Ufuldstændighed, mængdelære og beregnelighed

Ufuldstændighed, mængdelære og beregnelighed Thomas Bolander, DTU Informatik Matematik: Videnskaben om det uendelige Folkeuniversitetet i København, efteråret 2009 Thomas Bolander, FUKBH 09 s. 1/27

Sidste uge så vi på: Lidt repetition Cantors og Russells paradokser (1899, 1901), som truede mængdelærens grundlag. Et efterfølgende forsøg på at redde mængdelæren ved formalisering (Russell, Hilbert m.fl.). Gödels ufuldstændighedssætninger, som viser at alle formaliserede systemer af en vis styrke nødvendigvis enten er inkonsistente eller ufuldstændige. Thomas Bolander, FUKBH 09 s. 2/27

Ufuldstændighed og matematisk praksis Gödels resultat omhandler formelle systemer, det vil sige, systemer som overholder en streng syntaks, og hvor beviser har en strengt defineret struktur. Svarer sådanne formelle systemer til sædvanlig matematisk praksis? Med andre ord: Kan Gödels resultater overføres til rammen af sædvanlig matematisk praksis, sådan at vi kan konkludere at matematikken som sådan er ufuldstændig (eller inkonsistent)? For at tilnærme et svar kigger vi først på den aksiomatiske mængdelære, altså formaliseringer af mængdelæren. Thomas Bolander, FUKBH 09 s. 3/27

Den naive mængdelære Cantors naive mængdebegreb (1895) kan formuleres på følgende måde (jvf. forrige forelæsning): Ethvert prædikat (enhver egenskab) bestemmer entydigt en mængde bestående at de objekter som opfylder prædikatet (egenskaben). Lidt mere formelt: Ethver prædikat P bestemmer entydigt en mængde M P for hvilken der gælder x(p(x) x M P ). Mængden M P bestemt af P betegner vi normalt {y P(y)}. Ovenstående kan derfor omskrives til: For ethvert prædikat P findes mængden {y P(y)} og der gælder x(p(x) x {y P(y)}). Det leder direkte frem til følgende aksiom-skema som formaliserer det naive mængdebegreb: UC x(ϕ(x) x {y ϕ(y)}), for enhver formel ϕ. Thomas Bolander, FUKBH 09 s. 4/27

Formalisering af den naive mængdelære Betragt igen aksiom-skemaet som formaliserer det naive mængdebegreb: UC x(ϕ(x) x {y ϕ(y)}), for enhver formel ϕ. Vi kan opnå et formelt system ved til dette aksiom at tilføje følgende slutningsregel: S Udfra xψ(x) sluttes ψ(t), for enhver formel ψ og ethvert mængde-udtryk t. Vi så sidst at det formelle system indeholdende UC og S er inkonsistent: Vi kan reproducere Russells paradoks i systemet. Konklusion. Cantors naive mængdebegreb er inkonsistent, ikke kun i en uformel sædvanlig matematisk ramme, men også i en strengt formaliseret ramme. Thomas Bolander, FUKBH 09 s. 5/27

Mod en ny mængdelære Eftersom Cantors naive mængdebegreb er inkonsistent har vi altså brug for et bedre mængdebegreb for at sikre mængdelærens grundlag. Men hvilket? Og hvordan? Først kan man se på at begrænse aksiomet UC, så det ikke kan lede til inkonsistenser. Det kan gøres ved at relativisere aksiomet: ZF8 x(ϕ(x) x M x {y M φ(y)}), for enhver mængde M og enhver formel ϕ. Nu siger aksiomet at givet en mængde M og et prædikat P kan vi altid udtage mængden af de elementer i M som opfylder P. Det oprindelige aksiom er blevet relativiseret til M. I denne form er aksiomet blevet til et delmængdeaksiom (jvf. forelæsningen om udvalgsaksiomet): Vi kan udtage vilkårlige delmængder af givne mængder. Thomas Bolander, FUKBH 09 s. 6/27

Betragt igen delmængdeaksiomet: Opbygning af mængder ZF8 x(ϕ(x) x M x {y M φ(y)}), for enhver mængde M og enhver formel ϕ. Delmængdeaksiomet leder ikke i sig selv til paradokser og inkonsistens. Men det leder heller ikke i sig selv til en mængdeteori: Hvorfra skal vi få de mængder som vi skal bruge delmængdeaksiomet til at udtage delmængder af? Indtil videre har vi ingen. Vi må tilføje nogen aksiomer som vi kan opbygge mængder med. Vi kan starte helt blødt med at erklære eksistensen af en tom mængde : ZF3 x(x ) Men den tomme mængde giver jo heller ikke i sig selv så meget sjov. Vi må have fat i nogen lidt større mængder... Thomas Bolander, FUKBH 09 s. 7/27

Mere om opbygning af mængder Potensmængder: En standard-måde at opbygge en større mængde fra en mindre på (jvf. Cantors sætning). Vi kan altså få opbygget en hel del mængder ved at hævde eksistensen af potensmængden af enhver mængde: ZF7 x(x P(M) x M), for enhver mængde M. Dette er potensmængdeaksiomet (jvf. forelæsningen om udvalgsaksiomet). Potensmængdeaksiomet + den tomme mængde giver eksistensen af uendeligt mange forskellige mængder:, P( ), P(P( )), P(P(P( ))), P(P(P(P( )))), P 5 ( ), P 6 ( ),... Thomas Bolander, FUKBH 09 s. 8/27

Mere om opbygning af mængder Potensmængdeaksiomet + den tomme mængde giver:, P( ), P(P( )), P(P(P( ))), P(P(P(P( )))), P 5 ( ), P 6 ( ),... Men alle disse mængder har hver især kun endeligt mange elementer. For at kunne generere uendelige mængder bliver vi nødt til eksplicit at hævde eksistensen af en uendelig mængde: ZF4 I ( I x I (x {x} I )) Ovenstående kaldes uendelighedsaksiomet og betegnes ofte Inf. Zermelo-Fraenkel mængdelære, ZF: Ovenstående aksiomer (ZF3, ZF4, ZF7, ZF8) + et par yderligere helt naturlige aksiomer + en enkelt slutningsregel (modus ponens). Thomas Bolander, FUKBH 09 s. 9/27

Zermelo-Fraenkel mængdelære (ZF & ZFC) Zermelo-Fraenkel mængdelære, ZF, er et alternativ til Cantors naive mængdelære. Forskelle: Konsistens. ZF formodes at være konsistent. Ingen konsistenser kendt, Cantors og Russells paradokser kan ikke umiddelbart formaliseres i ZF (hvorfor?). Opbygning af mængder nedefra. I ZF bygges mængder op nedefra: starter med den tomme mængde og bygger mere og mere komplekse mængder op derfra. Kompleksitet. ZF er et komplekst system af ikke-trivielle aksiomer. Den naive mængdelære kunne potentielt have klaret sig med UC + meget lidt mere. Udvalgsaksiomet kan tilføjes til ZF hvorved man får ZFC. ZFC er i dag det tætteste vi er kommet på et alment accepteret formelt grundlag for matematikken. Thomas Bolander, FUKBH 09 s. 10/27

ZFC og den sædvanlige matematik Formalisering. Al mainstream matematik kan (øjensynligt) formaliseres i ZFC. Meget af den er allerede blevet formaliseret igennem computer-genererede eller computer-assisterede beviser. Forventning: hvis man kan bevise et matematisk resultat med sædvanlige midler, kan man også bevise det rent formelt i ZFC. Bemærk dog: der kan være ret stor forskel på det almindelige bevis og dets formaliserede sidestykke (formelle beviser er bl.a. altid ufatteligt lange). Konklusion. ZFC synes at være en passende formalisering af matematikken. MEN: Vi ved at ZFC må være ufuldstændigt (Gödels sætning). Hvordan kan ZFC både siges at være en formalisering af matematikken og så stadig være ufuldstændigt?... Thomas Bolander, FUKBH 09 s. 11/27

ZFC og ufuldstændighed Konsistens. I det følgende antager vi stiltiende at ZFC er konsistent. Ufuldstændighed af ZFC. Et eksempel på en sætning som hverken kan bevises eller modbevises i ZFC er kontinuumshypotesen. Kontinuumshypotesen udtrykker følgende: Der findes ingen mængde som har større kardinalitet end N men mindre kardinalitet end P(N). (der ligger ikke nogen kardinalitet imellem de naturlige tal og kontinuumet). Kontinuumshypotesen forkortes ofte CH. Da CH er uafgørlig (hverken kan bevises eller modbevises) i ZFC, er både ZFC+CH og ZFC+ CH konsistente. To varianter af mængdelæren. Én hvor CH holder, og én hvor den ikke gør. Men hvad er det rigtige? Er kontinuumshypotesen så gyldig eller ej i vores sædvanlige matematiske virkelighed?... Thomas Bolander, FUKBH 09 s. 12/27

Kontinuumshypotesen Det viser sig lige så umuligt at bevise kontinuumshypotesen (eller dens negation) med sædvanlige midler som i ZFC. Altså må vi indtil videre acceptere at der kan findes flere ligeværdige varianter af mængdelæren med hver deres sæt af matematiske egenskaber. Det er i virkeligheden ikke en helt ny situation i matematikken, jvf. uafhængigheden af parallel-postulatet (det 5. aksiom) i Euklids Elementer, som igennem 2000 år voldte mange matematikere alvorlige hovedbrud. Der er dog også stadig mange matematikere som mener at CH enten må være universelt sand eller universelt falsk og som leder efter passende matematisk evidens for enten den ene eller den anden påstand. Thomas Bolander, FUKBH 09 s. 13/27

Formalisme vs. matematisk praksis Generisk ufuldstændighed. ZFC og enhver udvidelse med yderligere aksiomer er ufuldstændig (Gödels sætning), så der er ikke noget håb for en entydig mængdeteori i en ren formel ramme. Kan vi så stadig tro på en entydig mængdeteori i en ikke-formel matematisk virkelighed, eller skal vi acceptere en bred vifte af sådanne mængdeteorier i lighed med Euklidisk og ikke-euklidiske geometrier? Et problem. Hvis man tror på en entydig mængdeteori, kan man ikke samtidig tro på at matematikken lader sig fuldstændigt formalisere (jvf. Gödels sætning). Formaliseringens status. Der findes i dag ikke gode eksempler på matematiske sætninger som ikke lader sig formalisere. Tilsyneladende god grund til at mene at al matematik lader sig formalisere. Mulig konklusion. Begrænsningen udtrykt i Gödels sætning omfatter ikke kun formelle systemer, men også sædvanlig matematisk praksis. Men der er stadig potentielle udveje... Thomas Bolander, FUKBH 09 s. 14/27

Et dynamisk syn på matematikken Med et dynamisk syn på matematikken kan Gödels sætning ikke siges at give ufuldstændighed som sådan. Snapshot-formalisering. Ethvert snapshot af matematikken med de metoder og antagelser som på et givet tidspunkt opfattes som gyldige kan muligvis godt indfanges i et formelt system. Dette system er så ufuldstændigt. Matematikkens dynamik. Men matematikken er til forskel fra et formelt system noget som udvikles dynamisk, og flere aksiomer kan komme til efterhånden. Konsekvenser af Gödel under dynamisk opfattelse. Vi bliver aldrig færdige med at fastlægge matematikkens egenskaber og antagelser (aksiomer), men må til stadighed tilføje nye aksiomer i takt med at vi erobrer nyt matematisk land. Kontra-intuitiv konsekvens. Selve mængdebegrebet vil være i stadig udvikling og aldrig blive entydigt fastlagt. Thomas Bolander, FUKBH 09 s. 15/27

Pseudo-fuldstændighed En anden vej uden om Gödel kunne være følgende: Måske er ZFC eller en passende udvidelse pseudo-fuldstændig på den måde at de eneste uafgørlige sætninger er patologiske, selv-refererende formler af den type som konstrueres i Gödels bevis (en slags støj i ZFC). For at vurdere dette synpunkt må vi tage et nærmere kig på de uafgørlige formler som konstrueres i Gödels bevis... Thomas Bolander, FUKBH 09 s. 16/27

Repetition af Gödel Nummerering af formler. Ethvert formelt system har kun tælleligt mange formler, som derfor kan nummereres: ϕ 1 (x), ϕ 2 (x), ϕ 3 (x),.... Repræsenterbarhed: Mængden M er repræsenterbar i det formelle system hvis der eksisterer en formel ϕ(x) så der for alle i gælder: i M ϕ(i) kan bevises i systemet. Heterologiske formler og tal: Formlen ϕ n (x) kaldes heterologisk hvis ϕ n (n) kan bevises. n kaldes da et heterologisk tal. Tilstrækkelig styrke: Et formelt system siges at have tilstrækkelig styrke hvis mængden af heterologiske tal er repræsenterbar i det. Gödels ufuldstændighedssætning. Ethvert konsistent formelt system af tilstrækkelig styrke er ufuldstændigt. Gödels bevis. Hvis systemet er konsistent og af tilstrækkelig styrke findes en formel ϕ h (x) som repræsenterer mængden af heterologiske tal. Da bliver formlen ϕ h (h) uafgørlig (formalisering af Grellings paradoks). Thomas Bolander, FUKBH 09 s. 17/27

Om Gödels uafgørlige formler Gödel konstruerer en konkret uafgørlige formel ϕ h (h). Hvad udtrykker denne formel? Der gælder: ϕ h (i) kan bevises i er et heterologisk tal ϕ i (i) kan bevises. ϕ h (i) udtrykker således: negationen af den i te formel anvendt på i kan bevises. Specielt fås at ϕ h (h) udtrykker: Negationen af den h te formel anvendt på h kan bevises. Men, hov: Den h te formel anvendt på h er jo formlen ϕ h (h) selv! Altså udtrykker formlen ϕ h (h) at dens egen negation kan bevises. (heraf følger så at formlen kan bevises hvis og kun hvis dens negation kan, og hermed må man så vælge mellem konsistens og fuldstændighed). Formlen ϕ h (h) er således en slags selv-referende formel. Er vi overhovedet interesseret i at kunne bevise den slags formler?... Thomas Bolander, FUKBH 09 s. 18/27

Mere om Gödels uafgørlige formler Vi vil i det følgende prøve bedre at forstå Gödels uafgørlige formler. Vi har brug for et par nye begreber. Sekvenser af tegnstrenge. Beviserne i et formelt system er sekvenser af tegnstrenge over systemets alfabet. Mængden af sekvenser af tegnstrenge kan nummereres 0,1,2,... (f.eks. leksikografisk). Vi definerer nu følgende relation B over de naturlige tal: (p, q, r) B sekvens nr. p er et formelt bevis, og sidste element er formlen ϕ q (r). ω-konsistens: Et formelt system er ω-konsistent hvis der gælder, at når x N(ϕ(x)) kan bevises, så findes der et n N så ϕ(n) ikke kan bevises. Thomas Bolander, FUKBH 09 s. 19/27

Forfinet version af Gödels sætning Sætning (Gödels første ufuldstændighedssætning). Ethvert ω-konsistent formelt system hvori mængden B er repræsenterbar er ufuldstændigt. Bevis. Lad der være givet et formelt system som opfylder: systemet er ω-konsistent, systemet er fuldstændigt, mængden B er repræsenterbar i det. Tilstrækkeligt at vise at mængden af heterologiske tal er repræsenterbar i det (hvorfor?). Repræsenterbarhed af B giver formel ϕ b (x, y, z) repræsenterende B. Lad ψ(x) = w N(ϕ b (w, x, x)). Der gælder nu: ψ(n) kan bevises w N(ϕ b (w, n, n)) kan bevises der eksisterer m N så ϕ b (m, n, n) kan bevises der eksisterer m N så sekvens nr. m er bevis for ϕ n (n) ϕ n (n) kan bevises n er et heterologisk tal Formlen ψ(x) repræsenterer således mængden af heterologiske tal. Thomas Bolander, FUKBH 09 s. 20/27

Den forfinede version udtrykker: Gödels sætning Sætning (Gödels første ufuldstændighedssætning). Ethvert ω-konsistent formelt system hvori mængden B er repræsenterbar er ufuldstændigt. Denne version er tættere på Gödels oprindelige formulering. Begrebet tilstrækkelig styrke er nu blevet bragt lidt ned på jorden: repræsenterbarhed af B er tilstrækkeligt. Medlemskab af B kan afgøres ved en mekanisk procedure: For at afgøre om et trippel (p, q, r) er i B skal vi blot checke om sekvens nr. p (i den leksikografiske ordning) er et formelt bevis hvis sidste element er formlen ϕ q (r). Vi kan let checke om en given sekvens er et bevis, da vi blot skal checke om strengene i sekvensen er formler, der overholder slutningsreglerne for systemet (eller er aksiomer). Og vi kan naturligvis også let checke om sidste formel i en sekvens er en bestemt formel. Thomas Bolander, FUKBH 09 s. 21/27

Beregnelighed Begrebet mekanisk procedure kan gives præcist indhold igennem begrebet beregnelighed. Begrebet beregnelighed kan defineres via Turing-maskiner. Turing-maskiner. En Turing-maskine er en abstrakt form for computer med ubegrænset hukommelse. Turing-maskiner er rent matematisk defineret, og blev defineret af Turing allerede i 1936, længe før den første fysiske computer. Beregnelighed: En mængde M kaldes beregnelig hvis der findes en Turing-maskine som for alle x kan afgøre om x M eller ej (maskinen svarer ja hvis x M, ellers nej ). Turing-maskiner, computere og andre formalismer. Det kan vises at Turing-maskiner kan beregne nøjagtig de samme ting som moderne computere hvis vi ser bort fra at en computer kun har begrænset hukommelse. Desuden har alle andre forsøg på at indfange begrebet mekanisk procedure i en matematisk formalisme vist sig at lede til samme klasse af beregnelige relationer som Turing-maskinerne. Thomas Bolander, FUKBH 09 s. 22/27

Mere om beregnelighed Church-Turings tese. Da alle forsøg på at indfange begrebet mekanisk procedure har ledt til samme beregnelighedsbegreb, er det nu alment accepteret at det intuitive begreb beregnelighed har en entydig matematisk betydning, som netop indfanges af ovenstående definition via Turing-maskiner (dette synspunkt kaldes Church-Turings tese). Man kan nu vise følgende: Hvis både mængden af aksiomer og mængden af slutningsregler for et formelt system er beregnelig, da er relationen B for systemet ligeledes beregnelig (hvorfor, intuitivt set, forholder det sig sådan?). Vi kan nu præcises Gödels sætning yderligere: Sætning (Gödels første ufuldstændighedssætning). Lad S være et formelt system hvori mængden af aksiomer og mængden af slutningsregler begge er beregnelige. Antag at alle beregnelig relationer over de naturlige tal er repræsenterbare i S. Da gælder, at hvis S er ω-konsistent, så er S ufuldstændigt. Thomas Bolander, FUKBH 09 s. 23/27

Beregnelighed og ufuldstændighed Betragt igen den nye formulering af Gödels sætning: Sætning (Gödels første ufuldstændighedssætning). Lad S være et formelt system hvori mængden af aksiomer og mængden af slutningsregler begge er beregnelige. Antag at alle beregnelige relationer over de naturlige tal er repræsenterbare i S. Da gælder, at hvis S er ω-konsistent, så er S ufuldstændigt. Kravet om beregnelighed af aksiomer (og slutningsregler) er naturligt: Ellers kan vi ikke rent mekanisk afgøre om noget er et aksiom eller ej, og dermed kan der blive tvivl om et påstået aksiom faktisk er et aksiom. Er det naturligt at forvente at alle beregnelige relationer er repræsenterbare i vores formelle systemer? Svaret er ikke umiddelbart åbenlyst, men bliver det når vi (Gödel) indser at alle systemer der som minimum indeholder aritmetik, herunder ZF og ZFC, har egenskaben. Thomas Bolander, FUKBH 09 s. 24/27

Gödels anden ufuldstændighedssætning Via repræsenterbarheden af relationen B ved en formel ϕ b (x, y, z) kan et formelt system udtrykke sin egen konsistens: y, z N x N(ϕ b (x, y, z)) Formlen udtrykker at der findes en formel ϕ y (z) for hvilken intet bevis x eksisterer. Altså: Der findes en formel som ikke kan bevises. Dette er ækvivalent med konsistens. Gödels anden ufuldstændighedssætning. Gödels anden sætning viser at ovenstående konsistensudsagn er en uafgørlig formel i ethvert konsistent system. Formelle systemer kan altså ikke bevise deres egen konsistens. Betyder det noget for matematikken? Formlen ovenfor er måske også en af de som vi ikke bør forvente afgørligheden af pga. dens selvrefererende natur. Indtil videre har vi stadig ikke noget argument imod at systemer såsom ZFC kunne være pseudo-fuldstændige. Men det kommer nu... Thomas Bolander, FUKBH 09 s. 25/27

Uendelighed og konsistens ZFC indeholder uendelighedsaksiomet Inf. Vi bruger ZFC-Inf til at betegne ZFC uden Inf. Lad Con(ZFC-Inf) betegne en formel som udtrykker konsistensen af ZFC-Inf (på samme vis som på foregående slide). Inf er uafgørlig i ZFC-Inf (ellers var der jo ikke nogen grund til at have Inf med i ZFC). Det samme er Con(ZFC-Inf), pga. Gödels anden ufuldstændighedssætning. Til gengæld kan ZFC bevise Con(ZFC-Inf), fordi ZFC-Inf er en simpel teori uden uendelige mængder (ZFC-Inf+ Inf er blot almindelig aritmetik). Når ZFC kan bevise Con(ZFC-Inf), må gælde at ZFC-Inf kan bevise Inf Con(ZFC-Inf). Da ZFC-Inf ikke kan bevise sin egen konsistens, må også gælde at ZFC-Inf kan bevise Con(ZFC-Inf) Inf. Altså fås at ZFC-Inf kan bevise Inf Con(ZFC-Inf)... Thomas Bolander, FUKBH 09 s. 26/27

Uendelighed og konsistens fortsat Som nævnt kan ZFC-Inf bevise Inf Con(ZFC-Inf). Fra ZFC-Inf s synspunkt er Inf og Con(ZFC-Inf) altså ækvivalente udsagn. Men det ene, Inf, har status af et glemt aksiom som udtrykker eksistensen af uendelige mængder, mens det andet har status af en patologisk, selv-refererende sætning produceret af Gödels paradoks-inspirerede konstruktioner. Dette viser, at vi ikke kan skelne mellem formler som udtrykker naturlige mængdeteoretiske egenskaber (såsom Inf) og patologiske, selv-reference formler der kommer fra formalisering af paradokser (såsom Con(ZFC-Inf)). Det giver med andre ord ikke mening at tale om pseudo-fuldstændighed. Når et system er ufuldstændigt indeholder det givetvis meningsfulde og vigtige udsagn som er uafgørlige, selvom selve eksistensen af uafgørlige udsagn går via en form for formalisering af selv-referende, paradoksale udsagn. Vi hænger altså godt og grundigt på den ufuldstændighed... Thomas Bolander, FUKBH 09 s. 27/27