Om begrebet relation

Om begrebet relation Henrik Stetkær 11. oktober 2005 Vi vil i denne note diskutere det matematiske begreb en relation, herunder specielt ækvivalensrelationer. 1 Det abstrakte begreb en relation Som ordet relation antyder, så involverer en relation en eller anden form for forbindelse mellem to objekter. Et eksempel på en relation inden for mængden af reelle tal er (mindre end eller lig med). De to tal 1 og 2 står i denne relation til hinanden, idet 1 2, hvorimod de to tal 2 og 1 ikke står i denne relation til hinanden. En anden relation, her inden for mængden N af naturlige tal, har vi mødt i talteori, nemlig (kongruens modulo et foreskrevet naturligt tal n): Lad a N og b N. Definitionen på, at a b er, at a b er et helt multiplum af n. Der er mange andre måder, to hele tal a og b kan være relaterede på. F.eks. a = b eller a b. Man møder også relationer uden for matematikken. F.eks. er at være broder til en relation mellem mænd. Lad X og Y være mængder. En given relation skal specificere for hvilke ordnede par (x, y) X Y det gælder, at x står i den givne relation til y. Det gøres mængdeteoretisk som følger: Definition 1.1. Lad X og Y være mængder. (a) En relation fra X til Y er en delmængde R af X Y. (b) Lad x X og y Y. Vi siger, at x står i relationen R til y og skriver x R y, såfremt (x, y) R. I Definition 1.1 specificeres det, hvornår elementet x X står i relationen R til elementet y Y, og hvornår det ikke gør det: Det gør det, når det ordnede par (x, y) er et element i R, og det gør det ikke, når (x, y) / R. En relation R fra X til Y er altså bestemt ved, at visse par (x, y) (nemlig de par, der er elementer i R) fremhæves frem for andre par. Det bemærkes, at brugen af vendingen fra X til Y i Definition 1.1 svarer til, at vi lægger vægt på rækkefølgen af faktorerne X og Y i mængdeproduktet X Y, altså på rækkefølgen af elementerne x og y i et ordnet par 1

(x, y): Det første bogstav x betegner et element fra X, det andet bogstav y betegner et element fra mængden Y. Det kan selvfølgelig ske, at de to mængder X og Y er ens, altså at Y = X. I så fald taler vi om en relation i X i stedet for det længere udtryk en relation fra X til X. I praksis definerer man ikke en relation mellem X og Y direkte som en delmængde af produktrummet X Y. Man gør det som regel ved at angive en betingelse for ordnede par; den tilsvarende relation er så mængden af de ordnede par, som opfylder den pågældende betingelse. Den abstrakte definitions fordel er, at den giver en fælles begrebsramme for alle relationer, uanset hvordan de er kommet til veje. Relationer kan have forskellige egenskaber. Her er de vigtigste: Definition 1.2. Lad X være en mængde. En relation R i X siges at være (i) refleksiv, såfremt x R x for ethvert x X. (ii) symmetrisk, såfremt det for alle x, y X gælder, at x R y medfører y R x. (iii) transitiv, såfremt såfremt det for alle x, y, z X gælder, at x R y og y R z medfører x R z. (iv) antisymmetrisk, såfremt det for alle x, y X gælder, at x R y og y R x tilsammen medfører, at x = y. 2 Eksempler Eksempel 2.1. Lad X være en mængde. R = X X er en ganske uinteressant relation i X, idet x R y for alle x, y X. Relationen R er refleksiv, symmetrisk og transitiv. Eksempel 2.2. Lad X være en mængde, og lad R = være diagonalen i X X, hvor = {(x, x) x X}. Da betyder x R y, at x = y. Denne relation er refleksiv, symmetrisk og transitiv. Eksempel 2.3. Lad X = N være mængden af de naturlige tal. For a, b N fastsætter vi, at a R b, hvis og kun hvis a b. Herved defineres en relation i mængden N; den er grundlæggende i talteorien. Relationen er refleksiv og transitiv, men ikke symmetrisk. Eksempel 2.4. Lad X være mængden af indbyggere i Århus. Lad x, y X være indbyggere. Definer x R y ved, at x og y bor mindre end 1 km fra hinanden. Denne relation er refleksiv og symmetrisk, men ikke transitiv. Eksempel 2.5. Lad X være mængden af studerende på øvelsesholdet MA3 i Perspektiver i Matematikken. Definer en relation i X ved, at x R y, såfremt x synes y er sød. Overvej, om denne relation er refleksiv, symmetrisk og/eller transitiv. 2

Eksempel 2.6. Lad X = R 2, og lad L være mængden af linjer i R 2. Definer for x R 2 og l L, at x R l, såfremt x l, dvs såfremt x er et punkt på linjen l. (a) Givet x 0 R 2 ; find {l L x 0 R l}. (b) Givet l 0 L; find {x R 2 x R l 0 }. Øvelse 2.7. Find fejlen i følgende argument for, at en relation R i X, der er symmmetrisk og transitiv, automatisk også er refleksiv: Lad x X. Hvis x R y, så giver symmetrien, at y R x. Transitiviteten giver så, at x R x. 3 Forbindelsen til funktionsbegrebet Vi har tidligere defineret begrebet en funktion f fra X til Y. Udtrykt ved relationsbegrebet er en funktion f fra X til Y en relation R fra X til Y med den egenskab, at der til ethvert x X findes netop ét element y Y, så (x, y) R. 4 Ordensrelationer Sammenligning af objekter er fundamental i matematik. Vi sammenligner to reelle tal x og y ved at spørge om x y. Vi sammenligner to mængder A og B ved at spørge om A B. Vi sammenligner to punkter i R 2 ved at spørge, hvilket af dem der er nærmest ved (0, 0). I dette afsnit skal vi se på en speciel slags relationer, de såkaldte ordensrelationer, der sammenligner elementer i en given mængde. Definition 4.1. Lad X være en mængde. En relation R i X siges at være en ordning, såfremt den er refleksiv, transitiv og anti-symmetrisk. En ordning vil sædvanligvis blive betegnet med, eller lignende i stedet for R, idet symbolet og dets egenskaber er kendt fra de reelle tal. Notationen y x er pr. definition blot en anden måde at skrive x y på. Vi samler i den følgende definition forskellige begreber, der optræder i forbindelse med ordensrelationer: Definition 4.2. Lad være en ordensrelation i en mængde X. (a) Lad Y være en delmængde af X. Et element x X siges at være en majorant for Y, såfremt y x for ethvert y Y. (b) Lad Y være en delmængde af X. Et element x X siges at være en minorant for Y, såfremt x y for ethvert y Y. 3

(c) Ordningen siges at være opad filtrerende, såfremt ethvert par af elementer i X har en majorant. Det er ensbetydende med, at enhver endelig delmængde af X har en majorant. (d) Hvis et par x, y X has en mindste majorant med hensyn til ordningen, betegnes denne majorant x y. (e) Hvis et par x, y X has en største minorant med hensyn til ordningen, betegnes denne minorant x y. (f) (X, ) siges at være et lattice, såfremt x y og x y begge eksisterer for ethvert par x, y X. (g) (X, ) siges at være totalt ordnet, såfremt det for ethvert par x, y X af elementer i X gælder, at enten er x y eller også er y x. (h) (X, ) siges at være velordnet, såfremt enhver ikke-tom delmængde Y af X har et mindste element (dvs der findes et element y 0 Y, som er en minorant for Y. Eksempel 4.3. De naturlige tal N er med deres sædvanlige ordning en velordnet mængde. Eksempel 4.4. Mængderne Z og R er med deres sædvanlige ordninger begge totalt ordnet. Eksempel 4.5. Lad os udstyre R R med produktordenen, dvs (x 1, y 1 ) (x 2, y 2 ) betyder, at x 1 x 2 og y 1 y 2. Da er R R et lattice, men R R er ikke totalt ordnet. Definition 4.6. Lad (X, ) og (Y, ) være to ordnede mængder. Den leksikografiske ordning på X Y er defineret ved, at (x 1, y 1 ) (x 2, y 2 ) Enten er x 1 x 2 og x 1 x 2, eller også er x 1 = x 2 og y 1 y 2. Eksempel 4.7. Z Z og R R er begge totalt ordnet, når de udstyres med leksikografisk ordning. Øvelse 4.8. Lad (X, ) og (Y, ) være to totalt ordnede mængder. Vis, at X Y med leksikografisk ordning også er totalt ordnet. Øvelse 4.9. Lad X være en mængde. (a) Definer følgende relation på P(X): A B, såfremt A B. Undersøg, om der herved defineres en ordningsrelation på P(X). 4

(b) Definer følgende relation på P(X): A B, såfremt A B. Undersøg, om der herved defineres en ordningsrelation på P(X). Øvelse 4.10. Undersøg, hvilke af egenskaberne refleksivitet, symmetri og transitivitet nedenstående relationer har: (a) Lad R være relationen på N givet ved: x R y såfremt x y. (b) Lad R være relationen {(1, 1), (1, 2), (2, 2), (1, 3), (3, 3)} på mængden {1, 2, 3}. (c) Lad R være relationen på R givet ved: x R y såfremt x y er rational. (d) Lad R være relationen på R givet ved: x R y såfremt x y er irrational. (e) Lad R være relationen på R givet ved: x R y såfremt x y 2. Øvelse 4.11. Lad os betragte mængden F af reelle funktioner på intervallet [0, 1] (eller på en vilkårlig mængde). For to sådanne funktioner f : [0, 1] R og g : [0, 1] R skriver vi f g, såfremt f(t) g(t) for alle t R. Hvilke egenskaber (af dem, der er listet i Definitionerne 1.2 og 4.2) har relationen på mængden F? 5 Ækvivalensrelationer Definition 5.1. En ækvivalensrelation R i en mængde X er en relation i X, som er refleksiv, symmetrisk og transitiv, dvs den opfylder, at (a) x R x for ethvert x X (R er refleksiv). (b) x R y medfører y R x (R er symmetrisk). (c) x R y og y R z medfører x R z (R er transitiv). For en ækvivalensrelation benytter man ofte i stedet for R tegn som, o.lign., der minder om et lighedstegn. Eksempel 5.2. Et banalt, men vigtigt eksempel på en ækvivalensrelation er relationen R, givet ved, at x R y, såfremt x = y. Eksempel 5.3. Lad n N. Kongruens modulo n er en ækvivalensrelation i Z. Relationen R er her, hvor a b, såfremt a b er et helt multiplum af n. Øvelse 5.4. Definer en relation på R 2 ved, at for (a, b), (c, d) R 2 skal (a, b) (c, d), såfremt a 2 + b 2 = c 2 + d 2. (a) Vis, at er en ækvivalensrelation på R 2. 5

(b) Opskriv fire forskellige elementer i mængden {(x, y) R 2 (x, y) (4, 3)}. (c) Giv en geometrisk beskrivelse af mængden fra punkt (b). (d) Beskriv ækvivalensklasserne for relationen. Definition 5.5. Ved en klasseinddeling af en mængde X forstås et ikke-tomt system K af ikke-tomme delmængder af X, så (1) Til ethvert x X findes en delmængde K K, så x K. Med andre ord er K = X. K K (2) For alle K 1, K 2 K gælder det, at hvis K 1 K 2, så er K 1 K 2 =. Med andre ord er mængderne i systemet K parvis disjunkte. Eksempel 5.6. Lad K være en klasseinddeling af mængden X. Definer en relation i X ved, at x y, såfremt x og y ligger i samme K K. Så er en ækvivalensrelation i X. Eksempel 5.7. Betragt for r 0 cirklen K r = {(x, y) R 2 x 2 +y 2 = r 2 }. Systemet af disse cirkler er en klasseinddeling af R 2. Eksempel 5.8. Systemet {[n, n + 1[ n Z} er en klasseinddeling af R. Definition 5.9. Lad være en ækvivalensrelation i en mængde X. For ethvert x X indfører vi delmængden [x] = {y X y x} af X. Vi kalder den for ækvivalensklassen indeholdende x. Egentlig burde den betegnes med [x], da den afhænger af, hvilken ækvivalensrelation der er tale om. Men det fremgår som regel af sammenhængen, hvilken ækvivalensrelation der tænkes på, så for at gøre notationen mindre overlæsset udelades den. Proposition 5.10. Lad være en ækvivalensrelation i en mængde X. Æ- kvivalensklasserne har følgende egenskaber: (a) x [x] for ethvert x X. (b) Lad x, y X. Da er [x] = [y], hvis og kun hvis x y. (c) Lad x, y X. Da er [x] = [y] eller [x] [y] =. (d) {[x] x X} er en klasseinddeling af X. Vi kalder den klasseinddelingen svarende til ækvivalensrelationen. 6

Eksempel 5.11. Lad S være mængden af studerende ved Aarhus Universitet. For x, y S definerer vi, at x y hvis og kun hvis x og y er født i samme kalenderår. Så er en ækvivalensrelation i S, og en ækvivalensklasse er mængden af de studerende, som blev født i et bestemt år. For eksempel, hvis studenten x blev født i 1984, så består [x] af alle de studerende, som blev født i 1984. Relationen inddeler S i disjunkte delmængder, hvor studerende med samme fødselsår grupperes sammen. Øvelse 5.12. Definer en relation i mængden R 2 ved, at (x 1, y 1 ) (x 2, y 2 ) hvis og kun hvis x 1 = x 2. (a) Vis, at er en ækvivalensrelation. (b) Find ækvivalensklasserne. Øvelse 5.13. Definer en relation i mængden R 2 ved, at x y, hvis og kun hvis x y 2Z (hvor nz for n N er defineret som nz = {nk Z k Z}, altså som mængden af hele multipla af n). (a) Vis, at er en ækvivalensrelation. (b) Find ækvivalensklasserne. (c) Hvor mange ækvivalensklasser er der? Øvelse 5.14. Definer en relation i mængden R 2 ved, at x y, hvis og kun hvis x + y 2Z. (a) Vis, at er en ækvivalensrelation. (b) Sammenhold dette med Øvelse 5.13. Øvelse 5.15. Lad n N. Definer en relation i mængden R 2 ved, at x y, hvis og kun hvis x y nz (altså at x y er et helt multiplum af n). (a) Vis, at er en ækvivalensrelation. (b) Find ækvivalensklasserne. (c) Hvor mange ækvivalensklasser er der? Den næste sætning viser, hvordan der er en meget nær forbindelse mellem ækvivalensrelationer i X og klasseinddelinger af X. De er to sider af samme sag. Sætning 5.16. Lad X være en mængde. Givet en ækvivalensrelation i X lader vi K betegne den hertil svarende klasseinddeling af X. Da er afbildningen K en bijektion af mængden af ækvivalensrelationer i X på mængden af klasseinddelinger af X. Den til en given klasseinddeling svarende ækvivalensrelation er den, der er beskrevet i Eksempel 5.6. 7

Øvelse 5.17. Se på Eksempel 5.3. Find sammenhængen mellem ækvivalensklasserne for og de kongruensklasser, som du mødte i lærebogen Johan P. Hansen og Henrik G. Spalk: Algebra og talteori, Gyldendal 2002. Øvelse 5.18. Lad f : X R være en funktion på X. Definer for x, y X, at x y, hvis og kun hvis f(x) = f(y). (a) Vis, at er en ækvivalensrelation i X. (b) Find ækvivalensklasserne udtrykt ved f 1. Et topografisk kort over en egn illustrerer dette. Lad f(p) være punktet p s højde over havoverfladen målt i meter. Urbilledet f 1 (17) er så de punkter, hvis højde over havoverfladen er 17m, så det består af niveaukurver. Øvelse 5.19. Indfør en relation i N N ved, at (a, b) (c, d), hvis og kun hvis ad = bc. Vis, at er en ækvivalensrelation. Øvelse 5.20. Definer følgende fire delmængder af Z: A = {..., 9, 5, 1, 0, 4, 8,... } B = {..., 12, 8, 4, 1, 5, 9,... } C = {..., 11, 7, 3, 3, 7, 11,... } D = {..., 10, 6, 2, 2, 6, 10,... } (a) Gør rede for, at K = {A, B, C, D} er en klasseinddeling af Z. (b) Find et eksempel på heltal a 1 og a 2 i A og b 1 og b 2 i B, så a 1 + b 1 og a 2 + b 2 ligger i to forskellige af mængderne A, B, C, D. (c) Forklar hvorfor det ikke er muligt at definere A + B som det element i K, der indeholder a + b, hvor a A og b B. Øvelse 5.21. Definer en relation i mængden R af reelle tal ved, at x y, hvis og kun hvis x y er et helt multiplum af 2π. (a) Vis, at er en ækvivalensrelation. (b) Idet ækvivalensklassen for x R som sædvanlig betegnes med [x], skal du vise, at addition af ækvivalensklasser er veldefineret ved forskriften [x] + [y] = [x + y] for x, y R. (c) Hvad med multiplikation af ækvivalensklasser? 8