Insttut for samfundsudvklng og planlægnng Fbgerstræde 11 9220 Aalborg Øst Ttel: Relatv Fasepostonerng Med bllge håndholdte GPS-modtagere Projektperode: Februar 2006 Jul 2006 Semester: 10. Projektgruppe: MS 10.03 Gruppemedlemmer: Carsten Flyger Jørgensen Chrstan Mosbæk Jensen Hovedvejleder: Peter Cederholm Bvejleder: Karsten Jensen Oplagstal: 5 Synopss Denne projektrapport omhandler relatv fasepostonerng med anvendelse af bllge, håndholdte GPS-modtagere af mærket Garmn 12XL. Det undersøges hvlken præcson, der kan opnås - herunder sammenhængen mellem observatonstd og præcson samt sammenhængen mellem basslængden og præcsonen. For at udnytte garmnmodtagerens potentale er der ved udarbejdelsen af beregnngsrutner blevet taget højde for, at garmnmodtageren arbejder med halve bølgelængder. Der er lgeledes gennem projektet udarbejdet metoder tl korrekton af cycleslps. Igennem projektgruppens test vser det sg, at det er mulgt at opnå afvgelser mellem et målt punkt og et referencepunkt ned tl 2 cm både planet og højden ved basslængder op tl 6 km. Ved basslængder på 15 km. når afvgelsen ned tl mndre end 10 cm. Dsse resultater opnås ved en observatonstd på op tl 88 mnutter. Afleverngsdato: 27. jun 2006 Sdeantal: 103 Blag antal: 10 Abstract Ths master thess nvestgates the possbltes of usng low cost GPS recevers for statc relatve postonng. The am of the project s to determne the achevable level of precson, and furthermore to determne the relatonshp between both precson and baselne length as well as precson and sesson length. Calculatons are performed n consderaton of the fact that the Garmn 12XL recever suffers from half cycleslps. Furthermore, the ambgutes are calculated as half cycle values. Durng the project methods for cycleslp correcton have been developed and mplemented n the calculaton procedures. The test shows that t s possble to acheve devatons smaller than 2 cm, when the baselne s shorter than 6 km. Wth a 15 klometre baselne, a devaton of 10 centmetres can be acheved. These results are acheved wth a sesson length of up to 88 mnutes.

Forord Denne rapport er udarbejdet på landnspektøruddannelsens 10 semester af gruppe 3 på specaleretnngen Measurement Scence. Projektforløbet er forløbet fra 1. februar 2006 tl 17. jun 2006. Hovedvejleder er lektor Peter Cederholm og bvejleder er lektor Karsten Jensen begge fra Aalborg Unverstet. Projektet henvender sg tl projektgruppens vejledere og censor, samt tl andre med nteresse hvordan præcsonen af bllge, håndholdte GPS-modtagere kan forbedres. Det forudsættes dog, at læseren har en grundlæggende vden ndenfor GPS-målng, udjævnng. Igennem projekt henvses der tl forskellge artkler, dsse er så vdt mulgt forsøgt vedlagt på CD-ROM, der er at fnde bagerst rapporten som blag J. CD-ROM en vl desuden ndeholde programmet Async, alle ndsamlede data og de benyttede MatLab-scrpts. I projektet benyttes to testdatasæt. Det ene datasæt er tdlgere ndsamlet af lektor Peter Cederholm, og blver rapporten omtalt som arbejdsdata. Det andet testdatasæt er ndsamlet af projektgruppen og omtales blot som testdata. For begge datasæt er de beregnede koordnater blevet bestemt kartesske WGS84 koordnater. Koordnaterne er blevet transformeret tl et lokalt topocentrsk koordnatsystem de tlfælde, hvor projektgruppen ønskede at angve en plan- og højdeafvgelse. I rapporten angves kldehenvsnnger kantede parenteser med forfatterens efternavn, udgvelsesår samt evt. sdetal og henvser tl ltteraturlsten sdst rapporten. Kldehenvsnnger, der står slutnngen af et afsnt, henvser tl det pågældende afsnt. Hvs kldehenvsnngen dermod står neden for afsnttet, henvser klden tl flere foregående afsnt. Fodnoter benyttes rapporten tl uddybende forklarnger og er angvet med fortløbende nummererng. Desuden er alle fgurer nummereret fortløbende og følger kaptelangvelse. Fgur 3.2 er således den anden fgur kaptel 3. Topografske kort er gengvet overensstemmelse med Aalborg Unverstets aftale copyrght på topografske kort: G24-98. Der er kke påsat klde på de enkelte kort. I projektet anvendes et MatLab-scrpt, hvor LAMBDA-metoden er mplementeret. Dette MatLab-scrpt er stllet tl rådghed af P. Joosten fra Delft Unverstet. Aalborg, jun 2006 Chrstan Mosbæk Jensen Carsten Flyger Jørgensen

Indholdsfortegnelse 1 Indlednng...5 2 Projektopbygnng...9 2.1 Det problemorenterede projektarbejde...9 2.2 Projektstruktur...10 3 Foranalyse...17 3.1 Artkler...17 3.2 Enkeltfrekvente Systemer...21 3.3 Anvendelser...23 3.4 Opsamlng...24 4 Problemformulerng...27 5 Præsentaton af udstyr...31 5.1 Garmn XL12...31 5.2 Grngo og Async...32 6 Relatv postonerng...35 6.1 Dfferenser...35 6.2 Float- og fxed-løsnng...37 6.3 Resultater...42 7 Cycleslp...47 7.1 Hvad er et cycleslp?...47 7.2 Metoder tl reparaton af cycleslp...49 8 Udvklng af metoder tl cycleslpkorrekton...53 8.1 Dfferensmetoden...54 8.2 Cycleslpreparaton vha. polynomer...62 8.3 Cossermetoden...70 8.4 Opsamlng...77 9 Test...81 9.1 Indsamlng af data...81 9.2 Databehandlng...85 9.3 Indledende beregnnger...88 9.4 Tlpasnng af cycleslpmetoder...90 9.5 Testresultater...92 9.6 Opsummerng...98 10 Konkluson...101 11 Perspektverng...105 1

2

Kaptel 1 Indlednng

4

1 Indlednng Dette projekt udsprnger af projektgruppens nteresse for at undersøge de mulgheder, der er for at forbedre nøjagtgheden ved postonerng foretaget med bllge håndholdte GPSmodtagere. I øjeblkket er den prmære målgruppe for denne type modtager frluftsfolk, lystfskere o.lgn, som anvender dem tl navgaton. Hvs nøjagtgheden af postonerngen kunne forbedres fra de nuværende 5-10 meter ned tl et nveau på få centmeter, kunne modtageren få nye anvendelsesområder. Det vl dog næppe være landnspektører, der vl benytte sg af bllge, håndholdte GPSmodtagere, da en forbedrng af nøjagtgheden tl centmeternveau vl kræve, at målemetoden ændres fra kodemålng tl fasemålng. Enkeltfrekvente modtagere som bl.a. bllge, håndholdte GPS-modtagere kræver tradtonelt længere observatonstd end de dyre dobbeltfrekvente modtagere med bedre hardware, som landnspektøren benytter. Besparelsen på anskaffelsen af de bllge modtagere vl derfor forsvnde for landnspektøren med de øgede udgfter tl arbejdsløn. Dermod kunne der være et mulgt anvendelsesområde hos prvate brugere, hvor det kke betyder noget, at en nøjagtg poston tager lang td at bestemme. Derudover vl der være et mulgt anvendelsesområde U-lande, hvor arbejdslønnen kke har så stor ndflydelse, samtdgt med at den lavere anskaffelsesprs på modtageren lgeledes kunne være en vgtg faktor. Projektgruppen har gennem et tdlgere projekt arbejdet med bllge GPS-modtagere, hvor det blev undersøgt, om nøjagtgheden ved absolut postonerng kunne forbedres ved at benytte forskellge målerutner. Ved det pågældende projekt blev de beregnede postoner fra modtageren anvendt. Projektgruppen har et ønske om at gå mere dybden med beregnnger bag postonsbestemmelser og kke blot arbejde med de beregnede postoner fra modtageren. Det vl sge, at motvatonen bag dette projekt er at omdanne modtagerens rå observatoner tl en poston uden brug af den software, som fndes modtageren. [Bjerre et al., 2005] Et tdlgere afgangsprojekt fra landnspektørstudet, der blev udarbejdet 2003, har forsøgt at forbedre nøjagtgheden af bllge enkeltfrekvente GPS-modtagere ved at måle dfferentelt mellem to modtagere. Ved det pågældende projekt var vægten lagt på efterprocesserng af kodeobservatoner. Projektgruppen har haft en lgnende ndgangsvnkel tl dette projekt, men ønsker at anvende faseobservatoner stedet for kodeobservatoner, da det dermed er mulgt at opnå bedre nøjagtgheder. Sammenhængen mellem målemetode og nøjagtgheder er vst blag A. Blaget fungerer derudover som begrebsafklarng, da der nden for GPStermnologen kke altd er fuld enghed om betydnngen af de forskellge begreber. [Pedersen et al., 2003] 5

Som beskrevet tdlgere er det projektgruppen nteresse at undersøge mulghederne for at forbedre nøjagtgheden af bllge, håndholdte GPS-modtagere. I den forbndelse er det fornuftgt at starte med at undersøge, hvlke resultater der allerede er opnået med denne type modtager. Dette leder frem tl det nterende problem, der lyder således: Hvlke postonerngsnøjagtgheder er hdtl opnået ved relatv fasemålng med bllge håndholdte GPS-modtagere? Hvlke mulgheder er der for at forbedre de resultater, som er opnået ndtl nu? Inden det nterende problem vl blve besvaret, vl projekts opbygnng blve præsenteret næste afsnt. 6

Kaptel 2 Projektopbygnng

8

2 Projektopbygnng Formålet med dette kaptel er at redegøre for, hvad det vl sge, at arbejde problemorenteret gennem et projekt. I kaptlets første del gennemgås det problemorenterede projektarbejde, mens den anden del omhandler strukturen for den resterende del af projektrapporten. Ved gennemgangen af projektets struktur vl det løbende blve llustreret, hvorledes det problemorenterede projektarbejdes hovedelementer nddrages dette projekt. 2.1 Det problemorenterede projektarbejde At arbejde problemorenteret betyder, at der, nden projektets problem opstlles, kke fndes nogen færdg model for, hvordan problemet bør løses. Løsnngen er derfor afhængg af det enkelte projekt og den ndgangsvnkel og metode, der benyttes. Desuden er målet for projektarbejdet kke blot projektrapporten sg selv, men også den vden, der tlegnes. Det betyder endvdere, at der bl.a. også skal tages udgangspunkt projektgruppens vdensnveau, så projektarbejdet kke starter på hverken for højt eller for lavt nveau. Da der arbejdes med problemer, er det problemformulerngen, der er fokus. Da ngen problemer løses på samme måde, er det problemet bag det enkelte projekt og dermed problemformulerngen, der er afgørende for, hvlke elementer der nddrages. [Aunsborg, 1997, s. 10] Der er dog fre hovedelementer, som altd bør ndgå det problemorenterede projektarbejde, og det er jf. [Adolphsen, 1992]: Problemformulerng Teor Empr Konkluson Sammenhængen mellem hovedelementerne er fgur 2.1 llustreret vha. ple. Der er, som det ses, kke noget fast mønster mellem hovedelementerne, da projektarbejdet netop skal være fleksbelt og modtagelgt for nye nputs. Ny vden undervejs projektarbejdet kan medføre nddragelse af ny teor og empr, og projektarbejdet er således en teratv proces. Fgur 2.1 - Det problemorenterede projektarbejdes hovedelementer 9

Nedenstående forklarer kort ndholdet af de fre hovedelementer. Problemformulerngen er meget central, det det er her projektets problemstllng ndkredses, beskrves, afgrænses og præcseres. Dvs. det er gennem problemformulerngen, at det problem, der ønskes løst, præsenteres. Teor rummer en forståelse af vrkelgheden. Teor bruges tl at løse problemet, og dette kan bl.a. gøres ved at tlegne sg ny vden gennem relevant ltteratur om emnet for derved at øge vdensnveauet. Empr er kke så håndgrbelg en størrelse som de øvrge hovedelementer, men et udtryk for at nddrage vrkelgheden projektet ved f.eks. datandsamlng og databearbejdnng med henblk på at opnå et større kendskab tl en del af vrkelgheden. Lgesom teordelen skal empren samspl med teoren søge at løse problemformulerngen. Konklusonen er svaret på problemformulerngen. Det er her der samles op på projektet og svares på de stllede spørgsmål. Desuden skal konklusonen også afspejle en erkendelse af den vden der er tlegnet gennem projektarbejdet [Adolphsen, 1992], [Aunsborg, 1997, s. 11-16] 2.2 Projektstruktur Projektstrukturen vl blve beskrevet ud fra fgur 2.2, der udover at vse de enkelte kaptler fra rapporten, også llustrer, hvordan det problemorenterede projektarbejde er blevet foretaget dette projekt. Således ses det af fguren, hvlken teor og empr, der er lagt tl grund for de enkelte kaptler. 10

Empr Rapport Teor Erfarnger fra tdlgere projekter Indlednng Kap. 1 GPS-kurser Erfarnger fra tdlgere projekter Projektopbygnng Kap. 2 Kursus metodelære og vdenskabsteor Artkler baseret på datandsamlnger Foranalyse Kap. 3 Artklerne om enkeltfrekvente GPS-modtagere Resultaterne fra foranalysen Problemformulerng Kap. 4 Teoren fra foranalysen Præsentaton af udstyr Kap. 5 Statstk-kursus Dverse manualer Vha. arbejdsdatasæt opnås ny vden Relatv postonerng Kap. 6 GPS-, statstkog udjævnngskurser Dv. ltteratur Cycleslp Kap. 7 Ltteratur om cycleslps Vha. arbejdsdatasæt opnås ny vden Udarbejdelse af metoder tl cycleslpkorrekton Kap. 8 GPS-, statstkog udjævnngskurser Dv. ltteratur Bearbejdnng og vurderng af de ndsamlede data Test Kap. 9 GPS-, statstkog udjævnngskurser Dv. ltteratur Opsamlng på de emprske undersøgelser Konkluson Kap. 10 Opsamlng på de gennemgåede teorer Erfarnger fra dette projekt Perspektverng Kap. 11 Fgur 2.2 Projektets struktur og hvordan teor og empr benyttes projektet 11

Kaptel 1 Indlednng I første kaptel er de ndledende tanker omkrng projektet og dets baggrund blevet beskrevet. Kaptlet afsluttes med projektets nterende problem, der vl blve besvaret gennem foranalysen. Kaptel 2 Projektopbygnng Inden foranalysen foretages, beskrver kaptel 2 projektets opbygnng og hvlken teor og empr, der er blevet benyttet projektet. Kaptel 3 Foranalyse Foranalysen baseres på artkler fra unversteterne Nottngham og Stuttgart. Her er der blevet undersøgt, hvor god nøjagtghed to bllge, enkeltfrekvente GPS-modtagere kan opnå ved relatv fasemålng. Derudover ndeholder kaptlet en beskrvelse af kommercelle, enkeltfrekvente systemer samt enkeltfrekvente systemers anvendelsesmulgheder Analysen af artklerne udmønter sg svaret på det nterende problem. Kaptel 4 Problemformulerng Svaret på det nterende problem, gør, at problemformulerngen kaptel 4 kan stlles. Kaptlet ndeholder lgeledes en afgræsnng af problemet. Kaptel 5 Præsentaton af udstyr En præsentaton af Garmn 12XL samt programmerne GRINGO og Async, der kan anvendes for at gøre faseobservatonerne fra denne modtager tlgængelge. Kaptel 6 Relatv postonerng I kaptlet vl der blve redegjort for den metode, der projektet er benyttet tl at foretage den relatve postonerng. Projektgruppen har forbndelse med den relatve postonerng udarbejdet beregnngsrutner MatLab Kaptel 7 Cycleslp Kaptlet beskrver, hvad cycleslps er, og på et overordnet plan blver der beskrevet, hvlke metoder der kan anvendes ved korrektonen af cycleslps Kaptel 8 Udarbejdelse af metoder tl cycleslpkorrekton Projektgruppen vælger tre metoder tl cycleslpkorrekton, og kaptel 8 blver teoren af dsse metoder beskrevet. Men eftersom teoren kke er særlg detaljeret beskrevet for cycleslpkorrekton, har projektgruppen gjort sg sne egne erfarnger vha. et arbejdsdatasæt. Projektgruppens erfarnger med udarbejdelsen af de enkelte cycleslpmetoder blver lgeledes beskrevet kaptlet. 12

Kaptel 9 Test I dette kaptel beskrves forberedelserne tl datandsamlngen samt beregnngerne udført med de ndsamlede data. Datandsamlngen har dels tl formål at undersøge de tre metoder tl cycleslpkorrekton og dels at skabe et datagrundlag for besvarelsen af problemformulerngen Kaptel 10 Konkluson Baggrunden for konklusonen er prmært resultaterne fra kaptel 9. Sekundært er det projektgruppens erfarnger forbndelse med udarbejdelserne af de tre metoder tl korrekton af cycleslps. Kaptel 11 Perspektverng Kaptlet beskrver de forslag og overvejelser, projektgruppen har gjort sg mht. at kunne forbedre de udarbejdede metoder. 13

14

Kaptel 3 Foranalyse

16

3 Foranalyse I dette kaptel vl der blve set nærmere på de resultater, der tdlgere er opnået ved processerng af observatoner fra bllge GPS-modtagere. Afsnttet består først af en præsentaton af resultaterne beskrevet tre artkler. Efterfølgende vl to kommercelle enkeltfrekvente systemer blve præsenteret, for at gve en ndsgt mulghederne ved dsse systemer. Tl sdst vl der blve fokuseret på de anvendelsesområder, der er for et enkeltfrekvent GPS-system. 3.1 Artkler De forsøg, som beskrves artklerne, er udført ved Unversteterne Nottngham og Stuttgart nden for de seneste fem år. Der fokuseres på de resultater, som vedrører statsk opmålng, og derfor blver der kke set nærmere på de resultater, der omhandler test af modtagere bevægelse. 3.1.1 C.J.Hll - Nottngham Unverstet 2001 I artklen Carrer Phase Surveyng Wth Garmn Handheld Recevers fra 2001 præsenteres resultaterne af en række forsøg, som er blevet udført ved Nottngham Unverstet og udgvet 2001. Forsøgene havde tl formål at undersøge, hvlke nøjagtgheder, der kan opnås, når der foretages postonerng ud fra faseobservatoner foretaget med en bllg GPS-modtager. Ved et af forsøgene blev to Garmn 12XL placeret to kendte punkter, hvorved den ene kunne fungere som reference. Testen havde desuden som formål at undersøge, hvor længe der skulle ndsamles data for at gve en nøjagtghed på centmeternveau. Det nævnes artklen, at det har vst sg, at der kan ske cycleslps på halve bølgelængder, og at perodekonstanten lgeledes kan antage halve bølgelængder 1. Dette har betydnng for resultaterne, hvs den software, der benyttes tl beregnngerne, kun kan beregne perodekonstanter og cycleslps på hele bølgelængder. Det nævnes kke artklen, hvlken software, der benyttes ved behandlngen af de ndsamlede data. I artklen er postonerne først blevet beregnet, hvor perodekonstanter og cycleslps blev bestemt som reelle tal dvs. som floatløsnnger. Forfatterne har åbenbart kke haft mulghed for at bestemme cycleslps og perodekonstanter tl halve bølger. I fgur 3.1 ses afvgelserne mellem de beregnede roverkoordnater og det kendte punkts koordnater. [Hll et al., 2001, s. 140] Observatonstd Afvgelse planet (m) Afvgelse højden (m) 10 mn < 0.50 < 0.50 15 mn < 0.20 < 0.20 30 mn < 0.05 < 0.05 Fgur 3.1 afvgelser ved floatløsnnger. Basslængden er 3 km 1 Dette skyldes sandsynlgvs den metode, som modtageren benytter ved målnger på bærebølgen. [Hll et al., 2001, s. 138] 17

Testen vser, at nøjagtgheden afhænger af observatonstden. Ved en observatonsperode på 10 mn er afvgelsen planet og højden bedre end 0.50 meter. Hvs observatonstden øges tl 15 mn beregnes afvgelsen mellem roveren og det kendte punkt tl mndre end 0.20 m. Den mndste afvgelse forsøget opnås ved datandsamlng 30 mnutter, hvor afvgelsen vser sg at være mndre end 0.05 m. Dsse resultater blev opnået med en basslængde på 3 km. [Hll et al., 2001, s. 139] Afvgelse planet (m) Afvgelse højden (m) 1. målng 0.007 0.007 2. målng 0.006 0.002 3. målng 0.009 0.016 4. målng 0.011 0.001 5. målng 0.010 0.003 6. målng 0.008 0.014 Fgur 3.2 Afvgelser ved fxed-løsnnger (30 mn datandsamlng) Efterfølgende udarbejdede forfatterne et program, så perodekonstanterne og cycleslps kunne bestemmes som halve bølgelængder. Det vste sg, at programmet, som artklens forfattere udarbejdede, kun kunne håndtere de datasæt, som bestod af observatoner ndsamlet over den længste observatonsperode på 30 mn. Det påpeges, at det sandsynlgvs skyldes, at metoden er smpel, og at en mere avanceret metode måske vlle kunne løse problemet. I fgur 3.2 er afvgelserne for de seks observatonsperoder vst. Som det fremgår af fguren er afvgelserne faldet tl omkrng 1 cm. [Hll et al., 2001] Denne artkel har vst, at det er mulgt at opnå målnger med en nøjagtghed på centmeternveau ved efterprocesserng af faseobservatoner ndsamlet med to bllge GPS-modtagere. De bedste nøjagtgheder er opnået ved datandsamlng 30 mn, hvor der er taget højde for halve bølgelængder ved bestemmelsen af perodekonstanter og ved behandlngen af cycleslps. 3.1.2 Volker Schweger Stuttgart Unverstet 2003 Ved unverstet Stuttgart er der lgeledes blevet arbejdet med rå observatoner fra bllge GPS-modtagere. I 2003 skrev Volker Schweger artklen Usng Handheld GPS Recevers for Precse Postonng, der omhandlende dette arbejde, hvor formålet var at undersøge de mulgheder, der er for at foretage postonerng vha. faseobservatoner fra en Garmn-modtager og at undersøge de tlhørende nøjagtgheder. Det første forsøg, der er beskrevet artklen, er udført med en Garmn etrex Vsta og en Leca SR 530. Forsøget er udført ved to opmålnger; en på taget af unverstet Stuttgart og en uden for byen. Ved begge forsøg blev Leca en placeret et punkt med kendte koordnater umddelbar nærhed af Garmn-modtageren. Det mest nteressante ved forsøget er, at resultaterne beregnes med to forskellge programmer, og det dermed er mulgt at se, hvor meget de endelge postoner afhænger af den software, der er benyttet ved beregnngerne. Det ene program 18

er P4, som er udvklet ved Nottngham Unverstet, og det andet program er Sk-PRO fra Leca. Ved beregnngerne er cutoff-vnklen sat tl 10 grader. Data blev ndsamlet 2 tmer det første sted og 50 mnutter det andet sted med et epokenterval på et sekund. De ndsamlede data er efterfølgende blevet opdelt peroder af 5 mn nden beregnngen af postoner. Sprednngerne for de beregnede postoner er vst fgur 3.3 og fgur 3.4. Længde Bredde Højde SKI-PRO P4 SKI-PRO P4 SKI-PRO P4 Kode 7.54 3.43 4.58 2.26 7.05 18.50 Relatv kode 2.50 2.38 2.64 2.54 7.05 7.63 Relatv fase 0.29 0.63 0.86 2.15 0.42 0.79 Fgur 3.3 Sprednng (m) ved opmålng på tag [Schweger, 2003] Længde Bredde Højde SKI-PRO P4 SKI-PRO P4 SKI-PRO P4 Kode 6.52 3.88 5.38 2.88 13.34 13.98 Relatv kode 1.44 1.65 0.75 1.23 1.16 1.64 Relatv fase 0.41 1.59 2.48 8.95 0.56 2.89 Fgur 3.4 Sprednng (m) ved opmålng uden for by [Schweger, 2003] Det fremgår af tallene, at programmet P4 er bedst egnet tl beregnng af postoner ved absolut og relatv kodemålng, hvormod Sk-PRO gver de bedste resultater ved beregnnger af postoner vha. faseobservatoner. Dette begrundes med at P4 kke kan bestemme perodekonstanterne korrekt på den korte observatonstd, hvormod SKI-PRO ndeholder bedre algortmer tl dette. Fguren vser tydelgt, at de resultater, som opnås, høj grad afhænger af den software, der benyttes ved databehandlngen. Dette forsøg er måske kke så velegnet tl at vurdere Garmn-modtagerens potentale, men dermod vser det ganske tydelgt, hvor stor betydnng det har at vælge software, der egner sg tl den type beregnng, der skal foretages. Sprednngerne er meget store, hvlket sandsynlgvs skyldes de korte ntervaller på kun 5 mnutter, og derfor vlle sprednngerne nok blve reduceret betydelgt, hvs ntervallets længde blev forøget. [Schweger, 2003] 3.1.3 Volker Schweger Stuttgart Unverstet 2005 Volker Schweger udgav 2005 artklen Possbltes of Low Cost GPS Technology for Precse Geodetc Applcatons, som lgeledes omhandler nøjagtge opmålnger med bllge GPSmodtagere. I denne artkel argumenterer han for, at bllge GPS-modtagere kan benyttes tl geodætske formål Ulande, og derfor foretager han yderlgere test for at undersøge de nøjagtgheder, som kan opnås. Ved dette forsøg foretages beregnngerne SKI-PRO. [Schweger og Gläser, 2005] Ved denne test benyttes to Garmn etrex Vsta og formålet er at undersøge sammenhængen mellem nøjagtghed og afstanden mellem modtagerne. I forhold tl testen udført 2003 er forskellen, at der ved denne test benyttes to Garmn-modtagere, og at basslængden blver op tl 8 km. lang, hvor den det tdlgere forsøg var mndre end 1 km. Ved testen blev den ene modtager placeret et kendt punkt, hvorefter den anden modtager blev placeret syv andre punkter 30 mn hvert sted. I fgur 3.5 er de punkter vst, hvor GPS-modtagerne blev placeret under 19

opmålngerne. Den ene Garmn-modtager blev placeret punkt 6, hvor den målte løbende under hele testen. [Schweger og Gläser, 2005] Fgur 3.5 - Basslner fra testen Stuttgart 2005 [Schweger og Gläser, 2005] I fgur 3.6 er 3D-forskellen med de beregnede og de kendte koordnater vst. Afstanden mellem rover og master er kortest ved punkt 5, som ses tl venstre fgur 3.7, og afstanden er størst ved punkt 101. Det er kke mulgt at se en klar sammenhæng mellem afstanden fra masteren og den nøjagtghed, som opnås de enkelte punkter. Punkt 10 har den dårlgste nøjagtghed, hvlket Schweger mener skyldes, at punktet er placeret nær en bygnng, og derved kan målngerne være påvrket af multpath. [Schweger og Gläser, 2005] Hvs der ses bort fra punkt 10 vser denne test, at afvgelsen mellem de kendte og den beregnede koordnat ved afstande mellem rover master på op tl 8 km er bedre end 8 cm. Testen vser kke en sammenhæng mellem nøjagtgheden og afstanden mellem de to modtagere. Nøjagtghederne fguren kan opnås, når der foretages opmålng under gode forhold og ved datandsamlng mndst 30 mnutter. Det nævnes artklen, at målngerne er meget følsomme overfor multpath og anden påvrknng af sgnalet, da modtageren kke foretager en vurderng af sgnalets påldelghed og kvaltet. Derudover konkluderes det bl.a., at der bør tages højde for halve bølgelængder, hvlket kke er mulgt, når SKI-PRO anvendes ved beregnngerne. 20

Fgur 3.6 3D-Afvgelser fra kendte koordnater [Schweger og Gläser, 2005] 3.2 Enkeltfrekvente Systemer Artklerne, som er blevet præsenteret de foregående afsnt, drejer sg om mulgheden for at benytte faseobservatoner fra bllge Garmn-modtagere, men der fndes forvejen kommercelle systemer, som lgeledes kun benytter faseobservatoner fra L1 det drejer sg bl.a. om ProMark fra Thales og systemet SR20 fra Leca. Dsse to systemer vl det følgende blve præsenteret. 3.2.1 Thales ProMark Det enkeltfrekvente opmålngssystem fra Thales fndes to udgaver ProMark2 og ProMark3. Ifølge Thales er styrken ved dsse systemer, at de både kan benyttes tl ndsamlng af GIS-data og tl opmålng, hvor der kræves nøjagtghed på centmeternveau. Derudover kan modtageren benyttes tl navgaton som andre håndholdte modtagere. På fgur 3.7 og 3.8 ses ProMark 2 og 3. Fgur 3.7 Thales ProMark2 [Thales, WWW, 2006] Fgur 3.8 Thales ProMark 3 [Thales, WWW, 2006] Af produktbeskrvelserne fremgår det, at modtagerne har to hovedndstllnger, hvor første ndstllng bruges tl navgaton, som en tradtonel bllg modtager, når man ønsker at genfnde punkter. Herefter kan en ekstern antenne tlsluttes, og modtageren ndstlles tl at foretage nøjagtg opmålng. Nøjagtgheden planet er ved statske målnger 0.005 m + 1 ppm, og højden er nøjagtgheden 0.010 m + 2 ppm. Dsse nøjagtgheder opnås ved at foretage observatoner 20-60 mnutter med ProMark2 og 4-40 mnutter med ProMark3. Tden, der skal observeres, afhænger af afstanden mellem modtagerne og af andre faktorer såsom satelltgeometren, se fgur 3.9. [Thales, WWW, 2006] 21

ProMark2 ProMark3 Plan 0.005 m + 1 ppm 0.005 m + 1 ppm Højde 0.010 m + 2 ppm 0.010 m + 2 ppm Observatonstd 20-60 mnutter 4-40 mnutter Fgur 3.9 - Nøjagtgheder ved statsk målng (rms) I fgur 3.10 er prserne for Promark 2 og 3 vst, og det ses, at prsen starter ved 21000,- kr. for en enkelt modtager. Prsen for to modtagere er lge omkrng 50.000,-, hvor al nødvendg hardware og software er nkluderet. Tl at behandle de ndsamlede data medfølger softwaren GNSS Solutons, som er udvklet af Thales. [NavtechGPS, WWW, 2006a] & [NavtechGPS, WWW, 2006b] ProMark2 ProMark3 Prs (1 modtager) 21.000,- kr. 27.000,- kr. Prs (2 modtagere) 42.500,- kr. 50.000,- kr. Fgur 3.10 - Prser for Thales ProMark2 og ProMark3 3.2.2 Leca SR20 Leca har lgeledes udvklet et enkeltfrekvent system, som kan benyttes tl ndsamlng af GISdata og med mulghed for at opnå nøjagtgheder på centmeternveau ved efterprocesserng. Som det er vst fgur 3.11 kan der tlkobles en ekstern antenne, som benyttes, når der ønskes høj nøjagtghed. Der er også mulghed for at benytte antennen, som er ndbygget selve modtageren, hvlket f.eks. kan være anvendelgt ved lokalserng af ekssterende punkter. Ved efterprocesserng af faseobservatoner ndsamlet med to modtagere kan der opnås en 2D nøjagtghed på 0.005-0.010 m + 2 ppm. Nøjagtgheden højden er det dobbelte af nøjagtgheden planet. Der er dog ntet nævnt hverken reklamebrochuren eller manualen om, hvor længe der skal observeres et punkt for at opnå denne nøjagtghed. En anden vejlednng fra Leca anbefaler, at der ved enkeltfrekvente GPS-modtagere observeres mnmum 15 mnutter, når der er fra 1 tl 3 km mellem master og rover. For hver klometer afstanden forøges skal der observeres 5 mnutter længere. Dette betyder, at der ved en afstand på f.eks. 8 klometer mellem master og rover skal observeres 40 mnutter. [Leca Geosystems, 2000] & [Leca Geosystems, WWW, 2006] Fgur 3.11 - Leca SR20 [Leca Geosystems, WWW, 2006] 22

Leca SR20 Plan 0.005-0.010 m + 2 ppm Højde 0.010-0.020 m + 4 ppm Observatonstd 15-? mnutter Fgur 3.12 - Nøjagtgheder ved statsk målng (Leca SR20) Leca SR20 sælges to standardpakker med enten en eller to modtagere, hvor der medfølger bl.a. batterer, oplader, kabler, ekstern antenne og software. Leca oplyser, at prsen er henholdsvs 36.300 kr.,- for en modtager og 61.400 kr.,- for to. Ved køb af modtageren medfølger programmet Leca GeoOffce. Prs (1 modtager) Prs (2 modtagere) Leca SR20 36.300 kr. 61.400 kr. Fgur 3.13 - Prser for Leca SR20 (excl. moms) Når de enkeltfrekvente systemer fra Thales og Leca sammenlgnes, vser det sg, at de to systemer mnder meget om hnanden med hensyn tl nøjagtgheder og anvendelse. Anskaffelsesprsen for to enkeltfrekvente modtagere og software vl lgge på mellem 40.000.- og 60.000,- kr. afhængg af, hvlken producent modtagerne er fra. 3.3 Anvendelser I dette afsnt vl der blve set nærmere på de anvendelsesmulgheder, der er ved et enkeltfrekvent GPS-system. Som udgangspunkt kan de systemer fra Thales og Leca, som blev præsenteret sdste afsnt, benyttes tl de samme opgaver, som dobbeltfrekvente modtagere. Der er dog en række forskelle mellem de enkelt- og dobbeltfrekvente systemer, som har betydnng for den praktske anvendelse. Dobbeltfrekvente modtagere kan høj grad elmnere påvrknngen fra onosfæren ved at foretage beregnnger ud fra de to fasesgnaler, men dette er kke mulgt med en enkeltfrekvent modtager. Derfor bør afstanden mellem master og rover kke være for stor, da det dermed kan antages, at de atmosfærske påvrknnger er ens. Derudover skal der observeres længere td ved datandsamlng med enkeltfrekvente modtagere, hvlket vser sg ved, at der ved modtagerne fra både Thales og Leca skal observeres mnmum 15 mnutter for at opnå en nøjagtghed på centmeternveau. [Dueholm et al., 2005, s. 75-80] Selvom der er vsse begrænsnnger ved at benytte enkeltfrekvente modtagere, kan de ved nogle opgaver opvejes af den bllgere prs ved anskaffelse. I [Schweger og Gläser, 2005] argumenteres der for at et sådant system vlle være egnet tl anvendelse Ulande. Der kunne dermed ses en stor anvendelghed for denne type modtagere ved etablerngen af matrkulære systemer Ulande. En styrke ved de enkeltfrekvente systemer er, at de er bllge anskaffelse. Anskaffelsesprsen for to enkeltfrekvente modtagere tl 40-60.000,- kr. er kke meget, hvs der sammenlgnes med 23

to geodætske modtagere tl omkrng 300-400.000,- kr. Den forholdsvs lave anskaffelsesprs kan også være medvrkende tl, at et frma vælger at anskaffe GPS-udstyr, som måske ellers vlle være for dyrt. Dog spller arbejdslønnen en stor rolle Danmark, hvlket kke taler for anskaffelsen af et system, der kræves lang observatonstd. Derfor må anvendelsesområdet fndes, hvor observatonstden kke spller en afgørende rolle. 3.4 Opsamlng Det har vst sg ved forsøg udført ved Unversteterne Nottngham og Stuttgart, at postoner beregnet vha. fasemålnger fra en bllg GPS-modtager kan komme ned på cm-nveau. Denne høje nøjagtghed kræver dog, at der ndsamles data ca. 30 mnutter, da nøjagtgheden ellers blver dårlgere. Ved observatoner f.eks. 15 mn er afvglesen omkrng 20 cm. I fgur 3.14 er resultaterne fra artklerne vst sammen med nøjagtghederne ved de to beskrevne enkeltfrekvente systemer. Nøjagtghederne er kke angvet ens artklerne, men det er allgevel mulgt at danne sg et ndtryk af, hvlket nveau de befnder sg på. Forfatter Hll 2 Schweger 2003 3 Schweger 2005 4 Thales 5 Leca 6 Modtagertype Nøjagtghed, Plan Nøjagtghed, Højde Garmn 12XL Garmn etrex Vsta + Leca SR530 Garmn etrex Vsta Thales Pro- Mark < 0.011 m > 30 cm 0.005 m <0.08 m (3D) < 0.016 m > 40 cm 0.010 m Leca SR20 0.005-0.010 m 0.010-0.020 m Observatonstd 30 mn. 5 mn 30 mn. 4-40 mn. 15-60 mn. Fgur 3.14 Opsamlng af resultater fra artklerne Når det ønskes at få bedre nøjagtgheder ved målnger med en bllg Garmn-modtager, er der flere forhold, som har ndflydelse. I alle artklerne fremgår det, at de ndsamlede data er blevet korrgeret for cycleslps, og at der vlle kunne ske en yderlgere forbedrng af resultaterne, hvs denne korrekton kunne ske tl halve bølgelængder stedet for hele bølgelængder. Det vl sge, at korrekton for cycleslp spller en stor rolle for den nøjagtghed, der kan opnås. Specelt hvs der også tages højde for halve bølgelængder ved bestemmelsen af perodekonstanterne. 2 Nøjagtghederne er angvet som afvgelsen mellem kendte og beregne koordnater 3 Nøjagtghederne er angvet som sprednng (standard devaton) 4 Nøjagtghederne er angvet som 3D-afvgelsen mellem kendte og beregnede koordnater 5 Nøjagtghederne er angvet som sprednng (RMS) 6 Nøjagtghederne er angvet som sprednng (RMS) 24

Kaptel 4 Problemformulerng

26

4 Problemformulerng Der er gennem foranalysen blevet præcenteret nogle af de resultater, der er opnået med postonsbestemmelse vha. faseobservatoner ndsamlet med bllge GPS-modtagere. Projektgruppen ønsker at arbejde med dette emne projektet, og derfor er det valgt at anvende Garmn 12XL, da der ved denne modtager er mulghed for at få adgang tl de rå observatoner. Der kunne dog benyttes en hvlken som helst anden bllg modtager, hvs blot der er adgang tl de rå observatoner. Som det vste sg gennem foranalysen skal faseobservatonerne, der hentes ud af modtageren korrgeres for cycleslp. Hvs der skal opnås nøjagtgheder på centmeternveau, skal der derfor tages højde for cycleslps ved udarbejdelsen af beregnngsrutner tl behandlng af data fra Garmn-modtageren. Der er en række forskellge metoder tl at lokalsere og korrgere cycleslps. Projektgruppen skal derfor skabe sg et overblk over de metoder, der kan benyttes ved enkeltfrekvente modtagere. Korrektoner af cycleslps kan både foretages realtme og ved efterprocesserng. Ved efterprocesserng kan cycleslps fjernes mere enkelt end realtme. Det har dog kke været mulgt at benytte rådata fra Garmn-modtageren realtme, men projektgruppen forventer dog, at efterprocesserng af Garmn-data vl gve tlstrækkelg med udfordrnger tl et helt semester. Som det lgeledes fremgk af foranalysen er det mulgt at forbedre nøjagtghederne ved postonsbestemmelse med Garmn-data ved at tage højde for, at modtageren måler halve bølger. Dette betyder, at det ved behandlngen af cycleslps og ved bestemmelse af perodekonstanter skal være mulgt at lade værderne antage halve bølgelængder. [Hll et al., 2001] Projektgruppen er på baggrund af ovenstående kommet frem tl følgende problemformulerng: Hvlken præcson kan projektgruppen opnå ved efterprocesserng af rå GPS-observatoner ndsamlet med to Garmn 12XL? Det er valgt at betragte dette problem fra en landmålngsmæssg synsvnkel. Det vl sge, at for at begrænse de parametre, der skal undersøges med hensyn tl systemets formåen, vl der blve fokuseret på, hvlken ndflydelse observatonstden og basslængden har på præcsonen. Det er lgeledes dsse to parametre Leca og Thales benytter ved præcsonsbeskrvelsen af deres systemer. Ud fra dsse betragtnnger er det valgt at nddele ovenstående spørgsmål følgende to delspørgsmål: 27

Hvlken sammenhæng er der mellem observatonstd og præcsonen? Hvlken sammenhæng er der mellem basslængden og præcsonen? For at kunne besvare ovenstående spørgsmål skal projektgruppen udarbejde en beregnngsrutne, der kan bestemme postoner ved relatv fasemålng. Under udarbejdelsen skal der tages højde for, at perodekonstanterne kan antage halve bølgelængder. Det er derudover en forudsætnng for præcs postonsbestemmelse, at der tages højde for cycleslps. Det er derfor også nødvendgt, at projektgruppens beregnngsrutne kan håndtere cycleslps. 28

Kaptel 5 Præsentaton af udstyr

30

5 Præsentaton af udstyr Dette afsnt har tl formål at gve en præsentaton af de to Garmn 12XL, der vl blve benyttet dette projekt. Derudover ndeholder afsnttet en kort præsentaton af den software, som gør det mulgt at gemme faseobservatonerne fra denne GPS-modtager. 5.1 Garmn XL12 GPS-modtageren Garmn 12XL, hører følge producenten tl verdens mest solgte håndholdte GPS-modtagere. Modellen produceres dog kke længere, men da der er solgt så mange eksemplarer, må det antages, at det stadg er en meget benyttet modtager. Modtageren henvender sg tl prvatpersoner og har funktoner, som netop er rettet mod brugere som f.eks. lystfskere, spejdere eller vandrere, der ønsker en modtager tl navgaton. Modtagerens funktoner afspejler netop denne målgruppes behov ved funktoner såsom kompas, wayponts, rutevsnng o.lgn. Dsse funktoner vl kke blve yderlge beskrevet, da de kke skal benyttes dette projekt. Specfkatonerne for modtageren er vst fgur 5.2. For yderlgere specfkatoner henvses tl Garmn-producentens hjemmesde. [Garmn, WWW, 2006a],[Garmn, 1997] Fgur 5.1 - Garmn 12XL [Garmn, WWW, 2006b] Som det fremgår af fgur 5.2, er der er mulghed for at tlslutte en ekstern antenne, hvlket flg. manualen kan forbedre nøjagtgheden. Der er flere mulgheder for at vælge formater, når modtageren skal sende eller modtage data fra andre enheder. Garmns eget format kan benyttes, når der skal overføres data mellem to Garmn-modtagere eller tl en PC. RTCM-formatet benyttes, når der skal modtages DGPS-korrektoner, og NMEA-formatet kan benyttes som nputformat tl at opdatere wayponts og som outputformat tl at brnge koordnater og anden nformaton vdere. Det er dog kke Specfkatoner mulgt at ndstlle modtageren tl at Modtagertype C/A kode (L1 frekvens) sende de rå observatoner som output. Antal kanaler 12 [Garmn, 1997] Antenne Intern (ekstern antenne kan tlsluttes) Td mellem opdaternger 1 sek. Da der dette projekt ønskes at arbejde med rå observatoner fra bllge DGPS nøjagtghed, RMS 1-5 m GPS nøjagtghed, RMS 15 m GPS-modtagere, skal dsse være tlgængelge Outputformater NMEA, Propretary garmn for, at en modtager kan benyttes projektet. Det har vst sg, (Garmns eget format) Inputformater NMEA, RTCM, Propretary garmn (Garmns eget format) at det er mulgt at få rå observatoner ud af Garmn 12XL, og derfor er det Strøm 4 AA batterer Fgur 5.2 Specfkatoner for Garmn 12XL 31

valgt at benytte denne modtager projektet. Da det kke umddelbart er mulgt at ndstlle modtageren tl at udsende rå observatoner, skal der benyttes specelt software, der gør dette mulgt. 5.2 Grngo og Async Som det blev nævnt sdste afsnt er der kke mulghed for at gemme faseobservatoner fra Garmn XL12 drekte modtagerens hukommelse eller at ndstlle modtageren tl at sende observatonerne som output. Dette skyldes sandsynlgvs, at der kke er et behov for dette blandt den typske målgruppe. Det har dog vst sg, at det allgevel kan lade sg gøre at få adgang tl rådata. Ved at koble modtageren tl en PC og benytte programmer, som dem, der beskrves senere dette afsnt, kan man få modtageren tl at udsende rå kode- og faseobservatoner. I de tre artkler, som blev præsenteret afsnt 3.1, blev programmet GRINGO benyttet tl at gemme observatonerne fra Garmn-modtageren. Programmet GRINGO er udvklet ved Unverstetet Nottngham, og programmet kan levere observatoner RINEX-format 7. For at programmet kan benyttes skal Garmn-modtageren være tlsluttes en PC va. et seralstk, hvorefter observatoner løbende kan gemmes på harddsken. Programmet GRINGO blev fra starten desgnet tl at kunne benytte data fra Garmn 12XL, og derfor vlle dette program være oplagt at benytte dette projekt, da det netop er denne type modtagere, der arbejdes med. Programmet er dog kke stllet frt tl rådghed, og derfor er dette program blevet fravalgt. [Hll et al., 2001] Det vste sg dermod, at der ved det teknske unverstet Madrd er blevet udarbejdet et lgnende program af Antono Tabernero Galán. Dette program har dog kke en grafsk brugerflade på samme måde som GRINGO, men skal dermod køres fra et kommandovndue. Dette kan umddelbart vrke ldt besværlgt, men er dog ntet problem, når det tages betragtnng, at det er forholdsvst få kommandoer, der skal benyttes. Programmet stlles øvrgt frt tl rådghed. Programmet består egentlg af to programmer. Det ene hedder Async, og med dette program overføres data løbende fra Garmn-modtageren tl en bærbar computer under opmålngen. Efter opmålngen fndes der derefter en fl på computeren med de ndsamlede data. Denne datafl er dog kke umddelbart læsbar og skal derfor først oversættes, hvlket det andet program gar2rnx kan udføre. Den endelge fl er en observatonsfl Rnexformat, og dermed er kode- og faseobservatonerne fra Garmn-modtageren blevet tlgængelge et flformat, som kan benyttes af de fleste beregnnsprogrammer. Det er dsse to programmer async og gar2rnx, der vl blve benyttet tl at få adgang tl de rå observatoner fra Garmnmodtageren. [Galán, Antono Tabernero, WWW, 2006] 7 Informatoner om RINEX-formatet kan fndes på følgende sde: http://www.ngs.noaa.gov/cors/rinex2.html 32

Kaptel 6 Relatv postonerng

34

6 Relatv postonerng I dette kaptel vl grundlaget for udarbejdelsen af en beregnngsrutne tl efterprocesserng af GPS-data blve præsenteret. Beregnngsrutnerne er blevet foretaget MatLab, og har bl.a. tl formål at danne grundlag for mplementerngen af forskellge metoder tl behandlng af cycleslps. Som det fremgår af problemformulerngen ønskes der en undersøgelse af, hvlken præcsonen projektgruppen kan opnå med to bllge modtagere. For at opnå en præcson, der er tlstrækkelge gode tl landmålng, skal postonsbestemmelsen ske ved relatv GPS-målng, hvor der foretages faseobservatoner fra to modtagere tl de samme satelltter samtdg. Dette gøres for at kunne danne enkelt- og dobbeltdfferenser, der elmnerer en række fejlklder. Dfferensdannelsen vl blve yderlgere beskrevet det følgende. I sdste del af dette kaptel følger en beskrvelse af den teor projektgruppen har benyttet sg af for at bestemme en float- og fxedløsnng. Ud fra den teor er der udarbejdet en række scrpts, der har tl formål at beregne float- og fxedløsnnger. De udarbejdede scrpts er blevet testet, og resultaterne præsenteres sdst kaptlet. Det arbejdsdatasæt, som er blevet benyttet, er beskrevet blag B. Formler og notatonen dette kaptel er hentet fra [Cederholm, 2006]. 6.1 Dfferenser Dannelsen af dfferenser mellem faseobservatoner er grundlaget for at kunne udføre postonsbestemmelse på centmeternveau. For at kunne danne dfferenser benyttes to modtagere, hvor den ene er placeret et punkt med kendte koordnater og den anden modtager er placeret punktet, der ønskes opmålt. I dette afsnt beskrves elmnerngen af fejlbdrag ud fra enkeltog dobbeltdfferenser. 6.1.1 Enkeltdfferenser For at kunne danne dfferenser skal rover og master foretage observatoner tl de samme satelltter på samme td. En faseobservaton mellem master og en satellt ses nedenfor. j j j ρ = λδφ + λn c( dt + dt + I T λ j m m m m ) j j j Δ φm = ρ m + c( dtr + dt ) I + T λn j m hvor m er master (modtagerne står altd subscrpt) j er en satellt (satelltterne står altd superscpt) j ρ m er den geometrske afstand mellem sat. og master j N m er perodekonstanten mellem j og m j Δ φ m er den målbare og den akkumulerede faseforskel mellem j og m Fgur 6.1 - Enkeltdfferens 35

λ er bølgelængden I er Ionosfæreforsnkelsen T er Troposfæreforsnkelsen dt j er satellttens urfejl dt m er masterens urfejl C er lysets hastghed vakuum Enkeltdfferenser dannes ved at trække observatonen mellem master og satellt fra observatonen mellem rover og satellt, se fgur 6.1. Enkeltdfferensen er dermed forskellen mellem de to afstande, der er vst fguren. For at vse, hvordan de forskellge fejlbdrag blver elmneret er beregnngerne af en enkeltdfferens vst nedenfor. j λ Δφ r j λδφ m j = [ ρ r + c( dt r + dt j ) I + T λn j j j j λ Δφ λδφ = ρ ρ + c( dt dt ) λn r j rm j rm m λδ φ = ρ + c( dt ) λn r rm m j rm r m j r j r j ] [ ρ + λn j m m + c( dt m + dt j ) I + T λn j m ] hvor j λδ φ rm er enkeltdfferensen j Δ φ r er den målbare faseforskel mellem j og r j N r er perodekonstanten mellem j og r j ρ r er den geometrske afstand mellem sat. og rover dt r er roverens urfejl Det ses af formlen hvordan enkeltdfferens elmnerer satellturets fejlbdrag. Det antages lgeledes, at onosfære og troposfære bdraget elmneres. 6.1.2 Dobbeltdfferens Dobbeltdfferens dannes ved at trække to enkeltdfferenser fra hnanden, se fgur 6.2. I dette tlfælde fås: j j j λδ φ λδφ = [ ρ + cdt + λn ] [ ρ + cdt + λn ] rm λ Δφ rm rm j λδφ rm = ρ λ Δ φ = ρ + λn j rm j rm rm rm j rm j ρ rm rm rm + λn λn rm j rm rm rm rm hvor er referencesatelltten. j λδ φ rm er dobbeltdfferensen 36

En af enkeltdfferenserne, der benyttes tl udregnng af dobbeltdfferensen, skal ndeholde referencesatelltten. Referencesatelltten danner dobbeltdfferenser med alle øvrge satelltter. Typsk vælges den satellt, der står højest på hmlen som reference satellt. Hvs referencesatelltten forsvnde under horsonten, skal der vælges en ny referencesatellt, og nye perodekonstanter skal bestemmes. Projektgruppen har valgt at gøre satelltten med den højeste vnkel over horsonten tl referencesatellt, dog med den betngelse, at satelltten skal have Fgur 6.2 - Dobbeltdfferenser observatoner alle epoker. Det er mdlertd klart, at sådanne betngelser er tdsmæssge betnget, da satelltterne kke er geostatonære. Det vlle derfor være en mere unversel løsnng, hvs referencesatelltten kan være skftende satelltter, således at der bestemmes nye perodekonstanter tl dobbeltdfferenserne, hvs referencesatelltten kke længere kan observeres. Projektgruppen har dog kke ndbygget denne betngelse det udarbejde scrpt. Det er dobbeltdfferenserne, der blver benyttet ved den relatve postonerng. Som det ses af formlen for dobbeltdfferenser, er der for hver dobbeltdfferens en ubekendt perodekonstant. Dvs., at der ved målng med syv satelltter er seks ubekendte perodekonstanter, der skal bestemmes, da referencesatelltten kke danner dobbeltdfferens med sg selv. Hertl kommer roverpunktets tre ubekendte koordnater, som er det egentlge mål med beregnngen. Første epoke vl dette eksempel ndeholde 6 lgnnger med 9 ubekendte. Det er derfor nødvendgt at observere over flere epoker, før en løsnng tl perodekonstanterne og roverpunktet kan bestemmes. Derudover bestemmes perodekonstanterne bedst, hvs der observeres over længere peroder. 6.2 Float- og fxed-løsnng I det følgende vl beregnngen bag float- og fxedløsnngen blve præsenteret. Ved en floatløsnng bestemmes perodekonstanterne som reelle tal og en poston tl roveren kan bestemmes. Perodekonstanterne er mdlertd et udtryk for et antal hele bølgelængder. Der kan derfor typsk opnås en bedre løsnng, hvs perodekonstanterne afrundes tl hele bølgelængder. For Garmns vedkommende er perodekonstanten et udtryk for et antal halve bølger jf. foranalysen, og afrundngen skal derfor ske tl halve bølgelængder. 6.2.1 Floatløsnngen Ved bestemmelse af floatløsnngen skal der opsættes en A-, b- og C-matrce. Matrcerne behandles det følgende. A- og b-matrcen eksemplfceres ud fra en enkelt observaton, mens C-matrcen eksemplfceres ud fra et helt observatonssæt. 37

38 b-matrcen (observatonsvektoren) For hver epoke bestemmes den geometrske afstand mellem hver enkelt satellt og de to modtagere. Denne afstand benyttes tl de beregnede dobbeltdfferenser: j m j r m r j rm s s s s S + = hvor s er den geometrske afstand mellem satellt og modtager j rm S er den beregnede dobbeltdfferens På tlsvarende måde bestemmes de observerede dobbeltdfferenser. j m j r m r j rm φ λ φ λ φ λ φ λ φ λ Δ + Δ Δ Δ = Δ Når alle dobbeltdfferenser er dannet, opsættes observatonsvektoren, b. j rm j rm S b Δ = φ λ [Cederholm, 2006] A-matrcen (desgn matrcen) Næste proces er at danne den tlhørende A-matrce. Observatonslgnngen for dobbeltdfferensen er ulnear og skal derfor lnearseres + + = N j m j r m r j rm λ ρ ρ ρ ρ λφ j rm m j m j m j r j r j r j m m m r r r j rm N Z Z Y Y X X Z Z Y Y X X Z Z Y Y X X Z Z Y Y X X λ λφ + + + + + + + + + + = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( De partelle afledede mht. de ubekendte er = Δ j r r j r r r j rm s X X s X X X φ λ = Δ j r r j r r r j rm s Y Y s Y Y Y φ λ = Δ j r r j r r r j rm s Z Z s Z Z X φ λ λ φ λ = Δ j rm j rm N Løsnngen fndes teratvt. [Cederholm, 2006]

C-matrcen (vægt matrcen) Vægtmatrcen, er kke dagonal som det kendes fra andre dele af landmålngen. Det skyldes, at observatonslgnngerne udjævnngen er lnearkombnatoner af de oprndelge observatoner. Vægtmatrcen kommer derfor tl at have følgende form. [Borre, 1992, s. 87] første epoke C = 0 anden epoke... 0 n te epoke Dmensonen af hver epokes bdrag C-matrcen afhænger af, hvor mange satelltter, der er observeret tl de enkelte epoker. Hvs der f.eks. første epoke er observeret tl 6 satelltter heraf en referencesatellt vl epoke bdraget være en dagonalsymmetrsk 5x5 matrx. Med A-, b- og C-matrcen bestemt kan den egentlg udjævnng ske. Resultatet er tre tlvæster, Δ X r, Δ Yr og Δ Z r tl roverpostonen samt en perodekonstant tl hver satellt. 8 Hvs tlvæksterne er tlstrækkelge små er roverpostonen bestemt, ellers køres hele proceduren gennem gen, med den nye foreløbge roverposton. Det overordnede forløb tl floatløsnngen ses fgur 6.3. 8 Dog kke referencesatelltten 39

40 6.2.2 Fxedløsnngen Perodekonstanterne fra floatløsnngen er reelle tal. Det kan derfor forventes en forbedrng af roverpostonen, hvs perodekonstanterne kan afrundes tl det korrekte heltal for Garmn bør afrundngen også kunne ske tl nærmeste halve bølgelængde. Projektgruppen har med baggrund den [Cederholm, 2006] gengvne metode udarbejdet en fxedløsnng. Her er den perodekonstant, der lgger nærmest hel- eller halv bølger blevet afrundet, og λ -værderne tlknyttet de pågældende perodekonstanter er blevet fjernet fra A- matrcen, lgesom N λ er trukket fra de relevante observatoner b-matcen. = x A b ) Δ Δ Δ Δ 5 5 4 4 4 3 3 2 2 rm rm rm rm rm rm rm rm rm S N S S S φ λ λ φ λ φ λ φ λ = Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ 5 3 2 5 5 5 4 4 4 3 3 3 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 rm rm rm r r r r rm r rm r rm r rm r rm r rm r rm r rm r rm r rm r rm r rm N N N Z Y X Z Y X Z Y X Z Y X Z Y X λ φ λ φ λ φ λ φ λ φ λ φ λ λ φ λ φ λ φ λ λ φ λ φ λ φ λ Fgur 6.3 Processen ved floatløsnngen. Fguren er forsmplet forhold tl det udarbejdet scrpt

Herefter kan en ny udjævnng gennemføres. Udjævnngen foregår lgesom ved floatløsnngen dvs. ved en teratv proces. Herefter blver en ny perodekonstant afrundet efter samme prncp som ovennævnt. Denne proces fortsættes ndtl alle perodekonstaneter er bestemt, og der er fundet en løsnng, hvor blot de tre tlvækster [Cederholm, 2006] Δ X r, Yr Δ og Δ Z r er tlbage, se fgur 6.4. Fgur 6.4 Processen ved fxedløsnngen. Fguren er forenklet forhold tl det udarbejdet scrpt Det er mdlertd kke altd fornuftgt at bestemme fxed løsnngen. Hvs en float perodekonstant f.eks. gver -87457341,88 bølger, og er blevet bestemt med en sprednng på 0,3 bølge, bør alle perodekonstanter nden for tre gange sprednng undersøges. Det vl sge, at perodekonstanterne fra -87457340,5 tl -87457343,0 skal undersøges. Satelltten har altså dette tlfælde en af seks forskellge perodekonstanter. Hvs der skal bestemmes syv perodekonstanter, hvor alle perodekonstanterne kan antage seks forskellge værder, vl det gve 6 7 = 279936 forskellge kombnatonsmulgheder. Emprske undersøglser har vst, at kun hvs den løsnng med den mndste resdual kvadratsum er 2 tl 3 gange mndre end den næstbedste løsnng, skal en fxed løsnng udregnes, ellers er det bedre at beholde floatløsnngen. Denne sdste undersøgelse har projektgruppen dog kke foretaget. [Hofmann-Wellenhof et al., 2001, s. 223-225] En anden mulghed tl bestemmelsen af fxed-løsnnger er anvendelsen af LAMBDAmetoden 9. Metoden er udvklet Holland ved unverstet Delft starten af 90 erne, og den fnder sær anvendelse ved opmålnger med korte observatonstder. Med udgangspunkt pe- 9 Least-squares AMBguty Decorrelaton Adjustment 41