3. Differentialregning

3. Differentialregning 3.1. Differentiabilitet Lad os for en lille stund se lidt på det velkendte, klassiske tangentbegreb, som allerede var kendt i antikkens græske geometri. Tangenter var kun knyttet til cirkler, og enhver cirkel K er karakteriseret ved sit centrum C og sin radius r > 0. Cirklen K er da mængden af de punkter P i planen, som har afstanden r fra C, altså K {P CP r}. Lad nu P 0 være et vilkårligt, men fast valgt punkt på cirklen K. Tangenten gennem P 0 er da den rette linje, som går gennem punktet P 0, og som er vinkelret på linjestykket CP 0. Det er let at konstruere en tangent ved hjælp af passer og lineal, og vi bemærker, at denne konstruktion er direkte knyttet til cirklens definition. På baggrund af dette måtte vi tro, at der ikke findes andre kurver, som har en tangent i et givet punkt. Denne kendsgerning er måske utilfredsstillende, fordi tangentbegrebet er alt for restriktivt. Men hvis det skal kunne generaliseres til andre kurver, må vi først finde en alternativ definition, som ikke, hverken eksplicit eller implicit, benytter specifikke egenskaber ved en cirkel. Begreber som centrum og radius må derfor ikke forekomme i definitionen og må ikke bruges ved konstruktionen af en tangent. Lad os nu endnu en gang betragte en cirkel med centrum C og radius r, og lad os ud over det fast valgte punkt P 0 også betragte et andet punkt P på cirklen. Vi ved da, at der findes netop en ret linje l P0 P, som går gennem punkterne P 0 og P. Denne rette linje er ikke nogen cirkeltanget, men en såkaldt sekant. Vi bemærker nu, at sekanten l P0 P nærmer sig mere og mere til tangenten t P0 gennem punktet P 0, når punktet P bevæger sig langs cirkelbuen mod P 0. Vi kan derfor også sige følgende: 3.1.1. Sætning. Tangenten t P0 er grænsestillingen for sekanterne l P0 P, idet P nærmer sig ubegrænset til P 0. Man kunne endda fristes til at skrive: l P0 P t P0 for P P 0,

eller ligefrem lim l P0 P t P0. P P 0 Vi bemærker, at denne definition af cirkeltangenten gennem punktet P 0 ikke benytter nogen specifik egenskab ved cirklen, og derfor må denne definition også kunne anvendes på andre kurver. Dette fører os frem til følgende definition: 3.1.2. Definition. Lad K være en plan kurve, og lad P 0 være et fast valgt punkt på kurven. Lad punktet P være et fra P 0 forskelligt punkt på kurven, og betragt sekanten l P0 P, som er den entydigt bestemte rette linje gennem punkterne P 0 og P. Hvis sekanten l P0 P går mod en fast grænsestilling t P0, når kurvepunktet P nærmer sig ubegrænset til det givne punkt P 0, siger vi, at linjen t P0 er tangenten til kurven K gennem punktet P 0. Det er let at overbevise sig om, at velkendte kurver, som fx ellipser, parabler og hyperbler, har en tanget i ethvert punkt, så dette nye, og mere generelle, tangentbegreb er virkelig en (ægte) udvidelse af det klassiske tangentbegreb. Grafen for en reel funktion af en reel variabel er en speciel plan kurve, og vi kan derfor undersøge under hvilke betingelser, der findes en tangent gennem et givet punkt til grafen for en sådan funktion. Lad os derfor med I R betegne et åbent interval, og lad os betragte en funktion f : I R. Lad P 0 og P betegne to forskellige punkter på grafen for funktionen f, og lad os holde punktet P 0 fast, mens vi godt vil tillade, at punktet P varierer. Der findes da to forskellige tal a, x I, således at P 0 (a, f(a)) og P (x, f(x)). Sekanten l P0 P gennem punkterne P 0 og P på grafen for f har åbenbart hældningskoefficienten f(x) f(a) α, og det er derfor klart, at tangenten t P0 til grafen for f gennem punktet P 0 eksisterer, netop når grænseværdien lim α lim f(x) f(a) x a x a f (a) eksisterer. Endvidere ser vi, at hældningskoefficienten for tangenten t P0 netop er denne grænseværdi f (a). Disse overvejelser leder os nu frem til den næste definition:

3.1.3. Definition. Lad I R være et åbent interval, og lad f : I R være en given funktion. Lad a I være et fast valgt punkt i dette interval, og betragt størrelsen f(x) f(a) α, som kaldes differenskvotienten for funktionen f. Vi siger, at f er differentiabel i a med differentialkvotienten f (a), dersom grænseværdien eksisterer. f(x) f(a) lim x a f (a) Er funktionen f differentiabel i tallet a I, eksisterer tangenten t P0 grafen for f gennem punktet P 0, og vi har åbenbart følgende resultat: til 3.1.4. Sætning. Lad os antage, at funktionen f : I R er differentiabel i punktet a I med differentialkvotienten f (a). Tangenten t P0 til grafen for f gennem punktet P 0, har da hældningskoefficienten f (a). Da differenskvotienten f(x) f(a) netop er en kvotient mellem de to differenser y f(x) f(a) og x x a, betegnes differentialkvotienten f (a), der jo er grænseværdien for differenskvotienten, ofte med størrelsen df dy (a) eller blot (a). Men det er vigtigt at dx dx gøre sig klart, at selv om lim x a y dy (a) x dx (a), så er differentialkvotienten ikke nogen kvotient i sædvanlig forstand. 3.1.5. Notation. Betegnelsen dy (a) er indført af den tyske matematiker og filosof Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), der i slutningen af dx det 17. århunderede, uafhængigt af Newton, indførte differentialregningen. Betegnelsen f (a) for differentialkvotienten er indført langt senere af den fransk-italienske matematiker Joseph Louis Lagrange (1736-1813). Hvis funktionen f : I R er differentiabel i ethvert punkt a I, siger vi, at f er differentiabel på I. Vi bemærker, at hvis en funktion f : I R er differentiabel i punktet a med differentialkvotienten f (a), så er det let at finde en ligning for tangenten

til grafen for f gennem punktet P 0 (a, f(a)). Vi har nemlig, at hvis punktet Q (x, y) er et vilkårligt (fra P 0 forskelligt) punkt på tangenten, så må det gælde, at y f(a) f (a), thi tangenten er en ret linje med hældningskoefficienten Dette giver os følgende resultat. y f(a). 3.1.6. Sætning. Tangenten til grafen for funktionen f gennem punktet P 0 ( a, f(a) ) har ligningen y f(a) f (a)() y f(a) + f (a)(). Vi ser også, at hvis x ligger tæt på a, så er tangenten gennem punktet P 0 (a, f(a)) en god approksimation til grafen for funktionen. Vi har ovenfor indført, hvad det vil sige, at en funktion f : I R er differentiabel i et givet punkt x a med differentialkvotienten f (a) ved at benytte nogle geometriske betragtninger, der er knyttet til tangentbegrebet. Men vi kunne også have gjort noget andet, hvor vi tager udgangspunkt i den klassiske mekanik. 3.1.7. Mekanisk betragtning. Lad os antage, at funktionen f : I R beskriver et punkts position på en orienteret akse, altså fx en abscisseakse, og lad os betragte partiklens position dels til et fast valgt tidspunkt t 0 I, dels til et vilkårligt tidspunkt t t 0. Inden for tidsrummet t t t 0 har partiklen gennemløbet distancen y f(t) f(t 0 ). Vi ser nu, at partiklens gennemsnitshastighed v g ( t) i tidsrummet t netop er differenskvotienten y t f(t) f(t 0). t t 0 Hvis vi tænker os, at partiklen har en hastighed v(t 0 ) til tidspunktet t 0, må gennemsnitshastigheden v g ( t) være en god approksimation til v(t 0 ), hvis tidsrummet t er lille. Denne betragtning fører så til, at vi siger, at partiklen netop har hastigheden v(t 0 ) til tidspunktet t 0, hvis og kun hvis v g ( t) v(t 0 ) for t t 0,

hvilket er ensbetydende med, at differenskvotienten y t f(t) f(t 0) t t 0 har en grænseværdi for t gående mod t 0, og at v(t 0 ) lim t t0 ( f(t) f(t 0 ) t t 0 ). Vi ser nu, at hastigheden v(t 0 ) til tidspunktet t 0 eksisterer, netop når funktionen f f(t), der angiver partiklens position, er differentiabel i t 0 med differentialkvotienten f (t 0 ) v(t 0 ). På denne måde knyttes hastighedsbegrebet i kinematikken direkte sammen med differentiabilitetsbegrebet i matematikken. 3.1.8. Eksempel. Vi har endnu ikke set, om der findes funktioner, som er differentiable i et givet punkt. Men den sag kan vi hurtigt afgøre. Lad os fx betragte en lineær funktion f : R R, som er defineret ved forskriften x R : f(x) Ax + B, hvor A og B er henholdsvis hældningskoefficienten og konstanten for den lineære funktions graf. Hvis vi fastholder et bestemt punkt P 0 (a, f(a)) på grafen for f, ser vi, at enhver sekant gennem P 0 netop er sammenfaldende med grafen. Dette viser, at tangenten gennem P 0 må være identisk med grafen, og derfor er funktionen f differentiabel i punktet a med differentialkvotienten f (a) A. Da a var vilkårligt valgt, ser vi umiddelbart, at f er differentiabel overalt på mængden R. Dette var måske et lidt for trivielt eksempel, så lad os derfor betragte en række andre, og forhåbentlig lidt mere interessante, eksempler: 3.1.9. Eksempel. Vi betragter funktionen f : R R, som er givet ved forskriften x R : f(x) x 2. Denne funktions graf er en parabel, og for et givet a R får vi nu, at f(x) f(a) x2 a 2 (x + a)() x + a, så f(x) f(a) lim x a 2a,

hvilket viser, at funktionen f er differentiabel i a med differentialkvotienten f (a) 2a. Vi ser, at tangenten til grafen for f gennem punktet P 0 (a, f(a)) (a, a 2 ) har ligningen y f(a) + f (a)(), så y a 2 + 2a() y 2a 2. Forøvrigt ser vi heraf, at tangenten går gennem punktet P 1 P 1 (a) (0, a 2 ). 3.1.10. Eksempel. Lad os betragte funktionen f : [0, [ R, som er defineret ved x 0 : f(x) x. Vælg a > 0. Vi har da, at f(x) f(a) x a ( x a)( x + a) ()( x + a) så ()( x + a) 1 x + a, a > 0 : lim x a f(x) f(a) 1 2 a. Funktionen f er således differentiabel i alle punkter a > 0. Men hvad sker der, hvis vi betragtede differenskvotienten f(x) f(0) x 0 hvor x > 0? Ja, her opdager vi, at x x 1 x, 1 x for x 0 +. Det er på forhånd klart, at funktionen f ikke kan være differentiabel i x 0, thi vi kan kun undersøge differenskvotienten ud fra 0 for positive værdier af x. Men grænseværdien (fra højre) lim x 0+ f(x) f(0) x 0

kunne jo godt eksistere, og så ville man sige, at grafen for f havde en (positiv) halvtangent i punktet P 0 (0, f(0)). Vi ser imidlertid, at sekanternes hældningskoefficienter α 1 x bliver større og større, desto nærmere x er ved 0. Dette betyder, at grafen for funktionen f har en lodret halvtangent i punktet P 0 (0, f(0)), nemlig halvlinjen t + med parameterfremstillingen (x, y) (0, y) hvor y 0. 3.1.11. Eksempel. Lad os betragte funktionen f : R + R, som er defineret ved forskriften x > 0 : f(x) 1 x. Grafen for denne funktion er en (ligesidet) hyperbelgren. a > 0 og finder, at f(x) f(a) 1 x 1 a a x xa 1 xa. Vi vælger Heraf finder vi, at funktionen f er differentiabel i punktet a med differentialkvotienten f (a) 1 a 2. Vi ser, at tangenten til grafen for f gennem punktet P 0 (a, f(a)) (a, 1 ) har ligningen a y f(a) + f (a)(), så y 1 a 1 ( ) x y a 2 a + 2 2 a y 2a x. a 2 Vi bemærker også, at tangenten går gennem punktet P 1 P 1 (a) (0, 2). a Vi ser umiddelbart, at funktionen g : R R, som er givet ved forskriften x < 0 : g(x) 1 x er differentiabel i ethvert punkt a < 0 med differentialkvotienten g (a) 1 a 2. 3.1.12. Eksempel. Vi vil nu betragte den trigonometriske funktion sin: R R. Idet vi erindrer, at s, t R : sin(s + t) sin(s) cos(t) + cos(s) sin(t),

hvilket er en af additionsformlerne, og idet vi sætter x a + h, får vi, at sin x sin a sin(a + h) sin a h sin a cos h + cos a sin h sin a h sin a ( cos h 1) ( sin h) + cos a. h h Vi har tidligere set, at cos(s) cos(t) 2 sin ( s + t 2 ) ( s t) sin, 2 hvilket er en af de logaritmiske formler. Sættes s 0 og t h, finder vi, at 1 cos(h) 2 sin ( h) ( h) sin, 2 2 idet cos(0) 1. Heraf får vi så, at hvis h 0, da er Vi har tidligere vist, at 1 cos(h) h lim h 0 sin ( ) h 2 h 2 ( sin h) 1, h og heraf får så, at lim ( cos h 1) 0. h 0 h Benytter vi nu disse resultater, finder vi, at sin x sin a lim x a sin ( h). 2 cos a, hvilket viser, at funktionen sin er differentiabel overalt på den reelle akse med differentialkvotienten d sin (a) cos a. dx 3.1.13. Eksempel. Lad os betragte funktionen f : R R givet ved x R : f(x) x.

Det er umiddelbart klart, at funktionen f er differentiabel for a > 0 med differentialkvotienten f (a) 1 og for a < 0 med differentialkvotienten f (a) 1. Lad os derfor se på differenskvotienten f(x) f(0). x 0 For x > 0 får vi, at f(x) f(0) 1, x 0 og for x < 0 får vi, at f(x) f(0) 1. x 0 Heraf fremgår det, at funktionen f ikke er differentiabel i a 0. Før vi ser på flere eksempler skal vi lige vise følgende sætning: 3.1.14. Sætning. Lad I R være et givet åbent interval, og lad f : I R være en funktion, som er differentiabel i punket a I. Da er f også kontinuert i punktet a. BEVIS. At funktionen f er differentiabel i punktet a I betyder jo, at f(x) f(a) lim x a f (a), hvor f (a) er differentialkvotienten i a. Dette er åbenbart ensbetydende med, at lim ( f(x) f(a) f (a) ) 0. x a Vi bemærker nu, at funktionen ϵ ϵ(x a), hvor x I, som er defineret ved forskriften { f(x) f(a) ϵ() f (a), for x a x a 0, for x a, er kontinuert i punktet a. Denne funktion kaldes en epsilon-funktion af x a. Heraf får vi så, at x a : f(x) f(a) f (a) ϵ() f(x) f(a) f (a)() + ϵ()(),

og det er nu klart, at Hermed er påstanden bevist. Q.E.D. lim f(x) f(a). x a Den omvendte påstand, at en funktion f, der er kontinuert i et punkt a, tillige er differentiabel i a, er ikke sand. Dette fremgår ved at se på det ovenstående eksempel vedrørende funktionen f(x) x, som jo er kontinuert på hele den reelle akse, men som ikke er differentiabel i punktet 0. Vi skal nu se et højst overraskende resultat, som altid vil være et af højdepunkterne i den klassiske analyse: 3.1.15. Weierstraß funktion. Det er let at vise, at der findes kontinuerte funktioner, som ikke er differentiable i uendelig mange punkter. Fx gælder dette for funktionen f : R R, som er givet ved forskriften f(x) { x p, for x [p, p + 1 2 ] x + p + 1, for x [p + 1 2, p + 1], hvor p Z. Denne funktion er klart kontinuert på hele den reelle akse, men den er naturligvis ikke differentiabel i punkterne x p og x p + 1 2, hvor p Z. I alle disse punkter har grafen et knæk. Så vidt, så godt! Men det er dog meget overraskende, at der findes kontinuerte funktioner f : R R, som ikke er differentiable i noget punkt. Et sådant eksempel blev første gang offentliggjort af den tyske matematiker Karl Weierstraß (1815-1897). Den 18. juli 1872 fremlagde han sit resultat i det preussiske Königliche Akademie der Wissenschaften i Berlin. Han betragtede funktionen f : R R, som er givet ved x R : f(x) a k cos(b k πx), k0 hvor 0 < a < 1, og b er et ulige naturligt tal > 1, således at ab > 1 + 3π 2. BEVIS for at Weierstraß funktion f er kontinuert på hele den reelle akse: Det er ikke så vanskeligt at vise, at funktionen f er kontinuert i ethvert punkt på den reelle akse. Da den trigonometriske funktion cos er begrænset

og altid har funktionsværdier mellem 1 og 1, og da konstanten a ]0, 1[, ser vi, at x R k N : 0 a k cos(b k πx) < a k, og at x R n N : 0 n a k cos(b k πx) n k0 k0 a k 1 ak 1 a. Dette viser, at funktionen f er grænsefunktion for funktionsfølgen (f n ), hvor f n : R R, for ethvert n N, og hvor n x R : f n (x) a k cos(b k πx), k0 og at konvergensen er uniform. Thi fra det ovenstående får vi straks, at rækken a k cos(b k πx) k0 har den konvergente majorantrække der jo har summen k0 a k, k0 a k 1 1 a. Da alle funktionerne f n er kontinuerte på hele den reelle akse, er også grænsefunktionen f kontinuert overalt (idet konvergensen jo er uniform). Q.E.D. Men det er vanskeligt at vise, at f ikke er differentiabel i noget punkt x R. Vi vil forsøge at vise dette ved at følge en ide, som skyldes den tyske matematiker (med det fransk klingende navn) Paul David Gustav du Bois-Reymond (1831-1889). Hans familie, der nedstammede fra de franske hugenotter, kom fra Schweiz, og i hjemmet blev der talt fransk. Men han var født og opvokset i Berlin, og hans videnskabelige arbejde fik stor betydning for datidens tyske forskning. Han blev i høj grad præget af Weierstraß, og i 1875 publicerede han artiklen Versuch einer Classification der willkürlichen Functionen reeller Argumente nach ihren Aenderungen in den kleinsten Intervallen i tidsskriftet Journal für die reine und angewandte Mathematik. I denne artikel præsenterede du Bois-Reymond sit meget elegante bevis for, at Weierstraß funktion

f ikke er differentiabel i noget punkt. Det er ideen og fremgangsmåden i dette bevis, vi herefter vil følge nøje. BEVIS for at Weierstraß funktion f ikke er differentiabel i noget punkt. Lad x 0 R være et fast valgt, men arbitrært punkt. Vælg dernæst et vilkårligt m N. Lad derpå α m Z være valgt, således at b m x 0 α m ] 1 2, 1 2 ], og definer x m+1 b m x 0 α m. Herefter betragter vi følgerne (y m ) og (z m ), som er givet ved Vi finder nu, at m N : y m α m 1 b m og z m α m + 1 b m. m N : y m x 0 α m 1 b m x 0 α m 1 b m x 0 b m 1 + x m+1 b m < 0, og at m N : z m x 0 α m + 1 b m x 0 α m + 1 b m x 0 b m 1 x m+1 b m > 0. Dette viser, at y m x 0 fra venstre og z m x 0 fra højre for m. Vi vil nu betragte differenskvotienten for funktionen f ud fra punktet x 0. Dette gøres ved i første omgang at inddrage følgen (y m ). Vi får nu følgende regninger: hvor og f(y m ) f(x 0 ) y m x 0 n0 m 1 n0 n0 ( a n cos(bn πy m ) cos(b n πx 0 ) y m x 0 ) ( (ab) n cos(bn πy m ) cos(b n πx 0 )) + b n (y m x 0 ) ( a m+n cos(bm+n πy m ) cos(b m+n πx 0 ) y m x 0 ) S1 + S 2, S 2 S 1 n0 m 1 n0 ( (ab) n cos(bn πy m ) cos(b n πx 0 )), b n (y m x 0 ) ( a m+n cos(bm+n πy m ) cos(b m+n πx 0 ) y m x 0 ). Vi fortsætter nu med først at betragte summen S 1. Idet ξ 0 : sin ξ 1, ξ

og idet får vi, at ξ, ζ R : cos ξ cos ζ 2 sin ( ξ + ζ 2 m 1 S 1 n0 (ab) n ( π) sin ( b n π(y m + x 0 ) 2 ) ( ξ ζ ) sin, 2 ) sin ( b n π(y m x 0 ) 2 b n π y m x 0 2 ) ( ) m 1 n0 π(ab) n π((ab)m 1) ab 1 π(ab)m ab 1. Vi betragter nu summen S 2, og vi husker, at j Z : cos(jπ) { 1, for j lige 1, for j ulige. Da b > 1 er et ulige naturligt tal, og da α m Z, får vi, at og desuden får vi, at cos(b m+n πy m ) cos ( b m+n π α m 1 b m ) cos(b n π(α m 1)) ( ( 1) bn) α m 1 ( 1) α m, cos(b m+n πx 0 ) cos ( b m+n π α m + x m+1 b m ) cos(b n πα m ) cos(b n πx m+1 ) sin(b n πα m ) sin(b n πx m+1 ) ( ( 1) b n) α m cos(b n πx m+1 ) 0 ( 1) αm cos(b n πx m+1 ), hvor vi har benyttet additionsformlen ξ, ζ R : cos(ξ + ζ) cos ξ cos ζ sin ξ sin ζ. Vi finder herefter, at S 2 n0 a m+n ( 1)α m ( 1) α m cos(b n πx m+1 ) 1+x m+1 b m (ab) m ( 1) αm n0 a n 1 + cos(bn πx m+1 ) 1 + x m+1.

Hvert led i den uendelige række n0 a n 1 + cos(bn πx m+1 ) 1 + x m+1 er ikke-negativt, altså 0, og da x m+1 ] 1, 1 ] får vi følgende vurderinger 2 2 ( ) n0 a n 1 + cos(bn πx m+1 ) 1 + x m+1 1 + cos(πx m+1) 1 + x m+1 1 1 + 1 2 2 3. Ulighederne ( ) og ( ) sikrer os, at der findes et ϵ 1 η 1 > 1, således at [ 1, 1] og et f(y m ) f(x 0 ) ( 1) αm (ab) m η ( 2 1 y m x 0 3 + ϵ π ) 1. ab 1 Vi betragter herefter differenskvotienten f(z m ) f(x 0 ) z m x 0, og vi foretager en tilsvarende opspaltning som ovenfor af denne differenskvotient i en sum T 1 + T 2 af de to størrelser T 1 og T 2. Vi finder da, at ( ) T 1 π(ab)m ab 1, og at cos(b m+n πz m ) cos ( b m+n π α m + 1 b m ) cos(b n π(α m + 1)) ( ( 1) bn) α m +1 ( 1) α m, hvor vi atter har benyttet, at b > 1 er et ulige naturligt tal, og at α m Z. Desuden har vi (som tidligere) benyttet, at Vi opnår nu, at T 2 j Z : cos(jπ) n0 { 1, for j lige 1, for j ulige. a m+n ( 1)αm ( 1) αm cos(b n πx m+1 ) 1 x m+1 b m (ab) m ( 1) αm n0 a n 1 + cos(bn πx m+1 ) 1 x m+1.

Vi kan nu opnå følgende vurderinger: ( ) n0 a n 1 + cos(bn πx m+1 ) 1 x m+1 1 + cos(bn πx m+1 ) 1 x m+1 1 1 ( 1 2 ) 2 3. Vi ser heraf, at ulighederne ( ) og ( ) sikrer os, at der findes et ϵ 2 [ 1, 1] og et η 2 > 1, således at f(z m ) f(x 0 ) ( 1) α m (ab) m η ( 2 2 z m x 0 3 + ϵ π ) 2. ab 1 Vi har antaget, at ab > 1+ 3 π π, hvilket er ensbetydende med, at < 2, 2 ab 1 3 og heraf fremgår der så, at de to differenskvotienter f(y m ) f(x 0 ) y m x 0 og f(z m) f(x 0 ) z m x 0 har forskellige fortegn. Desuden har vi, at (ab) m for m, og det er derfor klart, at Weierstraß funktion f ikke er differentiabel i punktet x 0 R. Da nu x 0 var vilkårligt valgt, er funktionen f ikke differentiabel i noget punkt på den reelle akse, og hermed har vi bevist påstanden. Q.E.D. 3.1.16. Historiske bemærkninger. Opdagelsen af, at der findes kontinuerte funktioner, som er defineret på hele den reelle akse, og som ikke er differentiable i noget punkt, blev selvfølgelig skelsættende for matematikkens udvikling i slutningen af det 19. århundrede, og Paul du Bois-Reymond mente, at denne opdagelse var så betydningsfuld og rummede så megen ny erkendelse, at den lå på grænsen for, hvad det menneskelige intellekt kunne præstere. Det skal bemærkes, at Karl Weierstraß ikke var den første matematiker, som erkendte eksistensen af kontinuerte funktioner, som ikke er differentiable i noget punkt. Allerede i 1830 havde den bøhmiske præst og matematiker Bernhard Bolzano (1781-1848) angivet et eksempel på en sådan funktion, men resultatet blev ikke offentliggjort. Sådan forholdt det sig også, da den schweiziske matematiker Charles Cellérier (1818-1889) i 1860 fandt et andet eksempel på en kontinuert, men intetsteds differentiabel funktion. 3.1.17. Cellériers funktion. Den funktion C : R R, som den schweiziske matematiker Charles Cellérie studerede i 1860, har forskriften x R : C(x) k1 1 a k sin(ak x),

hvor a > 1000 er et helt lige tal. Denne funktion minder således meget om Weierstraß funktion. Cellérier påviste, at funktionen C er kontinuert, men ikke differentiabel i noget punkt på den reelle akse, men først i 1890 - et år efter hans død, blev man klar over, at han allerede 30 år tidligere havde indset eksistensen af en kontinuert, intetsteds differentiabel funktion. Denne opsigtsvækkende opdagelse fandtes i Cellèriers notater i det afsnit, som han meget betegnende havde kaldt Example de fonctions faisant exception aux règles usuelles. I 1861 opstillede den lovende tyske matematiker Bernhard Riemann (1826-1866) en lignende interessant funktion, men resultatet blev ikke offentliggjort. Senere fandt Weierstraß (og alle andre matematikere) ud af, at Riemann virkelig havde fundet et eksempel på en kontinuert funktion, der havde overraskende egenskaber. Det var forøvrigt nogle af Riemanns tidligere studenter, der fortalte dette, men det har åbenbart været et resultat, som i lang tid ikke kom videre end til universitetet i Göttingen, og lad os lige se lidt på Riemans funktion. 3.1.18. Riemanns funktion. Den funktion R : R R, som Riemann studerede i 1861, har forskriften x R : R(x) k1 1 a k sin(k2 x), og det er klart, at denne funktion er kontinuert overalt på R. Vi ser også, at Riemanns funktion, ligesom Cellériers funktion, minder meget om den funktion, som Weierstraß undersøgte i 1872. Imidlertid har Riemanns funktion den lidt kedelige defekt, at den faktisk er differentiabel i punkterne hvor p, q Z. Man har således, at x (p,q) π 2p + 1 2q + 1, p, q Z : R (x (p,q) ) 1 2. Lad os herefter atter se på differentiabilitetsbegrebet. Vi begynder med at omtale, hvad vi skal forstå ved en epsilon-funktion.

3.1.19. Definition. En epsilon-funktion, ϵ ϵ(h), er en reel funktion, der er defineret på et åbent interval I ϵ, hvor 0 I ϵ, og som opfylder betingelsen ϵ(h) ϵ(0) 0 for h 0. Vi bemærker nu, jvf. overvejelserne da vi ovenfor viste, at en funktion f : I R, der er defineret på et åbent interval I, er differentiabel i punktet a I med differentialkvotienten f (a), hvis og kun hvis funktionen ϵ ϵ(h), givet ved { f(a+h) f(a) ϵ(h) f (a), for h 0 h 0, for x 0, er en epsilon-funktion. Vi kan nu formulere dette resultat på følgende måde: 3.1.20. Sætning. Funktionen f : I R er differentiabel i punktet a I med differentialkvotienten f (a), hvis og kun hvis der findes en epsilonfunktion ϵ ϵ(h), så f(h) f(a + h) f(a) f (a)h + ϵ(h)h. Denne karakterisering af begrebet differentiabilitet i et punkt blev indført af Weierstraß i 1861. Lidt løst sagt, kan man derfor sige, at funktionen f er differentiabel i punktet a I, hvis og kun hvis funktionstilvæksten f(h) f(a+h) f(a) tilnærmelsesvis er en lineær funktion af h. Funktionen h f (a)h er jo lineær, og leddet ϵ(h)h er forsvindende lille, når h er lille, 3.1.21. Den afledede funktion. Lad os efter disse overvejelser betragte en funktion f : I R, hvor I R er et åbent interval. Hvis f er differentiabel i ethvert punkt a I med differentialkvotienten f (a) df (a), dx er der hermed defineret en funktion f : I R, som er givet ved x I : f (x) df dx (x). Funktionen f df kaldes den afledede funktion af f, eller, for at være mere dx præcis: Den afledede funktion af første orden af f. Vi ser, at d(x 2 ) dx d( x) 2x, dx 1 2 x, d( 1) x dx 1 d(sin x) og x2 dx cos x,

og disse funktioner er åbenbart de afledede funktioner af funktionerne x 2, x, 1 x og sin x. Vi vil nu se på nogle eksempler. 3.1.22. Eksempel. Det er vigtigt at huske på, at differentiabilitet er en lokal egenskab. Lad os fx betragte funktionen f : R R, som er defineret ved forskriften { x f(x) 2, for x Q x 2, for x R \ Q. Det er klart, at funktionen f er diskontinuert i ethvert punkt x 0, thi mængden Q er jo tæt i mængden R. Det er også klart, at f er kontinuert i x 0, thi lim f(x) 0 f(0). x 0 Endvidere har vi, at f(x) f(0) x 0 hvoraf det fremgår, at { x 2 x x2 x x, for x Q, x, for x R \ Q lim x 0 ( f(x) f(0) ) 0. x 0 Dette viser, at denne funktion er differentiabel i punktet x 0 med differentialkvotienten 0. 3.1.23. Eksempel. Lad os betragte funktionen f : R R, som er givet ved forskriften { x f(x) 2, for x > 0 0, for x 0. Det er klart, at funktionen f er differentiabel for ethvert x > 0 med differentialkvotienten f (x) 2x, og at f er differentiabel for ethvert x < 0 med differentialkvotienten f (x) 0. Men hvad sker der i punktet a 0? For at besvare dette spørgsmål må vi se på funktionens differenskvotient ud fra punktet a 0. Vi får, at f(x) f(0) x 0 { x 2, for x > 0 { x x, for x > 0 0, for x < 0 0, for x < 0 0 for x 0,

så funktionen f er differentiabel i punktet 0 med differentialkvotienten f (0) 0, og vi har dermed vist, at 2x, for x > 0 f (x) 0, for x 0. 0, for x < 0 Lad os herefter se mere på den afledede funktion f : R R. Kan vi differentiere funktionen f? Hvis vi kan det, får vi den anden afledede, som betegnes med f eller med d2 f, idet vi jo har, at (f ) f, og at dx 2 d dx ( df dx ) d 2 f dx 2. For x > 0 ser vi, at f (x) 2, og for x < 0 er f (x) 0. Men hvad sker der i punktet a 0? Vi opstiller differenskvotienten for funktionen f ud fra punktet 0 og ser, at f (x) f (0) x 0 { 2x x 2, for x > 0 0, for x < 0, så denne differenskvotient har ingen grænseværdi for x gående mod 0, og derfor er den afledede funktion f ikke differentiabel i punktet a 0. 3.1.24. Eksempel. Vi betragter funktionen f : R R, som er givet ved f(x) x 3 for ethvert x R. Lad a R være et vilkårligt, men fast valgt punkt. Vi opstiller så differenskvotienten for f ud fra punktet a og får, at idet f(x) f(a) x3 a 3 x2 + ax + a 2 3a 2 for x a, x 3 a 3 (x 2 + ax + a 2 )(). Benyt polynomiers division! Vi ved jo på forhånd, at a er en rod i polynomiet x 3 a 3. Vi har hermed vist, at funktionen f er differentiabel overalt på mængden R, og at den afledede funktion er f (x) 3x 2. 3.1.25. Eksempel. Lad os betragte funktionen g : R R, som er givet ved forskriften { x g(x) 3, for x > 0 x 2, for x 0. Det er klart, at funktionen g er differentiabel for ethvert x > 0 med differentialkvotienten g (x) 3x 2, og at g er differentiabel for ethvert x < 0 med differentialkvotienten g (x) 2x.

Men hvad sker der i punktet a 0? Vi opstiller derfor differenskvotienten for g ud fra a 0 og finder så, at g(x) g(0) x 0 { x 3 x x2, for x > 0 x 2 x x, for x < 0 0 for x 0, så g er også differentiabel i 0 med differentialkvotienten g (0) 0. Den afledede funktion g : R R er derfor givet ved forskriften 3x 2, for x > 0 g (x) 0, for x 0. 2x, for x < 0 Det er klart, at g er differentiabel for ethvert x > 0 med differentialkvotienten g (x) 6x, og at g er differentiabel for ethvert x < 0 med differentialkvotienten g (x) 2. Desuden ser vi, at g (x) g (0) x 0 { 3x 2 x 2x x 3x, for x > 0, 2, for x < 0 og vi bemærker, at denne differenskvotient ikke har nogen grænseværdi for x gående mod 0, og derfor er g ikke differentiabel i punktet a 0. 3.1.26. Eksempel. Lad os se på endnu et instruktivt eksempel. Vi betragter f : R R, som er givet ved f(x) { x 2, for x < 1 x 2 + 4x 2, for x 1. Det er klart, at funktionen f er differentiabel i alle punkter x 1, og vi får, at { f 2x, for x < 1 (x) 2x + 4, for x > 1. Desuden finder vi, at f(x) f(1) x 2 1 x + 1, for x < 1 x 1 x 1 ( x 2 +4x 2) 1 x + 3, for x > 1 x 1 2 for x 1, thi ( x 2 + 4x 2) 1 x 2 + 4x 3 (x 1)( x + 3). Vi har hermed vist, at funktionen f er differentiabel i punktet x 1, og at f (1) 2. Vi fortsætter nu med at se på en øvelse.

3.1.27. Øvelse. Vis, at for vilkårlige tal x, a R gælder det, at x 4 a 4 (x 3 + ax 2 + a 2 x + a 3 )(), og betragt dernæst funktionen f : R R, som er givet ved, at f(x) x 4. Vis, at funktionen f er differentiabel overalt på R, og at f (x) 4x 3. Betragt nu funktionen h : R R, som er givet ved forskriften at h(x) { x 4, for x > 0 x 3, for x 0. Vis, at funktionen h er differentiabel overalt på R, og at 4x 3, for x > 0 h (x) 0, for x 0 3x 2, for x < 0 Vis derpå, at den afledede funktion h er differentiabel overalt på R, og 12x 2, for x > 0 h (x) 0, for x 0 6x, for x < 0 Vis sluttelig, at den anden afledede h ikke er differentiabel i punktet a 0... OPGAVER TIL 3.1 3.1-1. Differentier følgende funktioner: f 1 (x) 2x 2, f 2 (x) (5x) 3 + 2, f 3 (x) x 2 + 2x, f 4 (x) 3x 2 + 5x 7. 3.1-2. Differentier følgende funktioner: f 1 (x) x+ 1 x for x > 0, f 2(x) 5x for x > 0, f 3 (x) 2 sin(x)+3 cos(x). 3.1-3. Differentier følgende funktioner: f 1 (x) x 2 + 5 sin(x), f 2 (x) (x + 1) 2, f 3 (x) (x 2) 3, f 4 (x) cos(2x).

3.1-4. Lad tallet α > 0 være fast valgt. Differentier funktionerne f 1 (x) sin(αx) + x 2 og f 2 (x) αx for x > 0. 3.1-5. Betragt funktionen f(x) x 2, og bestem en ligning for tangenterne til grafen for f gennem punkterne ( a, f(a) ) og ( a, f( a) ), hvor a > 0. Bestem dernæst koordinatsættet for disse tangenters skæringspunkt. 3.1-6. Lad f være en funktion, som er defineret og differentiabel på et ikke-tomt, åbent interval I R. Antag, at f(x) 0 for ethvert x I. Vis, at funktionen g(x) 1 er differentiabel på intervallet I, og at f(x) g (x) f (x) ( f(x) ) 2. 3.1-7. Differentier funktionen f : R R, som er givet ved forskriften { x f(x) 2 + x, for x 0 sin(x), for x > 0. Undersøg, om f er differentiabel i x 0. 3.1-8. Differentier funktionen f : R R, som er givet ved forskriften { x f(x) 2, for x 0 cos(x), for x > 0. Undersøg, om f er differentiabel i x 0. 3.1-9. Lad I R være et ikke-tomt, åbent interval. Lad f : I R være en funktion, og lad a I være et givet punkt. Hvis f(x) f(a) {, for x a+, for x a, eller hvis { f(x) f(a), for x a+, for x a, er funktionen f ikke differentiabel i punktet x a, men vi siger, at linjen med ( ligningen ) x a er en lodret halvtangent til grafen for f gennem punktet a, f(a).

Vis, at funktionen f : R R, som givet ved forskriften { x, for x 0 f(x), x, for x < 0 har en lodret halvtangent i x 0. 3.1-10. Lad I R være et ikke-tomt, åbent interval. Lad f : I R være en funktion, og lad a I være et givet punkt. Hvis f(x) f(a) for x a, eller hvis f(x) f(a) for x a, er funktionen f ikke differentiabel i punktet x a, men vi siger, at linjen med ( ligningen ) x a er en lodrt tangent til grafen for f gennem punktet a, f(a). Vis, at funktionen f : R R, som givet ved forskriften f(x) 3 x, har en lodret tangent i x 0. 3.2. Regneregler for differentialkvotienter I dette afsnit skal vi vise nogle nyttige og vigtige regler for, hvordan man regner med differentialkvotienter. Disse regler formulerer vi i en række sætninger, der gælder for funktionerne f og g, som begge er defineret på et åbent interval I R. Endvidere antager vi, at funktionerne f og g er differentiable i et givet punkt a I med differentialkvotienterne henholdsvis f (a) og g (a). Vi har altså antaget, at f(x) f(a) lim x a f (a) og lim x a g(x) g(a) g (a). 3.2.1. Sætning. Funktionen f + g : I R er differentiabel i punktet a I med differentialkvotienten (f + g) (a) f (a) + g (a). BEVIS. Vi finder, at (f + g)(x) (f + g)(a) f(x) + g(x) (f(a) + g(a))

f(x) f(a) + g(x) g(a) hvoraf vi får, at lim x a lim x a f(x) f(a) + ( (f + g)(x) (f + g)(a) ) ( f(x) f(a) ) ( g(x) g(a) + lim x a Hermed er sætningen bevist. Q.E.D. g(x) g(a), ) f (a) + g (a). 3.2.2. Sætning. Funktionen f g : I R er differentiabel i punktet a I med differentialkvotienten (f g) (a) f (a) g (a). BEVIS. Analogt til beviset for den foregående sætning. Q.E.D. 3.2.3. Sætning Funktionen f g : I R er differentiabel i punktet a I med differentialkvotienten (fg) (a) f (a)g(a) + f(a)g (a). BEVIS. Vi ser, at (fg)(x) (fg)(a) f(x)g(x) f(a)g(a) f(x)g(x) f(a)g(x) + f(a)g(x) f(a)g(a) (f(x) f(a))g(x) + f(a)(g(x) g(a)) f(x) f(a) g(x) g(a) g(x) + f(a) f (a)g(a) + f(a)g (a) for x a, hvormed det ønskede er vist. Bemærk, at vi har benyttet, at funktionen g er kontinuert i punktet a, fordi g er differentiabel i a. Q.E.D. 3.2.4. Alternativ. I 1950 indførte den græsk-tyske matematiker Constantin Carathéodory (1873-1950) en anden, men meget elegant definition af differentiabilitet i punktet a I. Ifølge denne definition er funktionen

f : I R differentiabel i a, dersom der findes en kontinuert funktion ϕ, som er defineret på et åbent interval, der indeholder a, så f(x) f(a) + ϕ(x)(). Differentialkvotienten f (a) er da defineret som funktionsværdien ϕ(a). Carathéodorys definition benyttes kun sjældent, men den er faktisk særdeles anvendelig. Lad os fx benytte den til at vise formlen for differentiation af et produkt af to differentiable funktioner f og g. Vi antager altså, at disse to funktioner er differentiable i punktet a, og der findes så kontinuerte funktioner ϕ og ψ, defineret på et åbent interval, som indeholder a, så ϕ(a) f (a), ψ(a) g (a) samt f(x) f(a) + ϕ(x)() og g(x) g(a) + ψ(x)(). Vi finder nu, at f(x)g(x) f(a)g(a) + f(a)ψ(x)() + g(a)ϕ(x)() + ϕ(x)ψ(x)() 2, så f(x)g(x) f(a)g(a) + ( f(a)ψ(x) + g(a)ϕ(x) + ϕ(x)ψ(x)() ) (). Udtrykket u(x) f(a)ψ(x) + g(a)ϕ(x) + ϕ(x)ψ(x)(), er en kontinuert funktion af x, og sætter vi x a, opnår vi, at (fg) (a) f(a)g (a) + g(a)f (a), hvilket netop var det ønskede resultat. Q.E.D. Vi antager nu, at funktionen g ikke antager værdien 0, i hvert fald ikke i punktet a og for x tæt på a. Der findes altså et δ > 0, så g(x) 0 for ethvert x ]a δ, a + δ[. Vi kan derpå vise følgende sætning, hvor vi i formuleringen af sætningen har antaget, at g(x) 0 for ethvert x I: 3.2.5. Sætning. Funktionen f g a I med differentialkvotienten : I R er differentiabel i punktet ( f ) f (a)g(a) f(a)g (a) (a). g (g(a)) 2

Specielt gælder det, at funktionen 1 : I R er differentiabel i punktet a I g med differentialkvotienten ( 1 ) g (a) (a) g (g(a)). 2 BEVIS. Vi ser, at ( f g ) ( ) (x) f g (a) f(x) f(a) g(x) g(a) f(x)g(a) f(a)g(x) g(x)g(a) f(x)g(a) f(a)g(x) x a g(x)g(a) f(x)g(a) f(a)g(a)+f(a)g(a) f(a)g(x) x a g(x)g(a) (f(x) f(a)) g(a) f(a) (g(x) g(a)) x a x a g(x)g(a) (f(x) f(a))g(a) f(a)(g(x) g(a)) x a g(x)g(a) f (a)g(a) f(a)g (a) (g(a)) 2 for x a, idet vi erindrer, at funktionen g er kontinuert i a, eftersom g er differentiabel i a. Sætter vi specielt f(x) 1 for ethvert x I, ved vi, at f (x) 0, og heraf finder vi så, at ( 1 ) 0 g(a) 1 g (a) (a) g (g(a)) 2 Hermed er sætningen bevist. Q.E.D. g (a) (g(a)) 2. 3.2.6. Leibniz notation. De ovenfor anførte regler for regning med differentialkvotienter får følgende udformning, hvis vi benytter Leibniz notation: d(f + g) df dx dx + dg dx, d(f g) df dx dx dg dx, d(fg) dx df dx g + f dg dx, og d ( f g dx ) d ( ) 1 g dx df dx g f dg dx g 2 dg dx g 2.

Lad os herefter se på nogle nyttige eksempler: 3.2.7. Eksempel. Lad λ R være en konstant, og betragt en funktion f, som er differentiabel i et punkt a med differentialkvotienten f (a). Da er funktionen λf differentiabel i a med differentialkvotienten (λf) (a) λf (a). Dette følger af sætningen om differentiation af et produkt. Idet vi erindrer, at en konstant funktion, her λ, har den afledede lig med 0, får vi nemlig, at (λf) (a) (λ) f(a) + λf (a) λf (a). Benytter vi Leibniz notation, får vi, at d(λf) dx λ df dx. 3.2.8. Eksempel. Vi betragter funktionen F : R R, som er givet ved x R : F (x) 3x 2 7x + 15x sin(x) + 2 + sin(x). Denne funktion er udelukkende opbygget af differentiable funktioner, og ved at benytte ovenstående regneregler ser vi, at funktionen er differentiabel overalt på den reelle akse med den afledede F (x) 6x + 15 cos(x) + 6x + 15 cos(x) + 7(2 + sin(x)) 7x cos(x) (2 + sin(x)) 2 7 7x cos(x) 2 + sin(x) (2 + sin(x)). 2 3.2.9. Eksempel. Lad os betragte funktionerne f 1 (x) x og f 2 (x) x 2. Vi har set, at disse to funktioner er differentiable, og vi har, at (f 1 ) (x) dx dx 1 og (f 2) (x) d(x2 ) dx 2x. Vi betragter dernæst funktionen f 3 (x) x 3 x x 2, og vi ser, at f 3 er differentiabel med den afledede (f 3 ) (x) d(x3 ) dx 1 x2 + x 2x 3x 2. Lad os nu, for et vilkårligt n N, antage, at funktionen f n (x) x n er differentiabel med den afledede (f n ) (x) d(xn ) dx nxn 1,

og lad os så betragte funktionen f n+1 (x) x n+1 x x n. Det er klart, at funktionen f n+1 er differentiabel, og vi finder, at (f n+1 ) (x) d(xn+1 ) dx Vi har hermed, ved induktion, bevist, at 1 x n + x nx n 1 (n + 1)x n. n N : (f n ) (x) d(xn ) dx nxn 1. 3.2.10. Eksempel. For ethvert n N betragter vi nu funktionen f n : R + R, som er givet ved x R + : f n (x) 1 x n x n. Vi ser, at funktionen f n er differentiabel overalt på mængden R + med den afledede får vi, at (f n ) (x) d( 1 x n ) dx nxn 1 (x n ) 2 ( n)x n 1 ( n)x ( n) 1. Betragter vi dernæst funktionen g n : R R, som er givet ved (g n ) (x) d( 1 x n ) x R : g(x) 1 x n x n, dx Vi har hermed vist, at nxn 1 (x n ) 2 ( n)x n 1 ( n)x ( n) 1. p Z x 0 : d(xp ) dx p xp 1. 3.2.11. Eksempel. Lad os betragte polynomiet P : R R, som er givet ved n x R : P (x) a k x k k0

hvor a n 0. Polynomiet P har altså graden n, og det er klart, at dette polynomium er differentiabelt i alle punkter x R med den afledede n P (x) ka k x k 1, k1 hvilket viser, at P er et polynomium med graden n 1, hvor n 1 N 0. Da enhver konstant funktion er differentiabel overalt på den reelle akse med den afledede 0, ser vi, at ethvert polynomium P 0 af 0 te grad, hvor P 0 (x) a 0, og a 0 0, også er en differentiabel funktion med nulpolynomiet N(x) 0 som afledet. 3.2.12. Eksempel. Lad P og Q være to polynomier, hvor hverken P eller Q er nulpolynomiet og lad M Q {x R Q(x) 0}, som altså er mængden af nulpunkter (rødder) for Q. Vi bemærker, at mængden M Q kan være tom. Fx gælder det, at polynomiet Q(x) x 4 + 7 ikke har nogen nulpunkter (rødder). Da M Q er en endelig mængde, er mængden D R \ M Q åben og foreningsmængde af endelig mange åbne intervaller. Funktionen f : D R, som er givet ved forskriften x D : f(x) P (x) Q(x), er en rational funktion, dvs. en kvotient mellem to polynomier, og vi ser, at f er differentiabel overalt på mængden D med den afledede f : D R givet ved x D : f (x) P (x)q(x) P (x)q (x). (Q(x)) 2 Vi noterer, at den afledede funktion f også er en rational funktion. Lad os nu fx betragte den rationale funktion f : R R, som har forskriften f(x) x3 + x + 1. x 2 + 2 Her er nævnerpolynomiet Q(x) x 2 +2 et andengradspolynomium, som ikke har nogen reelle rødder, så M Q Ø. Vi ser nu, at f (x) (3x2 + 1)(x 2 + 2) (x 3 + x + 1) 2x (x 2 + 2) 2 x4 + 5x 2 2x + 2 (x 2 + 2) 2.

Lad os nu betragte to funktioner f : I R og g : J R, hvor I og J er åbne intervaller. Vi antager, at værdimængden R(f) for funktionen f er en delmængde af intervallet J, altså R(f) J. Den sammensatte funktion c : I R er givet ved x I : c(x) (g f)(x) g(f(x)). Lad os endvidere antage, at funktionen f er differentiabel i punktet a I, og at funktionen g er differentiabel i punktet b f(a) J. Der gælder da følgende resultat: 3.2.13. Sætning. Den sammensatte funktion c g f : I R er differentiabel i punktet a I og c (a) (g f) (a) g ( f(a) ) f (a). BEVIS: Vi sætter x a + h og y b + k. Vi ved desuden, at der findes epsilonfunktioner ϵ f og ϵ g, så og f(h) f(a + h) f(a) f (a)h + ϵ f (h)h g(k) g(b + k) g(b) g (b)k + ϵ g (k)k, hvor vi specielt har, at k f(h). Vi ser nu, at c(h) c(a + h) c(a) g(f(a + h)) g(f(a)) g(f(a) + k) g(f(a)) g (f(a))k + ϵ g (k)k g (f(a)) ( f (a)h + ϵ f (h)h ) + ϵ g (k)k g (f(a))f (a)h + g (f(a))ϵ f (h)h + ϵ g ( f (a)h + ϵ f (h)h )( f (a)h + ϵ f (h)h ) h. Idet vi sætter ϵ(h) g (f(a))ϵ f (h) + ϵ g ( f (a)h + ϵ f (h)h )( f (a)h + ϵ f (h)h ), ser vi straks, at ϵ ϵ(h) er en epsilon-funktion, og derved får vi, at c(h) g ( f(a) ) f (a)h + ϵ(h)h. Heraf ser vi, at den sammensatte funktion c g f er differentiabel i punktet a med differentialkvotienten c (a) (g f) (a) g ( f(a) ) f (a).

Hermed er sætningen bevist. Q.E.D. Udsagnet i sætning 13.2.13 kaldes kædereglen. På engelsk: The Chain Rule. Funktionen f kaldes ofte den indre funktion, og funktionen g kaldes den ydre funktion. Vi vil nu se på nogle eksempler. 3.2.14. Eksempel. Funktionen F (x) (3x 2 + 7x + 1) 3 består af den indre funktion f(x) 3x 2 + 7x + 1 og den ydre funktion g(y) y 3. Benytter vi kædereglen, får vi, at F (x) 3(3x 2 + 7x + 1) 2 (6x + 7). 3.2.15. Eksempel. Funktionen F : R + R, som er givet ved udtrykket x > 0 : F (x) 1 2x 3 er sammensat af den indre funktion f(x) 2x 3, som selv er en sammensat funktion, og af den ydre funktion g(y) 1. Vi finder nu, at y g (y) 1, og y 2 at f (x) 1 2 2x 3 6x2, så idet y 2x 3. F (x) 1 2x 3 1 2 2x 3 3 6x2 2 2 x x 3 3 2 2 x 2 x, 3.2.16. Eksempel. Vi har, at cos x sin ( π 2 x), og at sin x cos ( π 2 x ). Dette er to af de såkaldte overgangsformler. Vi ser nu, at funktionen cos er differentiabel med den afledede d dx cos x d dx sin( π 2 x) (x) cos ( π 2 x) ( 1) sin x. Bemærk, at vi har benyttet kædereglen. og at 3.2.17. Eksempel. Ved hjælp af kædereglen finder vi, at d dx sin2 x 2sin x cos x, d dx cos2 x 2cos x sin x.

Desuden finder vi, at d dx tan x d ( sin x ) cos x cos x + sin x sin x dx cos x cos 2 x 1 cos 2 x 1 + tan2 x, hvor vi har benyttet, at cos 2 x + sin 2 x 1. (Grundrelationen for sin og cos). Idet funktionen cotangens, skrives cot, er defineret ved cot x cos x, ser sin x vi, at også denne funktion er differentiabel med den afledede d dx cot x d ( cos x) sin x sin x cos x cos x dx sin x sin 2 x og her har vi atter benyttet, at cos 2 x + sin 2 x 1. 1 sin 2 x 1 cot2 x, 3.2.18. Eksempel. Vi betragter funktionen F (x) tan( x), hvor x ]0, π[, og ved hjælp af kædereglen finder vi, at df dx (x) (1 + tan2 ( x) ( 1 2 ) 1 + tan 2 ( x) x 2. x 3.2.19. Eksempel. Vi betragter funktionen f : R R, som er givet ved forskriften { f(x) x 2 sin ( ) 1 x, for x 0 0, for x 0. Da funktionen sin er begrænset ( 1 sin x 1, for ethvert x R), har vi, at 0 f(x) x 2 0 for x 0, så funktionen f er åbenbart kontinuert overalt på den reelle akse. Desuden finder vi, at d dx ( x 2 sin ( 1 x )) 2x sin ( 1 x ) + x 2 cos ( 1 )( 1 ) ( 1 2x sin x x 2 x ) ( 1 ) cos, x så i ethvert punkt x 0 er funktionen f differentiabel med differentialkvotienten f (x) 2x sin ( 1 ) ( 1 ) cos. x x Vi ser tillige, at f(x) f(0) x 0 x sin ( 1 ) 0 for x 0. x Dette viser, at funktionen f også er differentiabel i punktet x 0 med differentialkvotienten f (0) 0.

Den afledede funktion f : R R, som er givet ved { f (x) 2x sin ( ( ) 1 x) cos 1 x, for x 0 0, for x 0, er imidlertid ikke kontinuert i x 0, thi leddet cos ( ) 1 x har ikke nogen grænseværdi for x 0. Vi har hermed vist, at den afledede funktion f af en differentialbel funktion f sagtens kan være diskontinuert. 3.2.20. Eksempel. Lad os dernæst se på funktionen g : R R, som er givet ved { g(x) x 2 sin ( ) 1 x, for x 0 2 0, for x 0. Denne funktion minder meget om funktionen f i ovenstående eksempel. Ligesom f er funktionen g kontinuert overalt på den reelle akse, thi Desuden finder vi, at g(x) x 2 sin ( 1 x 2 ) 0 g(0) for x 0. d ( x 2 sin ( 1 )) ( 1 ) ( 2x sin +x 2 cos ( 1 ))( 2 ) ( 1 ) 2 1 ) 2x sin + dx x 2 x 2 x 2 x 3 x 2 x cos(, x 2 så i ethvert punkt x 0 er funktionen g differentiabel med differentialkvotienten g (x) 2x sin ( 1 ) 2 1 ) + x 2 x cos(. x 2 Vi finder også, at g(x) g(0) x 0 x sin ( 1 x 2 ) 0 for x 0. Dette viser, at funktionen g også er differentiabel i punktet x 0, og at g (0) 0. Den afledede funktion g : R R, som er givet ved { g (x) 2x sin ( ) ) 1 x + 2 2 x cos( 1 x, for x 0 2 0, for x 0, har den interessante egenskab, at den er ubegrænset i ethvert nok så lille interval I δ [ δ, δ], hvor δ > 0. Hvis vi nemlig sætter x 1 nπ, er 1 x 2 nπ, hvor n N. Dermed har vi, at 2 1 ) x cos( 2 x 2 1 cos ( nπ ) 1 2 nπ for x 0, nπ nπ

hvilket svarer til, at n, mens 2x sin ( 1 x 2 ) 0 for x 0. Desuden er den afledede funktion g åbenbart diskontinuert i punktet x 0. Vi har derfor med dette eksempel vist, at den afledede af en differentiabel funktion både kan være diskontinuert i et punkt og ubegrænset i ethvert lille interval omkring dette diskontinuitetspunkt. 3.2.21. Eksempel. Når man skal finde differentialkvotienten df ( 2) dx for funktionen f(x) x 3 + 7, er det absolut påkrævet først at bestemme df dx 3x2, og derefter kan man så indsætte 2 på x s plads, med mindre man benytter selve definitionen på differentiabilitet for f i punktet x 2. Sådan kan man jo i princippet altid gøre. Vi får derfor, at df dx ( 2) 3 ( 2)2 12. Det er altså helt forkert, som nogle desværre gør, først at udregne funktionsværdien f( 2) ( 2) 3 + 7 1 og derpå differentiere konstanten 1, så man får 0. Lad os i tilknytning til disse bemærkninger se på endnu et eksempel. 3.2.22. Eksempel. Vi betragter funktionen f : R R, som er givet ved forskriften (x 1) 5 + x 2, for x < 1 f(x) 1, for x 1. (x 1) 4 + x 2, for x > 1 Vi ser straks, at df dx 5(x 1)4 + 2x, for x < 1 og men det er ikke rigtigt, at df (1) 0. dx df dx 4(x 1)3 + 2x for, x > 1, Det rette svar findes således: f(x) f(1) ((x 1) 5 +x 2 ) 1 (x 1) 4 + (x + 1), for x < 1 x 1 x 1 ((x 1) 4 +x 2 ) 1 (x 1) 3 + (x + 1), for x > 1 2 x 1 for x 1, så df (1) 2. dx 3.2.23. Bijektive funktioner. Lad f : I R være en differentiabel monoton funktion på det åbne interval I. Funktionen er derfor enten voksende eller aftagende på hele intervallet I. Vi ved da, at funktionen f har

en omvendt (eller invers) funktion f 1 : J R, hvor J, som er et interval, er værdimængden for den givne funktion f, og I er værdimængden for den inverse funktion f 1. Desuden har man, at den inverse funktion også er enten monotont voksende eller aftagende, og vi antager, at f 1 også er kontinuert. Lad a, x J. Vi ser nu, at Der findes derfor punkter y, b I, så x f f 1 (x) og a f f 1 (a). y f 1 (x) x f(y) og b f 1 (a) a f(b). Hvis x a, ser vi, at y b. Heraf finder vi så, at f 1 (x) f 1 (a) y b 1 x a y b 1 f(y) f(b) y b. Da vi har antaget, at den inverse funktion f 1 er kontinuert på hele det åbne interval J, har vi altså, at y f 1 (x) b f 1 (a) for x a. Vi er nu i stand til at vise følgende resultat: 3.2.24. Sætning. Hvis f (b) f (f 1 (a)) 0, gælder det, at den inverse funktion f 1 er differentiabel i punktet a J med differentialkvotienten (f 1 1 ) (a) f (f 1 (a)). BEVIS. Vi ser, at lim x a ( f 1 (x) f 1 (a) Hermed er sætningen bevist. Q.E.D. ) ( 1 ) 1 lim y b f(y) f(b) f (b) 1 f (f 1 (a)). y b 3.2.25. Leibniz notation. Lad os nu formulere kædereglen og den netop viste regel om differentiation af omvendt funktion ved hjælp af Leibniz notation. Hvis vi sætter z g f(x) og y f(x), ser vi, at dz dx dz dy dy dx,

og denne regel, som altså er kædereglen, kan naturligvis generaliseres til dz dx dz dy 1 dy 2 dy 3 dy p dy p+1... dy 1 dy 2 dy 3 dy 4 dy p+1 dx, hvor p N. Desuden ser vi, at hvis funktionen f er bijektiv, og hvis y f 1 (x), da er x f(y) og dy dx 1 dx, dy idet vi har antaget, at dx dy 0. De her anførte regler viser, at man i princippet kan regne med differentialkvotienter, som om de var brøker. Lad os se på nogle flere eksempler. 3.2.26. Eksempel. På intervallet I ]0, [ er funktionen x f(y) y 2 bijektiv og monotont voksende. Den omvendte funktion y f 1 (x) x er også defineret på intervallet I ]0, [ og er monotont voksende. Idet vi ved, at dx dy 2y, får vi, at dy dx 1 dx dy 1 2y 1 2 x. Dette resultat kendte vi jo i forvejen, men det er altid godt at kunne vise et resultat på flere måder. Lad os gå lidt videre og generalisere det ovenstående resultat. 3.2.27. Eksempel. For ethvert n N betragter vi funktionen x f n (y) y n, hvor y I ]0, [. Vi har da, at funktionen f n er monoton og bijektiv, og den inverse funktion er y fn 1 (x) n x, hvor x I ]0, [. Vi har dermed, at x y n y n x. Vi ved, at dx dy nyn 1,

så dy dx 1 dx dy 1 ny n 1 1 n( n x) n 1 1 n ( n x) 1 n. Vi vil nu fortsætte med at benytte resultatet om differentiation af omvendt funktion i nogle eksempler, der involverer sin, cos, tan og cot. 3.2.28. Eksempel. Funktionen sin: R R er ikke bijektiv. Den er jo periodisk med perioden 2π, men ser vi på restriktionen af sin til intervallet ] π, π[, så gælder det, at funktionen sin:] π, π [ ] 1, 1[ er bijektiv. (Denne 2 2 2 2 funktion kaldes hovedværdien af sin, og nogle skriver så Sin i stedet for sin.) Den omvendte funktion kaldes arcussinus, skrives Arcsin, og vi finder, at Arcsin: ] 1, 1[ ] π, π [. Vi tillader os nu at skrive: 2 2 Idet får vi, at x sin y y Arcsin x. dx dy cos y 1 sin 2 y 1 x 2, dy dx 1 dx dy 1 1 x 2, så funktionen Arcsin er åbenbart differentiabel med den afledede d dx Arcsin x 1. 1 x 2 3.2.29. Eksempel. Funktionen cos: R R er ikke bijektiv. Den er jo også periodisk med perioden 2π ligesom sin, men ser vi på restriktionen af cos til intervallet ]0, π[, så gælder det, at funktionen cos:]0, π[ ] 1, 1[ er bijektiv. (Denne funktion kaldes hovedværdien af cos, og nogle skriver så Cos i stedet for cos.) Den omvendte funktion kaldes arcuscosinus, skrives Arccos, og vi finder, at Arccos: ] 1, 1[ ]0, π[. Vi tillader derfor at skrive: x cos y y Arccos x. Idet dx dy sin y 1 cos 2 y 1 x 2,

får vi, at dy dx 1 dx dy 1, 1 x 2 så funktionen Arccos er (ligesom Arcsin) åbenbart differentiabel. Vi ser, at den afledede funktion af Arccos er d dx Arccos x 1. 1 x 2 3.2.30. Eksempel. Lad os nu betragte tangensfunktionens restriktion til det åbne interval ] π, π[. Vi ser, at tan: ] π, π [ R er bijektiv. (Denne 2 2 2 2 restriktion af tan kaldes dens hovedværdi, og nogle skriver Tan i stedet for tan.) Den omvendte funktion kaldes arcustangens, og vi skriver Arctan. Vi har således, at x tan y y Arctan x Idet får vi, at dx dy 1 + tan2 y 1 + x 2, dy dx 1 dx dy 1 1 + x 2. Dette viser, at funktionen Arctan er differentiabel, og at den afledede funktion er d dx Arctan x 1 1 + x. 2 3.2.31. Eksempel. Lad os betragte cotangensfunktionens restriktion til det åbne interval ]0, π[. Vi ser, at cot: ]0, π[ R er bijektiv. (Denne restriktion af cot kaldes dens hovedværdi, og nogle skriver Cot i stedet for cot.) Den omvendte funktion kaldes arcuscotangens, og vi skriver Arccot. Vi har således, at x cot y y Arccot x Idet får vi, at dx dy (1 + cot2 y) (1 + x 2 ), dy dx 1 dx dy 1 1 + x 2.