enote 30 1 enote 30 Polynomier af én variabel I denne enote introduceres komplekse polynomier af én variabel. Der forudsættes elementært kendskab til komplekse tal og kendskab til reelle polynomier af én reel variabel er en fordel. Dette er (final) version 18.09.14. Karsten Schmidt. 30.1 Indledning Polynomier forekommer overalt i den tekniske litteratur som matematiske modeller for fysiske problemer. En stor fordel ved polynomier er at de er uhyre simple i beregninger, da de kun forudsætter addition, multiplikation og potensopløftning. Derfor er polynomier også meget populære ved approksimation af mere komplicerede funktionstyper. Kendskab til polynomiers rødder er en kongevej til forståelsen af deres egenskaber og effektive brug og vil derfor være et hovedemne i det følgende. Men først introducerer vi nogle generelle egenskaber. Definition 30.1 Ved et polynomium af grad n forstås en funktion af formen P(z) = a n z n + a n 1 z n 1 + + a 1 z + a 0 hvor a 0, a 1,... a n er konstanter med a n = 0, og z er en kompleks variabel. a k kaldes koefficienten for z k, k = 0, 1,... n. Et reelt polynomium er et polynomium hvori alle koefficienterne er reelle.
enote 30 30.1 INDLEDNING 2 Eksempel 30.2 Eksempler på polynomier P(z) = 2 z 3 + (1 + i) z + 5 er et 3-grads polynomium. Q(z) = z 2 + 1 er et reelt 2-grads polynomium. R(z) = 17 er et 0-grads polynomium. S(z) = 0 kaldes 0-polynomiet. T(z) = 2 z 3 + 5 z 4 er ikke et polynomium. Når man adderer, subtraherer og multiplicerer polynomier med hinanden, får man et nyt polynomium som reduceres ved at man samler led med samme grad. Eksempel 30.3 Addition og multiplikation af polynomier To polynomier P og Q er givet ved P(z) = z 2 1 og Q(z) = 2 z 2 z + 2. Polynomierne R = P + Q og S = P Q bestemmes således: R(z) = (z 2 1) + (2 z 2 z + 2) = (z 2 + 2 z 2 ) + ( z) + ( 1 + 2) = 3 z 2 z + 1. S(z) = (z 2 1) (2 z 2 z + 2) = (2 z 4 z 3 + 2 z 2 ) + ( 2 z 2 + 2 2) aaaa = 2 z 4 z 3 + (2 z 2 2 z 2 ) + z 2 = 2 z 4 z 3 + z 2. To polynomier kaldes identiske hvis de er ens for alle variable. Hvad skal der til for at de er ens? Kunne man for eksempel tænke sig at et 4-grads og et 5-grads polynomium er identiske i alle variable hvis man blot vælger koefficenterne for de to polynomier med tilstrækkelig omhu? Dette er ikke tilfældet idet der gælder følgende sætning (som anføres uden bevis i denne edition). Sætning 30.4 Identitetssætning for polynomier To polynomier er ens hvis og kun hvis de er af samme grad, og alle koefficienter for led af samme grad fra de to polynomier er ens. Eksempel 30.5 Ligningen To identiske polynomier 3 z 2 z + 4 = a z 2 + b z + c er opfyldt for alle z netop når a = 3, b = 1 og c = 4. Opgave 30.6 To identiske polynomier Bestem tallene a, b og c således at (z 2)(a z 2 + b z + c) = z 3 5 z + 2 for alle z.
enote 30 30.2 POLYNOMIERS RØDDER 3 30.2 Polynomiers rødder Definition 30.7 Rod i polynomium Ved en rod i et polynomium P forstås et tal z 0 for hvilket P(z 0 ) = 0. Eksempel 30.8 Om et givet tal er rod i et polynomium Vis at 3 er rod i P(z) = z 3 5 z 12, og at 1 ikke er rod. Svar: Da P(3) = 3 3 5 3 12 = 27 15 12 = 0, er 3 rod i P. Da P(1) = 1 3 5 1 12 = 11 = 0, er 1 ikke rod i P. En helt afgørende motivation for indføringen af komplekse tal er at ethvert polynomium har rødder inden for de komplekse tal. Dette resultat blev vist af matematikeren Gauss i hans ph.d.-afhandling fra 1799. Beviset for sætningen er meget omfattende, og Gauss arbejdede videre på det hele sit liv for at gøre det endnu mere elegant. Hele fire versioner foreligger der fra hans hånd. Her tillader vi os at angive Gauss resultat uden bevis: Sætning 30.9 Algebraens fundamentalsætning Ethvert polynomium af grad n 1 har inden for de komplekse tal mindst én rod. Polynomiet P(z) = z 2 + 1 har ingen rødder inden for de reelle tal. Men inden for de komplekse tal har det hele to rødder i og i fordi P(i) = i 2 + 1 = 1 + 1 = 0 og P( i) = ( i) 2 + 1 = i 2 + 1 = 0. Vejen fra Algebraens fundamentalsætning til fuldt kendskab til antallet af polynomiers rødder er ikke lang! Den kræver blot den følgende hjælpesætning (som anføres uden bevis i denne edition).
enote 30 30.2 POLYNOMIERS RØDDER 4 Hjælpesætning 30.10 Nedstigningssætningen Hvis n te-gradspolynomiet P har roden z 0, så findes et (n 1) tegradspolynomium Q således at P(z) = (z z 0 )Q(z). (30-1) Vi videreudvikler nu ideen i Nedstigningssætningen, idet vi betragter polynomiet P(z) = a n z n + a n 1 z n 1 + + a 1 z + a 0 Hvis n 1, har P i følge fundamentalsætningen en rod z 1, og kan derfor skrives som P(z) = (z z 1 )Q 1 (z) (30-2) hvor Q 1 er et polynomium af grad n 1. Hvis n 2, så har Q 1 en rod z 2 og kan skrives som Q 1 (z) = (z z 2 )Q 2 (z) hvor Q 2 er et polynomium af grad n 2. Således fortsættes nedstigningen indtil vi når til polynomiet Q n hvis grad er n n = 0. Det vil sige Q n (z) = k hvor k er en konstant. Ved successivt at indsætte det fundne udtryk for Q k i udtrykket for Q k 1, k = n..2, og afslutningsvist indsætte det opnåede udtryk for Q 1 i 30-2, får vi P(z) = k(z z 1 )(z z 2 ) (z z n ). Forestiller vi os nu at vi udganger paranteserne på højresiden, ser vi at højestegradsleddet må være k z n, og dermed k = a n. Herefter er P skrevet på fuldstændig faktoriseret form: P(z) = a n (z z 1 )(z z 2 ) (z z n ). (30-3) I dette udtryk skal vi bemærke to ting. Den første er at vi i (30-3) har oplistet samtlige rødder z 1, z 2..., z n i P. At der ikke kan være flere, ses nemt således. Hvis et vilkårligt tal α = z k, k = 1... n, indsættes på z s plads i (30-3), vil samtlige faktorer på højresiden af (30-3) være forskellige fra nul. Dermed vil også deres produkt være forskelligt fra nul. Derfor er P(α) = 0 og α ikke en rod i P. Den anden ting vi skal bemærke i (30-3) at rødderne ikke nødvendigvis er forskellige. Det antal gange en rod optræder i polynomiets fuldstændigt faktoriserede form, kaldes rodens algebraiske muliplicitet (eller blot multiplicitet). Efter de ovenstående betragtninger kan vi præsentere følgende udvidede udgave af Algebraens Fundamentalsætning.
enote 30 30.3 POLYNOMIERS DIVISION 5 Sætning 30.11 Algebraens fundamentalsætning ver. 2 Ethvert polynomium af grad n 1 har inden for de komplekse tal netop n rødder når rødderne regnes med multiplicitet. Eksempel 30.12 Andengradspolynomier på fuldstændig faktoriset form Et vilkårligt andengradspolynomium P(z) = az 2 + bz + c kan skrives på formen P(z) = a(z α)(z β) hvor α og β er rødder i P. Hvis α = β, har P to forskellige rødder, hver med algebraisk multiplicitet 1. Hvis α = β, har P én rod med algebraisk multiplicitet 2. Roden kaldes da en dobbeltrod. Eksempel 30.13 Algebraisk multiplicitet Et polymomium P er angivet på fuldstændig faktoriseret form således: P(z) = 7(z 1)(z 1)(z + 4)(z + 4)(z + 4)(z 5) = 7(z 1) 2 (z + 4) 3 (z 5). Vi ser at P har tre forskellige rødder, 1, 4 og 5 med de algebraiske multipliciteter 2 henholdvis 3 og 1. Det bemærkes at summen af de algebraiske multipliciteter er 6 som er lig med graden af P. I overenstemmelse med Algebraens fundamentalsætning ver. 2. Eksempel 30.14 Algebraisk multiplicitet Angiv antallet af rødder i P(z) = z 4. Svar: P har kun én rod z = 0. Rodens algbraiske multiplicitet er 4. Man siger at 0 er en fjerde-dobbeltrod. 30.3 Polynomiers division Nedstigningssætningen siger at et polynium som har en rod, kan faktoriseres på formen (30-1). Men den siger ikke noget om hvordan faktoriseringen kan udføres. Det tager vi op i dette afsnit hvor vi introducerer en simpel variant af algoritmen polynomiers division, som populært kaldes at dividere en rod ud af et polynium. Den forløber helt analog med den sædvanlige divisionsalgoritme som vi her mindes med et passende eksempel hvori divisionen går op.
enote 30 30.3 POLYNOMIERS DIVISION 6 Eksempel 30.15 Divisionsalgoritmen NB: Divisionen viser at 5773 = 23 251. 5773 : 23 = 251 4600 1173 1150. 23. 23 aa 0 Metode 30.16 At dividere en rod ud af et polynomium Tredjegradspolynomiet P(z) = z 3 2z 2 + 2z 15 har roden 3. Vi benytter algoritmen polynomiers division til at dividere P med førstegradspolynomiet z 3. z 3 2z 2 + 2z 15 : z 3 = z 2 + z + 5 z 3 3z 2 aaaaa z 2 + 2z 15 aaaaa z 2 3z aaaaaa 5z 15 aaaaaa 5z 15 a 0 Konklusionen er at P kan skrives som produktet af førstegradspolynomiet z 3 og et polynomium Q(z) = z 2 + z + 5 hvis grad er én lavere end P s: P(z) = (z 3) (z 2 + z + 5) NB: Kravet til det første led i Q er, at det bliver lig med det første led i P, når det ganges med z. Derfor er de første led i Q lig z 2. Anden linje fremkommer ved at dette led ganges med divisoren z 3. Tredje linje fremkommer ved at polynomiet i anden linje trækkes fra polynomiet i første linje. Derved bliver tredje linje et polynomium af lavere grad end P. Algoritmen starter nu forfra med tredje linje som dividend og (z 3) som divisor, og der forsættes indtil fratrækningen giver 0. Vi tager nu et sidste eksempel på divisionsalgoritmen.
enote 30 30.4 POLYNOMIUMSLIGNINGER 7 Eksempel 30.17 At dividere en rod ud Ved indsættelse ses at 2 er rod i polynomiet 2z 3 16. Vi dividerer roden ud: 2z 3 16 : z 2 = 2z 2 + 4z + 8 2z 3 4z 2 4z 2 16 4z 2 8z 8z 16 8z 16 0 I det følgende afsnit behandler vi metoder til at finde rødder for visse typer af polynomier. 30.4 Polynomiumsligninger Fra Algebraens fundamentalsætning ved vi at ethvert polynomium af grad større end eller lig med 1 har rødder. I dens udvidede version slås det endog fast at for ethvert polynoium er dets grad lig med antallet af dets rødder, hvis rødderne regnes med multiplicitet. Men sætningen er en teoretisk eksistenssætning, som ikke hjælper os med at bestemme polynomiers faktiske rødder. I det følgende introduceres metoder til at finde rødderne for simple polynomier. Men lad os holde amitionsniveauet på et rimeligt niveau, for i begyndelsen af 18-hundredtallet beviste den norske algebraiker Abel at der ikke kan opstilles generelle metoder til at finde rødderne i polynomier af grad større end eller lig med fire! For polynomier af højere grad end fire findes der en række smarte tricks hvorved man kan være heldig at finde en enkelt rod som man kan dividere ud af polynomiet. Herefter arbejder man videre med det resterende polynomium af én grad lavere - og måske gradvist kan nå ned til et polynoium hvortil der findes en eksakt metode for at finde de resterende rødder. Lad os indledningsvist slå fast at når man ønsker at finde rødderne for et polynomium P(z) skal man løse den tilsvarende polynomiumsligning P(z) = 0. Som en simpel illustration kan vi se på roden for et vilkårligt førstegradspolynomium For at finde den skal vi løse ligningen P(z) = az + b. az + b = 0.
enote 30 30.4 POLYNOMIUMSLIGNINGER 8 Det er ikke svært, den har løsningen z 0 = b a som derfor er rod i P(z). Når man skal finde rødderne for et polynoimium P, finder man løsningerne på polynomiumsligningen P(z) = 0. Eksempel 30.18 Roden i et førstegradspolynomium Vi vil finde roden til førstegradspolynomiet P givet ved P(z) = (1 i) z (5 + 2i). Vi skal løse ligningen (1 i) z (5 + 2i) = 0 (1 i) z = (5 + 2i). Vi isolerer z på venstre side z = 5 + 2i 1 i = (5 + 2i)(1 + i) (1 i)(1 + i) = 3 + 7i 2 = 3 2 + 7 2 i. Det ses heraf at ligningen har løsningen z 0 = 3 2 + 7 2 i hvorved vi samtidigt har fundet P s rod. 30.4.1 Binome ligninger En binom ligning er en særlig n -te gradsligning hvor kun koefficienterne a n og a 0 er forskellige fra 0. En given binom ligning kan reduceres til den følgende form: Definition 30.19 Binom ligning En binom ligning har formen z n = w, hvor w C og n N. For binome ligninger findes en eksplicit løsningsformel som vi præsenterer i den følgende sætning.
enote 30 30.4 POLYNOMIUMSLIGNINGER 9 Sætning 30.20 Binom ligning løst vha. eksponentiel form Lad w = 0 være et komplekst tal med den eksponentielle form w = w e iv. Den binome ligning z n = w (30-4) har n forskellige løsninger givet ved formlen z p = w n e i( n v +p 2π n ) hvor p = 0, 1,..., n 1. (30-5) Bevis For ethvert p {0, 1,... n 1} er z p = n w e i( v n +p 2π n ) en løsning til (30-4) idet (z p ) n = ( n w e i( v n +p 2π n ) ) n = w e i(v+k 2π) = w e iv. Det ses at de n løsninger ligger på en cirkel i den komplekse talplan med centrum i Origo, radius n w og en fortløbende vinkelafstand på 2π n. Forbindelseslinjerne mellem Origo og løsningerne deler med andre ord cirklen i n lige store vinkler. Det følger heraf at de n løsninger er indbyrdes forskellige. At der ikke er flere løsninger, er en følge af Algebraens fundamentalsætning ver. 2, 30.11. Hermed er sætningen bevist. Vi skal i de næste eksempler betragte nogle vigtige særtilfælde af binome ligninger. Eksempel 30.21 Binom andengradsligning Vi betragter et komplekst tal på eksponentiel form w = w e iv. Det følger af (30-5) at andengradsligningen z 2 = w har to løsninger z 0 = w e i 2 v. og z1 = w e i 2 v.
enote 30 30.4 POLYNOMIUMSLIGNINGER 10 Eksempel 30.22 Binom andengradsligning med negativ højreside Lad r være et vilkårligt positivt reelt tal. Ved i eksempel 30.21 at sætte v = Arg( r) = π ses at den binome andengradsligning z 2 = r har to løsninger z 0 = i r og z 1 = i r. Med et konkret eksempel har ligningen z 2 = 9 løsningerne z = ± i 3. Den benyttede metode i eksempel 30.21 kan i mange tilfælde være vanskelig at gennemføre. I det følgende eksempel vises en alternativ metode. Eksempel 30.23 Binom andengradsligning, metode 2 Vi vil løse ligningen z 2 = 8 6i. (30-6) Vi sætter z = x + iy, hvorved z 2 = (x + iy) 2 = x 2 y 2 + 2xyi. Dermed kan (30-6) omskrives til x 2 y 2 + 2xyi = 8 6i. Da realdelene henholdvis imaginærværdierne på ligningens to sider skal være identiske, må (30-6) være ækvivalent med x 2 y 2 = 8 og 2xy = 6. (30-7) Indsættes y = 6 2x = 3 x i x2 y 2 = 8 og sættes x 2 = u opnås andengradsligningen u 2 8u 9 = 0 u = 9 eller u = 1. Mens ligningen x 2 = u = 9 har løsningerne x 1 = 3 og x 2 = 3, har ligningen x 2 = u = 1 ingen løsninger. Indsættes x 1 = 3 henholdsvis x 2 = 3 i (30-7), fås de tilsvarende y-værdier y 1 = 1 og x y = 1. Hermed konkluderes at den givne ligning (30-6) har rødderne z 1 = x 1 + iy 1 = 3 i og z 2 = x 2 + iy 2 = 3 + i. 30.4.2 Andengradsligninger Til løsning af andengradsligninger opstiller vi nedenfor den formel der svarer til den velkendte løsningsformel for reelle andengradsligninger pånær en enkelt detalje. Vi
enote 30 30.4 POLYNOMIUMSLIGNINGER 11 tager ikke kvadratroden af diskriminanten. Afvigelsen skyldes at vi ikke forudsætter kendskab til kvadratrødder af komplekse tal. Sætning 30.24 Løsningsformel for andengradsligning For andengradsligningen az 2 + bz + c = 0, a = 0 (30-8) indføres diskriminanten D ved D = b 2 4ac. Ligningen har to løsninger z 1 = b w 0 2a og z 2 = b + w 0 2a (30-9) hvor w 0 er en løsning til den binome andengradsligning w 2 = D. Hvis specielt D = 0, gælder der z 1 = z 2 = b 2a. Bevis Lad w 0 være en vilkårlig løsning til den binome ligning w 2 = D. Der gælder da: ( az 2 + bz + c = a z 2 + b a z + c ) a ( ( = a z + b ) ) 2 b2 2a 4a 2 + c a ( ( = a z + b ) ) 2 b2 4ac 2a 4a 2 ( ( = a z + b ) ) 2 D 2a 4a 2 ( ( = a z + b ) ) 2 w2 0 2a 4a 2 (( = a z + b ) + w ) (( 0 z + b ) w ) 0 2a 2a 2a 2a ( = a z + b + w ) ( 0 z b + w ) 0 = 0 2a 2a z = b w 0 2a eller z = b + w 0 2a.
enote 30 30.4 POLYNOMIUMSLIGNINGER 12 Hermed er løsningsformlen (30-8) udledt. Eksempel 30.25 Reel andengradsligning med positiv diskriminant Vi betragter en andengradsligning med reelle koefficienter 2z 2 + 5z 3 = 0. Vi identificerer koefficienterne: a = 2, b = 5, c = 3. Diskriminanten findes: D = 5 2 4 2 ( 3) = 49. Det ses at w 0 = 7 er en løsning til den binome andengradsligning w 2 = D = 49. Nu kan løsningerne udregnes: z 1 = 5 + 7 2 2 = 1 2 og z 2 = 5 7 2 2 = 3. (30-10) Eksempel 30.26 Reel andengradsligning med negativ diskriminant Vi betragter en andengradsligning med reelle koefficienter z 2 2z + 5 = 0. Vi identificerer koefficienterne: a = 1, b = 2, c = 5. Diskriminanten findes: D = ( 2) 2 4 1 (5) = 16. I følge eksempel 30.22 er en løsning for den binome andengradsligning w 2 = D = 16 givet ved w 0 = i 16 = 4i. Nu kan løsningerne udregnes: z 1 = ( 2) + 4i 2 1 = 1 + 2i og z 2 = ( 2) 4i 2 1 = 1 2i. (30-11) Eksempel 30.27 Andengradsligning med komplekse koefficienter Vi løser andengradsligningen z 2 (1 + i)z 2 + 2i = 0. (30-12) Lad os først identificere koefficienterne: a = 1, b = 1 i, c = 2 + 2i. Diskriminanten findes: D = ( (1 + i)) 2 4 1 ( 2 + 2i) = 8 6i. Fra eksempel 30.23 ved vi at den binome ligning w 2 = 8 6i har løsningen w 0 = 3 i. Herefter findes løsningerne for (30-12) ved z 1 = (1 + i) + (3 i) 2 1 = 2 og z 2 = (1 + i) (3 i) 2 1 = 1 + i. (30-13)
enote 30 30.4 POLYNOMIUMSLIGNINGER 13 30.4.3 Tredje- og fjerdegradsligninger Fra antikken kendes geometriske metoder til løsning af (reelle) andengradsligninger. Men først omkring 800 e.kr. blev algebraiske løsningsformler kendt via den persiske (arabisk skrivende) matematiker Muhammad ibn Musa al-khwarismes berømte bog al- Jabr. Navnet Khwarisme blev i vesten til det velkendte ord algoritme, mens bogens titel blev til algebra. Tre hundrede år senere gentog historien sig. Omkring år 1100 e.kr. angav en anden persisk matematiker (og digter) Omar Khayyám eksakte metoder til hvordan man finder løsninger til reelle tredje- og fjerdegradsligninger ved hjælp af mere avancerede geometriske konstruktioner. For eksempel løste han ligningen x 3 + 200x = 20x 2 + 2000 ved skæring mellem en cirkel og en hyperbel hvis ligninger han kunne udlede af tredjegradsligningen. Omar Khayyám mente ikke det ville være muligt at opstille algebraiske formler for løsninger til ligninger af grad større end med to. Her tog han dog fejl, idet italieneren Gerolamo Cardano i 1500-tallet offentliggjorde formler til løsning af tredje- og fjerdegradsligninger. Khayyáms og Cardonos formler ligger ikke inden for rammerne af denne enote. Her angiver vi blot et enkelt eksempel på hvordan kan man ved hjælp af nedstigningsmetoden kan finde alle løsninger til ligninger af grad større en to, hvis man i forvejen kender eller kan gætte et tilstrækkeligt antal af løsningerne. Eksempel 30.28 En tredjegradsligning med et indledende gæt Vi skal løse tredjegradsligningen z 3 3z 2 + 7z 5 = 0. Det gættes nemt at 1 er en løsning. Ved at dividere venstresiden med z 1 (polynomiers division) fås faktoriseringen: z 3 3z 2 + 7z 5 = (z 1)(z 2 2z + 5) = 0. De resterende løsninger fås derfor ved løsning af andengradsligningen z 2 2z + 5 = 0, som i følge eksempel (30.26) har løsningerne 1 + 2i og 1 2i. Samlet ses at tredjegradsligningen har løsningerne {1, 1 + 2i, 1 2i}.
enote 30 30.5 REELLE POLYNOMIER 14 30.5 Reelle polynomier Teorien som har været udfoldet i de forrige afsnit, gælder for alle polynomier med komplekse koefficienter. I dette afnit skal vi præsentere to sætninger der kun gælder for polynomier med reelle koefficienter, det vil sige den delmængde som kaldes de reelle polynomier. Den første sætning viser at ikke-reelle rødder altid optræder i par. Sætning 30.29 Rødder i reelle polynomier Hvis tallet a + ib er rod i et polynomium som kun har reelle koefficienter, så er også det konjugerede tal a ib rod i polynomiet. Lad Bevis P(z) = a n z n + a n 1 z n 1 + + a 1 z + a 0 være et reelt polynomium. Ved brug af regneregler for konjugering af sum og produkt af komplekse tal (se enote 29 om komplekse tal) samt forudsætningen at alle koefficienterne er reelle, fås P(z) = a n z n + a n 1 z n 1 + + a 1 z + a 0 = a n z n + a n 1 z n 1 + + a 1 z + a 0 = P(z). Hvis z 0 er rod i P, får vi da P(z 0 ) = 0 = 0 = P(z 0 ) hvoraf ses at også z 0 er rod. Eksempel 30.30 Konjugerede rødder Det oplyses at polynomiet P(z) = 3z 2 12z + 39 (30-14) har roden 2 3i. Bestem alle rødder i P, og opskriv P på fuldstændig faktoriseret form. Svar: Vi ser at alle tre koefficienter for P er reelle. Derfor er også den oplyste rods konjugerede 2 + 3i rod i P. Da P er et andengradspolynomium er der ikke flere rødder. Ved brug af (30-3) får vi P(z) = a 2 (z (2 3i))(z (2 + 3i)) = a 2 (z 2 4z + 13).
enote 30 30.5 REELLE POLYNOMIER 15 Ved sammenligning med (30-14) fås a 2 = 3 og den fuldstændigt faktoriserede form for P er P(z) = 3 (z (2 3i))(z (2 + 3i)). Fra sætning 30.29 ved vi at komplekse rødder i et reelt polynomium altid optræder i konjugerede par. I polynomiets fuldstændigt faktoriserede form vil et par af konjugerede rødder derfor give anledning til to faktorer som kan ganges sammen til et reelt andengradspolynomium således (z (a + ib))(z (a ib)) = ((z a) + ib))((z a) ib) Heraf udspringer følgende sætning: = (z a) 2 (ib) 2 = z 2 2az + (a 2 + b 2 ). Sætning 30.31 Reel faktorisering Et reelt polynomium kan skrives som et produkt af reelle førstegradspolynomier og reelle andengradspolynomier som ikke har reelle rødder. Eksempel 30.32 Reel faktorisering Om et reelt syvendegradspolynomium P oplyses at det har rødderne 1, i, 1 + 2i samt dobbeltroden 2, og at koefficienten til dets højestegradsled er a 7 = 5. Skriv P som et et produkt af reelle førstegradspolynomier og reelle andengradspolynomier som ikke har reelle rødder. Svar: Vi kan sætte P på fuldstændig faktoriseret form: P(z) = 5 (z 1)(z i)(z + i)(z (1 + 2i))((z (1 2i))(z 2) 2 Der er to par af faktorer der svarer til konjugerede rødder. Når de ganges sammen, fås den ønskede form: P(z) = 5 (z 1)(z 2 + 1)(z 2 2z + 5)(z 2) 2. Hermed afsluttes behandlingen af polynomier af én variabel.