Eksponentielle modeller

2013 Eksponentielle modeller Jacob Elmkjær og Dan Sørensen Matematik/IT Roskilde Tekniske Gymnasium 09-12-2013 Lærere: Jørn Christian Bendtsen og Karl Bjarnason

Indhold Indledning... 2 Opgave analyse... 2 Hypotese... 3 Indeledende analyse af data... 3 Opstilling af matematiske modeller for den eksponentielle fase... 5 Analysér modellens udsagnskraft i forhold til data... 8 Samlet vurdering af modellens udsagnskraft... 10 Opstilling af matematiske modeller for den nye eksponentielle fase... 10 Samlet vurdering af de nye modellers udsagnskraft... 12 Konklusion... 13 Informationsteknologi delen... 13 Indledende aktivitet... 13 Iterationsplanlægning... 14 User stories... 14 Kravspecifikation og testspecifikation... 14 Design... 14 Implementering... 15 Test... 19 Afsluttende aktivitet... 20 Bilag... 20 1

Indledning En HTX klasse har lavet nogle målinger på nogle gærceller i næringsstofopløsninger i et biologilaboratorium. Antallet af gærceller i den enkelte prøve er noteret og sat ind i en tabel. Tid i minutter 0 15 20 16 40 18 60 19 80 22 100 24 140 31 160 42 180 49 200 67 220 78 240 90 260 105 280 109 300 122 320 125 Antal gærceller Opgave analyse I denne opgave vil vi: Kigge på fremskrivningsfaktorene, og indkredse punkterne til en tilnærmelsesvis eksponentiel stigning. Udarbejde eksponentielle kurver i både kartetisk og logaritmisk koordinatsystem. Disse grafer vil vi komme frem til ved hjælp af vores viden om regressionsmodeller. Vi vil analysere de forskellige funktionsudtryk og beregne fordoblingskonstanterne. Vi vil vurdere og sammenligne de forskellige modellers evne til at vise væksten. Vi vil lave vores grafer i visual python, samt lave brugergrænseflade for vores målgruppe. 2

Hypotese Teorien siger at der vil være en tilnærmelsesvis eksponentiel udvikling i gærcellerne. Det vil vi prøve at be- eller afkræfte. Indeledende analyse af data Vi har undersøgt vores data nøjere, altså de data vi har fået fra HTX eleverne, hvor ved der er givet et skema med gærceller og antal minutter. Derefter har vi sat vores punkter ind i graph. Derefter har vi beregnet på vores datasæt for at komme frem til fremskrivningsfaktoren. Vi har lavet vores udregninger i excel, da det ville være hurtigere at beregne mange af de samme dataer. Vi har brugt formlen: Forskrift for en eksponentiel udvikling gennem (x1,y1) og (x2,y2) med x1>x2 fås af: ( ) Vi skal finde fremskrivningsfakteren, fordi vi skal finde ud af om vores hypotese bliver be- eller afkræftet, hvor vi skal finde en tilnærmelsesvis eksponentiel funktion. Vi har også taget den procent afvigelse fra vores graf og til punkterne. Vi har valgt at have vores minutter hen ad x-aksen, da der er et spring på 40 minutter. Hvis vi har taget den i antal observationer ville få en større fremskrivningsfaktor, men derimod har vi et spring i målingerne. Vi har gjort følgende for at kunne finde frem til dem: 3

Det samme har vi gjort i de næste. (ses i skemaet nedenunder) Gærceller Minutter Fremskrivningsfaktor Begyndelsesværdi 15 0 1,003232138 15 16 20 1,005906527 14,00996598 18 40 1,002707018 13,80087751 19 60 1,007357105 12,75571759 22 80 1,004360046 12,93275569 24 100 1,006418847 12,35369095 31 140 1,015299985 12,23436353 42 160 1,007737313 14,51396514 49 180 1,015766618 14,82688651 67 200 1,00762977 17,75193848 78 220 1,007180701 18,09600394 90 240 1,007737313 18,28300959 105 260 1,001871125 18,67719164 109 280 1,005649557 16,97719246 122 300 1,001215373 16,63858167 125 320 4

Opstilling af matematiske modeller for den eksponentielle fase X-aksen viser antallet af minutter i stedet for observationer, da der på et tidspunkt i målingen er et spring på 40 minutter, i stedet for 20 minutter. Vi har kigget på grafen og fundet frem til at der måske kunne være en eksponentiel udvikling. Vi har valgt at vælge udviklingen fra punktet (160;42) til (280;109). Vi startede med at beregne gennemsnittet af hele koordinatsættet, men vi har fundet ud af at vi kun skal bruge den udvikling, vi har fundet. Det har vi gjort på samme måde som før, og vi er kommet frem til dette: Antal gærceller Antal minutter Fremskrivningsfaktor Begyndelsesværdi 42 0 1,007737313 42 49 20 1,015766618 42,75515544 67 40 1,00762977 51,01050488 78 60 1,007180701 51,81694825 90 80 1,007737313 52,16895629 105 100 1,001871125 53,10694846 109 120 1,005649557 48,10397399 122 140 1,001215373 46,97931698 125 160 5

Gennemsnitlig fremskrivningsfaktor Gennemsnitlig Begyndelsesværdi 1,006839811 48,32006924 Vi har valgt at have vores begyndelsesværdi således at vi tager den gennemsnitlige fremskrivningsfaktoren, hvor vi får en masse forskellige begyndelsesværdier. Vi har derimod besluttet at tage den gennemsnitlige begyndelsesværdi, da vi får den mindste procentafvigelse på vores kurve. Vi har nu sat vores interval ind i vores koordinatsystem, samt lavet en definitionsmængde. Intervallet for vores funktion er: dm(f)=[0,160]. VI har opstillet flere modeller ved at sætte vores funktion og punkter ind i en enkel logaritmisk koordinatsystem. 6

Vi vil nu beregne fordoblingskonstanten, for at vise at gærcellerne vokser det dobbelte, så finder vi ud af hvor lang tid der går. Fordoblingskonstantens udtryk ser således ud: Hvor loga er defineret som logaritmen af fremskrivningsfaktoren. Vi lægger så vores fremskrivningsfaktor fra det udvalgte interval ind i fordoblingskonstanten således: Det tager 101,686 min før gærcellerne er vokset til det dobbelte. 7

Analysér modellens udsagnskraft i forhold til data Vi kan tydeligt se at den oprindelige data er mindre præcis, end den vi har indkredset, da de første 5-6 observationer ikke er eksponentielle. Derfor valgte vi den sidste halvdel af observationerne, da det lignede en eksponentiel udvikling. Den gennemsnitlige fremskrivningsfaktor for vores indskredsning er større end den fra de oprindelige data, da udviklingen i starten ikke er lige så stor. Vi har beregnet de relevante fremskrivningsfaktorer og begyndelsesværdier for begge modeller. Vi har fundet afvigelsen for punkt til graf. Det har vi gjort ved hjælp at sætte x koordinatet ind på x et plads. D Dvs.: VI har også taget den procentuelle afvigelse fra punktet og ind til grafen, det har vi gjort ved at tage antallet af gærceller ift. Grafen og ganget med hundrede og derefter divideret med antallet af gærceller i virkeligheden, og trukket hundrede fra så det er vi kan få afvigelsen. ( ) Så har vi sat alle vores x-koordinater ind på x et plads og vi får således et skema. Antal gærceller if. Grafen Procentuel afvigelse ift. Virkeligheden 48,32006924 15,04778392 55,37772857 13,01577259 63,466234-5,274277613 72,73615156-6,748523647 83,36003903-7,377734414 95,5356581-9,013658951 109,4896557 0,449225376 125,4817828 2,853920302 143,8097299 15,04778392 Vi finder fordoblingskonstanten for vores oprindelige data, hvor fremskrivningsfaktoren er anderledes. 8

Vi sammenligner vores fordoblingskonstanter. Vi kan se, at den oprindelige fordoblingskonstant er højere, da fremskrivningsfaktoren er højere. Grunden til dette er at stigningen i starten er mere lineær. Vi har sammenlignet de to modeller med hinanden, og ud fra det vi kan se, ligger de ret tæt. Vi har aflæst a og b til at være: Vi har en højere b og en lavere a. Idealgrafen har en større regressionstal da den regner efter mindst mulige procentuelleafvigelse efter punkterne. Graph bruger mindste kvadraters metode, som beregner en tendenslinje som passer bedst muligt fra ens data. Metoden ser således ud: D=d1 2 +d2 2 +d3 2 +...+dn 2 9

Traditionelt har man vedtaget, at den linje, der gør kvadratsummen D mindst, er den bedste linje. Derfor kaldes denne metode de mindste kvadraters metode, mens den bedste linje kaldes regresionslinjen. R som står bagved vores idealgraf betyder: Korrelationskoefficienten r er et mål for den lineære sammenhæng mellem punkterne. Det gælder at -1 r 1. Dvs. jo tættere tallet nærmer sig 1 eller -1 vil grafen være linære, hvorimod hvis den nærmer sig 0 er der ingen linæer sammenhæng. Samlet vurdering af modellens udsagnskraft Vi har vurderet vores model til at være for upræcis. Da vores regressionslinje er for langt væk fra 1. Derfor har vi valgt at indkredse vores interval til (200;67) til (280;109). Vi vil nu gøre det samme for denne indkredsede model som tidligere. Opstilling af matematiske modeller for den nye eksponentielle fase Vi finder igen a og b til vores nye udvalgte intervalg. Så sætter vi funktionen(grøn) ind i graf, samt en tendenslinje(rød), så vi kan se, hvor godt den passer. 10

For at gøre det lettere at se hvor tæt vores graf er på punkterne, sætter vi den ind i et logaritmisk koordinatsystem, så funktionen ser lineær ud. Vi beregner igen fordoblingskonstanten Vi sammenligner den med den oprindelige fordoblingskonstant, og kan se at forskellen er meget større end før. Vi sammenligner grafen fra de oprindelige data med grafen for vores indskredsede i et logaritmisk koordinatsystem, så vi bedre kan se forskellen. 11

Forskellen på b-værdien er ekstremt stor, da alle tallene i starten er meget lave på de oprindelige data. De høje tal bliver også lavere, fordi vi tog den 15. rod i stedet for den 4. rod. Samlet vurdering af de nye modellers udsagnskraft Antal gærceller Antal gærceller if. grafen Procentuel afvigelse ift. Virkeligheden Antal minutter 67 0 69,84630206 4,248212023 78 20 78,88262268 1,131567545 90 40 89,08801151-1,013320542 105 60 100,613716-4,177413344 109 80 113,6305511 4,248212023 Som det fremgår af tabellen, kan man se, at vi har beregnet antallet af gærceller ifølge grafen, samt den procentuelle afvigelse i forhold til virkeligheden. Den procentuelle afvigelse er væsentlig lavere end vores tidligere indkredsede interval. 12

Der er en lille afvigelse fra vores funktion og virkeligheden, fordi formeringen af gærceller er uregelmæssig. Fordi afvigelsen er så lille, kan man med rimelighed sige, at vores indkredsede fase er tilnærmelsesvis eksponentiel. Konklusion I dette projekt har vi vurderet og analyseret en tabel, hvor vi indkredsede et interval, så vi kunne få en tilnærmelsesvis eksponentiel udvikling. Vi har beregnet fordoblingskonstanterne, så vi kunne analysere forskellen på funktionerne lettere. Vi kom frem til at udviklingen af funktionen fra (200;67) til (280;109) tilnærmelsesvis er eksponentiel. Vi har sat vores grafer ind i et IT-værktøj (vpython), hvor vi har lavet brugergrænseflade. Informationsteknologi delen Indledende aktivitet Følgende tekst er taget udgangspunkt i Jan Kragh Jacobsens 25 spørgsmål. Målgruppen for vores projekt er andre unge mennekser, der interesserer sig for it og eller matematik. Samt finde ud af hvad det indebærer hvilken del af it en der er defineret. Budskabet vi vil give ved dette projekt er at få en større viden omkring it en (installation i cmd.exe, programmer osv.), samt at få repeteret nogle emner i matematikken. I vores projekt har vi brugt følgende programmer med installationer: Python 2.7.5 Vpython 2.7.5 (Visual python) Easygui 0.96 (Brugergrænsefladen i vores medie) Visual Graph (Modul til Visual python) Matplotlib (Installations problem) Den effekt vores produkt skal have til målgruppen, er at give dem en større forståelse indefor hvad it kan gøre, eller hvad det er. Formålet med dette er at tiltrække nogle unge til at kode hjemme, og måske vælge en studiretning indenfor it. Vores produkt er lavet før, dvs. at der er nogen der har lavet alle modulerne for os. Men vi har selv siddet og kodet os frem til vores produkt. Målgruppen skal opleve 13

vores produkt på en positiv måde således det er de kan se hvad det er vi er kommet frem til og hvordan. Den eneste viden det er man skal have til at kunne kode inden i Python, er at læse fra deres egen hjemmeside: http://www.python.org/ 05-12-2013. Iterationsplanlægning User stories Det brugeren har som forventning til vores produkt, er at produktet skal være fremtids brugbart. Produktet skal kunne videreudvikles på, og man skal kunne se hvad kodningen betyder. Det brugeren kan forvente er at man vil blive guidet rundt i vores program, ved at trykke på nogle knapper til de spørgsmål, vi har stillet til brugeren. Programmet skal kunne åbnes og køres til hver en tid, så overalt på jorden kan man køre programmet på samme tid uden det vil være ustabilt. (Programmet er et selvstændigt program som installeres på en hver pc man har). Det skal være let tilgængeligt for brugeren at bruge. Kravspecifikation og testspecifikation Vores krav til produktet er: Det skal kunne bruges af alle Det skal være nemt at forstå Man skal kunne se hvad der er gjort i kodningen Man skal få svar på hv-spørgsmålene Vi vil teste vores produkt hen af vejen, ved at køre modulet i python, og se hvad der kommer frem af fejl. De fejl der kommer frem, skal vi så rette på, indtil fejlen er væk. Det er sådan, vi har testet vores program. Samt skrive ud fra hvert modul hvad det gør, og hvad det betyder. Design Det design vi har valgt at lave er en brugergrænseflade. Dvs. at man kører modulet og du vil blive guidet igennem vores produkt. Det vil gøre det nemmere for både brugeren og for os som har designet det. Vi har designet det således at man trykker på en knap for at gå videre. Men det kommer vi til indenunder emnet implementering. 14

Implementering Vi har ved hjælp af visual python kommet frem til nogle af de skitser som vi ser nedenunder. Her har vi fundet ud af hvordan man laver punkter, og hvordan det kommer til at se ud i visual python, når man kører modulet. Vi har derfor tænkt at hvis lagde en graf ovenpå vores punkter, vi har så fået noget hjælp til at komme frem til begyndelsesværdien og fremskrivningsfaktoren, fra matematik delen. Vi har gjort således: 15

Vi tænkte så nu hvor vi havde kommet frem til hvordan vi lavede punkter og grafer, om hvordan vores brugergrænseflade nu skulle se ud. Det var så her vi brugte Easygui. Det er et modul, som kan demonstreres som vist nedenunder. Når man så trykker ok i Velkommen til vores IT program, Eksponentielle Modeller, så vil man komme frem til et nyt vindue som ser således ud: Hvor man så kunne trykke på ok, og funktionen vi havde defineret til at starte med ville komme frem. Vi har for det endelige program kommet frem til dette: 16

Kodningen endelig Demonstration endelig 17

Her under viser vi alle vores modeller og punkterne. Indkredset graf præcis Indkredset graf upræcis 18

Oprindelige graf Punkter Nu har vi set vores program/model. Så skal vi til at teste det og se om det kan overholde vores krav. Test Vi har spurgt rundt i klassen om de kunne forstå vores program, samt om de vidste hvordan man skulle ændre på følgende data. Vi har selv vurderet os frem til om 19

hver kodning har bestået vores kravspecifikation og testprocedurer. I programmet VPython er der indbygget en fejl meddelelse, som siger hvad der er galt med kodningen, men man skal selv rette fejlen så den passer. Afsluttende aktivitet Det vi har fået ud af at lave dette program, er en større forståelse for VPython og dens moduler, man kan installere. Det har især været sjovt og spændende at arbejde med, da det gav udfordringer samt vilje til at lave de forskellige kodninger. Bilag Mat1, 1.Udgave, 8.Oplag, af Jens Carstensen og Jesper Frandsen og Systime A/S Side 286 og 324-325 20