OPGAVER 1 Opgaver til Uge 11 Lille Dag Opgave 1 Det ortogonale komplement a) I R 2 er der givet vektoren (3, 7). Angiv en basis for det ortogonale komplement. b) Find i R 3 en basis for det ortogonale komplement til v = (1, 2, 3). c) Find i R 3 en basis for det ortogonale komplement til underrummet udspændt af (1, 1, 0) og (0, 2, 1). d) Find i R 4 en basis for det ortogonale komplement til underrummet udspændt af (1, 1, 2, 5) og (0, 1, 0, 2). Opgave 2 Når der er n forskellige egenværdier a) Hvorfor er det særligt nemt at diagonalisere en symmetrisk n n-matrix ved ortogonal substitution, hvis den har n forskellige egenværdier? En 3 3-matrix A har været behandlet i Maple således:
OPGAVER 2 b) Opskriv A og gør rede for at den er symmetrisk. c) Lad f betegne den lineære afbildning som har afbildningsmatricen A med hensyn til den sædvanlige basis i R 3. Bestem en ortonormal basis for R 3 bestående af egenvektorer for f, og angiv den afbildningsmatrix som f repræsenteres ved med hensyn til den fundne ortonormale basis. d) Bestem en ortogonal matrix Q og en diagonalmatrix Λ således at Q A Q = Λ. Opgave 3 Egenrum med gm > 1 En 3 3-matrix B har været behandlet i Maple således: a) Opskriv B og gør rede for at den er symmetrisk. b) Bestem en ortogonal matrix Q og en diagonalmatrix Λ således at Q B Q = Λ. Opgave 4 Positiv ortogonal matrix [ En lineær afbildning f : R 2 R 2 5 ] 3 er givet ved afbildningsmaticen. 3 7 a) Der findes præcis otte mulige ortonormale baser for R 2 bestående af egenvektorer for f. Lav en tegning hvor basisvektorerne afsættes ud fra origo i planen. b) Fire af de otte baser har sædvanlig orientering. Vis at den ortogonale matrix der hører til hver af de to er positiv ortogonal, mens de andre to er negativt ortogonale.
OPGAVER 3 Opgave 5 Positiv ortogonal matrix som afbildningsmatrix Enhver positiv ortogonal matrix kan (se enote 19) skrives på formen [ ] cos(u) sin(u) Q =. sin(u) cos(u) Bemærk at u er retningsvinklen for den første basisvektor (cos(u), sin(u)). Eller rettere: q-koordinatsystemet fremkommer ved en drejning af standard-koordinatsystemet med vinken u. Vi skal nu undersøge hvordan Q virker som afbildningsmatrix! a) Gør rede for at billedet y = Q x fremkommer ved at vektoren x drejes med vinken u, se figuren. b) Åbn GeoGebra-arket OrtogonalAfbildning. Verificér at mens Q afbilder x i y ved drejning med vinklen u, så gør Q det modsatte: afbilder x i z ved drejning med vinklen u. Opgave 6 Analyse af symmetrisk afbildning Antag at en symmetrisk 2 2 matrix A er blevet diagonaliseret ved positiv ortogonal substition således: Q A Q = Λ. a) Vis at der omvendt gælder: A = Q Λ Q, b) I forlængelse heraf: Gør rede for at en symmetrisk afbildning derfor er sammensat således:
OPGAVER 4 1. Først drejes objektet med vinklen u (hvor u er retningsvinklen for første søjle i Q ). 2. Det drejede objekt skaleres med faktor λ 1 i førstaksens retning og med med faktor λ 2 i andenaksens retning. 3. Det skalerede objekt drejes (tilbage!) med vinklen u. c) Betragt matricen B = [ ] 2 1 1 2 som en afbildningsmatrix for geometriske vektorer i planen afsat ud fra origo. Find en drejningsvinkel u som indgår i afbildningens step 1 og 3. Og bestem de faktorer der i step 2 skal skaleres med i henholdsvis førsteaksens retning og andenaksens retning. Se afsnit 2 i dagens MapleDemo SymMatrix2.mw. Her undersøger vi afbildningsmatricen 2 1 0 A = 1 2 0. 0 0 1 Sammenlign den med matricen i forrige spørgsmål. NB: Set fra z-aksens positive ende ser alt i (x, y)-planen ud som i forrige spørgsmål. d) Følg nøje de 3 step i afbildningen. Afprøv med andre parametre, for eksempel u = π 3, a = 5, b = 2. Opgave 7 Analyse af symmetrisk afbildning Antag at en symmetrisk 2 2 matrix A er blevet diagonaliseret ved positiv ortogonal substition således: Q A Q = Λ. a) Vis at der omvendt gælder: A = Q Λ Q, og at en symmetrisk afbildning derfor er sammensat således: 1. Først drejes objektet med vinklen u (retningsvinklen for første søjle i Q ). 2. Det drejede objekt skaleres med faktor λ 1 i førstaksens retning og med med faktor λ 2 i andenaksens retning. 3. Det skalerede objekt drejes (tilbage) med vinklen u. [ ] 2 1 b) Betragt matricen som en afbildningsmatrix for geometriske vektorer i planen afsat ud fra origo. Find en drejningsvinkel u som indgår i afbildningens 1 2 step 1 og 3. Og bestem de faktorer der i step 2 skal skaleres med i henholdsvis førsteaksens retning og andenaksens retning.
OPGAVER 5 Se afsnit 2 i dagens MapleDemo SymMatrix2.mw. Her undersøger vi afbildningsmatricen 2 1 0 1 2 0. Sammenlign den med matricen i forrige spørgsmål. NB: Set fra z-aksens 0 0 1 positive ende ser alt i (x, y)-planen ud som i forrige spørgsmål. c) Følg nøje de 3 step i afbildningen. Afprøv med andre parametre, for eksempel u = π 3, a = 5, b = 2.