Matematik A Studetereksame Forsøg med digitale eksamesopgaver med adgag til iterettet Forberedelsesmateriale Vejledede opgave Forår 0
til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes 6 timer af holdets sædvalige uddaelsestid til at elevere ka arbejde med forberedelsesmaterialet forud for de skriftlige prøve 3-5 delspørgsmål i delprøve af de skriftlige prøve tager udgagspukt i det materiale, der fides i dette oplæg De øvrige spørgsmål omhadler emer fra kerestoffet Oplægget ideholder teori, eksempler og øvelser i tilkytig til et eme, der ligger umiddelbart i forlægelse af et kerestofeme Resultatere af arbejdet med dette forberedelsesmateriale bør medbriges til de skriftlige prøve Alle hjælpemidler er tilladt, og det er tilladt at modtage vejledig
6 timer med vejledig Komplekse tal Når vi skal løse adegradsligige ax + bx + c = 0, hvor a, b og c er reelle tal, så bruger vi løsigsformle -b b -4ac x = a Ligiges diskrimiat opskriver vi som det selvstædige udtryk d = b - 4ac, fordi diskrimiate jo har afgørede betydig for atallet af løsig til adegradsligige Der gælder som bekedt, at år d < 0, så har ligige ige løsiger Adegradsligige x + = 0, har ige løsiger, idet der ikke er oget reelt tal, der gaget med sig selv giver - Havde der været e løsig, så skulle vi kue give meig til udtrykket -, fordi år vi løser ligige efter de sædvalige regler, så får vi x =- x = - Accepterer vi u, at der fides et sådat tal, så skal der jo gælde, at ( - ) =- I det følgede vil vi atage at tallet i har de egeskab, at i =- Ud fra oveståede er det klart, at dette tal ikke er et reelt tal Ligige ovefor har ige reelle tal som løsiger, me ligige har det, som vi vil kalde komplekse tal som løsiger Vi vil i det følgede vise, at ehver adegradsligig altid har to løsiger, år vi arbejder ide for de komplekse tal Defiitio De komplekse tal består af alle tal på forme = x+ y i, hvor x og y er reelle tal Tallet x kaldes de reelle del af og skrives også Re( ), mes y kaldes imagiærdele af og skrives Im( ) Øvelse Eksempler på komplekse tal: = + 3i, = 4 og 3 =-5i a) Agiv de reelle del af de tre komplekse tal, og 3 b) Opskriv selv tre ye komplekse tal Regig med komplekse tal Additio (lægge til), subtraktio (trække fra), multiplikatio (gage) og divisio (dividere) foregår på samme måde for de komplekse tal som for de reelle tal Ma skal blot huske på, at i =- Ma ka altid kue reducere sit regeudtryk, så resultatet eder med at stå på forme x + y i To komplekse tal er givet ved = + 3i og = 4-5i Vi illustrerer de tre første regeoperatioer med disse to komplekse tal: Additio ( + ) ( ) ( ) ( ) ( ) + = + 3i + 4-5i = + 3i+ 4-5i= + 4 + 3i- 5i = 6- i Forsøg med digitale eksamesopgaver i stx-a-matematik side af 7
6 timer med vejledig Subtraktio (-) ( ) ( ) ( ) ( ) - = + 3i - 4-5i = + 3i- 4+ 5i= - 4 + 3i+ 5i =- + 8 i Multiplikatio ( ) ( ) ( ) = + 3i 4-5i = 4-5i+ 3i 4-3i 5i= 8-0i+ i-5i Nu udytter vi at i =-, og så får vi = 8+ i-5 ( - ) = 8+ i+ 5= 3+ i Divisio af komplekse tal er lidt mere kompliceret, og ide vi itroducerer de regeoperatio vil vi idføre e y regeoperatio, som er kyttet specielt til de komplekse tal, emlig kompleks kojugerig Defiitio Ved de kompleks kojugerede til et komplekst tal = x+ y i forstås det komplekse tal = x- y i Vi illustrerer u de sidste af de fire regeoperatio med de samme to komplekse tal som ovefor: Divisio (:) Vi vil udføre divisioe + 3i = 4-5i, idet vi beytter de kompleks kojugerede til, dvs = 4-5i= 4+ 5i, til i første omgag at forlæge brøke + 3i + 3i 4-5i + 3i 4+ 5 i (+ 3 i) (4+ 5 i) = = = =, 4-5i 4-5i 4-5i 4-5i 4+ 5 i (4-5 i) (4+ 5 i) Vi gager paretesere ud, idet vi i ævere udytter e af kvadratsætigere, dvs vi får 8+ 0i+ i+ 5i - 7+ i - 7+ i -7 = = = = + i=- 0,7 + 0,54 i 6-5i 6 + 5 4 4 4 Eksempel Der gælder, at = x + y Vi ka eftervise dette ved multiplikatio af de to komplekse tal = x+ y i og = x- y i, idet vi ige udytter e af kvadratsætigere, dvs vi får ( ) ( ) = x-y i x+ y i = x -( y i ) = x + y Regig med komplekse tal ka emt udføres på et CAS-værktøj (her TI-Iteractive), idet tallet i fides som et idbygget symbol ligesom e og p : ( 4 + 3 i) ( 5-7 i) = 4-3 i og 4 + 5 i - = + 58 i 6-7 i 85 85 Forsøg med digitale eksamesopgaver i stx-a-matematik side af 7
6 timer med vejledig Øvelse Bestem ved hådregig edeståede 3 komplekse tal og kotrollér resultatere vha et CAS-værktøj: a) ( + 3i) -( 7-4i) b) ( + 3 ) ( 7+ 6 ) i i c) ( + i) ( 7+ 6i) 3 De komplekse talpla Ma ka afbilde det komplekse tal = x + yi i Imagiær akse puktet ( x, y ) i e pla med et sædvaligt retviklet koordiatsystem Alle komplekse tal på forme x + 0i repræseterer 4i blot alle de reelle tal, fordi de imagiære del er ul 3 3i Disse tal afbildes på akse, og ma kalder derfor dee akse for de reelle akse Der gælder altså, at alle de reeelle tal er ideholdt i de komplekse tal Specielt ser vi, at tallet afbildes i puktet (,0) svarede til at ehede på de reelle akse er Reel akse i Alle komplekse tal på forme 0 + yi, hvor de reelle del er ul kaldes ret imagiære tal Disse tal afbildes på akse, som derfor kaldes de imagiære akse Specielt ser vi her, at tallet i afbildes i puktet (0,), og derfor kalder vi i de imagiære ehed æ ö I vektorregig kalder vi vektore = a OA ç çèa fra begydelsespuktet (0,0) til puktet A( a, a) for ø stedvektore til A, og additio af to komplekse tal svarer geometrisk set til additio af stedvektorere til de pukter som repræseterer de komplekse tal i de komplekse talpla Eksempel To komplekse tal er givet ved = x+ yi og = x + yi Ved additio får vi: + = ( x + x ) + ( y + y ) i, og derfor afbildes det komplekse tal + i puktet ( x+ x, y+ y ) Dette pukt har etop sumvektore for de to stedvektorer til hhv og som æ ö æ ö æ + ö stedvektor: x x + = x x ç ç ç + èy ø èy ø èy y ø Øvelse To komplekse tal er givet ved = 6+ i og = 7 i a) Teg de to pukter, der repræseterer og i de komplekse talpla b) Bestem lægde af stedvektorere til hvert af de to pukter, som repræseterer de komplekse tal og c) Bestem for hvert af de komplekse tal og de vikel som disse stedvektorer daer med x-akse Forsøg med digitale eksamesopgaver i stx-a-matematik side 3 af 7
6 timer med vejledig Øvelse 3 To komplekse tal er givet ved = x+ yi og = x + yi a) Bestem -, og giv e geometrisk fortolkig af tallet Øvelse 4 Overvej, at de kompleks kojugerede til = x + yi, dvs = x- yi, geometrisk set blot svarer til at spejle i de reelle akse Modulus og argumet Ved multiplikatio og divisio af komplekse tal er det bekvemt at skrive de komplekse tal på e ade form I de forbidelse får vi brug for begrebere modulus af et komplekst tal og argumet for et komplekst tal Defiitio 3 Et komplekst tal er givet ved = x+ yi Ved modulus af, som beteges, forstår vi lægde af stedvektore til det pukt ( x, y ), der repræseterer i de komplekse talpla, dvs = x + y Sætig Et komplekst tal er givet ved = x+ yi Da gælder der, at = Øvelse 5 a) Vis, at sætig gælder for det komplekse tal =- + 5i b) Bevis sætig Betragt et komplekst tal = x+ yi Vi vil vise, at ( cos ) si( ) ) = ( q + q i, hvor er modulus for, og q er vikle (reget i positiv omløbsretig) mellem førsteakse og stedvektore til det pukt, der repræseterer i de komplekse talpla (se figur) Im x yi Re Forsøg med digitale eksamesopgaver i stx-a-matematik side 4 af 7
6 timer med vejledig Øvelse 6 Først ser vi på et taleksempel: Et komplekst tal er givet ved = 3+ i a) Teg stedvektore til, og bestem vikle q mellem stedvektore til og førsteakse reget i positiv omløbsretig b) Bestem modulus af, og udreg x= cos ( q ) og y= si ( q ) Deræst ser vi på det geerelle tilfælde: Betragt et komplekst tal = x+ yi Lad være q vikle (reget i positiv omløbsretig) mellem førsteakse og stedvektore til det pukt, som repræseterer i de komplekse talpla c) Vis, at x= co s( q ) og y= si ( q ) d) Vis u, at = ( cos q) + si( q) i ) ( Defiitio 4 Ved de polære koordiater for det komplekse tal forstås talparret ( r, q ), hvor r= og q er vikle (reget i positiv omløbsretig) mellem førsteakse og stedvektore til det pukt, som repræseterer i de komplekse talpla Tallet ka skrives på forme ( + i( ) ) = r cos( q) s q i Dette skriver vi også som r θ = e i, og vi siger i begge tilfælde, at er agivet på polær form Vikle q kaldes argumetet for, og agives som: Arg( ) De overraskede skrivemåde med brug af e θ i avedes af CAS-værktøjere og bag dette ligger e sammehæg mellem ekspoetialfuktioe og de trigoometriske fuktioer, som etop viser sig i de komplekse talpla, me som vi ikke vil komme ærmere id på her CAS-værktøjere ka let rege frem og tilbage mellem polære og rektagulære koordiater (her TI- Iteractive): ( 4 i) / 3 ( 3 4 ) topolar e 5 og 5 e ( p i - + i ) 5 + 4330 i Bemærk, at viklere her er reget i radiaer Im Im 3 4i,5 4,330i,4 Re 3 Re Hvis (, ) r, q+ p p, pîz repræsetere det samme komplekse tal, fordi år vi lægger p p til q, så svarer det jo blot til at løbe et helt atal gage rudt om (0,0) De værdi bladt + p, pîz - p, p kaldes hovedargumetet for r q repræseterer et komplekst tal på polær form, så vil ( ) q p, der ligger i itervallet ] ] Forsøg med digitale eksamesopgaver i stx-a-matematik side 5 af 7
6 timer med vejledig Bemærk, at tallet 0 i de komplekse talpla svarer til skærigspuktet mellem de reelle akse og de imagiære akse Vi vil fremover kalde dette pukt for O Øvelse 7 Tre komplekse tal er givet ved = + 3 i, = - 3 i, 3 =- 7 i og 4 =-3-4 i a) Teg de pukter som repræseterer, og 3i de komplekse talpla b) Agiv, og 3 på polær form, og kotroller modulus og argumet for hvert af de tre komplekse tal på figure fra a) Øvelse 8 Bereg modulus af og argumetet for hvert af de komplekse tal: a) = + i b) = -i c) 3 = ( + i) ( - i ) Sætig Bevis: For ethvert kompleks tal gælder, der at Arg( ) =-Arg( ) og = Skriver vi på polær form r ( cos( q) + si( q) ) = i, dvs = r og Arg( ) = q, fås ( ( q) + si( q) i) ( os( q) -si( q i ) = r cos = r c ), og da - si( q) = si( -q) og cos( q) = cos( -q), så får vi ( ) = r cos( -q) + si( -q) i Heraf ses, at = r og Arg( ) =- q Multiplikatio og divisio i polære koordiater Hvis to komplekse tal og er givet i polære koordiater, altså ved modulus og argumet, ka multiplikatio og divisio udtrykkes simpelt Sætig 3 For ethvert komplekst tal ¹ 0 gælder der, at = og æö Argç =-Arg( ) çè ø Bevis: Vi skriver på forme = r ( cos( q) + si( q) i), hvor r= og q = Arg( ) Da er de komplekst kojugerede til givet ved = r ( cos( -q) + si( -q) i) og derfor får vi ved at forlæge med og avede sætig : ( cos( q) + si( -q) i), r - = = = = ( c o s( -q) + si ( -q ) i) r r Nu er skrevet på polær form, og vi ser, at = = r og at æö Argç =-q çè ø Forsøg med digitale eksamesopgaver i stx-a-matematik side 6 af 7
6 timer med vejledig Sætig 4 For to komplekse tal og gælder der, at Bevis: Vi skriver og på forme = og Arg( ) = Arg( ) + Arg( ) = r ( cos( q ) + si( q ) i ) og = ( cos( ) + si( ) ) r q q i, hvor r = og q = Arg( ), og tilsvarede r = og q = Arg( ) Ved multiplikatio får vi således ( cos( q ) + si( q ) i) ( cos( q ) + si( q ) i) = r r ( cos( q ) cos( q ) cos( q ) si( q ) i si( q )cos( q ) i si( q)si ( q) i ) = r r + + + ( cos( q ) cos( q ) cos( q ) si( q ) i+ si( q )cos( q ) i si( q )si( q )) (( cos( ) cos( ) si( ) si ( )) ( cos( ) si( ) si( )cos( )) ) = r r + - = r r q q - q q + q q + q q i ved brug af de to additiosformler for de trigoometriske fuktioer: cos( q + q ) = cos( q ) cos( q )- si( q ) si( q ) følger det u at si( q + q ) = cos( q ) si( q ) + si( q ) cos( q ) ( cos( + ) + si( + ) ) = r r q q q q i Nu er skrevet på polær form, og det fremgår at = r r = og Arg( ) = q + q =Arg( ) + Arg( ) q i Øvelse 9 Et komplekst tal er givet ved = e = cos( q) + si( q) i, dvs har modulus, = j Et adet komplekst tal er givet ved e i w= w = w (cos( j) + si( j) i ) a) Teg e skitse, der viser de pukter i de komplekse talpla, som repræseterer de tre komplekse tal, w og w b) Formuler på baggrud af skitse e påstad om, hvilke sammehæg der er mellem de to komplekse tal w og w, år har modulus 4 Øvelse 0 To komplekse tal er givet ved = 3+ i og = e 4 a) Beyt resultatet af øvelse ovefor til at bestemme de to komplekse tal, der π fremkommer ved at dreje hhv og vikle omkrig O 3 π i Sætig 5 For to komplekse tal og gælder der, at æ ö Arg ç = Arg -Arg = og ( ) ( ) ç çè ø Forsøg med digitale eksamesopgaver i stx-a-matematik side 7 af 7
6 timer med vejledig Øvelse Bevis sætig 5 ved at avede sætig 4 på ligige: = Øvelse To komplekse tal er givet ved =-- 4 i og = -7 i a) Bestem modulus og argumet for og, og agiv og på polær form b) Agiv ved avedelse af sætig 4 og sætig 5 og c) Teg de fire komplekse tal,, og To komplekse tal er givet ved = x+ yi og = x + yi på polær form id i et koordiatsystem d) Giv e geometriske beskrivelse af, hvorda de to komplekse tal og fremkommer af og Sætig 6 For et komplekst tal gælder der, at = og Arg( ) = Arg( ), hvor er et helt tal Bevis: Beviset er et iduktiosbevis, som bygger på at e bestemt egeskab går i arv fra et tal i række til det æste tal i række Dee bevistype avedes ofte, år ma skal vise, at e bestemt formel gælder for alle aturlige tal,, 3, 4, Vi sikrer os allerførst, at det første tal i række er bærer af egeskabe, dvs at vores formler giver meig for det første tal i række, som er = Når =, så får vi = = og Arg( ) = Arg( ) = Arg( ), dvs formle gælder for = Fortsætter vi til det æste tal i række = = = og Arg( ) Arg( ) Arg( ) Arg( ) = + =,, så får vi altså gælder sætige også for = Dvs det første (og det adet) tal i række er bærer af egeskabe Såda kue vi fortsætte, hvis talrække var begræset, me her skal vi jo vise, at formlere gælder for alle hele tal Derfor laver ma det lille trick, at ma atager, at et tilfældigt tal i række er bærer af egeskabe, og derefter viser ma så, at det efterfølgede tal bliver bærer af egeskabe, og dermed har ma jo vist at alle tallee i række er bærer af egeskabe Vi atager derfor u, at det m te tal i række er bærer af egeskabe, dvs at formle gælder for = m m = m m og Arg( ) = Arg( ) m Vi vil u vise, at så bliver det æste tal i række = m+ også bærer af egeskabe, dvs så vil formlere også gælde for = m + m+ + = m og Arg ( m+ ) = ( + ) Arg( ) m Forsøg med digitale eksamesopgaver i stx-a-matematik side 8 af 7
6 timer med vejledig Ved brug af potesregereglere og sætig 4 samt atagelse om, at sætige gælder for = m, får vi og m m m m m+ + = = = = Arg m ( + m ) = Arg( ) m = Arg( ) + Arg( ) ( ) Arg( ) ( ) = m Arg + = ( m+ ) Arg Vi har u vist, at tallet = m + er bærer af egeskabe, etop hvis tallet før = m er bærer af egeskabe altså hvis et tal i række er bærer, så arver det æste tal i række egeskabe! Me vi ved jo, at = er bærer, altså er alle de efterfølgede tal i række også bærere! Hermed er iduktiosbeviset fuldført Vi ka altså ifølge sætig 6 skrive det komplekse tal hvor q = Arg( ) ( cos( ) si( ) ) = q + q i, på forme 6 Eksempel 3 Et komplekst tal er givet ved =, e p i Im Så ka tallee, hvor =,,0, afbildes i de komplekse talpla som vist på figure Ved omskrivig får vi emlig p p i i 6 6 = (, e ) =, e p p =, (cos( ) + si( ) i ) 6 6 i Re Da =,>, så vil = =, blive større og større, år geemløber =,,0, og tilsvarede vil Arg ( ) = Arg( ) blive større og større, år geemløber =,,0 4 Øvelse 3 Et komplekst tal er givet ved =,3 e p i a) Teg puktere der repræseterer de komplekse tal, =,,0 i de komplekse talpla Forsøg med digitale eksamesopgaver i stx-a-matematik side 9 af 7
6 timer med vejledig Ligige = a Ide vi går i gag med adegradsligige, vil vi først se på te-gradsligige de simple adegradsligig = a, hvor a er et komplekst tal = a, og derefter på Sætig 7 Bevis: Ligige hvor q = ( a) = a, hvor a er et komplekst tal, har løsigere q pp q pp ( i ) = a cos( + ) + si( + ), p= 0,,,, -, Arg Vi fider først modulus af Ifølge sætig 6 gælder og da = =, a får vi = = a, og dermed = a Herefter fider vi argumetet for Ifølge sætig 6 gælder der, at dvs ( ) ( ) ( a) Arg = Arg = Arg, Arg( a) Arg ( ) = Som tidligere ævt repræseterer (, ) r q og ( r, q+ p ) samme komplekse tal Da argumetet for a er θ, så vil ( r, q+ p ) helt tal, også være argumet for a Arg a = q+ p p, pîz ( ) og dermed Arg = q+ p p, pîz ( ) og ved divisio med får vi q p Arg( ) = + p, p ÎZ Bemærk, at dette giver forskellige vikler for p= 0,,, - p, hvor p er et helt tal, det Derfor ka løsigere til ligige = a skrives som q pp q pp = a cos( + ) + si( + ) i, p= 0,,,, - ( ) p, hvor p er et Af løsigsformle til ligige = a ser vi, at alle løsiger har samme modulus Har ma fudet løsige for p = 0 og afsat de i de komplekse pla, fider vi blot de æste løsig ved at dreje de første løsig vikle p omkrig O De løsiger vil altså ligge som hjører i e regulær -kat med cetrum i O Forsøg med digitale eksamesopgaver i stx-a-matematik side 0 af 7
6 timer med vejledig Ma bruger ofte symbolet a for e vilkårlig af de løsiger i ligige ligig, vælger ma så a til at være é bestemt løsig = a Når ma løser e kokret Eksempel 4 Vi vil løse ligige 5 = 3 Modulus af er givet ved = 5 3 = Argumetet af er 0, da 3 ligger på de positive del af de reelle akse Argumetere for de 5 løsiger er så p Arg( ) = 0 + p = 0, p = 0,,,3, 4 5 Altså er argumetere til løsigere Løsigere til ligige 5 = 3 4 6 8 0, p, p, p og p 5 5 5 5 bliver derfor 4 6 8 5 5 5 5 0 = = p i = p i 3 = p i 4 = p i, e, e, e og e De 5 løsiger er illustreret på figure edefor Im e i 5 e 4 i 5 i 0 Re 3 e 6 i 5 4 e 8 i 5 5 Løsiger til ligige 3 Ligige ka også let løses ved hjælp af et CAS-værktøj (her TI-Iteractive): 5 csolve( 3, ) = = = = = =,5664 i -,5664 i,537 i -,537 i e or e or e or e or Bemærk at CAS-programmet agiver hovedargumetet for de komplekse tal, dvs det argumet der ligger i itervallet ] π; π] - Fx er hovedargumetet for = e 5 6 p i 4 lig med - p»-,537 5 Forsøg med digitale eksamesopgaver i stx-a-matematik side af 7
6 timer med vejledig Ligige = a Ide vi går i gag med de geerelle adegradsligig, vil vi først se på de simple adegradsligig, = a Sætig 8 Adegradsligige = a har løsigere q q = a (cos( ) + si( ) i ) hvor a er modulus af a, og ( a) Arg = q Bevis: Af sætig 7 ses, at ligige = a har røddere q q = ( cos( ) + si( ) i ) og = a ( cos( + ) + si( + ) ) a q q 0 p p i q q cos( + p) =- cos( ) og si( + p) =- si( ) ifølge ehedscirkle, gælder der, at q q Da q q q q ( cos( ) si( ) i) ( cos( ) si( ) i ) = a - - =- a + dvs =- 0 Altså har ligige = a løsigere ( ) q q = a cos( ) + si( ) i Vi vil u defiere, hvad der skal forstås ved kvadratrode af et komplekst tal: Defiitio 5 Kvadratrode af et komplekst tal a er givet ved hvor q = Arg( a) ( ) q q a = a cos( ) + si( ) i, Med dee defiitio kue vi formulere sætig 8 således: Adegradsligige = a har røddere a Vi vil se på beregige af kvadratrødder i ogle eksempler Eksempel 5 Vi vil løse ligige = 4 Tallet a = 4 er jo et reelt tal, som ligger på de positive del af de reelle talakse Derfor er argumetet for a : q =Arg( a) = 0, og modulus af a : a = 4 + 0 = 4 Heraf følger, at q = 0 og a =, og dermed bliver løsigere til ligige som vetet = (cos(0) + si(0) i ) = = 4 Ved at erstatte tallet 4 i eksemplet ovefor med et vilkårligt reelt tal a, hvor a ³ 0 a har samme betydig ide for de reelle tal og de komplekse tal, år altså blot a ³ 0, ka vi se, at symbolet Forsøg med digitale eksamesopgaver i stx-a-matematik side af 7
6 timer med vejledig Eksempel 6 Vi vil løse ligige =- Tallet a =- er et reelt tal, som ligger på de egative reelle akse Modulus af a er: q p a =, og argumetet for a er: Arg( a ) = θ = π Dermed er a =, og = Løsiger til ligige =-bliver således = (cos( ) + si( ) i) = i p p p p Ved brug af defiitioe ovefor får vi: - = (cos( ) + si( ) i) = i Vi ser altså, at det stemmer overes med det valg, vi foretog ved idførelse af de komplekse tal Øvelse 4 Vis ved at geeralisere ud fra eksemplet ovefor, at hvis a ³ 0, så er - a = a i Eksempel 7 Vi vil løse ligige Her er 3 3,60555 = -3i a = = og = ( ) Løsigere bliver derfor eller q q Arg a =-0,9879, dvs 0,4940 =- = 3,60555 (cos( - 0,4940) + si( -0,4940) i) = (, 6745-0,89598 i ) Vi har u set tre eksempler på beregig af kvadratrødder af komplekse tal Ma ka ifølge defiitio 5 uddrage kvadratrode af alle komplekse tal, mes ma idefor de reelle tal ku ka uddrage kvadratrode af et tal, som er større ed eller lig med ul Ide for de reelle tal gælder forskellige regeregler for rødder, som fx ab = a b Disse regeregler gælder ikke altid ide for de komplekse tal Øvelse 5 Sæt a= b=- og vis, at brug af regeregle ab = a b ka føre til e modstrid Forsøg med digitale eksamesopgaver i stx-a-matematik side 3 af 7
6 timer med vejledig Adegradsligige a + b + c = 0 Sætig 9 Adegradsligige a b c + + = 0, a 0, har løsigere hvor d b 4ac = - -b d =, a Bevis: Da a 0, ka vi omskrive adegradsligige som følger: a b c + + =0 + + = Gager med 4a 4a 4ab 4ac 0 a + ab+ b = b- ac Lægger 4 4 4 ( ) 4 b til og trækker 4ac fra på begge sider a + b = b - ac Aveder kvadratsætig på vestre side Nu kalder vi det, der står på vestre side af lighedsteget for y og det, der står på højre side for d, og får så ligige y = d Dee ligig har ifølge sætig 8 løsige q q y= d (cos( ) + si( ) i ), hvor q er et argumet for d q q Da etop d = d (cos( ) + si( ) i ), får vi y= d, og dermed for y= a+ b: a + b = d -b = a d Trækker b fra og dividerer med a på begge sider Vi får altså, at løsigsformle får det samme udseede som for reelle tal Eksempel 8 Vi vil løse ligige Ligige har diskrimiate + (-5 i) -8-4i = 0 d = (-5 i) -4 ( -8-4 i) = 8 + 6i Vi får så modulus af d til 8 6 de to ligiger cos( q ) = og si( q ) = 0 0 Løsige er q = 0,64350 q = 0,375 d = 8 + 6 = 0, og vi fider argumetet q for d ud fra og dermed er Forsøg med digitale eksamesopgaver i stx-a-matematik side 4 af 7
6 timer med vejledig Nu ka vi berege kvadratrode af d ved d = 0(cos(0,375) + si(0,375) i) = 3+ i, og edelig ka vi berege løsigere til -(-5 i) (3 + i) ì + 3 ï i = =í ïî ï - + i Ligige ka også løses med et CAS-værktøj (her TI-Iteractive): csolve( + (-5 i) -8-4 i= 0, ) = + 3 i or =- + i Adegradsligiger med reelle koefficieter Sætig 0 Hvis a, b og c er reelle tal, og d < 0, så er de to rødder i adegradsligige a b c hiades kojugerede + + = 0, hvor a 0, Bevis: Fra øvelse 4 ved vi, at a = a i, hvor a er et reelt tal Her er d et reelt egativt tal, dvs modulus af d er: d Vi får u d = -d i= d i b d =- a + a i og b d =- a - a i =- d, og dermed er -b Da og a d a begge er reelle tal, er = og omvedt = Vi ser altså, at i det tilfælde, hvor e adegradsligig med reelle koefficieter ikke har oge reelle rødder, vil der være to komplekse rødder, der er hiades kojugerede Eksempel 9 Vi vil løse adegradsligige Ligige har diskrimiate - + = 0 d = (-) -4 =- 4, dvs d = d i= 4 i= i, og løsigere bliver således - i = = -i + i = = + i og Øvelse 6 Løs adegradsligige talpla 50 0 - + =, og illustrér løsigere i de komplekse Forsøg med digitale eksamesopgaver i stx-a-matematik side 5 af 7
6 timer med vejledig E simpel avedelse De komplekse tal har mage avedelser bla idefor fysik (vekselstrøm), fraktaler mm Det vil føre for vidt at komme id på disse her I stedet vil vi illustrere e simpel avedelse idefor plageometrie Eksempel 0 Betragt trekat ABC, hvor A(,), B( - 3,4) og C(5, 6) Vi vil rotere dee trekat 33 omkrig O til e y trekat ABC Vi ka betragte trekate i de komplekse talpla, hvor hjørepuktere repræseterer de komplekse tal A = + i, B =- 3+ 4i og C = 5+ 6i 33 33 Da 33 = p= p= 0,575959 radiaer fremkommer de ye trekat ved at 360 80 0,575959 i multiplicere tallee A, B og C med = e = 0,83867 + 0,544639 i Vi geemfører beregigere i et CAS-program (her TI-Iteractive!): A: = + i:: B: =- 3+ 4 i:: C: = 5+ 6 i:: : = e A : = A - 50608 + 98 i B : = B - 469457 + 7077 i C : = C 9559 + 7755 i 33 p i 80 Dvs hjørepuktere i de ye trekat (se figur) repræseter de tre komplekse tal A =- 05 + i B =- 4695 + 7i C = 096 + 7755 i Im C B C B A 33 O i A Re Ved at betragte trekate i de komplekse talpla ka vi ligeledes let fide er række størrelser og pukter i trekate: Midtpuktet af side AB: Tygdepuktet for trekat ABC: A+ B + i + (- 3+ 4 i) = =- + 3i A+ B+ C (+ ) i + (- 3+ 4) i + (5+ 6) i 3+ i = = = + 4i 3 3 3 Forsøg med digitale eksamesopgaver i stx-a-matematik side 6 af 7
6 timer med vejledig æb Aö Vikel A: Arg - ç = Arg( B-A) -Arg( C- A) = 08,4 çèc- A ø Im B A B 08,4 08,4 A i O C C A Re Øvelse 7 Rotér trekat ABC i oveståede eksempel 55 omkrig O, og illustrér resultatet i de komplekse talpla Øvelse 8 Betragt trekat ABC i de komplekse talpla, hvor hjørepuktere er repræsetater for de komplekse tal A =- + 6i, B = + 5i og C = -8i a) Bestem midtpuktet af hver af de tre sider i trekate b) Bestem viklere i trekate c) Bestem trekates tygdepukt Trekat ABC roteres 05 omkrig O, hvorved der fremkommer e y trekat A BC d) Bestem de komplekse tal, som hjørepuktere i trekat ABC er repræsetater for i de komplekse talpla, og illustrér trekat ABC og trekat ABC i de komplekse talpla Materialet er e let omskrevet versio af e ote, som er skrevet af Hae Østergaard, Næstved Gymasium, og veligt stillet til rådighed for kommissioe Note ka fides her: http://wwwmatatverdesklassedk/uv-mat/cas/kompleks/idexhtm Forsøg med digitale eksamesopgaver i stx-a-matematik side 7 af 7
Udervisigsmiisteriet