Kapitel Planintegraler Denne tekst er en omarbejdet version af kapitel 7 i Gunnar Mohrs noter til faget DiploMat 2, og opgaverne er et lille udpluk af opgaver fra Mogens Oddershede Larsens bog Matematik for Ingeniører, bd.2. Vi skal nu se, hvorledes man kan indføre et integralbegreb, som tillader én at integrere funktioner af to variable. Dette vil ske i fuldkommen analogi til det allerede i gmnasiet indførte bestemte integral, hvor man kan integrere kontinuerte funktioner over et begrænset interval [a, b]. Som bekendt kan et sådant integral tolkes som et areal (selv om der i mange sammenhænge ikke er knttet denne tolkning til anvendelsen). Vi vil således også i dette kapitel udelukkende beskæftige os med kontinuerte funktioner - men altså nu funktioner af to variable - og integrationsmængden bliver her et begrænset område i planen (dette præciseres lidt senere). Integralet af funktioner af 2 variable (som kaldes planintegralet) defineres nu på en måde, der gør, at det kan tolkes som et volumen helt i analogi med det -dimensionale integralbegreb. Vi tilstræber ikke at give en i matematisk henseende helt stringent fremstilling - hvilket ville være en ganske omstændelig affære. Indførelsen af det ne integralbegreb vil derfor i en vis udstrækning have intuitiv karakter. Således vil vi eksempelvis i argumentationen udelukkende se på funktioner, der ikke er negative. Dette sker kun i den indledende fase, og resultaterne vil have almen gldighed. = f () z z = f (,) a b Areal = b a f ()d Figur.:
2 KAPITEL. PLANINTEGRALER Af figur. fremgår, at planintegralet vil betde volumenet mellem et område i -planen og den derover beliggende del af fladen givet ved ligningen z = F(,). Dette på samme måde, som integralet af en funktion af én variabel betder arealet mellem et interval på -aksen og den derover beliggende del af grafen givet ved ligningen = f ().. Planintegral - definition Vi ser nu på et givet område i -planen, om hvilket vi forudsætter, at det er begrænset af en lukket, sammenhængende kurve, der ikke har dobbeltpunkter udover, hvad der ligger i, at kurven er lukket. Det er således herunder forudsat, at området har et bestemt areal Areal() = A. Endvidere lader vi F(, ) være en funktion, hvis definitionsmængde indeholder som delmængde, og som er begrænset på. Vi interesserer os for den mængde i rummet, der nedadtil er begrænset af, til siderne er begrænset af den lodrette clinderflade, der går gennem randen af, og opadtil er begrænset af den del af fladen, der afskæres af denne clinderflade. Denne mængde kaldes Ω, og vi skal nu se, hvorledes vi kan tillægge Ω et volumen V. Vi inddeler i n delområder, 2,, n, hvis arealer vi kalder A,A 2,,A n. Lad os tage delområde nr. i ud (i {,2,,n}) og se på den mængde Ω i i rummet, der - dannet på samme måde, som vi gjorde for - ligger over i. Vi sammenligner nu mængden Ω i med to lodrette clindre, der begge har i som grundflade. Højderne i de to clindre er henholdsvis den mindste værdi g i og største værdi G i af de funktionsværdier for F, der fås, når (,) ligger inden for i. z G i i g i i Areal A i Figur.2: Da volumenet af en clinder er højde gange grundflade, bliver volumenet af de to clindre henholdsvis g i A i og G i A i. Det er oplagt, at hvis vi skal tillægge Ω et volumen V, så må der om dette gælde n i= g i A i V n i= G i A i (.) Man kan nu forestille sig, at man ved at foretage en finere og finere inddeling af vil få en bedre og bedre tilnærmelse til V, idet de to summer i (.) vil nærme sig hinanden mod én fælles værdi V. Dette
.2. UDREGNING AF PLANINTEGRAL I RETVINKLEDE KOORDINATER 3 er også korrekt, hvis funktionen F(, ) er kontinuert. Hvis man imidlertid frafalder dette krav, kan man finde eksempler på, at de to summer nok nærmer sig mod hinanden, men at der uanset hvilken inddeling af man vælger, er en grænse for, hvor tæt de kan komme hinanden. I sådanne tilfælde kan volumenet ikke defineres. Vi fastholder imidlertid her kravet om kontinuitet, og den fælles værdi, som summerne i dette tilfælde nærmer sig mod, kaldes funktionen F s planintegral over området og dette betegnes F(, )dσ Vi sammenfatter ovenstående i følgende boks: Planintegralet er defineret, hvis der findes netop ét tal, der er større end eller lig enhver såkaldt undersum n i= g ia i og mindre end eller lig enhver oversum n i= G ia i (svarende til alle mulige inddelinger af området ). I så fald siges funktionen F at være integrabel over og det pågældende tal kaldes planintegralet af F over. Hvis specielt F er kontinuert i, så er F integrabel over. Det skal uden bevis nævnes, at der for integrable funktioner gælder sætninger, vi kender fra integraler af funktioner af én variabel. Således har man for eksempel; (F (,) + F 2 (,))dσ = F (,)dσ + F 2 (,)dσ k F(,)dσ = k F(, )dσ Nu er det store spørgsmål så: Hvorledes beregner vi planintegralet? I det foregående har vi set, hvorledes det defineres, men der er ikke meget hjælp at hente til en umiddelbar beregning i et konkret tilfælde. Dette drejer de to næste afsnit sig om. Vi vil afslutte dette afsnit ved at bemærke, at man kan finde arealet A() af som planintegralet over af funktionen F(,) =. Dette svarer til, at en skive med tkkelsen og grundfladearealet A har volumenet A = A..2 Udregning af planintegral i retvinklede koordinater Vi ser nu på sådanne plane områder, der er begrænset af linierne = a og = b samt kurverne givet ved = f () og = g(). Her er de to funktioner f og g kontinuerte på [a,b], og det forudsættes, at der inden for dette interval gælder f () g(), se figur.3 Hvis F(,) er en funktion, der er givet at være kontinuert på mængden, kan man vise, at der om planintegralet af F over gælder det vigtige udtrk; b ( g() ) F(,)dσ = F(, )d d (.2) a Integralet på højre side kaldes et dobbeltintegral, og det udregnes, således som skrivemåden angiver. Først udregnes det inderste integral i parantesen. Dette bliver en funktion af. Derefter udføres den anden integration. Vi skal om lidt se, hvorledes (.2) er nem at forstå (og opskrive), når man tolker planintegralet som et volumen. Forinden vil vi se på en konkret udregning ved brug af formlen. f ()
4 KAPITEL. PLANINTEGRALER = g() = f () a b Figur.3: Eksempel.. Lad være den plane punktmængde, der er afgrænset af ulighederne ; 2 + således som vist på figur.4, og lad funktionen F være givet ved udtrkket F(,) =. ( ) 2 + F(,)dσ = d d = = 2 = 4 [ 2 2 ] = 2 + = d ( ( 2 + ) 3) d [ 2 ] = 4 = 2 + = Figur.4:
.2. UDREGNING AF PLANINTEGRAL I RETVINKLEDE KOORDINATER 5 Vi vil nu se nærmere på (.2) og gennem figur.5 give en intuitiv forklaring på formlen. Det på figur.5a viste fremhævede snit har arealet A() = =g() = f () F(, )d og den på figur.5b viste skive af tkkelsen d får da (tilnærmelsesvis) volumenet ( =g() ) A()d = F(, )d d = f () Integrationen med hensn til summerer da alle disse skivevolumener op til hele det samlede volumen. Når vi på denne måde deler en mængde Ω i rummet op i skiver og derefter bentter betragtningsmåden ovenfor til at bestemme volumenet af Ω, så siger vi, at vi har brugt skivemetoden. (a) z (b) z a b Areal A() + d d Figur.5: Beregningerne i eksempel. svarer til, at der er foretaget en opdeling i skiver, der er parallelle med z-planen. Ofte kan man imidlertid med fordel dele Ω op i skiver, der er parallelle med z-planen. Det afhænger dels af mængden og dels af selve funktionen, hvilken opdeling, der er at foretrække. I givet fald vil være beskrevet ved = {(,) c d h() k()}. Vi vil i denne forbindelse kntte følgende kommentar til selve måden at skrive dobbeltintegralet på. Almindeligvis anvendes en anden skrivemåde for dobbeltintegralet end den, der er vist i (.2) og benttet i eksempel., nemlig; F(,)dσ = F(,)dσ = b a d c g() d d f () k() h() F(,)d F(,)d (opdeling i skiver parallelle med z-planen) (opdeling i skiver parallelle med z-planen) (.3) En sådan skrivemåde gør det formentlig lettere at aflæse, hvilke integrationsgrænser der kntter sig til hver af de to variable. Det er naturligvis vigtigt at fremhæve, at der ikke er tale om et produkt mellem de to integraler. Man udregner dobbeltintegralerne i (.3) fra højre mod venstre. Vi vil bentte
6 KAPITEL. PLANINTEGRALER denne skrivemåde i eksempel.3 nedenfor, så man kan gøre sig fortrolig med formuleringen. Eksempel.2. Lad A være den mængde i planen som er givet ved: Vi ønsker at beregne: Vi får: A f (,)dσ = = = = = 2 = 32 5 A ; 2 + 2. f (,)dσ, hvor f (,) = + 2 +. +2 d ( + 2 + )d 2 ([ + 2 + 2 2] +2 = 2 ) d ( ( + 2)( + 2 2 ) + 2 ( + 2)2) ( ( 2 ) + ( 2 ) 2 + 2 ( 2 )2) d ( 3 4 + 3 2 + 6 + 6 ) d 2 [ 3 5 5 + 3 + 3 2 + 6 ] Eksempel.3. Lad være den plane punktmængde, der er afgrænset af ulighederne ; 2 således som vist på figur.6, og lad funktionen F være givet ved udtrkket F(,) = e 2. Hvis vi her vælger en opdeling med skiver, der er parallelle med z-planen, kan planintegralet skrives som F(,)dσ = d 2 e2 d Da vi imidlertid ikke kan udregne integralet af e 2 prøver vi med en opdeling med skiver parallelle med z-planen. Vi formulerer da mængden som de (,) der tilfredsstiller ulighederne ;
.3. UDREGNING AF PLANINTEGRAL I POLÆRE KOORDINATER 7 Med denne formulering fås F(,)dσ = = = 2 F(,)dσ = 4 d [ 2 2 e 2 d ] = = e 2 d, e t dt = 4 e 2 d som ved brug af substitutionen 2 = t, 2d = dt giver [ e t ] = e 4 = 2 = 2 Figur.6:.3 Udregning af planintegral i polære koordinater Undertiden har funktionen F eller integrationsområdet en sådan form, at man i stedet for at bentte de retvinklede koordinater og med fordel kan gå over til polære koordinater r og θ, således som vist på figur.7a. Integrationsområdet forudsættes nu begrænset dels af to linier, der i polære koordinater har ligningerne θ = α og θ = β, og dels af to kurver, der i polære koordinater har ligningerne r = φ(θ) og r = ψ(θ). Vi minder om, at de retvinklede og polære koordinater er forbundet ved ligningerne = r cosθ = r sinθ Endvidere tænkes der ligesom tidligere at foreligge en funktion F(, ), der er kontinuert i. Det kan da vises, at der om planintegralet af F over gælder følgende vigtige formel: β ψ(θ) F(,)dσ = dθ F(r cosθ,r sinθ)rdr (.5) α φ(θ) (.4)
8 KAPITEL. PLANINTEGRALER Dette er den polære udgave af (.2). Dette dobbeltintegral kan igen tolkes som et volumen, og (.5) er intuitivt let forståelig, når man sammenholder med figur.7b. Da en cirkelbue med radius r og svarende til en åbningsvinkel v har buelængden rv, vil den med mørke raster viste mængde tilnærmelsesvis være et rektangel med arealet rdrdθ. Volumenet af den søjle, der står herpå og strækker sig op til grafen for F bliver da tilnærmelsesvis F(r cosθ,r sinθ)rdrdθ. Den første integration med hensn til r giver da volumenet over det med raster viste område, hvorefter integrationen med hensn til θ giver det samlede volumen. (Igen skal det pointeres, at selv om planintegralet kan fortolkes som et volumen, så er der i mange sammenhænge ikke knttet en sådan tolkning til anvendelsen). (a) θ = β (b) areal rdθ dr rdθ β r = φ(θ) α r = ψ(θ) θ = α dθ θ r dr Figur.7: Eksempel.4. Lad f (,) = + 2 og lad B være mængden, som i polære koordinater er givet ved: r 2 ; θ π 4 Vi ønsker at (a) tegne B og at (b) beregne B f (,)dσ. (a): Mængden B er skitseret i figur.8. (b): Da = rcos(θ) og = rsin(θ) fås, idet dσ = rdrdθ:
.3. UDREGNING AF PLANINTEGRAL I POLÆRE KOORDINATER 9 B f (,)dσ = = 2 2 2 π 4 dr dr π 4 ( rcos(θ) + 2rsin(θ) ) rdθ r 2( cos(θ) + 2sin(θ) ) dθ = r 2[ sin(θ) 2cos(θ) ] θ= π 4 2 2 = (2 2 )r2 dr 2 = (2 2 )[ 3 r3] 2 2 = (2 2 )7 3 θ= dr 2 = B 2 Figur.8: Eksempel.5. Lad være den plane punktmængde, der er afgrænset af ulighederne θ π 4 ; θ r 2 Det overlades til læseren at skitsere dette integrationsområde. Der foreligger derligere funktionen F givet i retvinklede koordinater som F(,) = 2 + 2
KAPITEL. PLANINTEGRALER Planintegralet kan nu udregnes som F(,)dσ = = = 3 = 3 π 4 π 4 dθ dθ π 4 2 θ 2 θ r 2 cos 2 θ + r 2 sin 2 θ rdr r 2 dr (8 θ 3 )dθ [ 8θ 4 θ 4 ] π 4 = 2π 3 π4 372 Eksempel.6. For området givet på polær form således som beskrevet ovenfor kan vi finde et simpelt udtrk for arealet A() ved en reduktion af planintegralet på følgende måde: A() = dσ = β α dθ ψ(θ) φ(θ) rdr = 2 β α ( ψ(θ) 2 φ(θ) 2) dθ I det specifikke tilfælde fra eksempel.5 har vi α =, β = π 4, φ(θ) = θ, og ψ(θ) = 2..4 Tngdepunkt I mange anvendelser spiller begrebet tngdepunkt en vigtig rolle. Vi vil her begrænse spørgsmålet til at se på en tnd skive, idet vi lader området repræsentere denne, og vi behandler således spørgsmålet som et plant problem. Der foreligger desuden en massetæthedsfunktion m(, ), hvorved forstås en funktion med den egenskab, at massen af en hvilken som helst (passende pæn) delmængde D af kan udregnes som planintegralet af m over D. Således er den samlede masse af skiven givet som: M = m(, )dσ (.6) Herefter vælger vi i planen en vilkårlig linie l og definerer momentet med hensn til l som: S l = r(, )m(, )dσ (.7) hvor r betegner afstanden fra linien til punktet (,) regnet med fortegn. Linien deler skiven i to dele, hvor alle punkter i den ene del (som man selv vælger) bidrager positivt, og de øvrige punkter bidrager negativt til momentet. Vi vil nu stille os følgende spørgsmål: Findes der et punkt i med den egenskab, at det for enhver linie gennem punktet gælder, at momentet med hensn til linien er nul? For at undersøge dette vælger vi et punkt (ξ,η) og ser på en linie l gennem dette punkt. Liniens vinkel med -aksen betegnes θ. Idet der for et vilkårligt punkt (,) gælder, at afstanden r(,) kan skrives som r(,) = ( ξ )sinθ ( η)cosθ
.4. TYNGDEPUNKT r (,) ( η)cosθ l (ξ,η) θ ξ η θ ( ξ )sinθ Figur.9: kan S l skrives som S l = (( ξ )sinθ ( η)cosθ)m(,)dσ = sinθ ( ξ )m(,)dσ cosθ ( η)m(,)dσ (.8) Af dette udtrk fremgår, at S l er nul for enhver værdi af θ, hvis og kun hvis de to planintegraler begge er nul (sæt først θ = og så θ = π 2 ). Vi har altså = = ( ξ )m(,)dσ = ( η)m(,)dσ = m(,)dσ m(,)dσ ξ m(,)dσ = ηm(,)dσ = m(,)dσ ξ M m(,)dσ η M Det fundne punkt kaldes skivens tngdepunkt, og dets koordinater er da givet ved ξ = M η = M m(,)dσ m(,)dσ (.9) Det bemærkes til sidst, at da momentet med hensn til en linie er uafhængigt af det valgte koordinatsstem, så er også tngdepunktets placering uafhængigt af koordinatsstemet.
2 KAPITEL. PLANINTEGRALER Eksempel.7. Vi ser på en tnd skive, der har form af en halvcirkel med radius ρ (tegn selv!) = {(r,θ) θ π r ρ} Idet det er givet, at der er konstant massetæthed m, fås ved udregning af planintegralerne i polære koordinater Mξ = Mη = π π dθ dθ ρ ρ r cosθ mrdr = m ρ3 3 r sinθ mrdr = m ρ3 3 π π cosθdθ = sinθdθ = m 2ρ3 3 = m πρ2 2 4ρ 3π Arealet af skiven er πρ2 πρ2 2, således at der med konstant massetæthed m fås: M = m 2. Tngdepunktet har altså koordinaterne ( (ξ,η) =, 4ρ ) (.) 3π
.5. OPGAVER 3.5 Opgaver Opgave. Beregn i hvert af de følgende tilfælde planintegralet over den skraverede mængde S. ) S (2 + )dσ 2) S dσ 3) ( 2 2 )dσ S
4 KAPITEL. PLANINTEGRALER 4) S 2 ( + 3)( + 2 ) dσ 5) S ( + 2)dσ Opgave.2 (Areal) Find i hvert af de følgende tilfælde arealet af den skraverede mængde S. )
.5. OPGAVER 5 2) Opgave.3 (masse) Beregn i hvert af de følgende tilfælde massen af det skraverede plane legeme S med den 2- dimensionale massetæthed f (,) målt i Kg m 2. Alle mål er i meter. ) f (,) = 2 + 2) f (,) =
6 KAPITEL. PLANINTEGRALER 3) f (,) = 2 + Opgave.4 (tngdepunkt) Beregn i hvert af følgende tilfælde tngdepunktet for det skraverede plane legeme S med den 2- dimensionale massetæthed f (,) målt i Kg m 2. Alle mål er i meter. ) f (,) = 2) f (,) = 3) f (,) = 5( 2 + )
.5. OPGAVER 7 4) f (,) = Opgave.5 (fordampning) Fordampning fra den skraverede plane flade S er på stedet (,) givet ved Kg målt i. Hvor mange kg fordamper fra hele S på time? Alle mål er i me- hm 2 ter. Opgave.6 (befolkningstal) En cirkelrund b har en befolkningstæthed, der i punktet (, ) er 5 2 + 2 + indbggere/m2, hvor (,) er bens centrum, og, måles i meter. Beregn antallet af indbggere inden for en radius på m.