Homografier Möbius transformationer Følgende tema, handler om homografier, inspireret af professor Børge Jessens noter, udgivet på Københavns Universitet 965-66. Noterne er herefter blevet bearbejdet og tilpasset gymnasiet, men kan også bruges i den indledende matematik-undervisning på universitetet. Ved en homografi (eller en homografisk transformation eller Möbius transformation) forstås en afbildning bestemt ved en funktion a z + b w = f z = c z + d, () a b hvor a, b, c og d og matricen c d er regulær (dvs. at talparrene ( ab, ) og ( c, d) er lineært uafhængige)). At matricen er regulær kan også udtrykkes ved, at determinanten a d b c 0. Øvelse Vis, at to talsæt (,,, ) og og kun hvis de er proportionale. a b c d (,,, ) 2 2 2 2 a b c d bestemmer samme funktion, hvis Behovet for betingelsen som a d b c 0 i ligning (), kan ses ved at skrive f ( z ) a b c a d f ( z) = +, med c 0, c c c z + d (2) eller ved at bemærke, at ( z) f = a d b c ( c z + d). 2 (3) Ligning (2) viser nødvendigheden af betingelsen a d b c 0, som følge af at f ( z ) ikke degenererer og afbilder ethvert punkt z over i punktet w = a c. Hvis c = 0 reduceres transformationen til den lineære transformation (se punkt nedenfor). Resultatet i ligning (3), viser at betingelsen a d b c 0, er nødvendig for at afbildningen er konform.. Hvis c = 0 drejer det sig om funktionen a b w = f ( z) = z a z b, c + c = + hvor a 0.
Hvis a = og 0 er dette den identiske afbildning f z = z. Hvis a = og b 0 er det den ved b bestemte parallelforskydning, som ikke har noget fikspunkt. Hvis a, har afbildningen det ved ligningen w0 = a z0 + b b bestemte fikspunkt z0 =. Ligningen w = a z + b antager ved subtraktion a af w0 = a z0 + b formen b = w w = a z z 0 0, ia og sættes a = r e (altså r a a = arg a ), ser man, at afbildningen er den ligedannethed, der beskrives ved, at z 0 går over i sig selv, og at enhver vektor z z 0 går over i den vektor w w0, der fås ved at multiplicere vektoren med r og dreje den en vinkel a. Vi siger at afbildningen, er sammensat af en homoteti ud fra z0 i forholdet r og en drejning om z0 med drejningsvinklen a (rækkefølgen af de to transformationer er ligegyldig). Er a reel og > 0, falder drejningen bort, a =, falder homotetien bort. Er a reel og < 0, kan vi vælge a = π, og drejningen er ensbetydende med en spejling i. = og Øvelse 2 Vis, at f er en bijektiv afbildning af på. Den omvendte afbildning bestemmes ved b. a a z = f w = w Den er altså en homografi af samme type. z 0 Øvelse 3 Vis, at ovenstående udtryk stemmer. 2. Hvis c 0, er funktionen kun defineret for d z c Øvelse 4 Vis, ved løsning efter z fås for d w + b z = f ( w) =. c w a w a c 2
Ved w f ( z) afbildning z f ( w) = afbilder d \{ } altså bijektivt på { } c \ a c, og den omvendte = er en homografi af samme type. Man frigør sig for undtagelsespunkter ved at udvide med et uendeligt fjernt punkt til, idet man sætter f c f a = og =. d c Herved bliver f en bijektiv afbildning af på. Øvelse 5 Vis, at f bliver en bijektiv afbildning af på. Bemærk a At f ( ) =, kan vises ved følgende omskrivning: c a + ( b z) f ( z) = går mod værdien a for z gående mod uendelig. c c + d z Herved bliver den omvendte afbildning en udvidelse og der gælder, at a d f = og f =. c c 3. Den udvidede plan anskueliggør man sig ved, at man anbringer en kugleflade S med en diameter på med sydpolen i z = 0 og projicere på S fra nordpolen. Ved denne stereografiske projektion afbildes bijektivt på S \ nordpolen, og man fastsætter nu nordpolen som billede af. Se figur 3 for { } en grafisk fremstilling. At kuglen netop placeres med sydpolen i z = 0 og at dens diameter vælges til er z z = afbildes i naturligvis underordnet. Herved opnås, at enhedscirklen { } kuglens ækvator. 4. Indførelsen af giver anledning til, at vi også i tilfældet c = 0, altså for en funktion w = f z = a z + b med a 0 går over til, idet vi fastsætter f =. Herved bliver f en bijektiv afbildning af på. For den omvendte betyder udvidelsen, at f b a afbildning z = f w = w =. Herefter må a det ovenfor gjorte udsagn vedrørende fikspunkter modificeres, idet vi nu i tilfældet a =, b 0 (parallelforskydningen) får det ene fikspunkt, og i b tilfældet a (ligedannetheden) får de to fikspunkter z0 = og. a Bemærk, at formelparret 3
a z + b c z d = = og z f ( w) + w f z d w + b = = c w a a b også gælder, når c = 0. Vi har blot ovenfor i dette tilfælde sat = a d og = b d (eller, hvad der kommer ud på det samme, valgt d = ). Efter den foretagne udvidelse har vi formuleret følgende Sætning Enhver homografi er en bijektiv, kontinuert afbildning af på. Bevis I det følgende vil vi stadig operere med udvidelserne til, men vi vil, for ikke at besværliggøre fremstillingen urimeligt, i regningerne se bort fra punktet og i reglen udelade de trivielle fortolkninger, som er nødvendige for dette pinks vedkommende. Vi kan tillade os dette, idet der i de regninger, vi kommer til at udføre, altid kun vil være et endeligt antal punkter for hvilke de ikke har mening, og resultaterne udstrækkes på grund af afbildningernes bijektivitet og kontinuitet umiddelbart til også at omfatte disse punkter. q.e.d. Sætning 2 Homografierne udgør en transformationsgruppe i. Bevis Vi har allerede vist, at den omvendte afbildning til en homografi er en homografi. Det drejer sig derfor om at vise, at når f og g er homografier, er også f g en homografi. Dette ses af, at vi ved sammensætning af får a z + b w = f z = c z + d a t + b c z + d 2 2 og z = g( t) = 2 2 a3 t + b w = f g( t) = c z + d 3 3 3, hvor a3 b3 a b a2 b2. c d = c d c d 3 3 2 2 q.e.d. Øvelse 6 Indtast f og Sætning 3 g i et Cas-program og find f g( t ). Enhver homografi w f ( z) et eller to fikspunkter i. a z + b = =, som ikke er den identiske afbildning, har c z + d 4
Bevis Hvis c = 0, altså f ( z) = a z + b, har f som foran bemærket intet eller et fikspunkt i, eftersom α = eller a, og desuden fikspunktet. Hvis c 0, har f ikke til fikspunkt, og fikspunkterne i bestemmes ved a z + b z =, eller c z + d 2 c z a d z b = 0, der er altså et eller to, eftersom diskriminanten ( a d) 2 4 b c + er = 0 eller 0. q.e.d. Ovenfor så vi at sammensætning af Möbius transformationer igen er en Möbius transformation (se sætning 2)). Hvis der findes en identisk afbildning (kaldet det neutrale element), kan man vise, at vi får en gruppe. Øvelse 7 I algebraen taler vi om en gruppe. Möbius transformationer med kompositionen sammensætning er en gruppe. Kontroller om disse er opfyldt for en Möbius transformation. Den gruppe er meget interessant for både matematik og fysik. Øvelse 8 Betragt funktionen z i w = f ( z) = z + i Vis, at den inverse funktion er i ( w + ) z =. w Tegn funktionen, når du afbilder punkterne 0, i, z, i. Eksempel 3 Til den komplekse 2 2 matrix a c b d med determinant a d b c 0 tilordnes en rational funktion z w af form a z + b w =, a d b c 0 c z + d 5
som kaldes en Möbius transformation. Den er defineret for z, hvor c z + d 0 og har billede w, hvor c w+ a 0. Der er en invers transformation z d w b = c w + a Som også er en Möbius transformation. Det følger af, at sammensat funktion igen er en Möbius transformation, og på matrixform er koefficienterne i sammensætning givet ved matrixmultiplikation (se sætning 2). 6
Opgaver Opgave En Möbius transformation fører cirkler og linjer i den komplekse plan i cirkler og linjer, men bevarer ikke altid type eller centrum. Benyt fx omskrivningen a z + b a a d b c =, for c 0. c z + d c c c z + d Opgave 2 Vis, at Möbius transformationen w = z er en bijektiv afbildning af fraregnet 0 på sig selv. For reelle tal a > 0 afbildes cirklen med centrum i a og radius a z a = a på den lodrette linje gennem 2 a Re w = 2 a og omvendt da transformationen er sin egen inverse. Opgave 3 Vis, for a < er Möbius transformationen z a w =, a z en bijektiv afbildning af cirkelskiven z på sig selv. Opgave 4 Vis, at möbius transformationerne z i, i w z w + = = i z + i w + giver en bijektiv afbildning z Im z > 0 w w <. { } { } 7
2. Dobbeltforhold I det videre studium af homografierne spiller begrebet dobbeltforhold en afgørende rolle. Ved dobbeltforholdet af de fire tal z, z, z2,, af hvilke z, z2, er indbyrdes forskellige, forstås tallet 2 [ zz z z ] = 2 3 z z z z z z z z 3 2 3 hvis z, z2, alle er ; henholdsvis z, z2, er, skal udtrykket på højre side (naturligvis) erstattes med henholdsvis z z2 z z z2,,. z z z z z z 2 3 3 Man ser, at w = f ( z) = [ z z z2 ] i alle tilfælde er en homografi, og at f ( z ) =, f ( z ) =. 2 0 3 Sætning 4 Til tre indbyrdes forskellige punkter z, z2, punkter, 2, 3 findes en og kun en homografi z, z2, i w, w2, w 3, dvs. for hvilken f z = w, f z = w, f z = w 3. f z =, og tre indbyrdes forskellige w w w w f ( z) 2 2 3 Bevis Vi danner de dobbeltforholdene bestemte homografier [ ] [ ] t = g z = z z z z og t = h w = w w w w. Da fører g punkterne 2 3 2 3 z = z, z, z over i t =, 0,, og 2 3 h =, der afbilder fører punkterne t =, 0, over i w = w, w2, w3. Altså fører w = h g punkterne z = z, z2, over i punkterne w = w, w, w. 2 3 Hvis to homografier f og f 2 begge fører z, z2, over i w, w2, w3, vil f2 f have de tre fikspunkter z, z2, og vil altså ifølge sætning 3 være den identiske afbildning. Altså er f = f. q.e.d. 2 8
Sætning 5 Enhver homografi er dobbeltforholdstro, dvs. hvis den fører z0, z, z2, (hvor z, z2, er indbyrdes forskellige) over i w0, w, w2, w 3 (hvor følgelig w, w 2, w 3 er indbyrdes forskellige), gælder [ z z z z ] [ w w w w ] = (4) 0 2 3 0 2 3. Bevis Når, z, z2, går over i w, w2,, er ifølge beviset for sætning 4 3 sammenhørende punkter z og w netop bestemt ved, at g( z) = [ z z z2 ] og h w = w w w w har samme værdi t. [ ] 2 3 Ved en almindelig cirkel i forstås en sædvanlig cirkel i udvidet med punktet. Man ser, at der gennem tre indbyrdes forskellige punkter z, z2, går en og kun en almindelig cirkel. Vi vil vise, at denne cirkel er mængden af punkter z, for hvilke værdien af dobbeltforholdet [ zz z2 z 3] er et reelt tal eller. Dette er ensbetydende med at sige, at cirklen ved den ved dobbeltforholdet bestemte w = f z = z z z z afbilder på den reelle akse udvidet med. homografi [ ] 2 3 Vi betragter først det tilfælde, hvor cirklen er en sædvanlig cirkel (se figur). z2 α π α α + π z For z = z2, har [ zz z2 z 3] værdierne 0,. Vi skal altså vise, at cirklen eksklusive punkterne z2, er mængden af de punkter z, for hvilke z z2 z z2 [ zz z2 ] \{ 0}, dvs. for hvilke = k, hvor k \{ 0}. z z z z 3 3 9
z z Tallet 2 har argumentet α 0, π. De søgte punkter er de punkter z z2,, z z z2 for hvilke har enten argumentet α eller α + π? Punktet hører ikke til z disse. Ifølge sætningen om synsvinkelbuer udgør de første den bue z2, af cirklen, der ikke indeholder, de andre den bue z, z af cirklen, der ikke z 2 3 z z2 indeholder z. Ved også at betragte ser man, at når z gennemløber z cirklen fra til i den ved, z2, z, z 3 bestemte retning, vil [ zz z2 z 3] gennemløbe den reelle akse i positiv retning. Vi betragter dernæst det tilfælde, hvor cirklen er en ret linje udvidet med. Hvis z z z, z2,, har 2 argumentet 0 eller π. Det gælder derfor om at søge de z z z2 punkter z z2,, for hvilke har argumentet 0 eller π? Disse udgør netop z linjen eksklusive punkterne z2,. Man ser, at når z gennemløber linjen fra gennem til i den ved, z2, z, z 3 bestemte retning, vil [ zz z2 z 3] gennemløbe den reelle akse i positiv retning. De tilfælde, hvor cirklen er en ret linje udvidet med, og henholdsvis z, z2, er, behandles på tilsvarende måde. q.e.d. Sætning 6 Enhver homografi er cirkeltro, dvs. billedet af enhver almindelig cirkel er en almindelig cirkel. Bevis Lad z, z2, være indbyrdes forskellige punkter på den almindelige cirkel og w, w2, w 3 deres billeder. Det til et punkt z svarende punkt w er da ifølge sætning 5 bestemt ved, at [ zz z2 ] = [ ww w2 w3 ]. Da cirklen består af de punkter z, for hvilke [ zz z2 z 3] er reel eller, består af de punkter z, for hvilke [ ww w2 w 3] er reel eller? Billedet er altså netop den almindelige cirkel gennem w, w, w. q.e.d. 2 3 0
Sætning 7 a z + b Enhver homografi w = f ( z) = er vinkeltro (med bevarelse af c z + d orienteringen). I denne forbindelse må vi nødvendigvis se bort fra punktet, dvs. vi må for c = 0 nøjes med at betragte f som en afbildning på, for c 0 som en afbildning d af \ på \ a. c c Bevis Funktionen f er holomorf, og dens afledede er f ( z) a d b c = ( c z + d) 2, som er 0. Vi ved fra tidligere, at betingelsen a d b c 0 er nødvendig for at afbildningen er konform. Det nærmere studium af den ved en homografi bestemte afbildning knyttes til bekvemt til fikspunkterne. = med to fikspunkter z0 og z. Hvis et af fikspunkterne, fx z, er, er afbildningen af typen = = +, a, og bestemmes også ved w z0 = a ( z z0). Den er da en ligedannethed. A. En homografi w f ( z) w f ( z) a z b Øvelse 9 Undersøg hvorfor det er en ligedannethed. Hvis begge fikspunkter er z z0 t = h( z) =. z z For denne gælder, vi nu for et givet w z0 s = h( w) =, w z ser vi, at s og t er forbundet ved, indfører vi som hjælpefunktion homografien h( z 0 ) = 0 h( z ) = og altså h ( 0 ) z 0, h z foruden t = h( z) det til w f ( z) s = h f h t = f t. = =. Betragter = svarende punkt z
= gælder f =, For denne homografi f h f h 0 0 f =. Den har altså de to fikspunkter 0 og og åbenbart ikke andre og er derfor af formen s = f t = a t, a. Afbildningen w = f z er derfor bestemt ved, at w z z z w z z z 0 0 = a. ia = Sættes α r e, er afbildningen s = f t = a t sammensat af den ved r bestemte homoteti ud fra 0 og den ved a bestemte drejning om 0. Bestemmes t ved t = k, arg t = θ, er s altså bestemt ved s = r k, arg s = θ + α. w s z0 α z α z α 0 t Ved afbildningen z z z z 0 = k z = h t går den ved t = k bestemte cirkel over i den ved bestemte forholdscirkel hørende til og, og den ved z0 z arg ( t ) 0 bestemte halvlinje går over i den ved arg z z = θ bestemte synsvinkelbue z z hørende til z0 og z. Vinkeltroskaben viser, at forholdscirklerne og synsvinkelbuerne skærer hinanden ortogonalt. Tilsvarende går ved afbildningen w z0 w = h ( s) den ved s = r k bestemte cirkel over i den ved = r k bestemte w z = θ 2
0 forholdscirkel, og den ved arg w z w z bestemte synsvinkelbue. Vinkeltroskaben viser, at denne i z0 og z danner vinklen α med den forrige. Afbildningen w = f ( z) kan derfor beskrives ved hjælp af forholdscirklerne og synsvinkelbuerne hørende til fikspunkterne z0 og z. Man kan kort sige, at den fremkommer ved at underkaste ligedannetheden s = f ( t) = a t transformationen h. Formelmæssigt udtrykkes det sagte ved at w z0 z z0 w z0 z z0 = r,arg = arg + α. w z z z w z z z Hvis a =, går hver forholdscirkel over i sig selv; afbildningen kaldes elliptisk. Hvis a er reel og > 0, går hver synsvinkelbue over i den modsatte synsvinkelbue (den, der sammen med buen udgør en cirkel); afbildningen kaldes hyperbolsk. I alle andre tilfælde kaldes afbildningen laxodromisk. w = f z = a z + b, a. Disse bemærkninger benyttes også for afbildningen B. Homografi w = f ( z) med et fikspunkt z 0. Hvis z 0 =, er afbildningen af typen w = z + b, b 0, altså en parallelforskydning. Hvis z, indfører vi som hjælpefunktion homografien 0 t = h ( z ) =. z z 0 For denne gælder h( z 0 ) = og altså foruden t = h( z) det til w f ( z) h = z 0. Betragtes nu for et givet = svarende punkt z s = h ( w) = w z ser vi, at s og t er forbundet ved 0, s = h f h t = f t. For denne homografi f = h f h gælder f og åbenbart ikke andre og er derfor af formen Afbildningen w = f ( z) er derfor bestemt ved, at =. Den har altså fikspunktet s = f t = t + b, b 0. 3
b. w z = z z + 0 0 w z s z0 b t Afbildningen s = f t = t + b kan beskrives ved hjælp af to linjesystemer, nemlig dels de med b parallelle linjer, som hver afbildes i sig selv, dels de på disse ortogonale linjer, af hvilke hver afbildes i den, der fås ved at forskyde den. Hvert af disse linjesystemer afbildes ved i et system af cirkler med samme tangent i z0 ; pga. vinkeltroskaben vil disse cirkelsystemers tangenter i z0 være ortogonale. Ved h w = f ( z) afbildes hver cirkel i det ene system i sig selv, medens hver cirkel i det andet system afbildes i en anden cirkel i dette system. Afbildningen kaldes parabolsk. Denne benævnelse benytter også for en parallelforskydning w = f z = z + b, b 0. Homografierne er først studeret af Möbius (853) under betegnelsen Kreisverwandtschaften og kaldes også Möbius transformationer. Fundamentale afsnit af geometrien mødes her med funktionalteorien. Eksempel 4 afbildning af det indre af en cirkel på det ydre af en cirkel Find homografien som afbilder punkterne i, og i på en cirkel i z -planen på punkterne 0, + i og 2 på en cirkel i w -planen. Bestem området i w -planen som er billedet det indre af cirklen i z -planen. b 4
Links: http://plus.maths.org/issue43/features/serieswright/index.html http://www.youtube.com/watch?v=jx3vmdgifny 5
Ordliste over de vigtigste ord til teksten ovenfor. En matrix er et skema bestående af rækker og søjler. Vi kigger specielt på kvadratiske matricer (række- og søjleantal er ens). Regulær matrice: Determinanten er forskellig fra 0. Proportionale talsæt: Eksempel: (, 2, 3, 4 ) og 5,0,5, 20 er proportionale, fordi alle tallene i det sidste talsæt er 5 gange større end i det første talsæt. Parallelforskydning: Eksempel: f ( z) z 2 i z = x + i y tallet w = x + + i ( y + 2 ), dvs. punktet ( x, y ) går over i punktet ( x, y 2) svarer til at vi flytter planen vandret og 2 lodret. Det er en parallelforskydning med vektoren. 2 = + +, vil sende tallet over i + +. Det Fikspunkt: Et punkt på linjen w = z, dvs. et punkt der afbildes over i sig selv. z = f z. Det er det samme som en løsning til ligningen Ligedannethed: Konform. Dvs. små trekanter bliver til trekanter med de samme vinkler. Et eksempel på ligedannethed uden drejning: Figur 6
Stereografisk projektion af fladen på kuglen: Stereografisk projektion tegn en linje fra Nordpolen gennem et givet punkt på sfæren. Punktets skygge er stedet, hvor linjen møder planen nedenunder. De punkter som ligger uendeligt langt væk, vil afbildes i nordpolen. Bijektiv afbildning: Til hvert z svarer netop et w. Konform afbildning: En afbildning f kaldes konform i et punkt. I en omegn af z0 er f tilnærmelsesvist en ligedannethed. holomorf med f ( z 0 ) 0 z0, hvis f er Synsvinkelbue Eksempel v Korde 2 v v Figur 3 7
Alle vinkelspidserne på den store cirkelbue danner en vinkel på v grader, når vinkelbenene tegnes til kordens endepunkter. Hvis punktet er udenfor cirklen bliver vinklen mindre end v og hvis punktet er indenfor cirklen bliver vinklen større end v. Synsvinklen for korden er altid halvdelen af buen. Tegningen viser to synsvinkler for den samme korde svarende til en bue på 2 v. 8