Dierentialregning r B-niveau i h udgave t s 05 Karsten Juul
Dierentialkvtient. Tangent g räringspunkt..... FunktinsvÅrdi g dierentialkvtient..... Frtlkning a ' vedr. gra... 4. Frtlkning a ' nçr er tiden.... 5. Frtlkning a ' nçr ikke er tiden.... 6. Frtlkninger a ' begrundet.... 7. Bestem ' med Nspire... 8. Reglerne r at bestemme ' uden hjålpemidler.... 9. Advarsler m regler ra ramme 8.... 4 0. Eksempel pç brug a regler ra ramme 8.... 4. AlÅs tallet r pç igur.... 5. AlÅs tallet 'r pç igur.... 5. AlÅs läsninger til =t pç igur.... 6 4. AlÅs läsninger til '=s pç igur.... 6 Tangent 5. Bestem ligning r tangent.... 7 6. Bestem punkt pç gra nçr vi kender -krdinat.... 7 7. Bestem punkt pç gra nçr vi kender y-krdinat.... 8 8. Bestem punkt pç gra nçr vi kender tangenthåldning.... 8 9. Bestem tangenthåldning.... 9 0. Har graen en tangent med håldningskeicienten a?... 9. Er linjen tangent?... 0. Bestem räringspunkt r tangent.... VÄksthastighed. VÅksthastighed.... 4. AlÅs stärrelsen nçr tidspunktet er kendt.... 5. AlÅs våksthastigheden nçr tidspunktet er kendt.... 6. AlÅs tidspunktet nçr stärrelsen er kendt.... 7. AlÅs tidspunktet nçr våksthastigheden er kendt.... 4 8. Udregn stärrelsen nçr tidspunktet er kendt... 4 9. Udregn våksthastigheden nçr tidspunktet er kendt.... 4 0. Udregn tidspunktet nçr stärrelsen er kendt... 5. Udregn tidspunktet nçr våksthastigheden er kendt.... 5. Du skal ikke altid dierentiere r at inde hastighed.... 5 Mntni. Vksende g atagende.... 6 4. Hvad er mntnirhld?... 7 5. Regel r at inde mntnirhld... 7 6. Bestem mntnirhld... 8 7. GÄr rede r at er vksende eller at er atagende... 9 8. Tegn -gra ud ra '-rtegn m.m.... 9 Ekstrema 9. Maksimum g minimum.... 0 40. Bestem med ' den vårdi a hvr y er stärst... 4. Bestem med ' den stärste vårdi a y.... 4. Bestem med ' den vårdi a hvr y er mindst... 4. Bestem med ' den mindste vårdi a y... 44. Bestem ekstrema... 45. GÄr rede r at unktinen har et minimum eller maksimum.... 46. Lkalt maksimum g minimum.... 4 47. Bestem lkale ekstrema... 5 Beviser 48. Dierentiabel.... 6 49. GrÅnsevÅrdi... 7 50. Vi kan inde en dierentialkvtient ved at udregne en grånsevårdi.... 8 5. Udledning a rmlen r at dierentiere.... 9 5. Udledning a rmlen r at dierentiere udtryk plus udtryk.... 9 Tidligere udgave a dette häte har skitet adresse til: http://mat.dk/dierentialregning_r_a_niveau_i_st_udgave_.pd http://mat.dk/dierentialregning_r_a_niveau_i_st_udgave_.pd Dierentialregning r B-niveau i h, udgave, Ä 05 Karsten Juul 4/8-05 Nyeste versin a dette häte kan dwnlades ra http://mat.dk/nter.htm HÄtet må benyttes i undervisningen hvis läreren med det samme sender en e-mail til kj@mat.dk sm plyser at dette häte benyttes, g plyser hld, niveau, lärer g skle.
Dierentialkvtient. Tangent g räringspunkt. a. At l er tangent i P betyder at l er linjen gennem P sm Älger graen når P. b. P kaldes tangentens råringspunkt. c. Grapunkterne når P ligger nrmalt ikke pç tangenten selv m det ser sçdan ud pç en tegning da stregen ikke er uendelig tynd. d. PÇ iguren er linje l tangent til -gra i P. l P. FunktinsvÅrdi g dierentialkvtient. a. At t er unktinsvärdien a r betyder at t er y-krdinaten til grapunktet med -krdinat r g skrives t = r sm låses t er lig a r t P a b. At a er dierentialkvtienten i r betyder at a er tangenthäldningen i grapunktet med -krdinat r g skrives a = 'r sm låses a er lig märke a r l r c. r = y-krdinat til -gras punkt med -krdinat r. d. 'r = tangents häldning i -gras punkt med -krdinat r. e. 'r = väksthastighed r pç tidspunkt r. Hvis er tid.. NÇr er lig r, g vi lågger et lille tal til, sç lågges ca. 'r gange dette lille tal til y. g. I ligninger a typerne m = n g 'm = p gålder: Tallet pç m 's plads er en -vårdi. Tallet pç n 's plads er en y-vårdi. Tallet pç p 's plads er en tangenthåldning eller våksthastighed. h. typerne i rammerne 0-, 7-9, 6-9, 6 läses med Älgende metde: Skriv en ligning a en a typerne m n g m p. Brug ligningen til at bestemme m eller n eller p eller en knstant i rskriten. Denne metde indgçr sm en del a pgavetyperne i mange a de andre rammer. c g d er vedtägter. e g er begrundet i ramme 6. Dierentialregning r B-niveau i h, udgave Side 05 Karsten Juul
. Frtlkning a ' vedr. gra. Frtlkning a ' vedr. graen. LÄsningerne til ligningen ' = er = g = 7. Hvad rtåller dette m graen? ' = tangenthåldning se d sç det at läsningerne er = g = 7, rtåller: Det er grapunkterne med -krdinat g 7 hvr tangenthåldningen er. 4. Frtlkning a ' nçr er tiden. Frtlkning a ' vedr. nget ra virkeligheden når er tiden. Der er et tegnet dyr pç skårmen. er dyrets häjde mçlt i mm, g er tiden mçlt i minutter. Det er plyst at 0. GÄr rede r betydningen a dette. Regel se e: 'r er våksthastighed r pç tidspunkt r. I denne regel indsåtter vi de aktuelle rd g tal: er våksthastighed r håjden pç tidspunktet 0. Dvs. PÇ tidspunktet 0 minutter vkser dyrets häjde med hastigheden mm pr. minut. 5. Frtlkning a ' nçr ikke er tiden. Frtlkning a ' vedr. nget ra virkeligheden når ikke er tiden. Der er et tegnet dyr pç skårmen. er dyrets häjde mçlt i mm, g er långden mçlt i mm. Det er plyst at 0. GÄr rede r betydningen a dette. Regel Se : Jeg har brugt blå arve r at pege på udskitningen. Du behéver ikke bruge arve. Hvis du glemmer rdet hastighed, så betyder sätningen at héjden i lébet a et minut vkser mm, g det er ikke det der er meningen. Jeg har brugt blå arve r at pege på udskitningen. Du behéver ikke bruge arve. NÇr er lig r, g vi lågger et lille tal til, sç lågges ca. 'r gange dette lille tal til y. I denne regel indsåtter vi de aktuelle rd g tal: NÇr längde lig 0, g vi lågger et lille tal til längde, sç lågges ca. gange det lille tal til håjde. 6. Frtlkninger a ' begrundet. Symblet ' 0 betyder tangenthåldning, sç ' 0 = betyder tangenthåldning er, sç pç tangenten gålder: nçr bliver stärre, sç vil y blive stärre. Fr når 0 er gra g tangent nåsten ens, sç nçr er ca. 0 g bliver stärre, * sç vil blive ca. stärre. ca. h l I ramme 4 betyder * : NÇr tidspunktet er ca. 0 minutter g der gçr Ét minut, vil dyrets häjde blive ca. mm stärre. dvs. våksthastigheden er ca. mm pr. minut. I ramme 5 betyder * : NÇr er når 0 g vi lågger et lille tal til, sç bliver der lagt ca. gange dette lille tal til y, dvs. nçr vi lågger et lille tal til långden, sç lågges gange dette lille tal til häjden. h Dierentialregning r B-niveau i h, udgave Side 05 Karsten Juul
7. Bestem ' med Nspire. 7a Fr at Ç Nspire til at dierentiere mht. bruger vi skabelnen : Udregnet a Nspire 7b Hvis rskrit indehlder cs eller sin: HÄjreklik pç matematikelt, vålg Attributter g såt vinkel til radianer. HUSK at skrive dette! 7c Fr at udregne ' skal vi Ärst bestemme rskriten r ' sm vist i 7a. SÇ indsåtter vi r i denne rskrit: d Symblet kan IKKE skrives ved hjälp a en brékstreg. d 7d Eksempel Dette er både krrekt matematiksprg g krrekt Nspiresprg. 7e Eksempel Her rtäller vi til Nspire g til läseren at m betyder '. := bevirker at kmmer til at betyde ln så vi kan skrive g i stedet r ln g ln. 8. Reglerne r at bestemme ' uden hjålpemidler. 8a k 0 nçr k er en knstant..eks. 4 0 g ln 0 8b k k.eks. g 4 4 8c a aa.eks. 4 4 g,6, 6 4,6 8d e er et bestemt tal ligesm. e,788. e er ikke den sådvanlige e-tast. Brug tegn-palet. e 8e ln e 8 k k Funktinen ln kaldes "den naturlige lgaritmeunktin". g ln.eks. 7 4 74 8 8g g g 7 7.eks. ln 4 7 4 0 8 8 8h g g 8i Da.eks. 4 ln 4 7 0 8 8 g kan vi udregne g med reglen a aa. PÇ de t nåste sider er der lere eksempler pç brug a reglerne 8a-8i. 7 Dierentialregning r B-niveau i h, udgave Side 05 Karsten Juul
9. Advarsler m regler ra ramme 8. a er IKKE e er IKKE a g 4 e g er IKKE ln er IKKE e er IKKE e e g er IKKE er IKKE 4. er IKKE. g ln g e er IKKE e er IKKE. e.. 0. Eksempel pç brug a regler ra ramme 8. En unktin er givet ved sç Bestem 4. 8. Her må vi Érst inde '. Dereter indsätter vi 4 r i det dierentierede udtryk. 8 8 8 8 8 Hera Çr vi 8 4 4 4 6 8 4 4 4 Dierentialregning r B-niveau i h, udgave Side 4 05 Karsten Juul
. AlÅs tallet r pç igur. AlÅs tallet 4 pç iguren. SÇdan tänker vi Der stçr 4 i parentesen, sç vi skal vi inde det punkt pç graen hvr -krdinaten er 4. Der stçr, sç y-krdinaten er acit. 4 = y-krdinat til grapunkt med -krdinat 4 4. Se markering pç igur. Husk NÇr vi alåser et tal pç en igur, skal vi skrive tallet pç iguren der hvr vi har alåst det. Hvis der ikke er plads, kan vi lave en pil ra tallet til det sted hvr det er alåst.. AlÅs tallet 'r pç igur. AlÅs tallet '4 pç iguren. SÇdan tänker vi Der stçr 4 i parentesen, sç vi skal inde det punkt pç graen hvr -krdinaten er 4. Der stçr, sç tangenthåldningen er acit. '4 Vi tegner l. = håldningskeicient r tangent l i grapunkt med -krdinat 4. Vi alåser punkterne 4, g 6,7 pç l. l 's håldningskeicient er sç 7 6 4 ' 4. 6,7 l 4, Dierentialregning r B-niveau i h, udgave Side 5 05 Karsten Juul
. AlÅs läsninger til =t pç igur. AlÅs läsningerne til ligningen 6 pç iguren SÇdan tänker vi Der stçr 6, sç vi skal inde de punkter pç graen hvr y-krdinaten er 6. Der stçr i parentesen, sç acit er -krdinaterne til de punkter vi har undet. Vi skal läse 6. er y-krdinaten til et grapunkt. Vi inder de grapunkter hvr y-krdinaten er 6. Vi alåser -krdinaten til hvert a disse punkter g Çr g 7. Se markeringen pç iguren. LÄsningerne til 6 er eller 7. 4. AlÅs läsninger til '=s pç igur. AlÅs läsningerne til ligningen 0 pç iguren. SÇdan tänker vi Der stçr 0, sç vi skal inde de punkter pç graen hvr tangenthåldningen er 0. Der stçr i parentesen, sç acit er -krdinaterne til de punkter vi har undet. Vi skal läse 0. er tangenthåldningen i et grapunkt. Vi inder det grapunkt hvr tangenthåldningen er 0. Vi alåser -krdinaten til dette punkt g Çr 5. Se markeringen pç iguren. LÄsningen til 0 er 5. Husk at tegne tangenten g skrive at det givne tal er denne linjes håldningskeicient. Dierentialregning r B-niveau i h, udgave Side 6 05 Karsten Juul
5. Bestem ligning r tangent.. Tangent Bestem ligning r tangent til gra r i punktet,. er plyst Se ramme 8., y g a er räringspunkt g håldning r tangent: er plyst y 4 Se c g ramme 6. Tangent: a Se d g ramme 9. y y a y 4 y 6 y 4 Tangenten til graen r i punktet, har ligningen y. GrÉnne kmmentarer er ikke en del a besvarelsen. Du skal IKKE bruge tallene g i andre pgaver. I stedet skal du bruge de tal du inder ved at dierentiere den givne unktin. Fra rmelsamlingen: Linjen gennem punktet, y med håldningskeicienten a har ligningen y = a + y. Kntrl a tangentligning med Nspire Vi angiver rskriten g -krdinaten, g Çr Nspire til at bestemme tangentligning, g Çr y. 6. Bestem punkt pç gra nçr vi kender -krdinat. En unktin er givet ved. Bestem y-krdinaten til det punkt pç graen r hvr -krdinaten er 5. Bevarelse y-krdinat = 5 Se c. y-krdinat = 5 5 da y-krdinat = 50 Det punkt pç graen r hvr -krdinaten er 5, har y-krdinaten 50. Dierentialregning r B-niveau i h, udgave Side 7 05 Karsten Juul
7. Bestem punkt pç gra nçr vi kender y-krdinat. Bevarelse. Bestem -krdinaten til hvert a de punkter pç graen r hvr y-krdinaten er 4. y-krdinat = 4 = 4 Se c. = 4 Nspire läser ligningen = 4 mht. g Çr = eller = De punkter pç graen r hvr y-krdinaten er 4, har -krdinaterne g. Nspire: 8. Bestem punkt pç gra nçr vi kender tangenthåldning. Bevarelse En unktin er givet ved. Bestem krdinatsåttet til hvert a de punkter pç graen r hvr tangenthåldningen er 9.. tangenthåldning = 9 ' = 9 Se d. 6 = 9 Se ramme 7 g 8. Nspire läser ligningen 6 = 9 mht. g Çr Nspire: = eller = y-krdinat = y-krdinat = Se c. y-krdinat = y-krdinat = y-krdinat = 4 y-krdinat = 0 De punkter pç graen hvr tangenthåldningen er 9, har krdinatsåttene, 4 g, 0. Dierentialregning r B-niveau i h, udgave Side 8 05 Karsten Juul
9. Bestem tangenthåldning. En unktin g er givet ved g. Bevarelse Bestem tangenthåldningen i gra-punktet med -krdinat. g tangenthåldning = g' Se d. tangenthåldning = + da g Se ramme 7 g 8. tangenthåldning = 4 TangenthÅldningen i gra-punktet med -krdinat er 4. 0. Har graen en tangent med håldningskeicienten a? Bevarelse En unktin g er givet ved g. Er der et punkt pç g-graen sç tangenten i dette punkt har håldningskeicienten?. g tangenthåldning = g' = Se d. + = Se ramme 7 g 8. = Dette er ikke pyldt r nget tal da et tal i anden aldrig er negativt. Der er ikke et punkt pç graen sç tangenten i dette punkt har håldningskeicienten. Dierentialregning r B-niveau i h, udgave Side 9 05 Karsten Juul
. Er linjen tangent? En linje er tangent til graen r en unktin i et punkt netp hvis der bçde gålder at y-krdinat er ens g tangenthåldning er ens. Dette er vist pç de tre igurer. ab yab ab yab ab yab y-krdinat er rskellig: ab y-krdinat er ens: ab y-krdinat er ens: ab TangenthÅldning er ens: a TangenthÅldn. er rskellig: a TangenthÅldning er ens: a Linjen er ikke tangent. Linjen er ikke tangent. Linjen er tangent. Er linjen l : y 9 7 tangent til graen r unktinen? l : y 9 7 g Hvis l er tangent til -gra: I räringspunktet skal -graens tangenthåldning l 's håldningskeicient sm er 9: 9 9 Nspire läser ligning 9 mht. g Çr eller våre lig Nspire: Hvis er y-krdinat pç -gra lig y-krdinat pç l lig sç y-krdinaterne er ikke ens, sç l er ikke tangent i grapunktet med -krdinat. Hvis er y-krdinat pç -gra lig y-krdinat pç l lig sç y-krdinaterne er ens, g vi vidste i rvejen at tangenthåldningerne er ens, sç l er tangent i grapunktet med -krdinat. Linjen l er tangent til graen r. Hvis du skriver i hånden, skal der parentes m - eter gangetegn. Dierentialregning r B-niveau i h, udgave Side 0 05 Karsten Juul
. Bestem räringspunkt r tangent. Linjen l : y 9 7 er tangent til graen r unktinen. Bestem krdinatsåttet til räringspunktet. l : y 9 7 er tangent til gra r. I räringspunktet skal -graens tangenthåldning våre lig l 's håldningskeicient sm er 9: 9 9 Nspire läser ligning 9 mht. g Çr eller Nspire: Hvis er y-krdinat pç -gra lig y-krdinat pç l lig sç y-krdinaterne er ikke ens, sç grapunkt med -krdinat er ikke räringspunkt. Hvis er y-krdinat pç -gra lig y-krdinat pç l lig sç y-krdinaterne er ens, g vi vidste i rvejen at tangenthåldningerne er ens, sç grapunkt med -krdinat er räringspunkt. KrdinatsÅttet til räringspunktet er,. Hvis du skriver i hånden, skal der parentes m - eter gangetegn. Dierentialregning r B-niveau i h, udgave Side 05 Karsten Juul
VÄksthastighed. VÅksthastighed. Figuren viser graen r en unktin hvr mm = antal dage eter at vi begyndte at mçle = plantens häjde i mm PÇ iguren ser vi at 0 0,5 g at mkring tidspunktet 0 dage vil plantens häjde blive ca. 0,5 mm häjere pr. dag. Vi siger at pç tidspunktet 0 dage eter at vi begyndte at mçle, er våksthastigheden lig 0,5 mm pr. dag. I et lille tidsum pç -aksen er graen nåsten sammenaldende med den tegnede tangent. Det er i dette tidsrum at våksthastigheden er ca. 0,5 mm pr. dag. dage 4. AlÅs stärrelsen nçr tidspunktet er kendt. Graen viser hvrdan temperaturen T er vkset. Tiden t mçles i sekunder. Bestem temperaturen pç tidspunktet sekunder. T / C t / s Vi inder grapunktet hvr t, g alåser at r dette punkt er T 4. Dette har vi vist pä skitsen. T / C PÇ tidspunktet sekunder er temperaturen 4 C. t / s Dierentialregning r B-niveau i h, udgave Side 05 Karsten Juul
5. AlÅs våksthastigheden nçr tidspunktet er kendt. Graen viser hvrdan temperaturen T er vkset. Tiden t mçles i sekunder. Bestem temperaturens våksthastighed pç tidspunktet sekunder. T / C t / s Vi inder grapunktet hvr t, g vi tegner tangenten l i dette punkt, g pç l alåser vi punkterne A,5 g B 7, 7. Alt dette har vi vist pä skitsen. T / C A l B l 's häldningskeicient er temperaturens väksthastighed pç tidspunktet sekunder. l 's håldningskeicient er t / s 7 5 7 6 4 0,75 Temperaturens våksthastighed pç tidspunktet sekunder er 0,75 C pr. sekund. 6. AlÅs tidspunktet nçr stärrelsen er kendt. Graen viser hvrdan temperaturen T er vkset. Tiden t mçles i sekunder. Bestem det tidspunkt hvr temperaturen er 4 C. T / C t / s Vi inder grapunktet hvr T 4, g alåser at r dette punkt er t. Dette har vi vist pä skitsen. T / C Temperaturen er 4 C pç tidspunktet sekunder. t / s Dierentialregning r B-niveau i h, udgave Side 05 Karsten Juul
7. AlÅs tidspunktet nçr våksthastigheden er kendt. Graen viser hvrdan temperaturen T er vkset. Tiden t mçles i sekunder. Bestem det tidspunkt hvr temperaturens våksthastighed er 0,75 C pr. sekund. T / C Vi tegner en linje m sm har håldningskeicient 0,75, g vi lågger en lineal langs m g parallelrskyder til linjen er en tangent l til graen, g vi alåser at r räringspunktet er t. Alt dette har vi vist pä iguren. VÅksthastigheden r t er l 's håldningskeicient: PÇ tidspunktet sekunder er temperaturens våksthastighed T / C l m 0 t / s 5 0,75 C pr. sekund. 0 0,75 5 t / s 8. Udregn stärrelsen nçr tidspunktet er kendt. VÅgten a et dyr kan beskrives ved unktinen 56,0 40 hvr er dage g er vågten i gram. Bestem dyrets vågt pç tidspunktet 0 dage. 56,0 40 er dyrets vågt pç tidspunktet dage. Dyrets vågt er 4 gram pç tidspunktet 0 dage. Hvis du skriver i hånden, skal der ikke parentes m,0. 9. Udregn våksthastigheden nçr tidspunktet er kendt. VÅgten a et dyr kan beskrives ved unktinen 56,0 40 hvr er dage g er vågten i gram. Bestem den hastighed hvrmed dyrets vågt vkser pç tidspunktet 0 dage. 56,0 40 er dyrets vågt pç tidspunktet dage. PÇ tidspunktet 0 dage vkser dyrets vågt med hastigheden Hvis du skriver i hånden, skal der ikke parentes m,0.,0 gram pr. dag. Dierentialregning r B-niveau i h, udgave Side 4 05 Karsten Juul
0. Udregn tidspunktet nçr stärrelsen er kendt. VÅgten a et dyr kan beskrives ved unktinen 56,0 40 hvr er dage g er vågten i gram. Bestem det tidspunkt hvr dyrets vågt er 500 gram. 56,0 40 er dyrets vågt pç tidspunktet dage. vågt = 500 = 500 56,0 + 40 = 500 Nspire läser ligning 56,0 40 500 mht. g Çr 77, 56. Dyrets vågt er 500 gram pç tidspunktet 78 dage.. Udregn tidspunktet nçr våksthastigheden er kendt. VÅgten a et dyr kan beskrives ved unktinen 56,0 40 hvr er dage g er vågten i gram. Bestem det tidspunkt hvr dyrets vågt vkser med hastigheden 4 gram pr. dag. 56,0 40 er dyrets vågt pç tidspunktet dage. Vi Çr hastighed = 4 ' = 4 Se e.,0895,0 = 4 Nspire läser ligningen,0895,0 4 PÇ tidspunktet Hvis du skriver i hånden, skal der ikke parentes m,0. mht. g Çr 64, 784. 65 dage vkser dyrets vågt med hastigheden 4 gram pr. dag.. Du skal ikke altid dierentiere r at inde hastighed! Et linjestykkes långde Åndres sçdan at = hvr er långden pç tidspunktet. Hvr hurtigt Åndres långden pç tidspunktet? er långden pç tidspunktet. =. ' =. ' = = 6. PÇ tidspunktet Åndres långden med hastigheden 6. Et linjestykkes långde Åndres sçdan at = hvr er den hastighed sm långden Åndres med pç tidspunktet. Hvr hurtigt Åndres långden pç tidspunktet? er den hastighed sm långden Åndres med pç tidspunktet. =. = = 9. PÇ tidspunktet Åndres långden med hastigheden 9. Dierentialregning r B-niveau i h, udgave Side 5 05 Karsten Juul
. Vksende g atagende. Mntni Figuren viser en interaktiv igur ra en cmputerskårm. NÇr vi tråkker -punktet hen pç et tal kan vi alåse unktinsvårdien. PÇ iguren kan vi se: NÇr vi tråkker gennem tallene ra g med til g med 9, vil NÇr vi tråkker gennem tallene ra g med 9 til g med 4, vil hele tiden blive stärre. hele tiden blive mindre. 4 Sm bekendt siger man: er vksende i intervallet 9 er atagende i intervallet 9 4 Er bçde atagende g vksende i 9? Nej, vi taler ikke m at en unktin er vksende i Ét tal. Vi taler m at en unktin er vksende i et interval. Der skal våre mindst t y-vårdier hvis vi skal kunne tale m at y er blevet stärre eller mindre. At er vksende i intervallet 9 betyder at nçr vi i intervallet vålger stärre g stärre -vårdi, sç bliver y-vårdien stärre g stärre. At er atagende i intervallet 9 4 betyder at nçr vi i intervallet vålger stärre g stärre -vårdi, sç bliver y-vårdien mindre g mindre. Dierentialregning r B-niveau i h, udgave Side 6 05 Karsten Juul
4. Hvad er mntnirhld? I ngle pgaver stçr at vi skal bestemme mntnirhldene r en unktin. Det betyder at vi skal skrive i hvilke -intervaller unktinen atager, g i hvilke -intervaller unktinen vkser. PÇ iguren er vist graen r et tredjegradsplynmium. Mntnirhldene kan vi skrive sçdan: er vksende i intervallet atagende i intervallet vksende i intervallet P, 4 Q, 5. Regel r at inde mntnirhld. Hvis ' er psitiv * tangenthåldningen er psitiv r hvert tal i intervallet 4. ** er vksende i intervallet 4. Hvis man präver at tegne graen sçdan at *, men ikke ** gålder, sç bliver man verbevist m at det ikke kan lade sig gäre. Man kan bevise at hvis * gålder, sç gålder ** gsç. Hvis der er undtagelser ra at ' er psitiv Funktinen pç nederste igur er vksende selv m der er Ét punkt hvri tangenthåldningen er 0. Selv m der er enkelte undtagelser ra *, kan man slutte at ** gålder. SÄtning 5. Hvis er psitiv r alle i et interval, evt. med endeligt mange undtagelser, sç er vksende i intervallet. Hvis er negativ r alle i et interval, evt. med endeligt mange undtagelser, sç er atagende i intervallet. Dierentialregning r B-niveau i h, udgave Side 7 05 Karsten Juul
6. Bestem mntnirhld. Bestem mntnirhldene r unktinen 4 4 7. 4 4 7 udregnet a Nspire kan kun skite rtegn i de vårdier a hvr 0, dvs. hvr 0. Nspire läser ligningen 0 mht. g Çr eller 0 : Disse t tal deler tallinjen p i tre intervaller. I hvert a disse vålger vi et tal g udregner : 9 sç negativ r sç psitiv r 0 sç psitiv r 0 A dette Älger at mntnirhldene er Älgende: er atagende i intervallet er vksende i intervallet Husk at kntrllere at tallene der agränser intervallerne, er de tal du ik sm lésning til '=0. Oversigt: : 0 : 0 0 : Dierentialregning r B-niveau i h, udgave Side 8 05 Karsten Juul
7. GÄr rede r at er vksende eller at er atagende. En unktin er givet ved Bestem 4 4 e. g gär rede r at er vksende. 4 e 4 Da 4 e altid er psitiv, er psitiv, g sç er vksende. 4 BemÄrkning: Hvis e 4, er 4e. 4 Da e altid er psitiv, er negativ, sç er atagende. 8. Tegn -gra ud ra '-rtegn m.m. Tegn r 6 0 en mulig gra r en unktin der pylder at 6 g 8 g hvr rtegn g nulpunkter r ' er sm vist pç tallinjen: NÇr : : m n, gçr -graen gennem punktet m, n. er atagende i -intervaller hvr er vksende i -intervaller hvr er negativ. er psitiv. Fr de -vårdier hvr er 0, har graen vandret tangent. Dierentialregning r B-niveau i h, udgave Side 9 05 Karsten Juul
9. Maksimum g minimum. Ekstrema g Maksimum r er den stärste y-krdinat til et punkt pç -graen. Vi ser at maksimum r er. Minimum r er den mindste y-krdinat til et punkt pç -graen. Vi ser at minimum r er. Graen r g er en parabel hvr grenene gçr uendelig häjt p. Der er ikke nget punkt pç graen der har den stärste y-krdinat da man altid kan asåtte et punkt häjere ppe pç graen, sç unktinen g har ikke nget maksimum. NÇr vi skriver hvad maksimum eller minimum er, sç skriver vi nrmalt gsç hvad punktets -krdinat er: har maksimum r 4 g maksimum er y har minimum r g minimum er y Undertiden er det skrevet krtere,.eks: har maksimum i 4 g maksimum er. har minimum i g minimum er. StÄrstevÅrdi g mindstevårdi r en unktin er det samme sm hhv. maksimum g minimum. I ngle pgaver stçr at vi skal bestemme ekstrema. Dette betyder at vi skal inde maksimum hvis der er et maksimum, g minimum hvis der er et minimum. Ekstremum er en Ållesbetegnelse r maksimum g minimum. Ordet ekstremum hedder i lertal ekstremummer eller ekstrema. Det er den sidste rm der bruges i eksamenspgaver. Dierentialregning r B-niveau i h, udgave Side 0 05 Karsten Juul
40. Bestem med ' den vårdi a hvr y er stärst. 6 HÄjden a en igur er givet ved 86, 9, 5 hvr er igurens bredde, g er igurens häjde. Bestem bredden sç häjden bliver stärst mulig. 6 86, 9, hvr igurs bredde g häjde er g. 5 Vi bestemmer mntnirhldene r : udregnet a Nspire kan kun skite rtegn i de vårdier a hvr 6 0, dvs. hvr 0. 5 Nspire läser ligningen 0 mht. r 9 g Çr : Vi udregner i en -vårdi pç hver side a : 6 4 sç er psitiv r 5 6 4 4 7 sç er negativ r 9. 4 Hera slutter vi Älgende mntnirhld: er vksende i intervallet g er atagende i intervallet 9. Vi bestemmer bredden sç häjden er stärst mulig: 5 A mntnirhldene Älger: er stärst mulig nçr, dvs. HÄjden bliver stärst mulig nçr bredden er. Dierentialregning r B-niveau i h, udgave Side 05 Karsten Juul
4. Bestem med ' den stärste vårdi a y. 6 HÄjden a en igur er givet ved 86, 9, 5 hvr er igurens bredde, g er igurens häjde. Bestem den stärst mulige häjde. 6 86, 9, hvr igurs bredde g häjde er g. 5 Vi bestemmer mntnirhldene r : udregnet a Nspire kan kun skite rtegn i de vårdier a hvr 6 0, dvs. hvr 0. 5 Nspire läser ligningen 0 mht. r 9 g Çr : Vi udregner i en -vårdi pç hver side a : 6 4 sç er psitiv r 5 6 4 4 7 sç er negativ r 9. 4 Hera slutter vi Älgende mntnirhld: er vksende i intervallet g er atagende i intervallet 9. Vi bestemmer den stärst mulige häjde: 5 6 A mntnirhldene Älger: er stärst mulig nçr. 86 74 Den stärst mulige häjde er 74. Dierentialregning r B-niveau i h, udgave Side 05 Karsten Juul
4. Bestem med ' den vårdi a hvr y er mindst. Dette gäres sm vist i ramme 40 brtset ra at mntnirhldene nu er atagende-vksende i stedet r vksende-atagende, g at vi nu skriver mindst i stedet r stärst. 4. Bestem med ' den mindste vårdi a y. Dette gäres sm vist i ramme 4 brtset ra at mntnirhldene nu er atagende-vksende i stedet r vksende-atagende, g at vi nu skriver mindst i stedet r stärst. 44. Bestem ekstrema. NÇr der stçr Bestem ekstrema, sç skal vi bestemme minimum hvis der er et minimum, g vi skal bestemme maksimum hvis der er et maksimum. Se ramme 4 g 4. 45. GÄr rede r at unktinen har et minimum eller maksimum. Metde GÄr rede r at unktinen 9, 0 har et minimum. Vi bestemmer mntnirhld r med metden ra ramme 6. Hereter skriver vi: Da er atagende i intervallet 0 g vksende i intervallet kan vi slutte at har minimum r. Dierentialregning r B-niveau i h, udgave Side 05 Karsten Juul
46. Lkalt maksimum g minimum. P Figuren viser graen r en unktin. I de t ender rtsåtter graen uendelig häjt p. P er grapunktet med -krdinat 0 g y-krdinat 5. Vi kan vålge et stykke a graen mkring P sçdan at 5 er mindste y-krdinat pç dette stykke. Vi siger derr at har lkalt minimum r 0 g det lkale minimum er y 5. 5 er ikke minimum da der andre steder pç graen er y-krdinater sm er mindre. Hvis Q, y er et punkt pç graen r en unktin, g vi kan vålge et stykke a graen mkring Q sçdan at y er mindste y-krdinat pç dette stykke, sç siger vi at unktinen har lkalt minimum r g det lkale minimum er y y Hvis Q, y er et punkt pç graen r en unktin, g vi kan vålge et stykke a graen mkring Q sçdan at y er stärste y-krdinat pç dette stykke, sç siger vi at unktinen har lkalt maksimum r g det lkale maksimum er y y Om unktinen ra iguren venr gålder: har lkalt minimum r 0 g det lkale minimum er y 5. har lkalt maksimum r 40 g det lkale maksimum er y 5. har lkalt minimum r 70 g det lkale minimum er y 5. har minimum r 70 g minimum er y 5. Undertiden er det skrevet krtere,.eks: har minimum i 70 g minimum er 5. har lkalt maksimum i 40 g det lkale maksimum er 5. I ngle pgaver stçr at vi skal bestemme lkale ekstrema. Dette betyder at vi skal inde bçde de lkale minimummer g de lkale maksimummer. Ordet ekstremum hedder i lertal ekstremummer eller ekstrema. Det er den sidste rm der bruges i eksamenspgaver. Dierentialregning r B-niveau i h, udgave Side 4 05 Karsten Juul
47. Bestem lkale ekstrema. Bestem de lkale ekstrema r unktinen 8 90. 8 90 Vi bestemmer mntnirhldene r : ' = udregnet a Nspire kan kun skite rtegn i de vårdier a hvr 0, dvs. hvr 8 0. Nspire läser ligningen 8 0 mht. g Çr = 6 eller =. 6 g deler tallinjen p i tre intervaller. I hvert a disse vålger vi et tal g udregner : Da 7 7 7 8 0 er psitiv r 6 Da 0 0 0 8 8 er negativ r 6 Da 4 4 4 8 0 er psitiv r A dette Älger at mntnirhldene er Älgende: er vksende i intervallet 6, atagende i intervallet 6 g vksende i intervallet. Vi bestemmer de lkale ekstrema: A mntnirhldene Älger: der er lkalt maksimum r = 6 g lkalt minimum r =. 6 6 6 8 6 90 8 90 har lkalt maksimum r = 6 g det lkale maksimum er y = 0 4 har lkalt minimum r = g det lkale minimum er y = 0 : 6 ': + 0 0 + : vks at vks 4 Dierentialregning r B-niveau i h, udgave Side 5 05 Karsten Juul
Beviser 48. Dierentiabel. Graen r har et knåk i punktet med -krdinat. Derr har graen ikke ngen tangent i dette punkt. Tangenten er en linje der Älger graen når punktet. Funktinen har ikke ngen dierentialkvtient i, r dierentialkvtienten er tangentens håldningskeicient, g der er ikke ngen tangent. Der gålder altsç at ikke eksisterer. Graen r g har en ldret tangent i punktet med -krdinat. En ldret linje har ikke ngen håldningskeicient. Funktinen g har ikke ngen dierentialkvtient i, r dierentialkvtienten er tangentens håldningskeicient, g tangenten har ikke ngen håldningskeicient. g Der gålder altsç at g ikke eksisterer. Deinitin 48. Man siger at en unktin er dierentiabel i et tal hvis unktinen har en dierentialkvtient i dvs. hvis eksisterer. Dierentialregning r B-niveau i h, udgave Side 6 05 Karsten Juul
49. GrÅnsevÅrdi. 49. Udtrykket u 6 kan vi ikke regne ud r da nåvneren bliver 0. Vi kan udregne u r vårdier a sm er tåt pç : Ved at vålge vårdien a tilstråkkelig tåt pç kan vi Ç vårdien a u sç tåt det skal våre pç 6. Vi siger: gränsevärdien r gçende md a u er lig 6 6 Med symbler skriver vi dette sçdan: lim 6 Metde 49.,98,999,00,0 u 5,94 5,997 6,00 6,06 Vi kan regne s rem til denne grånsevårdi ved at bruge Älgende metde: Vi aktriserer bräkens tåller g rkrter bräken. SÇ Çr vi et udtryk sm vi kan udregne nçr er : 6 Fr er 6 sç lim lim g lim 6 Regel 49. lim k udtryk k lim udtryk nçr k er en knstant Regel 49.4 lim udtryk udtryk lim udtryk lim udtryk 49.5 Udregning a grånsevårdi med Nspire. HÄjden a stlpen er e h hvr er det tal stlpen stçr i. PÇ iguren ser det ud til at stlpens häjde nårmer sig nçr vi tråkker stlpen hen md 0, hvr stlpen ikke eksisterer. Vi Çr Nspire til at udregne grånsevårdien a häjden r gçende md 0 : e lim 0 PÅ Nspire kan vi välge gränsevärdi-skabelnen på skabelnpaletten. Skabelnen ser sådan ud: Vi behéver ikke skrive nget i det tredje elt. Dierentialregning r B-niveau i h, udgave Side 7 05 Karsten Juul
50. Vi kan inde en dierentialkvtient ved at udregne en grånsevårdi. Hvis er dierentiabel i, sç gålder 50. lim Begrundelse r 50.: y t m t er tangent til -graen. ' = t 's håldk. Dette er deinitinen pç dierentialkvtient. Vi tegner en linje m der skårer -graen i punkterne med -krdinater g. y-krdinater til disse punkter er g. SÇ m 's håldk. = NÇr nårmer sig til vil m 's håldk. nårme sig til t 's håldk., sç t 's håldk. = lim m ' s håldk. = lim iälge rmlen a y y. Vi har nu indset at bçde venstre g häjre side i ligningen i 50. er lig t 's håldk., sç ligningen gålder. Dierentialregning r B-niveau i h, udgave Side 8 05 Karsten Juul