Minikaos - må ikke bruges til noget. Henrik Dahl

Minikaos - må ikke bruges til noget. Henrik Dahl hdahl@tdc-broadband.dḳ.

1 DEFINITIONER 2 1 Definitioner Aperiodisk adfærd Attraktor Der findes baner, der ikke lander i FP eller i periodiske baner eller i quasiperiodiske baner En afsluttet mængde A der opfylder A er invariant (hvis x(t) starter i A bliver x(t) i A) A tiltrækker åben mængde af initialbetingelser: A U og x(0) U x(t) A 0 for t (Det største U kaldes basin of attraction) A er minimal (ingen ægte delmængde af A tilfredsstiller de ovenstående krav) Basin boundary Basin of attraction Dissipation Egenretning, hurtig Egenretning, langsom Fixpunkt, differens Fixpunkt, differential Fixpunkt, Lyapunov-stabilt Fixpunkt, neutralt stabilt Fixpunkt, stabilt Fixpunkt, tiltrækkende Fixpunkt, ustabilt Grænsecykel Den stabile mangfoldighed {x(0) x(t) x for t } Kræver aftagende volumen (evt. areal): V = V fdv < 0 Egenvektor med størst λ Egenvektor med mindst λ (baner følger normalt denne) System: x n+1 = f(x n ). Fixpkt: x n+1 = x n System: ẋ = f(x). Fixpkt: ẋ = 0. Alle baner, der starter tæt på x bliver ved med at være tæt på x FP er Lyapunov-stabilt, men ikke tiltrækkende FP er Lyapunov-stabilt og tiltrækkende x(t) x for t FP er hverken Lyapunov-stabilt eller tiltrækkende En isoleret lukket bane (dvs. nabobaner er ikke lukkede, men spiraliserer enten mod eller væk fra banen). Hvis nabobanerne nærmer sig er grænsecyklen tiltrækkende, ellers er den frastødende eller evt. halvstabil. Kan KUN optræde

1 DEFINITIONER 3 i ulineære systemer. Homokliniske baner Index Kaos Konservativt system Baner, der starter og slutter på samme FP Lad ẋ = f(x) være et glat vektorfelt og betragt glatsimpel lukket kurve C som ikke går igennem et FP. Så findes i alle x C en veldefineret vinkel φ = tan 1 (ẏ/ẋ) (i forhold til x-aksen). Index for C med hensyn til f er da I C = 1 2π [φ] C, nemlig antallet af nettoomdrejningen mod uret, når x bevæges en gang rundt mod uret. På langt sigt aperiodisk adfærd i deterministisk system, med følsom afhængighed af initialbetingelser (Lyapunoveksponent > 0) Lad ẋ = f(x). E(x) er bevaret, hvis de/dt = 0 (E er konstant på banerne) E er ikke konstant på enhver åben mængde. Lukkede baner Periodiske løsninger x(t + T ) = x(t) for passende T Lyapunov-exponent λ i δ(t) δ(0) e λt. Giver t horizon O( 1 λ ln a λ = lim n { 1 n 1 n i=0 ln f (x i ) delta(0). I diskret system: Nullclines Poincaresnit Potential Reversibelt system Kurver, hvor ẋ = 0 eller ẏ = 0. Indikerer hvor flow er vertikalt (ẋ = 0) eller horisontalt (ẏ = 0). Skiller faseplanet i områder med forskellige kombinationer af fortegn for ẋ og ẏ. Se på n-dimensionalt system ẋ = f(x). Lad S være en n 1-dimensional overflade som ikke er parallel med flowet. Poincaresnittet er da en afbildning P : S S, som fremkommer ved at følge en bane fra en skæring med S til den næste, dvs. x k+1 = P (x k ) f(x) = dv dv dx. Der gælder dt = ( ) dv 2 dx 0, så V aftager langs baner. Lokale minima svarer til stabile fixpunkter, lokale maxima til ustabile fixpunkter. Et 2. ordens system som er invariant under t t, y y (eks. ẋ = f(x, y),f ulige, ẏ = g(x, y), g lige) Lad R : R 2 R 2 med R 2 (x) = x. Så er ẋ = f(x) reversibelt, hvis det er invariant under t t, x R(x) Stabil mangfoldighed Strange attractor {x(0) x(t) x for t } En attraktor med følsom afhængighed overfor initialbetingelser (Lyapunoveksponent > 0)

2 FIXPUNKTER 4 Ustabil mangfoldighed Vektorfelt på faseplan Vektorfelt på cirkel {x(0) x(t) x for t } ẋ = f(x) En regel, der giver entydig hastighedsvektor for alle punkter på cirklen. 2 Fixpunkter 2.1 1 dimension Karakterisering (Stabil/halvstabil/ustabil) (lokalt,globalt) Faseportræt Figur 1: Karakteristisk tidsskala τ = 1 f (x ) 2.2 2 dimensioner - lineært Karakterisering Klassifikation Stabil node, stjerne, linje af fixpunkter, saddelpunkt, tiltrækkende fixpunkt, Lyapunov-stabilt, neutralt stabilt, ustabilt ( ) ( ) ( ) ẋ a b x For lineært system ẋ = = = Ax, definer τ =tra = ẏ c d y

2 FIXPUNKTER 5 Figur 2: a + d, = det A = ad bc. Egenværdier er λ 1 = τ+ τ 2 4 2,λ 2 = τ τ 2 4 2 (og løsning er x(t) = c 1 e λ1t v 1 + c 2 e λ2t v 2 ). For λ 1 > 0, λ 2 < 0 Saddelpunkt (første løsning vokser eksponentielt, anden aftager eksponentielt) For λ 2 < λ 1 < 0 Stabil node (begge aftager eksponentielt) For λ 1, λ 2 C (neutralt stabilt) Center eller spiral. Hvis Re(λ) < 0 stabil, for Re(λ > 0) ustabil. Figur 3:

3 LUKKEDE BANER 6 Klassifikation 2.3 2 dimensioner - ulineært ( ) ẋ Lad det originale system være = ẏ ( ) ( u x x (x, y ), og sæt = v y y ( ) ( ) f f ( ) u x y u u = = = Ju. v v g x g y ( ) f(x, y) (kaldet OS) med fixpunkt g(x, y) ). Det lineariserede system (LS) er da Man kan se bort fra højereordensled nær FP hvis FP for LS ikke er et grænsetilfælde. I så fald gælder, at hvis FP i LS er saddel, node, spiral, så er det også det samme i OS. Robuste situationer for stabilitet: (λ er er for J) Repellers: Re(λ 1 ) > 0, Re(λ 2 ) > 0 Attraktorer: Re(λ 1 ) < 0, Re(λ 2 ) < 0 Saddelpunkt: Re(λ 1 )Re(λ 2 ) < 0 Marginale situationer: Re(λ 1 )Re(λ 2 ) = 0 Center: λ 1 = ia, λ 2 = ib Højereordens og ikke-isolerede FP: λ 1 λ 2 = 0 3 Lukkede baner Afvisning To hovedmetoder I gradientsystem: Lad V (x) være kontinuert differentiabel skalarfunktion. Hvis systemet kan skrives ẋ = V, er det et gradientsystem. Det har ingen lukkede baner Lyapunovfunktion: ẋ = f(x) med FP x. En Lyapunovfunktion er en kontinuert differentiabel funktion med V (x) > 0 for alle x x, V (x ) =, V (x) < 0 for alle x x. Hvis der findes en Lyapunovfunktion er x globalt asymptotisk stabilt og systemet har ingen lukkede baner (Kræver normalt en rigtig god ide) Eksistens Poincare-Bendixsson: Hvis en bane forløber helt i afsluttet begrænset område uden FP (eller med repellor), så vil banerne konvergere mod lukket bane (se under sætninger) Poincare-snit: Hvis x er FP for Poincaresnit (P (x ) = x efter et tidsrum), så har det originale sytem en lukket bane

4 BIFURKATIONER 7 Index For en lukket bane er I C = +1 For en node er index = +1 For et saddelpunkt er index = 1 For spiraler, centre, degenererede nodes og stjerner er index = +1 Enhver lukke bane i faseplanet omslutter FP, hvis totale (summerede) index er +1 Alle lukkede baner i faseplanet omslutter mindst et FP Hvis en lukket bane i faseplanet kun omslutter et FP, kan det ikke være et saddelpunkt Stabilitet System ẋ = f(x) med lukket bane. Stabilitet kan afgøres fra FP x i poincare-snit S: Lad v 0 være infinitesimal forskydning så x + v 0 S. Det giver x + v 1 = P (x + v 0 ) = P (x ) + [DP (x )]v 0 + O( v 0 2 ), dvs. v 1 [DP (x )]v 0. Her er DP (x ) det lineariserede Poincare-snit ((n 1) (n 1) matrix). Lad λ j være egenværdier herfor (i x ). Den lukkede bane er lineært stabil, hviss λ j < 1 for alle j. (λ kaldes den karakteristiske multiplikator eller Floquet-multiplikatoren) Dissipativt system (volumen aftagende) kan ikke have quasiperiodiske løsninger, og kan ikke have frastødende FP eller frastødende lukkede baner. Alle FP er enten sinks eller sadler, og lukkede baner er enten stabile eller saddel 4 Bifurkationer Saddelpunkt Et stabilt og et ustabilt fixpunkt opstår af stabilt. Normalform ẋ = r ± x 2. Prototype: ẋ = µ x 2, ẏ = y Figur 4:

4 BIFURKATIONER 8 Figur 5: Transkritisk Ændring af stabilitet (switch). Normalform ẋ = rx x 2. Prototype: ẋ = µx x 2, ẏ = y Figur 6: Figur 7: Superkritisk gaffel Subkritisk gaffel Stabilt FP bliver ustabilt og to nye stabile opstår. Normalform ẋ = rx x 3 - det kubiske led stabiliserer. Prototype: ẋ = µx x 3, ẏ = y. Symmetrisk under x x Ustabilt FP bliver stabilt og to ustabile opstår. Normalform ẋ = rx + x 3 - det kubiske led destabiliserer. Prototype: ẋ = µx + x 3, ẏ = y

4 BIFURKATIONER 9 Figur 8: Figur 9: Figur 10: Her eksempel med ẋ = rx + x 3 x 5 Hopf Superkritisk Hopf Subkritisk Hopf Realdel af egenværdi skifter fortegn En stabil spiral bliver ustabil og omkranset af en lille, næsten elliptisk grænsecykel. Eks. ṙ = µr r 3, θ = ω+br 2. Størrelsen af grænsecyklen vokser kontinuert fra 0 og proportionalt med µ µ c for µ tæt på µ c. Frekvensen på grænsecyklen ω Im(λ) i µ = µ c. Periode T = 2π Im(λ) + O(µ µ c) Spring til en fjern attraktor (FP, grænsecykel,, kaotisk). Eks. ṙ = µr + r 3 r 5, θ = ω + br 2

5 ITEREREDE AFBILDNINGER, 1D 10 Figur 11: Figur 12: Degenereret Hopf Typisk, når ikke-konservativt system blive konservativt. Da bliver FP til ulineært center. Eks. ẍ + µẋ + sin x = 0 5 Itererede afbildninger, 1D System Fixpunkt Stabilitet x n+1 = f(x n ) x = f(x ) Lineariser: η n+1 = f (x )η n + O(ηn). 2 Da gælder < 1 lineært stabil λ = f (x > 1 ustabil ) = 1 marginalt tilfælde = 0 superstabilt - af 2-cykler - af n-cykler Periodefordobling Lad f(p) = q, f(q) = p. λ = f (f(p))f (p) = f (q)f (p) Åbenlys generalisering - men kan også bruge Lyapunov-exponent: Stabil hvis λ < 0 superstabil hvis λ = Ved tangentbifurkation:

6 FRAKTAL DIMENSION 11 Figur 13: Universalitet - unimodale afbildninger Periodiske attraktorer opstår altid i samme rækkefølge (U-sekvensen), 1,2,2 2,6,5,3,2 3,5,6,4,6,5,6... Feigenbaums tal (forholdet mellem afstanden mellem bifurkationspunkter; δ = lim n r n r n 1 r n+1 r n = 4.669... d n /d n+1 α = 2.5029... Figur 14: Lad f(x, r) være unimodal afbildning og x m = max f. Lad r n være værdi af r hvor 2 n cykel skabes og R n værdien af r, hvor 2 n -cyklen er superstabil. Der gælder, at enhver superstabil cykel i en unimodal afbildning indeholder x m. Renormalisering: f(x, R 0 ) α n f 2n (x/α n, R n ) 6 Fraktal dimension Similaritetsdimension m antal kopier, r skalafaktor. d = ln m ln r Box-dimension Lad S R D og N(ε) være mindste antal D-dimensionale terninger med side ε, ln N(ε der skal til at dække S. Da er d = lim ε 0 ln(1/ε)

7 NYTTIGE SÆTNINGER 12 Punktvis korrelationsdimension Lad x være på attraktoren A og N x (ε) være det antal punkter på A, der findes i en kugle med radius ε og centrum i x. Ved at variere på ε fås N x (ε) ε d. d er punktvis korrelationsdimension. Den afhænger af x KorrelationsdimensionFind gennemsnit af punktvis korrelationsdimension over mange x. Det giver C(ε) ε d, hvor d er korrelationsdimensionen af A Der gælder, at d corr d box 7 Nyttige sætninger Attraktorer i arealbevarende afbildning Arealbevarende afbildninger kan ikke have attraktorer (herunder strange)- det kræver nemlig dissipation. For at afgøre om en 2d-afbildning ) x n+1 = f(x n, y n ), y n+1 = g(x n, y n ) reducerer areal, opstil J = aftager arealet ( f x g x f y g y. Hvis det(j) < 1 for alle (x, y) Eksistens og System: ẋ = f(x) med x(0) = x 0. Hvis f er kontinuert differentiabel i åben entydighed D R n og x 0 D findes entydig løsning x(t) for t ] τ, τ[ FP på cirkel Index For et vektorfelt på en cirkel kan der findes FP og periodiske løsninger, men ikke samtidig Lad C være glatsimpel lukket kurve. Hvis C kan deformeres kontinuert til C uden at ramme et FP, er I C = I C Hvis C ikke omslutter et FP er I C = 0 I C er bevaret under t t Hvis C er en lukket bane er I C = +1 Index for et punkt er lig med index for en kurve, der omslutter punktet og ikke omslutter et FP For en node er index = +1 For et saddelpunkt er index = 1 For spiraler, centre, degenererede nodes og stjerner er index = +1 Hvis C omslutter n isolerede FP, x 1,..., x n er I C = n i=1 I i Enhver lukke bane i faseplanet omslutter FP, hvis totale (summerede) index er +1 Alle lukkede baner i faseplanet omslutter mindst et FP

8 SJOVE AFBILDNINGER 13 Hvis en lukket bane i faseplanet kun omslutter et FP, kan det ikke være et saddelpunkt Ingen skæring Poincare-Bendixson Forskellige baner skærer aldrig hinanden (ellers ikke entydighed) Hvis en bane forløber helt i afsluttet begrænset område uden FP (eller med repellor), så vil banerne konvergere mod lukket bane Antag, at 1. R afsluttet, begrænset delmængde af R 2 2. ẋ = f(x) kontinuert differentiabel på åben delmængde af R 3. R rummer intet FP for f (eller evt. repeller) 4. Der findes en bane C, der forløber helt i R da er C enten en lukket bane eller den bevæger sig mod en. Dermed har R en lukket bane. - trick - Vigtigt Two-timing Ulineære centre - konservative systemer Ulineære centre - reversible systemer Prøv at finde en trapping region T hvor vektorfeltet peger indad overalt på grænsen. P-B duer kun for dimensioner 2 Lad τ = t være hurtig tid (dvs. O(1)), og T = εt være langsom tid. Antag, at de er uafhængige, dvs. f(t ) konstant på τ. Da er x(t, ε) = x 0 (τ, T ) + εx 1 (τ, T ) + O(ε 2 ) og ẋ = τ x + ε T x = τ x 0 + ε( T x 0 + τ x 1 ) + O(ε 2 ) og ẍ = ττ x 0 + ε( ττ x 1 + 2 T τ x 0 ) + O(ε 2 ) ẋ = f(x), x R 2, f kontinuert differentiabel. Antag, at der findes en bevaret størrelse E(x) og at x er et isoleret FP. Hvis x er et lokalt minimum (ekstremum) for E er alle baner tilstrækkelig tæt på x lukkede. ẋ = f(x), x R 2, f kontinuert differentiabel, x = 0 ulinært center. Antag at systemet er reversibelt. Så er alle baner tilstrækkelig tæt på 0 lukkede 8 Sjove afbildninger Bager Henon Logistiske ([0, 1] [0, 1] [0, 1] [0, 1]: (x n+1, y n+1 ) = (x n+1, y n+1 ) = (y n + 1 ax 2 n, bx n ) x n+1 rx n (1 x n ) { (2xn, ay n ) 0 x n < 1/2 (2x n 1, ay n + 1/2) 1/2 x n 1

9 OPSKRIFTER 14 Lorenz Rössler Telt ẋ ẏ ż ẋ ẏ ż = f(x n ) = = σ(y x) rx y xz xy bz y z x + ay b + z(x c) med σ, r, b > 0 { rx 0 x 1/2 r rx 1/2 < x 1 med 0 r 2, 0 x 1. 9 Opskrifter 1. En-dimensional differentialligning, ẋ = f(x, r). FP:f(x, r) = 0 x (r). Stabilitet: f (x, r) < 0 stabilt, f (x, r) > 0 ustabilt. Bifurkation (saddel, høtyv, transkritisk, etc.) 2. To-dimensional differentialligning, ( ) ẋ = f(x, y), ẏ = g(x, y). FP:f(x, y ) = f/ x f/ y g(x, y ) = 0. J = λ g/ x g/ y 1, λ 2. Hvis en af λ > 0 ustabil. Kun stabil hvis λ 1 og λ 2 < 0. Ind langs stabile egenretning, ud langs ustabile egenretning. Nullclines. Komplekse egenværdier giver spiral. Hvis Re(λ) < 0 stabil, hvis Re(λ) > 0 ustabil. Trapping region: Få tangentvektorer til at pege ind i trapping region 3. To tidsskalaer, ẍ + x + εh(x, ẋ) = (nemlig oscillation og perturbation). T = εt. Basal oscillator: x 0 = r(t ) cos(τ+φ(t )). dr dt = r = h sin θ, rφ = h cos θ - brug (7.53 og metoderne der) 4. Lyapunov-funktion, ẋ = f(x, y), ẏ = g(x, y). Sæt f.eks. V (x, y) = kx 2 + y 2 (en kvadratisk form), og vis, at (for FP = (0,0)) V (0, 0) = 0, V = 2kxẋ + 2yẏ < 0 - sæt ind. I så fald er FP stabil 5. En-dimensional afbildning, x n+1 = f r (x n ). FP:x = f r (x ). Stabil hvis f r(x ) < 1 (ved = 1 marginalt stabil). Periodedobling altid ved f r(x ) = 1. Tocykel: f 2 (p) = p, f 2 (q) = q, f(p) = q, f(q) = p. Superstabilitet: f (x ) = 0 (for to-cykel f (q)f (p) = 0 - her periodedobling ved f 2 (p) = 1