Sætninger og Beviser Frank Villa 12. marts 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.
Indhold 1 Introduktion 1 2 At læse en sætning 1 2.1 Forudsætninger og konklusion........... 2 2.2 Terminologi..................... 4 2.3 Baggrundsviden................... 5 2.4 Forståelse og superhelteevner........... 5 2.5 Et eksempel..................... 6 3 At læse et bevis 8 3.1 Se den røde tråd.................. 9 3.2 Vær glad for formalismen............. 10 3.3 Ideer og tricks.................... 10 4 At formulere en sætning 11 4.1 Bogstavbetegnelser................. 11 4.2 Tegninger...................... 11 4.3 Struktur....................... 12 4.4 Formodninger.................... 12 5 At bevise en sætning 14 5.1 Eksempler...................... 14 5.2 Modeksempler.................... 14 5.3 Beviser....................... 14 6 Bevistyper 15 6.1 Direkte beviser................... 15 6.2 Modstridsbeviser (indirekte beviser)....... 16 6.3 Induktionsbeviser.................. 18 2
6.4 Opdeling i specialtilfælde............. 20 6.5 Opdeling af konklusionen............. 22
Resumé I dette dokument kigger vi på fænomenet sætning og bevis. Vi ser først på hvordan man skal læse sætninger og beviser, og til sidst på hvordan man formulerer (sine egne eller andres) sætninger og beviser dem. 1 Introduktion En matematisk sætning er nok et af de steder i universet hvor mest information er koncentreret på mindst plads. Derfor kan man ikke forvente at læse en matematisk sætning lige så hurtigt som man ville have læst 3-4 linjer tekst i en avis eller en novelle. Vi gennemgår her nogle gode vaner som man bør tillægge sig hvis man vil læse matematiske tekster. Hvis du er vant til at læse stringent og informationspakket tekst (f.eks. regler til meget indviklede spil, instruktionsbøger til komplicerede maskiner eller lovtekster), så vil de fleste af disse råd allerede være naturlige for dig. 2 At læse en sætning Matematisk viden er samlet i såkaldte sætninger. Sætninger er ganske enkelt nogle påstande som vi ved er rigtige 1, og de indeholder de informationer som vi kan bruge til at løse matematiske problemer med. På en måde er navnet sætning lidt fjollet, for en matematisk sætning kan sagtens bestå af flere grammatiske sætninger. Det er med andre ord tilladt at sætte punktummer i en matematisk sætning. Derfor bruger man nogle gange andre ord som f.eks. lemma, proposition eller theorem i stedet for sætning. På den måde 1 Hvis du på et senere tidspunkt kaster dig ud i at lære om udsagnslogik, så vil du forstå hvorfor ordet ved står i anførselstegn. side 1
antyder man også hvor vigtig sætningen er, idet små sætninger, der kun skal bruges til at bevise andre sætninger kaldes for lemmaer (hjælpesætning), mens de rigtigt store, vigtige og fantastiske sætninger kaldes for theoremer. Vi vil dog holde os til at bruge ordet sætning i dette dokument. Når man skal læse en sætning kan det være fristende bare at læse den, trække på skuldrene og tænke Nå."eller ligefrem: Og hvad så?. Hvis man gør det, så kan man være helt sikker på at man har glemt sætningen den dag man lige pludselig får brug for den. Derfor kommer her nogle små tips om hvad man kan gøre for at undgå det. 2.1 Forudsætninger og konklusion En matematisk sætning består altid af to dele: Forudsætninger Konklusion Det allerførste man skal gøre når man læser en sætning er at identificere hvad der er forudsætninger og hvad der er konklusion. Alt efter hvor godt sætningen er formuleret, og hvor kompliceret den er, kan det være mere eller mindre svært. Den simpleste måde at skrive en sætning på er formen: Hvis [forudsætninger], så [konklusion]. Men der findes mange andre varianter. Hvis antagelserne er lidt komplicerede kan det f.eks. være en fordel at bruge formuleringen: Antag at [forudsætninger]. Så gælder [konklusion] Nogle sætninger kan tilsyneladende have tomme forudsætninger. Hvis man f.eks. siger at Et reelt tal opløftet i anden potens bliver aldrig negativt! side 2
så er det hele nærmest en stor konklusion. Men man kan også formulere det samme faktum som at: Hvis x er et reelt tal, så er x 2 0 og så er der pludselig en klar forudsætning og en konklusion. Advarsel: Byt ikke om på antagelserne og konklusionen! Der er stor forskel på om man siger: Hvis du begår et bankrøveri, så skal du tage elefanthue på eller: Hvis du tager elefanthue på, så skal du begå et bankrøveri. Desværre er der mange som ikke er vant til at bruge ordene hvis og så forsigtigt nok, og derfor kan det være en god ide at passe lidt ekstra på i starten. Logikken i en sætning siger at hver eneste gang forudsætningerne er opfyldt, så gælder konklusionen. Eller sagt på en anden måde: Man kan ikke forestille sig en situation hvor forudsætningerne gælder uden at konklusionen også gælder. Til gengæld kan det sagtens tænkes at konklusionen gælder uden at forudsætningerne er opfyldt. Det siger sætningen nemlig ikke noget som helst om. For eksempel er jeg rimeligt overbevist om at følgende sætning er korrekt: "Hvis datoen er d. 29. april, så er der mindst en person i verden som har fødselsdag. Jeg kan endda argumentere for at det er korrekt ved at vise mit eget sygesikringsbevis frem. Men jeg har ikke påstået at: Hvis der er mindst en person i verden som har fødselsdag, så er datoen d. 29. april Faktisk ved jeg ikke om dette er rigtigt eller forkert, men jeg finder det meget sandsynligt at nogen kan modbevise det. side 3
Eksempel 1 (Franks opskrift på lasagne). En anden fejl som rigtigt mange elever laver er at glemme forudsætningerne når de skal fortælle indholdet af en sætning. Hvis man spørger folk hvad Pythagoras sætning siger, så vil mange svare noget i retning af: a 2 + b 2 = c 2 Men det svarer til at give følgende opskrift på hvordan man laver lasagne: Man sætter fadet i ovnen ved 200 C i en halv time Selvom det er en fuldstændig korrekt del af opskriften, så kan den virkelig ikke bruges til meget af folk som ikke kender opskriften i forvejen. Og det er omtrent det samme problem vi har med Pythagoras sætning: Hvis ikke man fortæller at a og b er katetelængder i en retvinklet trekant, og c er længden af hypotenusen, så er det bestemt ikke sikkert at a 2 + b 2 giver c 2. Jeg kunne jo finde på at definere a til at være 1, b til at være 2 og c til at være 100000. Det sidste svarer nok til at folk kunne finde på at lægge mange underlige ting i lasagnefadet hvis ikke man fortalte dem hvad der var det rigtige. 2.2 Terminologi Dernæst gælder det selvfølgelig om at forstå hvad forudsætningerne og konklusionen helt præcis er. Derfor har man brug for at sikre sig at man forstår hvert eneste ord, symbol og begreb som indgår i formuleringen af sætningen. Hvis en sætning f.eks. starter med: Hvis f er en kontinuert funktion... og man ikke ved hvad ordet kontinuert betyder (eller hvad en funktion er, for den sags skyld), side 4
så kan man være helt sikker på at man ikke forstår hvad sætningen siger. 2.3 Baggrundsviden Ofte vil man have stor nytte af at repetere alt hvad man i forvejen ved om alle de begreber der nævnes i sætningen. Som regel kan man godt forstå selve sætningen uden, men for det første bliver det meget lettere at huske sætningen hvis man kan forbinde den med de ting man ved i forvejen. Nogle gange kan man endda opleve at læse en sætning og samtidigt have en fornemmelse i stil med det havde jeg da allerede gættet. For det andet vil meget af ens baggrundsviden sandsynligvis blive brugt i beviset for sætningen. 2.4 Forståelse og superhelteevner Til sidst kommer den sværeste del, nemlig at opbygge sin forståelse af hvad sætningen siger. Dertil kan man benytte et trick, som består i at stille sig selv følgende spørgsmål (og svare på dem): Kan jeg finde et konkret eksempel hvor forudsætningerne er opfyldt? Gælder sætningens konklusion i mit konkrete tilfælde? (Det er ikke sikkert at du kan se om den gør eller ej, men hvis ikke den gør, så har du fundet et modeksempel og dermed er sætningen forkert!) Er det overraskende at konklusionen gælder i det konkrete tilfælde? Hvis jeg fjerner eller ændrer én af forudsætningerne, kan jeg så finde en konkret situation hvor sætningens konklusion ikke holder? Hvad er de mest ekstreme situationer hvor forudsætningerne stadig er opfyldt? Holder konklusionen? Hvilke konsekvenser har sætningen? Kan man i virkeligheden konkludere endnu mere end sætningen gør? side 5
Jeg plejer at bruge et lille hukommelsestrick hver gang jeg møder en ny sætning: Når jeg læser sætningen, så prøver jeg at forestille mig en situation hvor den kunne bruges. Altså: Hvor forudsætningerne er opfyldt, og hvor konklusionen er lige præcis det man har brug for. For at gøre det nemmere at huske kan man forestille sig at man er en superhelt der redder en ellers helt håbløs situation ved at vide at sætningens konklusion gælder 2. 2.5 Et eksempel En spøjs sætning som afslører en dybsindig og overraskende egenskab ved de reelle tal er følgende: Sætning 1 (Archimedes Princip). Hvis I R er et interval som indeholder mere end ét element, så indeholder I både rationelle tal og irrationelle tal. Hvis man skal læse og forstå denne sætning må man igennem alle de tanker som er beskrevet ovenfor. Allerførst identificerer vi forudsætninger og konklusion: Forudsætninger: Det handler åbenbart om et interval i de reelle tal som indeholder mere end 1 element. Konklusion: Konklusionen er at et sådant interval altid indeholder både rationelle og irrationelle tal. 2 Dette trick er meget flot illustereret her. side 6
Terminologi: Dernæst går vi på jagt efter forklaringer af de ord og symboler som vi ikke forstår. Måske skal vi slå op at symbolet betyder en delmængde af, R betyder de reelle tal, at et interval er en delmængde 3 bestående af alle reelle tal mellem en given nedre grænse og en øvre grænse. Og at alt efter om intervallet er lukket, åbent eller halvåbent, vil disse grænser være med i intervallet eller ej. Så skal vi måske også mindes om hvad rationelle og irrationelle tal er. Altså de tal som henholdsvist kan og ikke kan skrives som en brøk (eller hvilket er det samme, som et kommatal der enten har endeligt mange cifre eller er periodisk). Baggrundsviden: Hvis vi overvejer hvad der kunne være relevant baggrundsviden, er der mindst ét resultat som virker oplagt: Nemlig den sætning som siger at 2 ikke er et rationelt tal 4. Forståelse: Det er meget nemt at finde på konkrete eksempler hvor forudsætningerne er opfyldt. F.eks. I = [1; 8] eller eller ligefrem I =] 10; 10[ I =] ; [= R 3 Således har vi faktisk sagt den samme information to gange i formuleringen af sætningen. 4 Læs et bevis for at kvadratroden af 2 er irrationel her side 7
Eftersom 2 (heldigvis) ligger i alle disse eksempler, og man lynhurtigt kan finde er rationelt tal i hver af dem (f.eks. ligger 3 2 i dem alle tre) er sætningens konklusion rigtig i alle disse tilfælde. Hvis man fjerner en forudsætning, f.eks. ved at glemme at intervallet skal have mere end 1 element, kunne man risikere at stå med et interval i stil med: I = [6; 6] Dette interval indeholder ingen irrationelle tal, så her bliver sætningens konklusion forkert. De ekstreme tilfælde er selvfølgelig hvis intervallet bliver meget, meget småt. Allerede hvis intervallet hverken indeholder 2 eller nogen af vores andre (meget få) eksempler på irrationelle tal, bliver det lidt overraskende at sætningens konklusion alligevel skulle holde. Det betyder selvfølgelig ikke at sætningen er forkert, men måske ville vi være nødt til at læse beviset for at blive overbevist. Hvis man grubler lidt over det, opdager man at hvis ethvert interval (med mere end 1 element) indeholder både rationelle og irrationelle tal, så kan man jo tage et givet interval og inddele i lige så mange bittesmå delintervaller som man har lyst til. Og så vil hvert af disse delintervaller indeholde både rationelle og irrationelle tal. Dermed kan man indse at ethvert interval (med mere end 1 element) faktisk indholder uendeligt mange rationelle og uendeligt mange irrationelle tal. Se bare: Næsten 2 siders tanker for at læse 3 linjer. 3 At læse et bevis At læse et bevis er mindst lige så svært som at læse en sætning. Især hvis man er typen som plejer at være tilfreds med begrundelsen sådan er det bare. Det er dog beviserne som gør at matematik er så pålideligt som det er. Og mange matematikere vil sågar påstå at selve den matematiske side 8
videnskab ligger i beviserne ikke i sætningerne 5. Så hvis du gerne vil være god til matematik, så er det faktisk vigtigere at du forstår beviserne end selve sætningerne. Når du skal forstå et bevis, så er der et par tricks som kan gøre det nemmere at navigere rundt i det. 3.1 Se den røde tråd Bevisets opgave er at lave en række klare, logiske argumenter, som viser at hver eneste gang sætningens forudsætninger er opfyldt, så gælder sætningens konklusion. Hvis beviset derfor er skrevet ordentligt ned, så bør du kunne se et overordnet flow i argumenterne, som peger fra forudsætningerne, og fremad imod at konkludere hvad end sætningen gerne vil konkludere. Desuden kan det være en hjælp at holde øje med hvilken strategi argumentet er bygget op over. Der er mange forskellige strategier, men her er navnene på nogle af de mest anvendte: Direkte bevis Modstridsbevis Induktionsbevis Inddeling i specialtilfælde Inddeling af konklusionen Du kan læse mere om hver af disse strategier i det sidste afsnit, hvor vi ser på hvordan man selv gennemgår (eller ligefrem laver) et bevis. 5 Dette er en fordansket version af hovedbudskabet i den berømte artikel Why do we prove Theorems af Yehuda Rav i Philosophia Mathematica (1999, 7, pp. 5 41). side 9
3.2 Vær glad for formalismen Når man har læst et par beviser opdager man at det er de samme formuleringer som går igen hele tiden. Dette skyldes ikke at matematikere har specielt dårlig fantasi, men derimod at man som læser kan lære at bruge disse standardfomuleringer til at læse beviset meget mere effektivt. Her er en lille samling af standardformuleringer som du vil finde i mange beviser: Antag at... Bruges meget ofte til at starte beviset. Vi starter med at antage (= forestille os ) at sætningens forudsætninger er opfyldt. Eftersom... har vi:... Dermed har vi:... 3.3 Ideer og tricks Mange beviser kommer på et tidspunkt til et sted, hvor man pludselig får lyst til at gøre et eller andet som kan virke fuldkommen tilfældigt. Det kunne f.eks. være at lægge et tal til på begge sider af et lighedstegn, eller skrive +0 et eller andet sted. I disse tilfælde kan det være fristende at spørge hvorfor i alverden man får lyst til lige netop dette. Men her er en god nyhed: Det behøver man faktisk ikke altid at forstå! Så længe man kan se at det som foregår er lovligt (f.eks. er det jo fuldkommen rigtigt at et udtryk er præcis det samme hvis man ganger det med 1) er det faktisk det eneste man behøver for at forstå beviset. Man kan godt lege at disse trick er noget man gør fordi man bliver ramt af en guddommelig inspiration. Senere kan det dog være utroligt spændende at undersøge hvordan man bærer sig af med at få en sådan ide, fordi man på den måde kan lære at lave sine egne beviser. Men det er ikke noget som man kan give en opskrift på. side 10
4 At formulere en sætning 4.1 Bogstavbetegnelser Ufatteligt ofte hører man både elever og lærere citere Pythagoras sætning som at a 2 + b 2 = c 2 Dette er noget forfærdeligt vrøvl, hvis man ikke siger andet! Hvis f.eks. a = 6, b = 7, og c = 299792458, så er a 2 + b 2 absolut ikke det samme som c 2. Det som mangler i ovenstående udtalelse er selvfølgelig en forklaring af at bogstaverne a, b og c skal betegne sidelængder i en retvinklet trekant. Mere præcist skal a og b være længder af kateterne (de to sider som udgår fra den rette vinkel), og c være længden af hypotenusen (den side som ligger over for den rette vinkel) i en retvinklet trekant. Man kan altså aldrig nogen sinde formulere en matematisk sætning, hvori der indgår bogstavbetegnelser uden at man først oplyser hvad disse bogstavbetegnelser dækker over. Når man har vænnet sig til denne tanke, så indser man noget dejligt befriende: Nemlig at bogstavnavnene i Pythagoras sætning overhovedet ikke behøver at være a, b og c. Hvis f.eks. f og y er katetelængder i en retvinklet trekant hvor hypotenuselængden er r, så siger Pythagoras sætning at: f 2 + y 2 = r 2 Bogstaverne er simpelt hen pladsholdere og intet andet. 4.2 Tegninger En tegning kan være en meget stor hjælp til at vise betydningen af de bogstaver som indgår i sætningen. Man skal bare passe på, fordi en tegning næsten aldrig kan være generel nok til at dække alle de tilfælde man ønsker at sætningen skal handle om. side 11
4.3 Struktur Mere generelt kan man sige at en velformuleret matematisk sætning altid skal opbygges på følgende måde: 1. Forudsætninger: Hvor man gør det fuldstændig klart hvilke situationer sætningen udtaler sig om. Undervejs indføres eventuelle bogstavnavne til de størrelser som det handler om. Denne del starter meget ofte med formluleringer som: Hvis... Hver gang... Alle... hvor.... 2. Konklusion: Hvor sætningens egentlige indhold formuleres. Som regel består konklusionen af en eller anden sammenhæng (ofte formuleret som en ligning eller en ulighed) mellem de størrelser som er navngivet under det første punkt. Jo mere overraskende konklusionen er, set i forhold til forudsætningerne, desto mere interessant er sætningen. Denne del vil meget ofte starte med formuleringer som: så er... så gælder at... opfylder at... 4.4 Formodninger En sætning som endnu ikke er blevet bevist af nogen, men som der heller ikke er nogen der kan finde et modeksempel på kaldes en formodning eller nogle gange en hypotese. Det betragtes som noget af det allersejeste man kan gøre som matematiker at fremsætte en formodning som er: Interessant (hvis den handler om nogle begreber som mange mennesker kender og interesserer sig for.) side 12
Overraskende (hvis det forekommer helt urimeligt at dens konklusion skulle holde i enhver situation der passer med dens forudsætninger.) Plausibel (hvis der findes masser af eksempler på situationer hvor den er rigtig, mens ethvert forsøg på at finde modeksempler har slået fejl.) Svær (hvis ethvert forsøg på at bevise den viser sig at have huller i form at konklusioner som ikke er tilfredsstillende begrundet.) Et meget berømt eksempel på en formodning, der tog flere hundrede år at bevise (og dermed lave om til en egentlig sætning ) er den såkaldte Fermat s sidste sætning. Navnet skyldes at den matematiker (Pierre de Fermat) som den er opkaldt efter, skrev den i marginen på en bog, sammen med en bemærkning om at han havde lavet et nydeligt lille bevis for den, som der desværre ikke var plads til lige her. Hvorefter han døde 6 og efterlod sig et kæmpe arbejde med at bevise den. Påstanden lyder i al sin enkelhed at hvis n er et naturligt tal, der er større end 2, så findes der ingen hele tal, a, b og c som alle er forskellige fra 0 og hvor a n + b n = c n Der findes masser af andre eksempler på berømte formodninger. Mange af disse er endnu ikke bevist den dag, hvilket er grunden til at der stadig forskes i matematik 7. 6 Historien er nok fremstillet lidt mere dramatisk her end den i virkeligheden er 7 Faktisk er der en ubehagelig tendens til at hver gang en formodning bliver bevist, så opstår der adskillige nye formodninger. side 13
5 At bevise en sætning Når man så skal bevise en sætning, så skal man altså argumentere for at hver eneste gang forudsætningerne er opfyldt, så gælder konklusionen. 5.1 Eksempler Det er altså ikke nok at demonstrere en enkelt situation hvor forudsætningerne er opfyldt og hvor konklusionen holder. (Dette kaldes at eksemplificere sætningen). I tilfældet med Pythagoras er det f.eks. ikke nok at tage fat i en konkret retvinklet trekant, måle sidelængderne og vise at de hænger sammen på rigtige måde. Alligevel kan det være en rigtig god ide at eksemplificere en sætning for at forstå hvordan den virker, og måske for at begynde at tro på at sætningen gælder (Man kalder det også at plausibelgøre sætningen når man giver et eksempel som får folk til at tro på den.) 5.2 Modeksempler Hvis man derimod kan finde bare ét eneste eksempel hvor sætningens forudsætninger er opfyldt, og hvor konklusionen ikke holder, så siger man at man har fundet et modeksempel til sætningen. I det tilfælde kan man godt opgive at bevise sætningen, for så er den nemlig forkert. Ofte er det en god ide at lede efter modeksempler til en sætning inden man prøver at bevise den. Når man ikke kan finde et modeksempel, så får man nemlig en fornemmelse af hvorfor sætningen er rigtig, og det er præcis hvad man skal bruge hvis man skal finde på et bevis. 5.3 Beviser Et korrekt bevis vil være et logisk argument som overbeviser selv den mest kritiske læser om at hver eneste gang man har en situation side 14
som beskrevet under forudsætning delen, så gælder konklusionen. Det kan godt være at man vælger at illustrere sine argumenter med udgangspunkt i et eksempel (f.eks,. en tegning af en trekant), men så skal man være sikker på at præcis de samme argumenter kunne gentages hvis man tog udgangspunkt i et andet eksempel. Ellers er det omtrent lige så svært at sige noget klogt om hvordan man laver beviser som det er at fortælle hvordan komponerer musik. 6 Bevistyper Når man skal lave et bevis, så er der forskellige skeletter som man kan opbygge sin argumentation efter. Lad os slutte af med at se på nogle af de mest almindelige af disse og hvad de hver især kan bruges til. 6.1 Direkte beviser Et direkte bevis den mest almindelige form for argumentation. Man starter ved sine forudsætninger, og konkluderer sig fremad skridt for skridt, indtil man ender ved konklusionen. Sætning 2. Hvis x er et hvilket som helst reelt tal, så er (x 1)(x + 1) 1 Bevis. Vi omskriver på udtrykket ved hjælp af den tredie kvadratsætning: (x 1)(x + 1) = x 2 1 = ( 1) + x 2. Eftersom x 2 aldrig er negativt, kan vi konkludere at: ( 1) + x 2 ( 1) + 0 = 1 side 15
Dette var netop påstanden. 6.2 Modstridsbeviser (indirekte beviser) Et modstridsbevis (eller som det også kaldes: et indirekte bevis ) benyttes som regel når man vil argumentere for en påstand, hvor den modsatte påstand er lettere at tænke på end selve påstanden. Den logiske fremgangsmåde er, at man først antager at det modsatte gør sig gældende, og derefter viser at denne antagelse leder frem til en konklusion som under ingen omstændigheder kan være rigtig. En sådan konklusion kaldes en modstrid. Når antagelsen om den modsatte påstand leder til en modstrid, kan den ikke være rigtig, og derfor må den oprindelige påstand være rigtig i stedet for. Eksempel 2. Argumentationsformen, hvor kryptisk det end lyder, bruges faktisk flittigt i dagligdagen. Hver gang man starter en begrundelse med fordi ellers... laver man faktisk et lille modstridsargument. Når man f.eks. siger: Det er nyttigt at lære matematik, fordi ellers ville det ikke have overlevet som videnskab i 3000 år. så opstiller man først en påstand, nemlig at det er nyttigt at lære matematik. Derefter antager man et øjeblik det modsatte, nemlig at matematik var ubrugeligt, og påpeger at dette strider mod hvad man i øvrigt ved er rigtigt. Modstridsbeviser kan være lidt svære at vænne sig til, fordi det kan virke som snyd at man kun argumenterer for at alternativet ikke er rigtigt. F.eks. er følgende argument overhovedet ikke (logisk) acceptabelt: Alle dyr kan flyve, fordi hvis ingen dyr kunne flyve, så ville der ikke findes fugle side 16
Men her har vi også snydt helt vildt med at lave den modsatte påstand helt forkert. Alle dyr kan flyve er nemlig ikke det modsatte af ingen dyr kan flyve. (Fordi der findes muligheder som ikke falder ind under nogen af disse påstande; nemlig at nogle dyr kan flyve, mens andre ikke kan.) Man skal altså øve sig i den ædle kun at lave modsatte påstande. Det kaldes at negere 8 udsagn med et fint ord 9. Som et matematisk eksempel kan vi prøve at bevise følgende vigtige sætning om primtal 10 : Sætning 3. Der findes uendeligt mange primtal. Bevis. Antag (for modstrid) at der kun findes endeligt mange primtal. I så fald kan vi nummerere dem: p 1, p 2,..., p N, hvor N N altså angiver antallet af primtal. Betragt nu tallet: (p 1 p 2 p 3 p N ) + 1 (Altså alle primtallene ganget sammen, plus 1.) Der er ingen af primtallene som går op i dette tal (det giver altid 1 til rest hvis man dividerer et af primtallene op i det). Derfor må tallet selv være et primtal ifølge sætningen om entydig primfaktorisering. Eftersom tallet er større end alle de andre primtal, har vi altså lavet et nyt primtal. Men det giver en modstrid fordi vi jo antog at der ikke var andre primtal end p 1, p 2,..., p N. 8 Udtales med hårdt g. 9 Du kan læse mere om negation af logiske udsagn her. 10 Læs mere om primtal her side 17
6.3 Induktionsbeviser Induktionsbeviser er en ret finurlig form for beviser, og de skal ikke bruges særligt meget på gymnasieniveau. Så hvis du synes at dette afsnit er for svært, så kan det godt springes over. Induktion kan benyttes når man vil argumentere for en påstand som involverer et vilkårligt 11 naturligt tal. Et eksempel på en sådan påstand er følgende sætning: Sætning 4. Hvis n er et naturligt tal, så kan summen af alle de naturlige tal fra 0 til n udregnes på følgende måde: n k = k=0 n(n + 1) 2 For eksempel siger sætningen at summen af de 100 første naturlige tal er lig med: 100 0 + 1 + 2 +... + 99 + 100 = k = k=0 100 101 2 = 5050. 12 Det er utroligt nemt at se at sætningen er rigtig hvis n er et af de første naturlige tal: 11 Ordet vilkårligt betyder noget i retning af ikke nærmere bestemt, og det kan som regel erstattes med hvilket som helst. 12 Resultatet kaldes for Gauss additionsformel, og den er opkaldt efter en af alle tiders største matematikere, Carl Friedrich Gauss. Legenden fortæller at Gauss som 8 årig var en rigtig irriterende elev i matematiktimerne, fordi han altid var færdig med opgaverne inden de andre elever var gået i gang. På et tidspunkt forsøgte læreren at holde ham beskæftiget ved at bede ham om at lægge de 1000 første naturlige tal sammen. Men i stedet for at gå i gang med den besværlige udregning opfandt lille Carl Friedrich den ovennævnte formel og kunne efter ganske få sekunder fortælle læreren det rigtige resultat. side 18
Hvis n = 0, siger sætningen bare at 0 er lig med 0 1 = 0, og det er 2 jo rigtigt nok. Hvis n = 1, siger sætningen at 0 + 1 er lig med 1 2 = 1, og der er 2 jo også rigtigt. Hvis n = 2, siger sætningen at 0 + 1 + 2 er lig med 2 3 = 3, og det 2 er sandelig også rigtigt. Et induktionsbevis fungerer på følgende måde: I stedet for at bevise sætningen for et naturligt tal af gangen, sådan som vi gik i gang med ovenover (man bliver jo aldrig færdig på den måde!), så beviser man først sætningen for de første mulige værdier af n, og derefter giver man en opskrift på hvordan man altid kan komme videre fra at have bevist sætningen for en bestemt værdi af n til også at vise den for den næste værdi af n. På den måde har man i princippet vist sætningen for enhver værdi af n. Hvis man for eksempel har brug for at kende sætningen for n = 1000, kan man jo bare sætte sig ned og følge opskriften 1000 gange, og til sidste konkludere at sætningen er rigtig for n = 1000. Lad os som et eksempel bevise Gauss additionsformel: Bevis. Sætningen er klart rigtig for n = 0, n = 1 og n = 2. Antag nu at vi har vist sætningen for en bestemt værdi af n. Lad os kalde denne værdi for n ok. Vi ved altså at: n ok k=0 k = n ok(n ok + 1) 2 Vi vil nu give en opskrift på hvordan sætningen kan bevises for den næste værdi af n. Lad os kalde denne værdi for n næste. Altså: Vi ser på summen: n næste k=0 n næste = n ok + 1 k = 0 + 1 + 2 +... + n ok + n næste side 19
Det smarte er nu at summen af alle leddene, undtagen det allersidste, jo lige præcis er den sum som vi ved hvordan man regner ud. Vi kan derfor omskrive: n ok 0 + 1 + 2 +... + n ok + n næste = k + n næste (1) k=0 = n ok(n ok + 1) + n næste (2) 2 = n ok n næste + n næste (3) 2 = n ok n næste + 2 n næste 2 = (n ok + 2) n næste 2 = (n næste + 1) n næste 2 (4) (5) (6) Og det er jo præcis sætningens påstand for den næste værdi af n. 6.4 Opdeling i specialtilfælde Nogle gange er man nødt til at behandle enkelte specialtilfælde for sig selv, fordi de argumenter som virker i visse situationer ikke giver mening i andre. Et godt eksempel på sådan en situation kommer når man skal bevise den såkaldte nulregel: Sætning 5 (Nulreglen). Hvis x og y er reelle tal, og x y = 0 side 20
så er enten eller (eller begge dele). x = 0 y = 0 Bevis. Antag at x og y er to reelle tal, hvor x y = 0 Vi inddeler nu denne antagelse i to tilfælde: x er nul x er ikke nul Det er klart at disse to tilfælde tilsammen dækker enhver situation. Antag først at x er nul. I så fald er det ufatteligt nemt at konkludere at enten x eller y (eller eventuelt dem begge) er nul. For x er jo nul. Antag derefter at x ikke er nul. Det giver os en fordel, nemlig at vi er sikre på at vi må dividere med x. Så vi vidste jo at: x y = 0 Hvis vi dividerer begge sider af dette lighedstegn med x, så får vi: dvs. x y x = 0 x y = 0 Og dermed kan vi konkludere at i dette tilfælde er det y som er nul. Vi har således vist at uanset hvilket af de to tilfælde som forekommer, så er enten x eller y (eller eventuelt dem begge) nødt til at være nul. side 21
6.5 Opdeling af konklusionen Andre gange kan det være at sætningens konklusion er så stor og voldsom at det kan være svært at argumentere for det hele på en gang. I disse tilfælde kan man vælge at dele konklusionen ind i flere dele som tilsammen siger hele konklusionen. Og så er ideen at hver af disse side 22