Differentiation af Trigonometriske Funktioner Frank Villa 15. oktober 01 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-01. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her.
Indhold 1 Introduktion 1 Differentiation af sinus 3 Differentiation af cosinus 4 4 Differentiation af tangens 6 5 Hjælpesætningen 7
Resumé Vi beviser hvordan de trigonometriske funktioner differentiateres. 1 Introduktion I dette dokument skal vi bevise hvorfor de trigonometriske funktioner differentieres på den måde de gør. Forudsætninger: Du skal naturligvis kende definitionen af differentiation 1 for at forstå beviset. Desuden får vi brug nogle facts om sinus og cosinus. Du kan enten vælge at tro på disse facts, eller du kan finde argumentet for den i det sidste afsnit. Hvis du gør det sidste, så har du brug for at kende definitionen af sinus og cosinus rigtig godt. Det helt afgørende værktøj i beviset er dog de såkaldte additionsformler for sinus og cosinus. Du kan finde et bevis for disse formler her, men for overskuelighedens skyld skriver vi dem lige op igen herunder: Sætning 1 (Additionsformlerne). Hvis α og β er to vinkler, så gælder at: cos(α β) = cos(α) cos(β) + sin(α) sin(β) (1) sin(α β) = sin(α) cos(β) sin(β) cos(α) () cos(α + β) = cos(α) cos(β) sin(α) sin(β) (3) sin(α + β) = sin(α) cos(β) + sin(β) cos(α) (4) 1 Læs denne definition her Læs om de trigonometriske funktioner her side 1
Og sidst, men ikke mindst, er det ekstremt vigtigt at vi er enige om følgende: Når de trigonometiske funktioner benyttes som funktioner (f.eks. når man vil differentiere dem), så er det underforstået at deres variable er angivet i radianer. Således at graferne cosinus og sinus skærer x-aksen i de punkter som er markeret på figur 1 nedenunder. 1 -π -0,5π 0,5π π 1,5π π -1 Figur 1: Grafen for cosinus (med blåt) og sinus (med rødt) Hvis ikke der står π og π på x-aksen, men derimod 180 og 360 så bliver sætningerne i dette dokument simpelt hen forkerte. Differentiation af sinus Dette bevis minder lidt om beviset for hvordan den naturlige eksponentialfunktion differentieres 3. Vi bygger igen vores argument på nogle informationer som stammer fra definitionen af cosinus og sinus. 3 Du kan finde dette bevis her side
Denne gang er det dog ikke bare et spørgsmål om at pege på definitionen (fordi sinus og cosinus defineret helt uden at tale om grænseværdier eller tangenthældninger), så vi er nødt til at kalde det et lemma, altså en hjælpesætning: Lemma. De trigonometriske funktioner sinus og cosinus opfylder følgende: og sin(x) x cos(x) 1 x 1, når x 0 0, når x 0 Denne hjælpesætning skal naturligvis også bevises. Men for at gøre tingene lidt mere overskuelige, gemmer jeg dette bevis til slutningen af dokumentet. (Det er nemlig ret besværligt). Lad os forestille os at lemma er bevist og koncentrere os om hovedsætningen: Sætning 3. Hvis f(x) = sin(x) og x 0 R så er f differentiabel i x 0 og f (x 0 ) = cos(x 0 ) Bevis. Vi opskriver differenskvotienten: d(x) = f(x) f(x 0) x x 0 = sin(x) sin(x 0) x x 0 Så indfører vi en hjælpestørrelse, h, givet ved: h = x x 0 side 3
Dermed er x = x 0 + h, så vi kan omskrive: d(x) = sin(x 0 + h) sin(x 0 ) h Her er noget hvor vi kan bruge en af additionsformlerne! Helt præcist kan vi omskrive: sin(x 0 + h) = cos(x 0 ) sin(h) + sin(x 0 ) cos(h) Det indsætter vi i differenskvotienten, og så bliver det grimt i et kort øjeblik: d(x) = cos(x 0) sin(h) + sin(x 0 ) cos(h) sin(x 0 ) h Men det kan heldigvis simplificeres lidt med noget brøkregning: d(x) = cos(x 0 ) sin(h) h + sin(x 0 ) cos(h) 1 h Når x x 0 vil h 0. Derfor kan vi bruge lemma til at indse at: d(x) cos(x 0 ) 1 + sin(x 0 ) 0 = cos(x 0 ), når x x 0 3 Differentiation af cosinus Sætning 4. Hvis f(x) = cos(x) og x 0 R så er f differentiabel i x 0 og f (x 0 ) = sin(x 0 ) side 4
Bevis. Dette kan bevises på præcis samme måde som sætning 3. Man får bare brug for en anden additionsformel, og derfor dukker der et minus op. (Prøv selv!) Jeg vil dog gerne vise at man kan dovne sig fra det. Vi kan nemlig bruge det som vi allerede har bevist på en smart måde, fordi: ( f(x) = cos(x) = sin x + π ) (Kig på graferne på figur 1 hvis du er i tvivl om hvorfor det er rigtigt). Dermed er f skrevet som en sammensat funktion hvor den ydre funktion er sinus (som vi lige har bevist hvordan man differentierer) og den indre funktion er en lineær funktion (som differentieret giver 1). Kædereglen siger derfor at f er differentiabel, og at: ( f (x) = cos x + π ) 1 Nu er det bare tilbage at indse at cos(x + π ) = sin(x) Det kan gøres på forskellige måder. Jeg synes at det nemmeste er at bruge samme trick som før baglæns. Eftersom ( cos(x) = sin x + π ) (uanset hvad x måtte være), så er: ( cos x + π ) ( = sin x + π + π ) = sin(x + π) Og så kigge på figur 1 en gang mere og indse at: sin(x + π) = sin(x) side 5
4 Differentiation af tangens Dette er langt det nemmeste af beviserne. Til gengæld er der to forskellige måder at skrive resultatet op på (så kan man skændes om hvilken måde man synes er pænest). Vi beviser undervejs at de to udtryk er ens. Sætning 5. Hvis f(x) = tan(x), så er f differentiabel i alle x, undtagen π +z π, hvor z er et heltal (i disse tal er tangens slet ikke defineret). Dens afledede er givet ved: f (x) = 1 cos(x) = 1 + tan(x) Bevis. Vi husker lige at tanges er defineret som: tan(x) = sin(x) cos(x) Derfor ved vi fra reglen om differentiation af brøker at den er differentiabel alle de steder hvor cos(x) er forskellig fra nul. (Det er præcis de steder som sætningen påstår.) Og vi får samtidigt at den afledede er givet ved: tan (x) = sin (x) cos(x) sin(x) cos (x) cos(x) cos(x) cos(x) sin(x) ( sin(x)) = cos(x) = cos(x) + sin(x) cos(x) Her kan vi fortsætte omskrivningen på to forskellige måder. Vi kan enten huske idiotformlen og se at tælleren altid giver 1. Dermed får vi at: tan 1 (x) = cos(x) side 6
Eller vi kan dividere nævneren op i begge led i tælleren, hvilket giver: tan (x) = cos(x) cos(x) + sin(x) cos(x) = 1 + ( ) sin(x) = 1 + tan(x) cos(x) 5 Hjælpesætningen Til sidst skal vi lige have bevist lemma. side 7