Rettevejledning til eksamen i Introduktion til økonomi 3 timers prøve med hjælpemidler, d. 1. Januar 009 Samtlige spørgsmål ønskes besvaret. Opgavens vægt i karaktergivningen er angivet ved hver opgave. Opgave 1 (0%) Blyant er tilladt skriveredskab 8 sider Angiv for hvert delspørgsmål hvorvidt det er sandt eller falsk og begrund dit svar. Giv eventuelt et modeksempel hvis du mener at et udsagn er falsk. 1.1 En nyttemaksimerende forbruger vil altid forbruge mere af en vare hvis prisen på varen falder 1. Udbuddet af en vare vil altid stige hvis prisen på den pågældende vare stiger 1.3 På langt sigt vil prisen på et kompetitivt marked med free-entry være lig de gennemsnitlige omkostninger 1.4 For faste output og input priser, vil profitten altid være større på langt sigt end på kort sigt Besvarelse: 1.1 Udsagnet er falsk. Generelt kan effekten af en prisændring på en vare opsplittes i en substitutions- og indkomsteffekt. Dette er udtrykt i Slutskyligningen x 1 = xs 1 x 1 p 1 p 1 m x 1 Substitutionseffekten udtrykker ændringen i efterspørgslen som følge af ændringen i bytteforholdet, og vil altid være ikke-positiv, altså at efterspørgslen stiger når prisen falder. Indkomsteffekten udtrykker ændringen i efterspørgslen som følge af ændringen i købekraften, og den kan være både positiv og negativ. I sidste tilfælde sige varen at være inferiørt, og er denne effekt tilstrækkelig stor kan efterspørgslen falde når prisen falder. Et sådanne gode hvor indkomsteffekten dominerer substitutionseffekten kaldes for et Giffen-gode. 1
1. Udsagnet er sandt. Betragt et output og et input, da vil profitten være π = py wx. Betragt nu en ændring i prisen fra p til p og lad (y, x) være det profitmaksimerende valg ved (p, w), og tilsvarende (y, x ) ved (p, w). Da vil der gælde at py wx py wx samt p y wx p y wx Ved at lægge disse to ligninger sammen fås eller py + p y py + p y (p p )(y y ) 0. Så når p < p da vil y < y. Således at udbuddet stiger når prisen på varen stiger. Alternativt, kunne man benytte følgende, men mindre generelle, argumentation: Vi har at f (x ) = w p, og idet f < 0 må der gælde at hvis p stiger, skal f (x ) falde, men det kræver at x stiger. Når x stiger øges y = f(x ). 1.3 Udsagnet er sandt. Hvis AC > p da vil π = py ACy < 0 og virksomheder vil lukke ned. Omvendt, hvis AC > p da vil π = py ACy > 0 og der vil blive oprettet flere virksomheder. Argumentet kræver naturligvis at der er fri adgang til at oprette nye selskaber. 1.4 Udsagnet er sandt. Lad c s (y; k) være kort sigt omkostningsfunktionen og c(y) langt sigts omkostningsfunktionen. Der gælder altid at c s (y; k) c(y) for ethvert k og y. Dermed må der også gælde at py c(y) py c s (y; k) for alle y, hvorved max y py c(y) max y py c s (y; k). Altså er profitten altid højere på langt end kort sigt. Opgave (30%) Betragt en bytteøkonomi med forbrugere, A og B, der har nyttefunktioner hhv. ( ) u A x A 1, x A = x A 1 + x A ( ) u B x B 1, x B = (x B 1 ) + (x B ) hvor x A 1 er forbruger A s forbrug af vare 1, osv. Initialbeholdningerne er givet ved ω A = (ω A 1, ω A ) = (, ) ω B = (ω B 1, ω B ) = (1, 1)
.1 Illustrer Edgeworthboksen for denne økonomi, og indtegn indifferenskurverne u A (x A ) = og u B (x B ) = i Edgeworthboksen.. Er forbrugernes præferencer monotone? Er de konvekse?.3 Angiv grafisk de Pareto optimale allokationer i Edgeworthboksen..4 Find forbrugernes efterspørgselsfunktion som funktion af priser (p 1, p ) og indkomst m..5 Kan prisvektoren p = (, 1) være en ligevægtspris i en Walrasligevægt? Vis at p = (1, ) er en Walrasligevægtspris og find den tilhørende allokation..6 Eksisterer der en ligevægtspris og omfordeling af initialressourcer så allokationen (x A, x B ) = ((1, 3), (, 0)) kan opnås i en Walrasligevægt? Hvad med allokationen ( x A, x B ) = ((0, ), (3, 1))? Besvarelse.1 Det ønskede er illustreret nedenfor. Figur 1: Edgeworthboksen. Begge forbrugeres præferencer er monotone, der partielt afledte er positive. Det ses endvidere at A har konvekse præferencer, mens B ikke har konvekse præferencer. For at se dette bemærk f.eks. at x B = (0, 1) og x B = (1, 0) så vil 1 xb + 1 xb = ( 1, ) 1 og vi har at u B ( 1, 1 ) = 1 < 1 = 1 u B(0, 1) + 1 u B(1, 0) Alternativt, kan det også vises i Edgeworthboksen, hvor et passende valg af konvekse kombinationer illustrerer vores konklusioner. 3
.3 De Pareto optimale allokeringer er skal opfylde to ting: de er mulige, og vi skal ikke kunne stille en bedre uden at stille den anden værre. Kontraktkurven er vist nedenfor og markeret med sort. Den centrale geometriske Figur : Pareto optimale allokationer egenskab ved en Pareto optimal allokation er at de to forbrugeres fortrukne mængder er separeret. Givet en Pareto optimal allokation eksisterer der ikke en mulig allokation således at begge bliver bedre stillet, dvs. et element i fællesmængden af de (strengt) foretrukne mængder..4 Vi har at efterspørgselsfunktionerne er ( m, 0) p p1 1 < p ( x A (p 1, p 1, m) = c, m p 1 c ) p 1 = p, c [ ] 0, m ( ) p 1 0, m p p 1 > p ( m, 0) p p1 1 < p { x B (p 1, p, m) = m, } m p1 = p ( p1 p ) 0, m p p 1 > p.5 Vi ser at ved prisvektoren p = (, 1) da vil A efterspørge mens B vil efterspørge x A (p, p ω A ) = (0, 6) x B (p, p ω B ) = (0, 3) hvorved (x A, x B ) ikke er mulig idet x A +x B = (0, 9), og dermed at markederne ikke clearer. Omvendt finder vi, at for p = (1, ) da vil x A = (0, 3) være optimal for A mens x B = (3, 0) er optimal for B. Dermed er (p, (x A, x B )) = ((1, ), ((0, 3), (3, 0))) en Walrasligevægt. 4
.6 Det er muligt at opnå allokeringen (x A, x B ) = ((1, 3), (, 0)), ved at sætte priserne p = (1, ) og lade initialfordelingen være ( ω A, ω B ) = ((3, ), (0, 1)), da vil x A = (1, 3) være optimal for A, og i budgetmængden p x A = 7 = p ω A. Omvendt har vi at x B = (, 0) er optimal for B og i hans budgetmængde p x B = = p ω B. Vi kan derimod ikke opnå allokeringen ( x A, x B ) = ((0, ), (3, 1)) i en Walrasligevægt med en passende omfordeling. Det er aldrig optimalt for B at forbruge et varebundt hvor der er positive mængder af begge varer. Opgave 3 (30%) Betragt en landmand der har følgende produktionsfunktion y = f (x 1, x ) = x 1 x hvor x 1 er antallet timers arbejde om dagen og x er antallet af kvm jord til græsning, og output er kg. oksekød. Antag at på kort sigt kan der ikke skaffes mere jord til græsning hvorfor antallet af kvm jord er fast med x = k, for en konstant k > 0. Lad p være prisen på oksekød, w 1 lønnen til landmanden og w er prisen på græsningsjord. Landmanden opererer på et fuldkommen konkurrence marked. 3.1 Opstil landmandens profitmaksimeringsproblem på kort sig og løs dette. 3. Illustrer løsningen i et (x 1, y)-diagram og fortolk første ordens betingelsen. 3.3 Opstil omkostningsminimeringsproblemet på langt sigt og find omkostningsfunktionen. 3.3 Afgør hvorvidt produktionsteknologien har konstant skalaafkast. 3.5 Vil landmanden kunne opnå en positiv profit på langt sigt? 3.6 Hvad skal der gælde om prisen på oksekød på langt sigt? Besvarelse 3.1 På kort sigt er profitmaksimeringsproblemet følgende max x 1 p x 1 x w 1 x 1 w x og vi har derfor første ordens betingelsen k p w 1 = 0 x 1 5
og dermed optimalt valg af x 1 på kort sigt er x 1(p, w 1 ; k) = p k således at 4w1 optimal produktion er y = 1 p k w 1 3. Løsningen er illustreret forneden. Første ordens betingelsen siger at gevinsten ved en ekstra enhed arbejdstime, pmp 1, skal være lig omkostningen w 1. Figur 3: Profitmaksimering på kort sigt 3.3 Omkostningsminimeringsproblemet er givet ved min w 1 x 1 + w x under bibetingelsen at x 1 x = y. Omkostningsfunktionen er givet ved c(w 1, w, y) = w 1 w y 3.4 Vi ser at produktionsfunktionen har konstant skalaafkast: f(tx 1, tx ) = tx 1 tx = t x 1 x = tf(x 1, x ) 3.5 Men der kan ikke opnås en positiv profit med konstant skalaafkast: hvis (y, x 1, x ) var en produktionsplan så π 0 = p x 1 x w 1 x 1 w x > 0, da ville produktionsplanen (ty, tx 1, tx ) give en profit på π t = p tx 1 tx w 1 tx 1 w tx = tπ 0 men så var den oprindelige produktionsplan ikke optimal. 3.6 På langt sigt må der gælde at c(w 1,w 1,y) y p = w 1 w. = p og dermed må der gælde at 6
Opgave 4 (0%) Betragt en skovirksomhed der har en omkostningsfunktion c(y) = y y + 1 hvor y 0 er den producerede mængde af sko. Den samlede efterspørgsel efter sko er givet ved D(p) = 19 p Skovirksomheden opererer under fuldkommen konkurrence. 4.1 Find virksomhedens udbudsfunktion for sko. 4. Hvad er ligevægtsprisen på langt sigt under antagelse af free-entry og identiske virksomheder? Find den tilhørende ligevægtsmængde af sko. Antag at virksomheden opererer som monopolist. Vi betragter nu kun det lange sigt. 4.3 Find monopolistens optimale pris samt produceret mængde. 4.4 Find dødvægtstabet ved monopolisten Besvarelse 4.1 Udbudsfunktionen må løse første ordens betingelsen p = MC(y) = 4y 1 altså y(p) = 1 + p. For at dette også er en profitmaksimerende løsning må 4 4 p AV C(y) = y 1 hvilket er opfyldt idet MC(y) = 4y 1 y 1 = AV C(y). 4. På langt sigt under antagelse af free-entry og identiske virksomheder må der gælde at p = min y AC(y). Men vi har at min y AC(y) = min y y 1 + 1 y der giver y = 1 og dermed p = 1. Vi finder ligevægtsmængden ved at indsætte i efterspørgselsfunktionen y = D(p ) = 19 p = 0. Antag at virksomheden opererer som monopolist. Vi betragter nu kun det lange sigt. 4.3 Vi har den inverse efterspørgselskurve p D (y) = 19 y hvorved monopolisten løser MC(y) = MR(y) 4y 1 = 19 y så den optimale løsning er y m = 0 6 = 10 3 og prisen er p m = 47 3. 7
4.4 Vi har dødvægtstabet til at være: ændringen i forbrugerskuddet CS = 0 10 3 p D (y) p dy = [(0 )y 1 y ] 0 10 3 mens profitten til monopolisten er π m = p m y m c(y m ) = 470 9 79 9 = 391 9 = 159 9 50 3 hvorved dødvægtstabet er CS π m = 868 9 50 3. Husk at π = 0 idet p = AC(y ). 8