh ved at definere keypoints, og derefter få programmet til at skrive en fil ud med meshet. ' -AB&CDBEF'/'GB&EFCH&AB7BEFG9' 0I&EF8'/'JBEFC$&A4K-AB&CDBEF*6L9' De to kommandoer kalder en m.fil, der omskriver output filen fra G-mesh og derefter definerer en ny matrice opbygget af meshet. Dernæst opbygges x-matricen og connect-matricen: ' +'/'I&EF7+G9,"--&,.'/'I&EF7,"--&,.9' Alle knuder og forbindelsen imellem dem er nu defineret og illustreret på Figur 1.

Antallet af frihedsgrader pr. knude defineres som "#$. Der opbygges et skiveelement så derfor findes der kun plane flytninger, hvilket vil sige 2 flytninger, der derfor er antallet af frihedsgrader. % "#$%&%'(% Antallet af knuder pr. element, ), afgør hvilket elementtype der anvendes. Her er )%&%* hvilket betyder at der anvendes et Q4 element. Havde dette været et LST element havde antallet været 6. )%&%*(% % Antallet af knuder defineres som længden af koordinatmatricen,%+,% % -./%&%0)1234+5(%% % Det totale antal frihedsgrader, -."#$, defineres som antallet af frihedsgrader pr. knude multipliceret med antallet af knuder:%% % -."#$%&%"#$6-./(%% Det antal elementer der anvendes til defineres som skalaren -.)0 der består af længden af 7#)72 matricen. % -.)0%&%0)12347#)725(% % Derfor bliver%-.)08% % -.)0&*% Det næste trin er at bygge en matrice op, som fortæller hvilke frihedsgrader der er tilknyttet hvilke knuder. Dette bliver en matrice )9: hvor antallet af søjler svarer til antallet af frihedsgrader pr. knude, "#$, og hvor antallet af rækker svarer til antallet af knuder. )9%&%;(% $#:%<%&%=8-./(% %%%%<<&)9(% %%%%$#:%>&%=8"#$% %%%%%%%%)9:4<?>5&<<@>(% %%%%%%%%)9&)9@=(% %%%%)"% )"% Den inderste løkke definerer den første række i )9: ved en løkke med tælleren > gående fra 1 til "#$. Eqnr defineres som <<@>, hvor << er defineret udenfor løkken som <<&)9. Eq er defineret som )9&;%uden for den yderste løkke. Det betyder at når løkken køres første gang er i=1 mens ii=0 og >&=. Derved bliver )9:4=?=5&=. Eq defineres på ny hvor )9&)9@=. Den inderste løkke kører igen og denne gang er <&= mens <<&; og >&'. Derved bliver )9:4=?'5&'. Den inderste løkke har nu kørt det maksimale antal gang og afsluttes. Den yderste løkke kører for anden gang og <&'?%<<&)9 og )9 var defineret på ny i den inderste løkke. Denne var kørt to gange og derfor er )9&'. Den inderste løkke kører nu på ny igen. Dvs. <&'?%<<&' og >&=, og derved bliver )9:4'?=5&A. Med udgangspunkt i x og connect bliver eqnr-matricen for det anvendte Q4 element: % % %

"#$%&'() *+,-./ 0(1 ((() (*(+ (,(- (.(/2 Herefter opbygges dofmap matricen som anvendes til at specificere hvilke frihedsgrader der er placeret på elementer, samt hvor på elementerne de er placeret.matricen dofmap opbygges med 3 løkker, hvor den yderste looper over connect-matricens søjler, dvs. at dofmap-matricen bliver 4 rækker. Hver række opbygges af de inderste to løkker hvor der i den mellemste løkke tælles fra 1 til nen, (antallet af knuder pr. element) og der i den inderste løkke tælles fra 1 til ndof, (antallet af frihedsgrader pr. knude). $"3&(4 56%"3"7"$8&96$$"98 ::&(4 56%:&(;$"$ 56%<&(;$=65 =657>?@$"3A::B&$=65C@"3"7"$8@:BD(BE<4 ::&::E(4 "$= "$= $"3&$"3E(4 "$= Haves 4 Q4 elementer som defineret tidligere bliver =657>?; =657>?&'()*+(.(/(,(- *+,-./(.(/ (.(/./0(1((() (,(-(.(/((()(*(+2 1.3.2 Materialeparametre Materialeparametrene og tykkelsen defineres: F&)G(C(1H((4IJ6K$LMN6=K3KM 8&1G1(4IF3"7"$88OPP"3M" Q&1G*4IR6:MM6$M56%S63= Der programmeres plane elementer, og der antages at FE koden skal anvendes til tyndpladekonstruktioner, altså antages der en plan spændingstilstand. Koden kan også anvendes til en plan tøjningstilstand, men dette kræver en anden konstitutiv betingelse. Den konstitutive betingelse for en plan spændingstilstand er som følger: T&FU@(DQH)B4 V&TC'(Q1 Q(1 11@(DQBU)24

1.3.3 Randbetingelser Der bestemmes en given last til udførelsen af patch-testen: "#$%%%& Randbetingelserne opskrives på matriceform. Dette består af matricen BC_data, hvor der er 4 søjler. Søjle 1 fortæller hvilken knude randbetingelsen gælder for. Søjle 2 fortæller hvilken type randbetingelse der forekommer. Søjle 3 fortæller hvilke af knudens frihedsgrader randbetingelsen er gældende for og søjle 4 fortæller hvilken værdi randbetingelsen antager. Typen af randbetingelse kan variere mellem geometriske randbetingelse, Dirichlet, statiske randbetingelse, Neumann, og weak springs. Den geometriske randbetingelse dikterer en flytning på 0 af knuden i de pågældende frihedsgrader som er valgt i søjle 3. Dette svarer til at lave en understøtning af systemet i den valgte knude. Den statiske randbetingelse dikterer en punktlast i den valgte knude gældende i den valgte frihedsgrads retning. Weak springs anvendes på den valgte knudes frihedsgrad, hvis systemet ikke er tilstrækkeligt understøttet af de statiske randbetingelser. Den geometriske randbetingelse vælges ved at anvende 1, den statiske randbetingelse vælges ved at anvende 2 og weak springs vælges ved at anvende 3 i søjle 2 i '()*+,+- Der anvendes to forskellige '()*+,+ matricer. '()*+,+ for patchtest med normalspænding:./0*1,231*045+671 '()*+,+#8$$$% $$9% :$$% ;9$" <9$9=" >9$"?9$@"AB& P P 2P P P BC_data for patchtest med forskydningsspænding:./0*1,231*045+671 '()*+,+#8C $ $ % C $ 9 % $ 9 $ " $ 9 9 " 9 9 $ 9=" 9 ; $ $ ; 9 $ " ; 9 9 @" < 9 9 @9=" > 9 $ @" > 9 9 @" D 9 $ @9="? 9 $ @"? 9 9 " : 9 9 9=" : ; 9 $AB& 2P P + P 2P + F igur 10: Påsættelse af randbetingelser til patchtest. 2P P P På Figur 2 er randbetingelserne for patchtest med forskydningsspænding illustreret.

1.3.4 Gausspunkter Der køres nu en række if-sætninger hvor antallet af Gausspunkter defineres. Gausspunkterne bruges til den numeriske integration i opbygningen af hvert enkelt elements stivhedsmatrice. Antallet af Gausspunkter afgør nøjagtigheden og er derfor forskellig alt efter hvilket element der anvendes. I koden er 4 if-sætninger definet, en for hver element type programmet kan anvende. Hver if-sætning tager udgangspunkt i størrelsen af nen. For Q4 elementet er if-sætninger: "#$%$&&'( )*&'( )+,--*&.//012345678/01234567 //01234567/01234567 /8/01234567/01234567 /8/012345678/012345679( %$: I løkken sættes )*&', dvs antallet af Gausspunkter er 4 og derefter defineres en matrice, )+,--* bestående af [vægten; koordinat 1; koordinat 2]. For CST er )*&2; for LST er)*&<; for Q8 er )*&=5 If-sætningen for Q4 skal ændres såfremt spændingerne et vilkårligt sted ønskes udlæst. Dette anvendes til at foretage en Patch-test af elementet. Er dette ønsket skal antallet af gausspunkter hæves et niveau, dvs. at antallet af gausspunkter svarer til Q8: "#$%$&&'( )*&=( )+,--*&.>60?/145<345678145<34567 '40?/145<345674 >60?/145<34567145<34567 '40?/4145<34567 >60?/8145<34567145<34567 '40?/8145<345674 >60?/8145<345678145<34567 '40?/48145<34567 <'0?/449( %$: 1.3.5 Opbygning af stivhedsmatricen Til at beregne B-matricen, der anvendes til beregning af stivhedsmatricen for hvert element, anvendes en omregningsmatrice. Hver knude påvirkes af to flytninger, som hver varierer i x-og y retningen. Der forekommer kun plan spænding, dvs. en tøjning i x og y-retningen samt forskydningstøjningen er relevante. Derfor skal de afledede af flytningerne kombineres via en omregningsmatrice, i denne sammenhæng kaldet Lu.

Lu-matricen defineres derfor: "#$%&''' '''& '&&'() Den globale flytningsvektor, u, defineres som en vektor med pladser svarende til antallet af frihedsgrader og hvor alle pladser har værdien 0; #$*+,-./0#12-34&5) Stivhedsmatricen opbygges i en stor løkke bestående af: En tidsløkke med en tæller fra 1 til antallet af tidsstep. En elementløkke med en tæller fra første til sidste søjle i connect matricen. - En gaussløkke med en tæller fra 1 til antal gausspunkter. Afhængigt af antallet af gausspunkter opstilles stivhedsmatricen for CST, LST, Q4 eller Q8. Dette udvælges gennem ifsætninger. En randbetingelsesløkke hvor pladser i den globale stivhedsmatrice overskrives afhængig af randbetingelser. Tidsløkken I tidsløkken defineres den globale stivhedsmatrice, K og den globale lastvektor, f. Stivhedsmatricen er kvadratisk med størrelsen 0#12-3, dvs. antal frihedsgrader. Lastvektoren har ligeledes størrelsen 0#12-3. Alle pladser i K og f fyldes op med 0. Derudover defineres matricen 6, og vektorerne 784 79og789. Disse anvendes til beregning af spændinger i elementet. Matricen og vektorerne har alle størrelsen numnp, dvs. antal knuder i systemet. 6478479og789 assembleres løbende i elementløkken, og efter elementløkken er gennemført anvendes 6478479og789 til at beregne normalspændingerne.:,+..; og.:,+..< samt forskydningsspændingen.:,+..;<. 3-,:=1+$&>? @$*+,-./0#12-35) 3$*+,-./0#12-34&5) 6$*+,-./0#10A5) 78$*+,-./0#10A4&5) 79$*+,-./0#10A4&5) 789$*+,-./0#10A4&5) Elementløkken I elementløkken defineres de lokale matricer og vektorer der gælder for hvert element. De lokale matricer og vektorer er stivhedsmatricen ke, lastvektoren re, elementets knudekoordinater xl og bodyload, FL samt B+4.+;4.+<4.+;< der anvendes til bestemmelse af spændingerne i knudepunkterne ud fra gausspunkterne. +C+1+0:$&) 3-,=$D-00+D: E+$*+,-./0+0F02-35),+$*+,-./0+0F02-34&5) ;"$;/=4>5) G"$*+,-./0+0F02-34&5)

"#$%#&'()*#*+, (#-$%#&'()*#*./+, (#0$%#&'()*#*./+, (#-0$%#&'()*#*./+, Gaussløkken I gaussløkken opbygges hver elements stivhedmatrice. Her vises den del af koden der beskæftiger sig med Q4 elementet. Først hentes gausspunkterne ud af 1"2((3. Dette gøres gennem en række ifsætninger hvor elementtypen afgør hvilken if-sætning der skal anvendes. 4'&5$/613 74*#*$$8 9:'&;<= #>(#74*#*$$? 9:'&@<= #>(#74*#*$$A 9:'&BA C$1"2((3)5./+, &$1"2((3)5.D+, ($1"2((3)5.8+, Formfunktionerne for hver element defineres som N1, N2, N3 osv. i et isoparametrisk koordinatsystem (r,s) og de afledes mht. r og s. E/$)/FA+G)&FA+H)(FA+H))&I(+FA+, ED$)/FA+G)&FA+G)(FA+G))&I(+FA+, E8$)/FA+H)&FA+G)(FA+H))&I(+FA+, EA$)/FA+H)&FA+H)(FA+G))&I(+FA+, JE/J&$)/FA+H)(FA+, JEDJ&$)/FA+G)(FA+, JE8J&$H)/FA+H)(FA+, JEAJ&$H)/FA+G)(FA+, JE/J($H)/FA+H)&FA+, JEDJ($)/FA+G)&FA+, JE8J($)/FA+H)&FA+, JEAJ($H)/FA+G)&FA+, Formfunktionerne samles i en vektor Nn og en matrice N, mens de afledede formfunktioner samles i en matrice dn: E*$KE/EDE8EAL, E$KE/M ME/ EDM MED E8M ME8 EAM MEAL, JE$KJE/J&JE/J( JEDJ&JEDJ( JE8J&JE8J( JEAJ&JEAJ(LN, Transformationsmatricens Jacobi findes ved at multiplicere de afledte formfunktioner med elementets knudekoordinater: O$JEI-@, Størrelsen af Jacobi-matricen defineres som (5.: (5$(7%#)O+,

Gamma-matricen er en 4x4 matrice, hvor den inverse af Jacobi-matricen optræder i diagonalen. "#$$#%&'()%&*+&'()%&**,-./%0*1 "#$$#%()%&*2&'()%&*34+()%&*2&'()%&*34*,-./%0*1 Gamma-matricen bliver: B-matricen for det isoparametriske element defineres som formfunktionerne afledede til r og s. Matricen kaldes Bn: 5.,678&79:78479:78;79:78<79: 78&7(:7847(:78;7(:78<7(: :78&79:78479:78;79:78<79 :78&7(:7847(:78;7(:78<7(=1 >?(>-@.>.,,A >.7 BCD9EA Når if-sætningen er gennemført transformeres -matricen fra det isoparametriske koordinatsystem til det fysiske koordinatsystem. Dette gøres med matricen Gamma, der består af den inverse Jacobi matrice, og matricen Lu. 5,FG3"#$$#35.1 Ved et Q4 element bliver -matricen en 3x6 matrice. Stivhedsmatricen fås ved et volumenintegral, som kan omskrives til at arealintegral: Integralet kan beregnes ved numerisk integration, hvor gauss integration anvendes: Dette kan gøres med kun en summation, hvor Hvert gausspunkt bidrager til stivhedsmatricen, dvs. at haves der 9 gausspunkter vil der forekomme 9 bidrag til elementets stivhedsmatrice. Hvert bidrag beregnes med ovenstående ligning som så tillægges den foreløbige stivhedsmatrice for elementet. Dette gøres med kommandoen: H>,H>25I3J3537>K%0*3K3L1 Hver bliver til en 8x8 matrice for et Q4 element. Knudeflytningerne findes for hvert element. Til dette skal frihedsgraderne til det pågældende elements knuder findes. Disse hentes ud af dofmap-matricen, og derefter aflæses flytningen af disse frihedsgrader ud af flytningsvektoren: 7D@,7D@$#M%>?>$>.K+'*1

"#$%&'()* * Tøjningerne i gausspunkterne findes derefter som B-matricen multipliceret med elements knudeflytninger, og spændingerne i gausspunkterne findes ved at multiplicere materialematricen med tøjningerne: * +,-#./"* -"0#1/+,-* Spændingerne i gausspunkterne ekstrapoleres herefter til knudepunkterne. Dette gøres ved fremgangsmetoden illustreret på Figur 3. * Trin 1: Trin 2: * Gausspunkter spænding kendt fra gausspunkter ekstrapolerede spænding interpolerede spænding Figur 11: Trin 1 viser ekstrapolering af spændinger fra gausspunkter til knudepunkter. Dette gøres ved at ændre koordinaterne for gausspunkterne og dermed også knudepunkterne. Trin 2 viser derefter interpolering af spændingerne fra knudepunkterne og tilbage til gausspunkterne. * * De ekstrapolerende spændinger findes ved at multiplicere de nye formfunktioner med den kendte spænding. De nye formfunktioner fremkommer ved omskrivningen af gausspunktkoordinaterne. Dernæst interpoleres spændingerne for at findes disse i gausspunkterne. Til dette anvendes til gamle formfunktioner for elementet: Forskellen mellem disse spændinger kaldes fejlen, der defineres som summen af volumenintegraler af difference af de interpolerede og de originale spændinger: *

Fejlen og princippet i extrapolation af er vist på Figur 4. Der søges et optimum for således at minimeres. Element i Element j Figur 12: Princippet i bestemmelse af de optimale sigp. Ideen er at forskellen i spændingerne ved Gauss punkterne minimeres. Fejlen differentieres mht. den interpolerede spænding og sættes til nul: Dette omskrives til: Hvor: Til bestemmelse af og anvendes gaussintegration efter samme princip som ved beregning af elementets stivhedsmatrice og elementets lastvektor. "#$"#%&'()*'(+*,*-*./ ae bliver en matrice, mens se bliver 3 vektorer, 0#120#320#13, der gælder for hhv., og. For hver af se vektorerne anvendes den komponent af vektoren 045 der tilhører den pågældende retning. 0#1$0#1%'()*045&6+*,*-*./

"#$%"#$&'()*"+,-./*0*1*23 "#4$%"#4$&'()*"+,-5/*0*1*23 #(6 Derved er gaussløkken færdiggjort og den resterende del af elementløkken kan færdiggøres. Elementløkken Her assembleres matricen A og vektorerne SX, SY og SXY af 7#8"#48"#$9,"#4$ fra gaussløkken: :-+8+/%:-+8+/&7#3 ;<-+/%;<-+/&"#43 ;=-+/%;=-+/&"#$3 ;<=-+/%;<=-+/&"#4$3 Desuden assembleres stivhedsmatricen > af?# fra gaussløkken. Til at styre placeringen af?# fra de forskellige elementer hentes rækken på det pågældende element ud af dofmapmatricen. Dette styres med vektoren 69@: 69@%69@A7B-#C#A#(28D/3 >-69@869@/%>-69@869@/&?#3 Tælleren element tillægges en værdi på og derefter kan elementløkken starte forfra. #C#A#(2%#C#A#(2&E3 #(6 Efter elementløkken er færdiggjort kan den resterende del af tidsløkken færdiggøres. Tidsløkken Her beregnes normalspændingerne i x- og y-retningen samt forskydningsspændingen. "2F#""4%:G;<3 "2F#""$%:G;=3 "2F#""4$%:G;<=3 Randbetingelser Randbetingelserne opstillet i BC_data tilskrives ved en løkke. If-sætninger behandler randbetingelserne forskelligt alt efter om det er en geometrisk eller statisk randbetingelse. Hvis der er tale om en geometrisk randbetingelse overskrives den globale stivhedsmatrice og den globale lastvektor med 0 på de pågældende pladser, undtagen diagonalpladserne i stivhedsmatricen, der erstattes af 1.

Hvis der haves en statisk randbetingelse tilskrives den knudekraft defineret i BC_data i den globale lastvektor. $%&'()*+,-./.0 1$'(234))#567%87/&19: -%$9)7;<&2'(2#4='(2>440?2-%$9=@4)ABA0?2@=-%$94)ABA0?2-%$9=-%$94)#BA0 $2-%$94)ABA0 7C971$'(234))35D/./19: -%$9)7;<&2'(2#4='(2>440 $2-%$94)'(2E40 7C971$'(234))>5DF&1<G -%$9)7;<&2'(2#4='(2>440?2-%$9=-%$94)?2-%$9=-%$94"'(2E40 7<- 7<- Den globale stivhedsmatrice K: Den globale lastvektor f: "# "# " " Figur 13: Den globale stivhedsmatrice og lastvektor. De røde felter viser den del af stivhedsmatricen som fremstår med de fundne værdier fra elementløkken. De gule felter er de pladser hvortil en stivhed fra en weak spring er tilskrevet en originale værdi. De blå felter er de rækker og søjler der er overskrevet pga. randbetingelserne og er alle 0 på nær dem med tilskreven værdi. De grønne felter er de felter i lastvektoren hvor der er værdier som resultat af randbetingelserne i BC_data. De hvide felter er de pladser hvor der ikke har været tilskreven anden værdi en initialværdien på 0. I dette tilfælde med et Q4 mesh med de pågældende randbetingelser, illustreret ved Figur 2, bliver den globale stivhedsmatrice og lastvektor som illustreret på Figur 5. I randbetingelserne er det kun de to frihedsgrader ved knude 9 som låses, hvilket betyder at rotation er mulig. For at undgå rotation kan weak springs indføres. Dette betyder at der tillægges en frihedsgrad ekstra stivhed. Der indlægges en weak spring på frihedsgrad 3 og 16, dvs. knude 2, frihedsgrad 1 og knude 8, frihedsgrad 2. Dette er vist på Figur 2. Tidsløkken Herefter er randbetingelsesløkken færdiggjort og tidsløkken kan færdiggøres. Flytningerne kan bestemmes ud fra ligningen: I matlab skrives dette som: H)?I$0 Herefter er tidsløkken afsluttet og kan begynde forfra hvis det er ønsket at beregne for et nyt lasttilfælde. Tidsløkken skal som minimum køre 2 gange da de beregnede spændingerne kræver et input i form af en flytning og disse er ikke beregnet første gang tidsløkken kører.

1.3.6 Postprocessering: De påsatte kræfter er illustreret på Fejl Henvisningskilde ikke fundet.. På alle sider forekommer der kræfter svarende til 4P. Disse kræfter vil resultere i en forskydningsspænding på: P P 2P P P 2P 2P Hvor P = 1000 N, h = 2 m og t = 0,01 m. Forskydningsspændingen bliver derfor: P + + P P 2P P F igur 14: Påsættelse af randbetingelser til patchtest. Deformationsfiguren ses Figur 7. Figuren skævvrides som følge af de påsatte kræfter. Havde der kun været anvendt 1 weak spring i knude 8 ville de vandrette sider forblive vandrette. Deformationen ændres afhængigt af hvilken konstellation af weak springs der anvendes. Derfor skal værdien af deformationen anvendes med forsigtighed. Tøjningen er den samme om der anvendes 1, 2 eller 4 weak springs så derfor er de beregnede spændinger de samme. Figur 15: Deformationsfiguren. Alle figurens sider deformerer som forventet.

Normalspændingerne i x- og y-retningen samt forskydningsspændingen udlæses for begge patch tests. Disse er listet i Tabel 1 og Tabel 2. For patch testen med forskydningslast, giver normalspændingerne i begge retninger resultater svarende til 0, mens forskydningsspændingerne i samtlige knudepunkter er 200000 Pa, hvilket også var beregnet. Patch testen med normalkraftbelastning giver tilsvarende normalspændinger i x retning på 200000 MPa, hvilket er arbejdsækvivalent til påsatte knudekræfter. Normalspændingerne i y retningen samt forskydningsspændingerne er i forhold til den påsatte last 0. Konklusionen er derfor at elementet består patchtestene for såvel normalspændinger, som forskydningsspændinger. Testen er bestået fordi koden beregnede de rigtige spændingsværdier, på trods af at elementinddelingens geometri er irregulær. Dette beviser at transformationerne mellem x, y rummet og r, s rummene er fortaget korrekt. Haves et problem, der løses gentagende gange med en finere og finere elementinddeling, vil dette konvergere mod et eksakt resultat. Der kan derfor udarbejdes et konvergensstudie, hvor det pågældende element anvendes. Tabel 2: Normalspændingerne i x- og y-retningen samt forskydningsspændingen for patch test for forskydningslast. Bemærk at den i hver kolonne ovenstående værdi skal multipliceres på samtlige tal i den pågældende kolonne. Stressx [Pa] Stressy [Pa] Stressxy [Pa] 1,0e-009 * 1,0e-009 * 1,0e+005 * 0,1575 0,0922-2,0000 0,1672 0,0006-2,0000-0,1367-0,1195-2,0000 0,0626-0,1162-2,0000 0,0155-0,2148-2,0000 0,054 0,0569-2,0000-0,0402 0,0782-2,0000-0,1862 0,0033-2,0000-0,0414-0,0068-2,0000 Tabel 3: Normalspændingerne i x- og y-retningen samt forskydningsspændingen, for patch testen med normallast. Bemærk at den i hver kolonne ovenstående værdi skal multipliceres på samtlige tal i den pågældende kolonne. Stressx [Pa] Stressy [Pa] Stressxy [Pa] 1,0e+005 * 1,0e-009 * 1,0e-009 * -2,0000-0,1126-0,1446-2,0000-0,0118 0,0250-2,0000-0,0348 0,0299-2,0000-0,0221 0,0197-2,0000 0,0245 0,0255-2,0000-0,0143-0,0206-2,0000-0,0076 0,0806-2,0000-0,0049-0,0371-2,0000-0,0260-0,0039

1.4 Anvendt kode til konvergensstudier For at kunne foretage konvergensstudier med de forskellige elementer er der tilføjet en mængde kode i den allerede beskrevne Matlab kode. Den del af koden der ikke vedrører Patchtests, men kun konvergensstudier, beskrives i det følgende afsnit. Det der anvendes til konvergensstudier alene, er beregning af bodyforces, opbygning af global knudekraftvektor heraf samt beregning af fejlen mellem det analytiske flytningsfelt og det numerisk beregnede. "#$%&'()*+,$$ $ "#$&)-"..(-%$ $ I starten af elementløkken defineres /0 vektoren der senere indeholder de analytiske værdier af bodyforce feltet, i knuderne for det pågældende element. Disse værdier anvendes til bestemmelse af de konsistente knudekræfter, fra de analytiske bodyforces. 10$vektoren haves fra tidligere, og 11 er knudens x koordinat, 22 er knudens y koordinaten. Værdien af de to bodyforces beregnes således ud fra x- og y-koordinaterne for hver knude, idet der køres en løkke over elementets knudeantal. Til slut gemmes de fundne knudeværdier i vektoren /0 på. $ /0)3(#"45.(.6.7"8*9:$ $ "#$."7()*+.(.$ 11)105."7(8*9:$ 22)105."7(8,9:$ $$ /1)$/"#'(;$<=$>4.&%$*=,=?=$ /2)$/"#'(;$<=$>4.&%$*=,=?=$ $$ /05,6."7(@*8*9)/1:$ /05,6."7(8*9$$)/2:$ (.7$ $ Den lokale lastvektor findes ved et volumenintegral, som i tilfælde af skiveelementer kan omskrives til et arealintegral: $ I slutningen af Gaussløkken beregnes derfor A0 vektoren ved at værdierne fra /0 i henholdsvis x- og y-retningen interpoleres til det beregnede Gauss punkt, ved hjælp af elementets formfunktionsvektor B.. $ "#$<)*+CD$ $ 11)5*+.(.96,@*:$ 22)5*+.(.96,:$ A1)B.6/05119:$ A2)B.6/05229:$ A0)EA1$A2FG:$ $ Herefter beregnes integralet for efter samme princip som den lokale stivhedsmatrice, Gauss integration.

"#$#"#%#&'()'*"+,-.'+'/0# # Når tidsløkken køres anden gang, beregnes fejlen i den beregnede løsning, i forhold til den kendte analytiske løsning for flytningsfeltet. Dette er også beskrevet i afsnit 1.2.4. # 12#+13"$$4# # For hvert Gausspunkt bestemmes den analytiske værdi af flytningsfeltet, 5+, ved at Gausspunktets x- og y-koordinat, 6789 og :789, interpoleres fra knudekoordinaterne ;; og <<. ## ;;$;),=>?.0# <<$;),=>4.00# 6789$&@';;0# :789$&@'<<0# 5+$5A',B1@,,C1'6789.D).E4.',,B1@,,C1':789.DF..E4.0# *G2$*G238C,"9"3"@+>=.0# # Herefter indhentes de numerisk beregnede flytninger i elementets knuder fra forrige tidsskridt, til vektoren 5H@. Af disse flytninger hentes værdierne i x-retningen ud med en løkke over elementets knudeantal, til vektoren 5H@6. # 5H@$5,*G2.0# 2G#9$?=@"@# 5H@6,9.$5H@,4'9I?.0# "@*# # Dernæst interpoleres de numeriske knudeflytninger til Gausspunktet hvor forskellen 31B? ønskes bestemt. Dette gøres ved hjælp af elementets formfunktioner. 5H$&@'5H@6J0# Fejlen beregnes på samme måde som og. Bemærk at integranden i integralet er den numeriske værdi af fejlen. Dette skyldes at fejlen ikke skal udligne sig selv hvis forskellige fortegn forekommer, og derved give en falsk konvergenshældning. # 31B?$#31B?#%#8KB,,,5+I5H.E?.'+'/'*"+,-..0# "@*# "@*# "@*# "@*## Herefter afsluttes koden ved at værdien 31B?#udskrives til skærmen, som resultat på den kørte analyse. Jf. afsnit [konvergens] er dette foretaget for en række forskellige elementtyper og elementinddelinger, hvorved konvergensen af systemet kan iagttages, og kvantificeres ved en logaritmisk hældning.

[B1] DS/ISO 657-14