Differential- regning

Differential- regning del f(5) () f f () f ( ) I 5 () 006 Karsten Juul

Indhold 6 Kontinuert funktion 7 Monotoniforhold7 8 Lokale ekstrema44 9 Grænseværdi5 Differentialregning del udgave 006 006 Karsten Juul Dette hæfte kan downloades fra wwwmatdk Hæftet må benyttes i undervisningen hvis læreren med det samme sender en e-mail til kj@matdk som dels oplyser at dette hæfte benyttes, dels oplyser om hold, lærer og skole

6 Kontinuert funktion 60 Hvornår er f () kontinuert i 0? (6a) Definition (foreløbig) En funktion f () siges at være kontinuert i et tal 0 hvis der gælder f () er defineret i 0 og grafen for f () har ikke et spring i 0 Graf med hul Figur 6b viser grafen for funktionen f ( ) = Om funktionen f () gælder: f () er ikke kontinuert i da f () ikke er defineret i f () er kontinuert i alle andre tal end Den lille ring om punktet (, ) betyder at dette punkt ikke hører med til grafen (Sætningen " f () er ikke defineret i " betyder som bekendt: "Der er ikke nogen funktionsværdi i ", hvilket også kan formuleres sådan: " f () eksisterer ikke") () Figur 6b () Graf med spring Figur 6c viser grafen for funktionen g ( ) = floor( ) Om funktionen g () gælder: () g () er ikke kontinuert i tallene 0, ±, ± 4, L da grafen har et spring i hvert af disse tal () g () er kontinuert i alle andre tal I øvelse 7 står hvad floor( ) betyder, og hvordan man får tegnet dens graf korrekt på lommeregneren Figur 6c Differentialregning Side 006 Karsten Juul

60 Øvelse (a) Ved aflæsning på figur 6c skal du bestemme tallene, g (,5 ), g (), g (,9) og g (4) (b) Tegn grafen for en funktion h () som er defineret i ethvert tal og både opfylder at h ( ) =, at h ( 4) = og at der ikke er noget tal 0 mellem og 4 hvor h ( 0 ) = 0 60 Hvis f () springer en værdi over, er der en -værdi hvori f () ikke er kontinuert Figur 6d viser en interaktiv figur fra en computerskærm hvor man ved at trække -punktet hen på et tal kan aflæse funktionsværdien f () Når man lader gennemløbe tallene fra til 8, vil f () bla gennemløbe alle tal mellem f () = og f (8) = 4,6, da der ikke er spring i grafen Dette anskueliggør gyldigheden af sætning (6e) () 4,6 f() 8 () Figur 6d (6e) Sætning Når en funktion f () er kontinuert i to tal a og b samt i ethvert tal mellem a og b gælder ethvert tal mellem de to tal f (a) og f (b) er lig funktionsværdien f () af et tal mellem a og b Differentialregning Side 006 Karsten Juul

604 Øvelse Vedrden interaktive skærmfigur på figur 6d (a) Fra trækker vi -punktet mod højre Hvor langt ca skal vi trække -punktet før f () har gennemløbet alle tal fra og med f () til og med f (8)? (b) Hvor mange gange antager f () værdien 4 når gennemløber intervallet [ ; 8]? (c) Tegn en graf for en anden funktion f () hvor f ( ) = og f ( 8) = 4, 6, men hvor f () ikke gennemløber alle tal mellem de to tal f () og f (8) når gennemløber [ ; 8] 605 Intervaller (repetition) Ved et interval forstås som bekendt en sammenhængende del af tallinjen Eksempler på intervaller Tallene større end udgør et interval der skrives ] ; [ Tallet sammen med tallene mellem og 5 udgør et interval der skrives [ ; 5[ Tallene mindre end udgør et interval der skrives ] ; [ Oversigt over alle intervaltyper ] a, b[ [ a ; b[ ] a ; b] [ a ; b] ] ; b[ ] ; b] ] a ; [ [ a ; [ R = ] ; [ a a a a a a b b b b b b Differentialregning Side 006 Karsten Juul

606 Sætning om konstant fortegn i interval (6f) Sætning Hvis (*) f () er kontinuert og forskellig fra 0 i ethvert tal i et interval gælder: (**) f () har samme fortegn for alle tal i intervallet Bevis for sætning (6f) Antag at (*) gælder Antag desuden (**) ikke gælder Når (**) ikke gælder, må der være to tal 0 og i intervallet så f ( 0 ) og f ( ) har forskelligt fortegn Da 0 ligger mellem f ) og f ), følger af sætning (6e) at ( 0 ( 0 er lig f () for et tal mellem 0 og Og dette er i modstrid med at der i (*) står at f () er forskellig fra 0 for ethvert tal i intervallet Når (*) gælder, fører det altså til en modstrid at antage at (**) ikke gælder, dvs (**) må gælde når (*) gælder, og det var dette der skulle vises 607 Øvelse Skitsér grafen for en funktion f () der opfylder betingelserne og f () er kontinuert i ethvert tal f ( 7) =, f ( 8) = 4, f ( 9) = og ligningen f ( ) = har kun én løsning eller argumenter for at det ikke kan lade sig gøre Differentialregning Side 4 006 Karsten Juul

608 Polynomier Eksempler på polynomier: Konstanter er polynomier: f ( ) = f ( ) = 5 Førstegradspolynomier: f ( ) = f ( ) = 7 + Andengradspolynomier: f ( ) = f ( ) = + 4 Tredjegradspolynomier: f ( ) = f ( ) = + + Fjerdegradspolynomium: f ( ) Osv (6g) Sætning 4 = 0, + 0,7,5 +,9 + 4,5 Et polynomium er kontinuert i ethvert tal 609 Bestemme fortegn På lommeregneren finder vi at polynomiet + 6 kun har det ene nulpunkt Da + 6 således er forskellig fra 0 og kontinuert i ethvert tal i intervallet ] ; [, vil + 6 have samme fortegn i alle tal i ] ; [ På lommeregneren finder vi at når = er + 6 lig 8, altså et positivt tal Altså er + 6 et positivt tal når er et tal i ] ; [ Figur 6h : + 6 : 8 0 444444 444444 konstant fortegn, dvs + Differentialregning Side 5 006 Karsten Juul

60 Øvelse (a) Udfør det der er beskrevet i ramme 609 Hvilket fortegn har + 6 hvis er større end? (b) Bestem de intervaller hvor polynomiet har konstant fortegn, og 4 bestem de værdier af for hvilke er negativ 6 Øvelse En funktion er givet ved f ( ) = + 9 (a) Bestem f () 4 (b) Løs ligningen f ( ) = 0 og bestem de værdier af for hvilke f () er positiv Differentialregning Side 6 006 Karsten Juul

7 Monotoniforhold 70 Begreberne "voksende" og "aftagende" (repetition) Figur 7a viser en interaktiv figur fra en computerskærm hvor man ved at trække -punktet hen på et tal kan aflæse funktionsværdien f () På figuren ses: Når vi trækker gennem tallene fra til 9, vil f () hele tiden øges Når vi trækker gennem tallene fra 9 til 4, vil f () hele tiden mindskes () f() 4 () Figur 7a Som bekendt siger man: f () er voksende i [ ; 9] f () er aftagende i [ 9; 4] Er f () både aftagende og voksende i 9? Nej, vi taler ikke om at en funktion er voksende i ét tal Vi taler om at en funktion er voksende i et interval At f () er voksende i [ ; 9] betyder at uanset hvordan man vælger to tal og i [ ; 9] sådan at <, så vil f ( ) < f ( ) At f () er aftagende i [ 9; 4] betyder at uanset hvordan man vælger to tal og i [ 9;4] sådan at <, så vil f ( ) > f ( ) Differentialregning Side 7 006 Karsten Juul

70 Øvelse Vedr funktionen f () fra ramme 70 (a) Angiv to tal og i [ 8,4; 9,4] som opfylder at < og f ( ) < f ( ) (b) Angiv to tal og i [ 8,4; 9,4] som opfylder at < og f ( ) > f ( ) (c) Er f () voksende i [ 8,4; 9,4]? (d) Er f () aftagende i [ 8,4; 9,4]? 70 Øvelse 4 Indtast funktionen f ( ) = 0,75 +,75 og få grafvinduet på figur 7b frem (a) Brug Value til at bestemme funktionsværdien f () (b) Hvor stor kan b være når der skal gælde at f () er aftagende i [ 0; b ]? (Gæt svaret efter at have bestemt relevante funktionsværdier) Figur 7b 704 Monotoniforhold At angive monotoniforholdene for en funktion f () vil sige at angive i hvilke -intervaller f () hhv aftager, vokser eller er konstant På figur 7c er vist grafen for et tredjegradspolynomium f () Grafens toppunkter er P (, 5) og Q (, ) Monotonoforholdene kan angives sådan: f () er voksende i ] ; ], aftagende i [ ; ] og voksende i [ ; [ Figur 7c Differentialregning Side 8 006 Karsten Juul

705 Øvelse Om andengradspolynomiet toppunkt er P (, ) Angiv monotoniforholdene for f () 706 Øvelse f ( ) = a + b + c oplyses at a er negativ, og at grafens Få tegnet grafen for f ( ) = 0,5 +,5 +, 75 på lommeregneren, og eksperimenter med at vælge forskellige udsnit så du får overblik over grafens forløb Gæt ud fra grafen hvordan monotoniforholdene er, og angiv disse 707 Øvelse Tegn grafen for en funktion f () som opfylder: f () er negativ og kontinuert i ethvert tal f () er aftagende i ] ; 0] og voksende i [ 0; [ 708 Øvelse (a) Tegn grafen for en funktion f () sådan at der gælder: f () er aftagende i intervallet I = [0; 8], f () er kontinuert i ethvert tal i I, og f ( 4) = 0, eller sig at det ikke kan lade sig gøre (b) Tegn grafen for en funktion f () sådan at der gælder: f () er ikke voksende i intervallet I = [0; 8], og f () er ikke negativ for noget tal i I, eller sig at det ikke kan lade sig gøre (c) Tegn grafen for en funktion f () sådan at der gælder: f () er ikke voksende i intervallet I = [0; 8], og f () er positiv for hvert tal i I, eller sig at det ikke kan lade sig gøre Differentialregning Side 9 006 Karsten Juul

709 Monotoniforhold og tangenthældning f () Hvis f () er positiv Grafen på figur 7d er tegnet sådan at der gælder (*) tangenthældningen f () er positiv for hvert tal i intervallet I Det ses at der gælder (** ) f () er voksende i intervallet I Hvis man prøver at tegne grafen sådan at (*), men ikke (**) gælder, så bliver man overbevist om at det ikke kan lade sig gøre Man kan bevise at hvis (*) gælder, så gælder (**) også Figur 7d Hvis der er undtagelser fra at f () er positiv Funktionen f () hvis graf er vist på figur 7e, er voksende selv om der er ét punkt hvori tangenthældningen er 0 Selv om der er enkelte undtagelser fra (*), kan man slutte at (**) gælder Figur 7e (7f) Sætning Laf f () være en funktion der er differentiabel i ethvert tal i et interval I Hvis f () er positiv for alle i I, evt med endeligt mange undtagelser, så er f () voksende i I Hvis f () er negativ for alle i I, evt med endeligt mange undtagelser, så er f () aftagende i I 70 Øvelse (a) Om en funktion f () er oplyst at f ( ) = for alle i intervallet ] ; 0[ Brug sætning (7f) til at gøre rede for at f () er aftagende i ] ; 0[ (b) Om en funktion g () er oplyst at g ( ) = for alle i R Som bekendt er g () voksende i R Brug sætning (7f) til at gøre rede for dette Differentialregning Side 40 006 Karsten Juul

7 Øvelse Om en funktion f () er oplyst at f ( ) = 0 er 0 og f ( ) = og at løsningerne til ligningen Brug sætningerne (6f) og (7f) til at bestemme monotoniforholdene for f () 7 Bestemme monotoniforhold med differentialregning Opgaven Vi vil bestemme monotoniforhold for funktionen 4 4 4 f ( ) = Besvarelse Vi finder f ( ) = 4 4 Løsningerne til ligningen f ( ) = 0 er og 0 Tallene og 0 deler tallinjen op i tre intervaller f () har konstant fortegn i hvert af disse da der i hvert af dem gælder at f () er kontinuert og forskellig fra 0 For hvert interval bestemmes fortegnet: Heraf ses: f ( ) =, f ( ) =, f ( ) = 9 I ] ; 0] er f () positiv bortset fra i og 0, og i [ 0; [ er f () negativ bortset fra i 0 Af dette følger: f () er voksende i ] ; 0] og aftagende i [ 0; [ Her skal indføjes en redegørelse for hvordan løsningerne og 0 er bestemt Disse løsninger kan f bestemmes med solve på lommeregneren De kan også bestemmes ved at sætte uden for en parentes og derefter bruge nulreglen Oversigt: : 0 f () : + 0 + 0 f () : Differentialregning Side 4 006 Karsten Juul

7 Øvelse Vedr opgaveløsningen i ramme 7 (a) Opgaveløseren påstår bla at f () er forskellig fra 0 når er et tal mellem og 0 Hvilken af sætningerne () () nedenfor er opgaveløserens begrundelse herfor? () f () har konstant fortegn i hvert af de intervaller som og 0 deler tallinjen op i () f () er kontinuert i ethvert tal mellem og 0 () Løsningerne til ligningen f ( ) = 0 er og 0 (b) Opgaveløseren siger at f () ikke er positiv for ethvert tal i intervallet ] ; 0], men påstår alligevel at f () er voksende i ] ; 0] Kommentér dette 74 Øvelse Vedr ramme 7 Der er omtalt to måder hvorpå ligningen f ( ) = 0 kan løses Løs ligningen på begge måder 75 Øvelse Brug metoden fra ramme 7 til at bestemme monotoniforholdene for funktionen 4 f ( ) = + 76 Øvelse En funktion f opfylder følgende betingelser: f er differentiabel i R og opfylder følgende: : 6 f () : + 0 0 0 (a) Angiv monotoniforholdene for f (b) Tegn grafen for en eller anden funktion f som opfylder ovenstående betingelser Differentialregning Side 4 006 Karsten Juul

77 Øvelse Lav en nøjagtig kopi af følgende tallinje og tilføj det manglende så den bliver i overensstemmelse med grafen på figur 7g f (): : 0 Figur 7g Differentialregning Side 4 006 Karsten Juul

8 Lokale ekstrema 80 Lokalt maksimum Oplæg Figur 8a viser en interaktiv figur fra en computerskærm hvor man ved at trække -punktet hen på et tal kan aflæse funktionsværdien f () På førsteaksen er markeret et interval I På figuren ser vi: For alle tal i I er f () mindre end eller lig f () Tallet f (), altså, 4, er ikke maksimum (størsteværdi) for f () da der uden for I er tal hvori f () er større end f () F er f (5) større end f () Man siger at der er lokalt maksimum i Det lokale maksimum er, 4 f(5) () f f () f ( ) (8b) Definition af lokalt maksimum Hvis der for en funktion f () gælder at I 5 f ( ) f ( 0 ) for alle i et interval omkring 0 siger man at og at f () har lokalt maksimum i 0 det lokale maksimum er tallet f ) ( 0 () Figur 8a Differentialregning Side 44 006 Karsten Juul

80 Øvelse Vedr figur 8a (a) Kunne intervallet I være valgt større når der skal gælde at f ( ) f () for alle tal i I? (b) Angiv et interval I omkring så f ( ) f () for alle tal i I, eller sig at det ikke kan lade sig gøre (c) Angiv et interval I omkring, 7 så f ( ) f (,7) for alle tal i I, eller sig at det ikke kan lade sig gøre 80 Lokalt minimum Oplæg På figur 8c er vist grafen for et fjerdegradspolynomium Der findes et interval om så der for alle i intervallet gælder at f ( ) f () Man siger derfor at f () har lokalt minimum i Det lokale minimum er tallet f (), altså Der findes et interval om 5 så der for alle i intervallet gælder at f ( ) f (5) Altså har f () lokalt minimum i 5 Det lokale minimum er For alle i R gælder f ( ), så f () har minimum i 5 og minimum (mindsteværdien) er (8d) Definition af lokalt minimum Hvis der for en funktion f () gælder at f ( ) f ( 0 ) for alle i et interval omkring 0 siger man at og at f () har lokalt minimum i 0 det lokale minimum er tallet f ) ( 0 Figur 8c 804 Øvelse Vedr figur 8c Angiv er tal 0 og et interval omkring 0 så det for alle i intervallet gælder at f ) f ( ) ( 0 Differentialregning Side 45 006 Karsten Juul

805 Lokale ekstrema (8e) Definition Ordet ekstremum er en fællesbetegnelse for maksimum og minimum I flertal hedder det ekstrema Figur 8f viser grafen for en funktion f () () De lokale ekstrema kan angives sådan: Der er lokalt maksimum i og det lokale maksimum er 4 + 4 + Der er lokalt minimum i og det lokale minimum er 4 + f () 4 + Figur 8f 806 Øvelse (a) Tegn grafen for en funktion f () der opfylder følgende: f () er differentiabel i R f ( ) = 0, men der er ikke lokalt ekstremum i = der er lokalt ekstremum i = 7 og i = (b) Angiv eventuelle lokale ekstrema for funktionen i ramme 7 Differentialregning Side 46 006 Karsten Juul

807 Bestemme lokale ekstrema Opgaven Vi vil bestemme de lokale ekstrema for funktionen f ( ) = + 8 90 For at kunne afgøre i hvilke -værdier der er lokale ekstrema, må vi kende monotoniforholdene for f () Derfor starter vi med at bestemme disse Besvarelse Differentialkvotienten er f ( ) = + 8 Løsningerne til ligningen f ( ) = 0 er 6 og Tallene 6 og deler tallinjen op i tre intervaller f () har konstant fortegn i hvert af disse da der i hvert af dem gælder at f () er kontinuert og forskellig fra 0 For hvert interval bestemmes fortegnet: f ( 7) = 0, f ( 0) = 8, f ( 4) = 0 Vi kan slutte følgende: : 6 f () : + 0 0 + f () : Her skal indføjes en redegørelse for hvordan løsningerne 6 og er bestemt Da f ( 6) = 0 og 4 f ( ) =, fås f () har lokalt maksimum i 6 og det lokale maksimum er 0 f () har lokalt minimum i og det lokale minimum er 4 808 Øvelse Bestem lokale ekstrema for funktionen 4 f ( ) = Differentialregning Side 47 006 Karsten Juul

809 Øvelse Figur 8a i ramme 80 er et billede af en interaktiv figur Når trækkes gennem værdierne fra 0, 5 til 5,, så kan man for hver værdi af aflæse værdien af f () på andenaksen (a) For hvor mange værdier af vil f ( ) =? (b) Hvis vi i f ( ) = a erstatter a med et bestemt tal, så får vi en ligning vi kan løse Vi vil vælge tallet a sådan at den fremkomne ligning har præcis to løsninger Hvad kan vi så f sætte a til? 80 Øvelse (a) I ramme 807 er fandt vi frem til visse oplysninger om en funktion f () Benyt disse oplysninger til at skitsere grafen Der er ikke brug for at udregne flere punkter på grafen da den kun skal bruges som et hjælpemiddel til at besvare spørgsmål (b) (b) For hvilke værdier af a har ligningen f ( ) = a kun én løsning? 8 Bestemme ekstremum med differentialregning Vi vil bestemme minimum for funktionen f ( ) = 0,50 0,9 +,4, > 0 Differentialkvotienten er f ( ) =,50 0,9 Da > 0, er løsningen til ligningen f ( ) = 0 tallet 0,9 = = 0,50990L,50 0,5 f () er kontinuert og har derfor konstant fortegn på hver side af 0, 5 Da f ( 0,) = 0,75 og f ( ) =, fås: : 0 0, 5 f () : M 0 + f () : Da f ( 0,50990L) =,67L, fås af tallinjen: f () har minimum i 0, 5 og minimum er, Differentialregning Side 48 006 Karsten Juul

8 Øvelse Funktionen f ( ) = 0,50 0,9 +,4, < 0 har samme forskrift som funktionen i ramme 8, men definitionsmængden er en anden Brug differentialregning til at bestemme maksimum for f () 8 To typer ekstremumsopgaver For en bestemt type figurer er rumfanget f (), målt i f ( ) = 0,50 0,9 +,4, > 0, hvor er figurens bredde, målt i m Funktionen f () blev behandlet i ramme 8 m, bestemt ved Om de omtalte figurer kan man f stille spørgsmålet (*) Hvad skal bredden være for at rumfanget bliver mindst muligt? eller spørgsmålet (**) Hvad er det mindst mulige rumfang? Hvis spørgsmålet er (*), er svaret 0,5 m, og det er ikke nødvendigt at udregne f ( 0,50990L) Hvis spørgsmålet er (**), er svaret, m 84 Øvelse I en bestemt type konstruktion er der en sammenhæng mellem størrelsen af et rørs overflade og dets afstand fra et andet rør Antag at der er givet en regneforskrift for afstanden f (), målt i cm, som funktion af overfladen, målt i cm Antag at konstruktionen er udført så afstanden er den størst mulige Hvis man skal bestemme overfladens størrelse, skal man så bestemme maksimum for f () eller bestemme det tal hvori f () har maksimum? Differentialregning Side 49 006 Karsten Juul

85 Bestemme ekstrema på grafregner (repetition) Som bekendt kan maksimum og minimum bestemmes på lommeregneren ved hjælp af Math/Maimum og Math/Minimum Minimum for funktion kan bestemmes sådan: - Fra grafskærm vælges Math/Minimum - Om nødvendigt trykkes PilNed til markør står på rigtige graf - Som svar på "Lower Bound?" flyttes markør til grafpunkt lidt til venstre for søgte grafpunkt (med pilrast eller ved at taste -koordinat) og der trykkes ENTER - På tilsvarende måde besvares "Upper Bound?" - Søgte punkts koordinater fremkommer nederst på skærmen Besvarelse af spørgsmålet (**) i ramme 8 Forskriften for f () indtastes På figuren er skærmbilledet skitseret Da grafen for et tredjegradspolynomium ikke kan have flere sving end den viste del af grafen, og da vi kun ser på > 0, er y 0 det søgte tal Ved hjælp af Math/Minimum fås y 0 =,674L, dvs det mindste rumfang er, m Figur 8g 86 Øvelse En haveejer har lavet et raftehegn hvor højden af en rafte, målt i meter, er givet ved f ( ) = 0,046 + 0,08 +, 0 < < 5 hvor er raftens afstand fra lågen, målt i meter Se figur 8h (a) Bestem den værdi af hvori f () har maksimum, og forklar hvad du herved har fundet ud af om raftehegnet (b) Bestem maksimum for f (), og forklar hvad du herved har fundet ud af om raftehegnet Figur 8h Differentialregning Side 50 006 Karsten Juul

87 Øvelse En funktion f () er givet ved f ( ) = k, > 0 hvor k er et positivt tal Det oplyses at f () har minimum i Bestem k 88 Øvelse En funktion f () er givet ved 4 f ( ) = + + k hvor k er et reelt tal Det oplyses at maksimum for f () er 50 Bestem k Differentialregning Side 5 006 Karsten Juul

9 Grænseværdi 90 Oplæg om grænseværdi I tabellen er vist værdien af for forskellige værdier af : 0, 60 0, 90 0, 98, 0, 0, 40 : 0, 0 0, 45 0, 49 0, 5 0, 55 0, 70 Som ovenstående antyder, gælder: Vi kan få så tæt på det skal være ved at vælge tæt nok på Derfor siger vi at er grænseværdien af Med symboler skrives grænseværdien sådan: lim Dette symbol betegner altså tallet for gående mod 90 Øvelse I ramme 90 omtales størrelsen f ( ) = Det påstås at vi kan få f () så tæt på det skal være, ved at vælge tæt nok på Antag at vi vil have at afstanden mellem f () og skal være mindre end 0, 000 Angiv et lille interval om så dette er opfyldt for alle der ligger i intervallet og er forskellig fra (Du skal blot gætte intervallet ved at udregne f () for nogle tal der ligger tæt på ) Differentialregning Side 5 006 Karsten Juul

90 Definition af grænseværdi Lad f () være en funktion, og lad a og 0 være tal Man siger at hvis a er grænseværdien af f () for gående mod 0 man kan få f () så tæt det skal være på a ved kun at bruge tal der ligger i et lille interval om 0 og er forskellig fra 0 Denne grænseværdi betegnes lim f ( ) 0 904 Øvelse Udregn nogle funktionsværdier for funktionen 4 f ( ) = så du kan gætte svar på spørgsmålene nedenfor (a) Hvad er grænseværdien af f () for gående mod? (b) Angiv et interval om så det for alle der ligger i intervallet og er forskellig fra, gælder at afstanden mellem f () og grænseværdien er mindre end 0, 00 905 Øvelse Figur 9a viser grafen for funktionen f ( ) = (a) Bestem andenkoordinaterne til de to grafpunkter hvis førstekoordinater er og 4 (b) Bestem hældningskoefficienten for linjen gennem disse to punkter Lad hk () betegne hældningskoefficienten for linjen gennem grafpunktet med førstekoordinat og et andet grafpunkt med førstekoordinat Tallet hk (4) er altså det tal der er svaret på (b) (c) Beregn hk (, ), hk (,0) og hk (0,999) Figur 9a (d) Gæt ud fra svarene i (c) grænseværdien af hk () for gående mod Se om dit svar kan passe med figuren Differentialregning Side 5 006 Karsten Juul

906 Vilkårlig store værdier: ingen grænseværdi I tabellen er vist værdien af for forskellige værdier af : 0, 0, 0 0, 00 0 0, 00 0, 0 0, : 00 0000 000000 000000 0000 00 Som ovenstående antyder, gælder: Uanset hvilket tal a vi vælger, så kan vi få ved at vælge tæt nok på 0 Der er altså ikke noget tal a som er grænseværdi for til at være meget større end a for gående mod 0 907 Øvelse I ramme 906 omtales størrelsen f ( ) = Angiv et interval om 0 så det for alle 0 der ligger i intervallet og er forskellig fra 0, gælder at f ( ) > 0 908 Øvelse Figur 9b viser grafen for en funktion f () Lad hk () betegne hældningskoefficienten for linjen der går gennem grafpunktet med førstekoordinat og et andet grafpunkt med førstekoordinat (a) Bestem hk (), hk (,) og hk (,00) (b) Ser det ud til at hk () har en grænseværdi for gående mod? (Begrund svaret) Figur 9b Differentialregning Side 54 006 Karsten Juul

909 Forskellig værdi fra højre og venstre: ingen grænseværdi I tabellen er vist værdien af for forskellige værdier af : 0, 5 0, 0 0 0, 0 0, 5 : Som ovenstående antyder, gælder: Uanset hvor lille et -interval om 0 vi begrænser os til, så vil værdien og værdien både antage Der er altså ikke noget tal a som er grænseværdi for for gående mod 0 90 Øvelse Figur 9c viser grafen for en funktion f () Lad hk () betegne hældningskoefficienten for linjen der går gennem grafpunktet med førstekoordinat og et andet grafpunkt med førstekoordinat (a) Bestem hk (), hk (,) og hk (,9 ) (b) Ser det ud til at hk () har en grænseværdi for gående mod? (Begrund svaret) Figur 9c Differentialregning Side 55 006 Karsten Juul

9 Definition af "kontinuert" Funktionsværdi grænseværdi Den funktion f () hvis graf er vist på figur 9d, er ikke kontinuert i da grafen har et spring ved grafpunktet med førstekoordinat Det ses at f () og lim f ( ) altså forskellige er hhv 5 og 4, Funktionsværdi = grænseværdi Den funktion f () hvis graf er vist på figur 9e, er kontinuert i da grafen ikke har et spring ved grafpunktet med førstekoordinat Figur 9d Det ses at f () og lim f ( ) altså ens begge er 4, (9f ) Definition af "kontinuert" En funktion f () siges at være kontinuert i et tal 0 hvis f () er defineret i 0, Figur 9e f () har en grænseværdi for gående mod 0, og lim f ( ) = f ( 0 ) 0 9 Øvelse Vedr funktionen på figur 9f (a) Bestem hvert af følgende tal eller sig at det ikke eksisterer f ( ), lim f ( ), f ( ), lim f ( ), f (), lim f ( ), f (), lim f ( ) (b) I hvilke tal er f () ikke kontinuert? Figur 9f Differentialregning Side 56 006 Karsten Juul

9 Beregning af grænseværdi Oplæg Da = vil de to funktioner ( ) ( ) = f ( ) =, g( ) = være ens for alle undtagen = Ifølge definitionen af grænseværdi (se ramme 90) er grænseværdien for gående mod fastlagt ved funktionsværdierne i de der er forskellig fra, så da f () og g () er ens for disse, må (* ) lim f ( ) = lim g( ) Da g () er et polynomium, er g () kontinuert, så ifølge definitionen på at være kontinuert (se ramme 9) er (** ) lim g( ) = g() Da g ( ) = =, fås af (*) og (**) at lim f ( ) = Metode Hvis f ( ) = g( ) for 0 og g () er kontinuert i 0, så er lim f ( ) = g( 0 ) 0 Eksempel Vi vil finde grænseværdien af Da + = ( + ) ( ) + + = for gående mod fås grænseværdien ved at sætte ind for i, dvs grænseværdien er Differentialregning Side 57 006 Karsten Juul

94 Øvelse Tegn i hvert sit koordinatsystem graferne for de to funktioner f () og g () som er omtalt i oplægget øverst i ramme 9 95 Øvelse Brug metoden fra ramme 9 til at beregne grænseværdierne + lim og + lim 4 6 Differentialregning Side 58 006 Karsten Juul