OM KPITLET ELEVFORUDSÆTNINGER I dette kapitel om geometrisk tegning skal eleverne undersøge og gengive to- og tredimensionale figurer fra omverdenen. Eleverne skal, med og uden digitale værktøjer, tegne, beskrive og undersøge forskellige forhold vedrørende to- og tredimensionale figurer. I den første del af kapitlet arbejder eleverne med at undersøge og gengive forskellige plane figurer. De bliver i den sammenhæng præsenteret for klassisk geometri, hvor de skal arbejde med at fortage nogle grundlæggende konstruktioner vha. passer og lineal. Efterfølgende præsenteres eleverne for eksempler på geometrisk navngivning og for tegning af skitser. Desuden arbejder de med visse grundkonstruktioner som fx konstruktion af et linjestykkes midtnormal, konstruktion af vinkelhalveringslinje og konstruktion af højder i en trekant. Også elevernes kendskab til ligedannede trekanter kommer i spil. I den sidste del af kapitlet er der fokus på tredimensionale figurer. Eleverne skal undersøge og anvende forskellige metoder til gengivelse af tredimensionale figurer, samt diskutere muligheder og begrænsninger ved de forskellige tegneformer. Eleverne har i MULTI 4, MULTI 5 og MULTI 6 arbejdet med geometrisk tegning og gengivelse af to- og tredimensionale figurer. De har ligeledes arbejdet med opgaver og undersøgelser i forbindelse med geometrisk tegning, hvor de har anvendt digitale værktøjer. Eleverne har dermed kendskab til at bruge digitale værktøjer både i forbindelse med to- og tredimensionale figurer. Eleverne har i MULTI på mellemtrinnet arbejdet med: at tegne midtnormaler, vinkelhalveringslinjer og medianer at tegne og forstå arbejdstegninger (projektionstegninger) at tegne og forstå isometriske tegninger at tegne kongruente og ligedannede figurer at bruge et geometriprogram til at undersøge midtnormaler, vinkelhalveringslinjer og medianer i forskellige typer trekanter. Eleverne enten skal eller kan i arbejdet med kapitlet ofte anvende et digitalt værktøj. Det kan derfor være hensigtsmæssigt indledningsvis at tage en fælles samtale i klassen om hvilke digitale værktøjer, det kan være hensigtsmæssigt at anvende. Der kan fx tales om, hvornår og hvordan eleverne brugte digitale værktøjer i kapitlet Plangeometri. En del opgaver i dette kapitel er formuleret, så der er flere mulige facit, da resultatet på forskellig måde afhænger af elevernes valg. I facitlisten vil der til disse opgaver anføres eksempelvis Elevernes egne svar eller Elevernes egne forklaringer, men de er i mange tilfælde ledsaget af forslag til besvarelse. I opgaver, hvor der skal tegnes, er der ofte frit valg mht. valg af tegneredskaber og hjælpemidler. Tilsvarende er nogle af figurerne i facitlisten udført som håndtegning, mens andre er udført ved brug af et digitalt værktøj. Valgene i facitlisten er ikke nødvendigvis en anbefaling af det mest fornuftige valg i den givne opgave blot en illustration af, at begge muligheder ofte er til stede.
ELEVMÅL FOR KPITLET HUSKELISTE Målet er, at eleverne: kan anvende nogle grundlæggende tegnemetoder til gengivelse af to- og tredimensionale figurer kan beskrive og undersøge linjers indbyrdes forhold og beliggenhed knyttet til polygoner og cirkler kan anvende forskellige metoder til at fremstille og undersøge to- og tredimensionale figurer både på papir og ved hjælp af digitale værktøjer kender til muligheder og begrænsninger i de forskellige tegneformer til gengivelse af rumlighed. PRINTRK 6 Figurkort 7 Store konstruktioner E7 egreber og fagord Geometrisk MTERILER Centicubes Flag eller fx spyd fra atletik Isometrisk papir Karton Lim og/eller tape Målebånd eller målehjul Passer Saks Snor Tedolit Telefon eller lignende med videooptager Vinkelmåler DIGITLE VÆRKTØJER Geometriprogram Skærmoptager FGLIGE EGREER FÆLLES MÅL I kapitlet arbejdes med følgende centrale fagord og begreber: På MULTIs hjemmeside er der en oversigt over, hvilke Fælles Mål der er sat op for arbejdet med kapitlet. Midtpunkt Midtnormal Vinkelhalveringslinje Skitse Ligedannethed Topvinkel Ensliggende vinkler Isometrisk tegning Projektionstegning.
FCITLISTE OG UDDYENDE FORKLRING OPGVE 1 Det skal her bemærkes, at der i MULTI 7, 1. oplag ikke står skitse ved de tre figurer. Vær opmærksom på, at det kan være misvisende for eleverne, at den orange firkant er tegnet som et kvadrat, men ikke nødvendigvis behøver være det med kun én ret vinkel og ingen oplysninger om sidelængderne. Der kan derfor være flere forskellige løsninger. MÅL OG FGLIGT INDHOLD På kapitlets første opslag bliver eleverne introduceret til emnet. Opslaget indledes med, at eleverne bliver præsenteret for kapitlets elevmål, fagord og begreber. I de efterfølgende opgaver og i aktiviteten arbejder eleverne med opgaver, der skal aktivere deres forhåndsviden om emnet. I introteksten gives en kort beskrivelse af, hvad emnet handler om. Herefter præsenteres eleverne for kapitlets fire elevmål samt fagord og begreber. Eleverne bør indledningsvis læse elevmål, fagord og begreber. Derefter kan de parvis eller i mindre grupper tale om deres forståelse af de enkelte mål, så de på den måde får aktiveret deres forforståelse. Eleverne kan på skift forklare et fagord eller et begreb for den anden/de andre i gruppen - enten med tegninger eller ord. Eleverne tegner de tre figurer med passer, lineal og vinkelmåler. Eleverne tegner de tre figurer med passer og lineal. Den orange firkant: Enhver firkant med mindst én ret vinkel vil være en rigtig besvarelse. Den blå kvartcirkel: Enhver kvartcirkel vil være en rigtig besvarelse uanset den valgte radius. Den grønne trekant: Enhver ligesidet trekant vil være en rigtig besvarelse uanset den valgte sidelængde. C Eleverne tegner de tre figurer i et digitalt værktøj efter eget valg. D Individuelle elevvurderinger. Flere elever vil sandsynligvis vurdere, at de mest præcise tegninger opnås ved at anvende et digitalt værktøj. E Individuelle elevvurderinger og begrundelser. OPGVE 2 Hvis der er begreber eller fagord, som eleverne ikke kan forklare, så kan de prøve at finde betydningen i fx deres formelsamling. På den måde vænnes eleverne til selv at søge informationer, som de skal bruge i arbejdet med matematiske opgaver, undersøgelser og aktiviteter. eskrivelserne kan gemmes og tages frem igen, når eleverne skal arbejde med evaluering af kapitlet. Det kan være en god idé at lade eleverne løse opgaverne på opslaget enkeltvis og efterfølgende tale med deres makker om, hvordan opgaverne er løst - herunder deres erfaringer med de forskellige tegneteknikker. Hvilke tegneteknikker kan de bedst lide at bruge - og hvorfor? Herunder er figurerne tegnet ved hjælp af passer, lineal og vinkelmåler. Til nogle af figurerne er knyttet en kort kommentar: MTERILER Et digitalt værktøj Lineal Passer Vinkelmåler Linjestykket afsættes ved at måle 10 cm med linealen. Med som centrum tegnes en cirkelbue med en radius på 5 cm. Med som centrum tegnes en cirkelbue med en radius på 7 cm. Cirkelbuernes skæringspunkt C markeres og linjestykkerne og C tegnes. PRINTRK 6 Figurkort
Linjestykket afsættes ved at måle 4 cm med linealen. Vinkel afsættes lig med 45 og D afsættes ved at måle 1 cm med linealen. Det samme gentages ved vinkel, hvorved D og C er parallelle. C og D forbindes, og linjestykket CD er dermed parallel med. OPGVE 3 Eleverne tegner to polygoner, der er kongruente. Polygonerne skal have samme vinkelmål og sidelængder, og dermed kunne dække hinanden punkt for punkt. Eleverne tegner to polygoner, der er ligedannede i længdeforholdet 1 : 3. Figurerne skal have samme vinkelmål og sidelængderne i den største polygon skal være 3 gange så lange som de tilsvarende sidelængder i den mindste. C Eleverne tegner to polygoner, der er ligedannede i længdeforholdet 1 : 4. KTIVITET: LYT OG TEGN Eleverne kan evt., inden de går i gang med aktiviteten bruge lidt tid på at undersøge, hvordan man kan tegne isometriske tegninger og projektionstegninger med et digitalt værktøj. De to elever behøver ikke nødvendigvis være enige om, hvorvidt de tegner i hånden eller med et digitalt værktøj. Det kan ligeledes være, at de foretrækker at bruge et digitalt værktøj til den ene type tegning og ikke den anden. Eleverne får nogle erfaringer med at tegne de to forskellige typer tegninger. Den sidste firkant kan være svær at tegne, og det skyldes, at hverken vinkel eller vinkel C er fastlagt. Firkanten kan fx tegnes på denne måde: Først tegnes D-DC, hvor både længden på linjestykkerne samt vinklen er givet. Herefter kan man forsyne figuren med et hængsel i, og så vippe -C i forhold til D-DC som antydet på figuren herunder. -vinklerne er alle 110,5, og linjestykket er 3,8 cm. -C kan fx tegnes på en kalke, da det vil gøre det lettere at vippe indtil det rammer punkt C. DEL 1 Eleverne bygger og tegner figurerne, der er vist med arbejdstegninger og isometriske tegninger. DEL 2 C Eleverne vurderer tegningerne og diskuterer udfordringer i forbindelse med aktiviteten. Eleverne kan i DEL 2 erfare, at der er forhold og informationer, som de forskellige tegnemodeller ikke fortæller noget om. Senere i kapitlet arbejder eleverne mere formaliseret med at vurdere muligheder og begrænsninger ved brugen af forskellige tegnemodeller. lternativt kan eleverne opfordres til kun at tegne denne figur i et digitalt værktøj. Eleverne tegner de seks figurer i et digitalt værktøj efter eget valg.
Det er hensigten, at eleverne så vidt muligt selv skal finde ud af, hvordan figurerne i de enkelte opgaver skal konstrueres. Det kan være en idé, at lade eleverne arbejde sammen i mindre grupper om konstruktionerne. Eleverne kan evt. tjekke deres tegninger ved at lave de tilsvarende tegninger med et digitalt værktøj. OPGVE 4 MÅL OG FGLIGT INDHOLD Eleverne skal på dette opslag arbejde med klassisk geometri. Indenfor den klassiske geometri gælder der nogle bestemte spilleregler - der må kun anvendes passer og en lineal uden længdemål. Eleverne præsenteres først for nogle grundlæggende tegnemetoder, hvor det bliver vist og beskrevet, hvordan forskellige linjer kan tegnes. I de efterfølgende opgaver arbejder eleverne med selv at tegne forskellige linjer og figurer vha. klassisk geometri. Eleverne tegner midtpunkt og midtnormal ved at følge den beskrevne fremgangsmåde i teoriboksen. Eleverne tegner linjestykket, hvorpå de tegner en cirkel med centrum i punktet C. I cirklens skæringspunkt med afsættes punktet D. En cirkel med radius CD og centrum i D tegnes. De to cirklers skæringspunkter E og F forbindes med linjestykket EF. Dette gentages som vist på tegningen: En forudsætning for at kunne arbejde med opslaget er, at alle elever er i besiddelse af lineal og passer. Lad gerne eleverne arbejde med opgaverne på blankt papir. Til nogle af opgaverne vil der blive tegnet en del hjælpelinjer, og unødvendige streger eller tern kan gøre tegnearbejdet lidt uoverskueligt. MTERILER Lineal Passer Evt. hvidt papir OPGVE 5 Sidelængden i kvadratet skal være 5 cm. Sidelængderne i rektanglet skal være 4 cm og 8 cm. C Sidelængden i kvadratet (= diameteren i cirklen) skal være 4 cm. OPGVE 6 D Figuren kommer til at se således ud: FCITLISTE OG UDDYENDE FORKLRING TEORI: KLSSISK GEOMETRI Eleverne bliver i teoriboksen præsenteret for nogle grundlæggende tegnemetoder, og det bliver vist, hvordan de kan konstruere midtpunkt, midtnormal, vinkelhalveringslinje og højden i en trekant. Det kan være en god idé, at eleverne parvis gennemgår teoriboksens indhold, og begge prøver at konstruere de beskrevne linjer og punkter. Fortæl eleverne, at det er tilladt at viske evt. overskydende linjestykker eller cirkelbuer ud i forbindelse med tegningerne.
OPGVE 7 OPGVE 8 Eleverne tegner en vilkårlig retvinklet, en vilkårlig spidsvinklet og en vilkårlig stumpvinklet trekant. Eleverne indtegner de tre højder i hver trekant, som vist herunder. I eksemplet herunder tages der udgangspunkt i en stumpvinklet trekant, hvor to af højderne falder uden for trekanten, og eleverne derfor skal forlænge linjestykkerne og C. C Eleverne tegner en vilkårlig trekant med tre vinkelhalveringslinjer, tre midtnormaler og trekantens indskrevne og omskrevne cirkel. På tegningen er vist, hvordan man tegner vinkelhalveringslinjen til vinkel og midtnormalen til linjestykkes C. C I en retvinklet trekant falder to af højderne sammen med de to kateter. I en spidsvinklet trekant falder alle højderne inde i trekanten. I en stumpvinklet trekant falder to af højderne uden for trekanten. I alle trekanter skærer højderne hinanden i samme punkt. Eventuelt også: I en retvinklet trekant er dette skæringspunkt den rette vinkelspids, i en spidsvinklet trekant ligger skæringspunktet i trekantens indre, og i en stumpvinklet trekant ligger skæringspunktet uden for trekanten. D Vinkelhalveringslinjernes skæringspunkt er centrum for trekantens indskrevne cirkel. Midtnormalernes skæringspunkt er centrum for trekantens omskrevne cirkel. OPGVE 9 Individuelle beskrivelser af mønsterets opbygning. Eleverne tegner mønsteret. C Den røde cirkelperiferi bliver inddelt i seks lige store stykker. Selve cirkelfladen bliver inddelt i 6 kongruente blomsterblade og 6 kongruente øksehoveder. D Trekanten bliver ligesidet. E Trekanter, firkanter, femkanter, sekskanter, syvkanter, regulær sekskant m.m. F Individuelle elevbeskrivelser.
FCITLISTE OG UDDYENDE FORKLRING MÅL OG FGLIGT INDHOLD På dette opslag arbejder eleverne med navngivning af vinkler, linjer, linjestykker og deres indbyrdes beliggenhed. Ligeledes er der fokus på, hvordan man laver en skitse, der kan bruges som udgangspunkt for fx en tegning af en figur med nogle givne mål. I de efterfølgende opgaver tegner eleverne skitser og figurer ud fra forskellige oplysninger. Eleverne har ikke tidligere arbejdet formaliseret med navngivning i forbindelse med geometriske tegninger, men de kender formodentligt til, at vinkelspidser navngives med store bogstaver og at rette vinkler markeres med et lille kvadrat. TEORI: NVNGIVNING OG SKITSE Inden eleverne læser teoriboksen igennem, kan det være en god idé at tale om, hvilke typer navngivning eleverne allerede kender. Der kan også vises nogle forskellige typer navngivning på tavlen, som eleverne skal give deres bud på, hvad symboliserer. Tal ligeledes om, hvorfor og hvornår det kan være hensigtsmæssigt at tegne en skitse. I den forbindelse kan det være relevant at tale om, hvorvidt det kun er i forbindelse med geometrisk tegning, at en skitse kan være et godt arbejdsredskab, eller om man evt. også tegner skitser i andre sammenhænge eller fag. Det er vigtigt, at eleverne forstår, at en skitse i geometrisk sammenhæng er en tegning, der viser det væsentligste ved en figur, men at man ikke kan eller skal kunne måle de rigtige længder og vinker. Der kan være elever, der gerne vil tegne en skitse som en mindre udgave af den rigtige figur, men her er det vigtigt at understrege, at det ikke er det, der forstås ved en skitse. OPGVE 10 MTERILER Evt. et digitalt værktøj Lineal Passer Vinkelmåler Eleverne tegner trekanten: Da trekanten er ligebenet, er = C. De har derfor begge gradmålet (180 82 ) : 2 = 49.
OPGVE 11 Firkanten er et trapez med højden 3 og de parallelle sider 5 og 7. Firkanten tilhører ikke nogen navngiven kategori. C Firkanten er et rektangel med siderne 2 og 7. D Firkanten er et trapez med højden 2,5 og de parallelle sider 3 og 10. OPGVE 12 Eleverne tegner figurerne. C Figur 1 Netop én løsning, da to trekanter, der har to vinkler og den mellemliggende side parvis lige store, er kongruente. Figur 2 Øverste vinkel er 47 (180 133 ). Netop én løsning, da to trekanter, der har to sider og den mellemliggende vinkel parvis lige store, er kongruente. Figur 3 Der er løsninger, idet summen af de tre vinkler er 180. Der er uendeligt mange løsninger, nemlig alle de trekanter som er ensvinklede med den givne. Figur 4 Netop én løsning. Figur 5 Ingen løsning. I en trekant skal summen af længderne af de to korteste sider være større end den sidste side. Det er ikke tilfældet her. Figur 6 Netop én løsning en retvinklet trekant med kateterne 3 og 4 og hypotenusen 5. Figur 7 Uendeligt mange løsninger, nemlig enhver ligebenet trekant med grundlinjen 4 cm. Figur 8 Uendeligt mange løsninger. Det kan være en god ide at løse opgaven med et digitalt værktøj, da det vil være lettere for eleverne at undersøge, hvorvidt der er mere end én løsning.
kan løses, ved at de beskrevne materialer placeres ét sted, hvor eleverne så kan låne og aflevere de nødvendige materialer. DEL 1 Eleverne afsætter vinkler ved brug af teodolit. Eleverne afsætter punkter og måler vinkler. DEL 2 Eleverne markerer de store figurer og måler manglende vinkler og sidestykker. MÅL OG FGLIGT INDHOLD På dette opslag skal eleverne arbejde med store geometriske opmålinger og konstruktioner, hvor de bruger deres viden og erfaringer fra arbejdet med at tegne geometriske figurer på papir. I de efterfølgende opgaver arbejder eleverne med problemstillinger og undersøgelser, hvor de skal bruge deres viden om linjer og linjers indbyrdes beliggenhed. Hensigten med opgaverne på dette opslag er, at eleverne selv skal opdage de forskellige sammenhænge - og det er altså ikke meningen, at strategien skal foræres til dem. Derfor kan det for nogle af eleverne tage lidt tid at løse opgaverne, og det er ikke sikkert, at alle elever skal arbejde med alle opgaver. Trekant C = 180 85 65 = 30. C = 10,88 m. C = 11,95 m. Trekant = 52,62. = 88,33. C = 44,62. Trekant C C = (180 130 ) : 2 = 25. = (180 130 ) : 2 = 25. C = 19,94 m. DEL 2 kan evt. organiseres, så eleverne vælger 2-3 figurer, de gerne vil konstruere. MTERILER Evt. et digitalt værktøj Evt. lineal Evt. passer Evt. vinkelmåler Flag eller fx spyd Målebånd eller målehjul Snor Telefon eller lignende med videooptager. Teodolit PRINTRK 7 Store konstruktioner FCITLISTE OG UDDYENDE FORKLRING KTIVITET: TEGN STORT Hensigten med aktiviteten er, at eleverne selv skal eksperimentere med at foretage de enkelte målinger samt konstruere de beskrevne figurer. Det er blot vigtigt, at eleverne har adgang til de beskrevne materialer. Det er ikke sikkert, at der fx er en teodolit pr. gruppe, men det Lad gerne eleverne arbejde parvis, da de derved har mulighed for undervejs i arbejdet med opgaverne at diskutere, hvordan de er kommet frem til de forskellige resultater. Tal med eleverne om, at der i opgaverne ikke er et facit, hvor det er et bestemt arealstørrelse eller en bestemtlængde, der spørges til. Det kan for nogle elever være udfordrende at arbejde med matematik på den måde, da de ofte forventer, at der er ét rigtigt resultat. Det kan være hensigtsmæssigt, at eleverne arbejder med opgaverne i et digitalt værktøj, da de derved har lettere ved at arbejde undersøgende med de enkelte opgaver. Der kan være elever, der ikke er helt sikre på, hvordan de skal løse opgaven, hvorfor de fx kan prøve sig frem ved systematisk at tegne de forskellige linjer (medianer, vinkelhalveringslinjer mv.) i eksempelvis trekanten. Ligeledes kan eleverne fx finde arealer og sidelængder vha. det digitale værktøj, så de undgår at skulle lave en masse gentagne beregninger.
OPGVE 13 Linjestykker fra medianernes skæringspunkt til vinkelspidserne vil dele trekanten i tre lige store deltrekanter, der alle har én af den oprindelige trekants sider som den ene side. Flere muligheder. For eksempel deler midtpunktstransversalerne trekanten i fire kongruente trekanter. Men en trekantside delt i fire lige store dele kan også være udgangspunkt for en deling af trekanten i fire trekanter med samme areal (samme grundlinje og højde): lternativt kan sekskanten konstrueres med passer og lineal ved at sammensætte seks ligesidede trekanter, eller ved at tegne en cirkel, hvor der på periferien afsættes seks punkter, hvis afstand svarer til radius. Disse punkter er hjørner i sekskanten. - Hvordan beregner man arealet af en sekskant? Da sekskanten består af seks kongruente ligesidede trekanter, kan eleverne benytte denne viden til at beregne arealet. OPGVE 15 F Eleverne undersøger vinkelhalveringslinjer ved at følge den beskrevne fremgangsmåde. Den ønskede konklusion er, at en vinkels halveringslinje består af de punkter, der har samme vinkelrette afstand til vinklens ben. Hvis eleverne er i tvivl om, hvordan de skal arbejde med opgaven, så kan de starte med at tegne en vilkårlig spidsvinklet trekant (da den minder mest om formen på den viste skov, og der ikke er linjer, der enten er sammenfaldende eller ligger udenfor trekanten, hvis eleverne prøver sig frem med forskellige typer linjer). Derefter kan de undersøge størrelsen af de forskellige arealer, der fremkommer ved de forskellige typer inddelinger. En udfordringsmulighed er at bede eleverne om at finde flere løsninger end én i punkt C. OPGVE 14 D Individuelle elevberegninger og tegninger. Eleverne skal i denne meget åbne opgave gøre sig nogle forskellige overvejelser, fx: - Hvor stort skal skiltet mindst være, hvis det skal være muligt at læse priserne på honning, når man kører forbi på vejen? - Hvordan kan man tegne en regulær sekskant? OPGVE 16 Individuelle elevskitser. Poolen skal deles af midtnormalen for linjestykket. Individuelle elevsvar, som afhænger af, hvor de placerer nders, rian og Carl. C Individuelle redegørelser. Opgaven løses ved at konstruere linjestykker mellem punkterne, og dernæst konstruere midtnormaler til disse linjestykker, og de overflødige linjestykker kan til sidst slettes. Eleverne kan opfordres til ikke at tegne skitsen alt for lille, så de i punkt har mulighed for at placere drengene med en vis afstand imellem hinanden, så skitserne ikke bliver for svære og gnidrede at arbejde med. Eleverne har på side 41 i MULTI 7 undersøgt og fundet frem til formlen: 180 (n 2), der beskriver vinkelsummen i en n-kant. Dvs. vinklerne i den regulære sekskant er 120.
OPGVE 17 De manglende mål er skrevet på figurerne herunder: MÅL OG FGLIGT INDHOLD Eleverne skal på dette opslag arbejde med egenskaber ved ligedannede trekanter, topvinkler og ensliggende vinkler. I de efterfølgende opgaver skal eleverne bruge deres nye viden til at bestemme sidelængder i trekanter samt beregne afstande, de ikke kan komme til at måle. Eleverne har på mellemtrinnet arbejdet med ligedannede figurer, men begreberne topvinkler og ensliggende vinkler er nye for eleverne. MTERILER Evt. et digitalt værktøj Evt. lineal Evt. passer Evt. vinkelmåler FCITLISTE OG UDDYENDE FORKLRING TEORI: LIGEDNNEDE TREKNTER, TOPVINKLER OG ENSLIGGENDE VINKLER Eleverne bliver i teoriboksen præsenteret for begreberne ligedannede trekanter, topvinkler og ensliggende vinkler. rbejdet med teoriboksens indhold kan organiseres, så eleverne hver især skal formulere tre spørgsmål, som man kan stille til den forklarende tekst. Efterfølgende kan eleverne i mindre grupper arbejde med de spørgsmål, de enkelte i gruppen har formuleret. OPGVE 18 Disse vinkelpar er ensliggende: a og e c og g b og f d og h Elevernes argumentation for hvilke vinkler der er lige store. emærk at sætningen om at ensliggende vinkler ved parallelle linjer er lige store først afsløres for eleverne i opgave 19. rgumentationen kan i denne opgave basere sig på, at topvinkler er lige store, men man må også acceptere måling som et argument her. Følgende vinkler er lige store: a, d, e og h b, c, f og g. Hvis eleverne er i tvivl om, hvilke vinkler der er lige store, så kan det være en god idé, at de tegner linjerne i et digitalt værktøj og på den måde undersøger, hvilke vinkler der er lige store. Derefter kan det være, at de vha. teoriboksens beskrivelse kan forklare, hvorfor vinklerne er lige store.
OPGVE 19 D Eleverne tegner linjer og beskriver deres opdagelser. E Når parallelle linjer skæres af en tredje linje, er de ensliggende vinkler lige store. F Når ikke-parallelle linjer skæres af en tredje linje, er den ensliggende vinkler ikke lige store. emærk, at de afstande, der efterspørges, også kan findes ved, at eleverne tegner trekanterne med de angivne mål i et digitalt værktøj og herefter aflæser i programmet. emærk, at disse to sætninger tilsammen indeholder den modsatte sætning til E: Når linjer skæres af en tredje linje således, at de ensliggende vinkler er lige store, så er de to linjer parallelle. Denne påstand (som er en sætning i faglig forstand) kan evt. diskuteres med klassen. OPGVE 20 Trekant E og trekant DCE er ligedannede. Forklaring: og C er begge rette. E i de to trekanter er topvinkler og dermed lige store. Så er også = D (vinkelsum). ltså er de to trekanter ensvinklede og dermed ligedannede. = 64 cm. OPGVE 21 er fælles i de to trekanter, E og C er (ligesom D og ) ensliggende vinkler ved parallelle linjer. ltså er trekanterne ensvinklede. Længdeforholdet mellem C og DE er 16 = 22,5 32 0,712. Længdeforholdet mellem DE og 45 C er 45 1,4. 32 C C = 45 23 32,34 cm. 32 OPGVE 22 Eriks skitse. EDC og C er ensvinklede (og dermed ligedannede) i længdeforholdet 9 : 3 = 3. fstanden x (= ) er da lig med 3 2 = 6 m. Johans skitse. C og DE er ensvinklede og dermed ligedannede. Johan kan derfor opstille ligningen = DDDD xx = xx+6 5 10 f denne ligning kan x bestemmes til x = 6. Den søgte afstand er derfor 6 m.
FCITLISTE OG UDDYENDE FORKLRING MÅL OG FGLIGT INDHOLD På dette opslag skal eleverne først undersøge forskellige sammenhænge ved punkter og linjer i den ligesidede trekant. Derefter er der fokus på tegning af tredimensionale figurer med tegnemetoderne isometrisk tegning og projektionstegning. Eleverne har på mellemtrinnet arbejdet med både isometrisk tegning og projektionstegning, hvorfor teoriboksens indhold og de efterfølgende opgaver i høj grad er repetition af de to tegneformer. Eleverne arbejder hovedsageligt med muligheder og begrænsninger i de to tegneformer til gengivelse af rumlighed, samt hensigtsmæssig valg af tegneform set i relation til gengivelse af forhold fra virkeligheden. MTERILER Et digitalt værktøj Lineal Vinkelmåler Centicubes UNDERSØGELSE: DEN LIGESIDEDE TREKNT DEL 1 G Eleverne undersøger skæringspunkter i forskellige trekanter. I alle ligesidede trekanter falder højder, vinkelhalveringslinjer, medianer og midtnormaler sammen. I ligebenede trekanter falder højden, vinkelhalveringslinjen, medianen og midtnormalen fra toppunktet sammen, men i almindelighed falder disse linjer ikke sammen. DEL 2 D Eleverne undersøger sammenhænge mellem indskreven og omskreven cirkel i ligesidede trekanter. I alle ligesidede trekanter har den indskrevne og omskrevne cirkel samme centrum, nemlig skæringspunktet mellem trekantens højder/vinkelhalveringslinjer/medianer/midtnormaler. Den omskrevne cirkels areal er 4 gange så stor som den indskrevne cirkels areal. DEL 3 H Eleverne undersøger sammenhænge mellem summen af længderne for normalerne fra punktet P og trekantens tre sider, samt sammenhængen mellem summen af disse tre normaler og højden i trekanten. I alle ligesidede trekanter er summen af længderne for normalerne fra et tilfældigt punkt P inde i trekanten til trekantens tre sider konstant, uanset hvor i trekanten punktet P er placeret. Summen af normalerne fra et tilfældigt punkt P inde i trekanten til trekantens tre sider er lig en af højderne i trekanten. TEORI: PROJEKTIONSTEGNING OG ISOMETRISK TEG- NING Som nævnt i den indledende tekst til dette opslag har eleverne allerede en del kendskab til og erfaring med tegneformerne isometrisk tegning og projektionstegning. På mellemtrinnet blev der primært anvendt begrebet arbejdstegning, hvor der i udskolingen anvendes begrebet projektionstegning. Lad eleverne parvis tale om indholdet i teoriboksen.
OPGVE 23 Eleverne bygger den viste figur. Projektionstegning: Forfra Oppe fra Fra siden C Isometrisk tegning: D E Eleverne måler afstandene. Kun afstande målt langs de tre isometriske tegneretninger er ens på tegningen og i virkeligheden. OPGVE 24 D Individuelle elevvurderinger. I denne opgave skal eleverne reflektere over, at nogle typer tegninger er mere velegnede end andre, afhængig af hvad det er for en kontekst og formål, de skal optræde i. Eleverne kan fx overveje, om det er nødvendigt at alle mål på tegningen er målfaste. om der er vigtige informationer på tegningen, som læseren ikke kan se. om én tegning er nok, eller om det vil være nødvendigt med flere tegninger. om tegningen evt. kan blive for detaljeret i forhold til, hvad den skal bruges til.
FCITLISTE OG UDDYENDE FORKLRING OPGVE 26 Individuelle elevtegninger, som afhænger af, hvilke mål elevernes borde, stole eller andre valgte genstande har. Individuelle elevbeskrivelser, som afhænger, hvilke tegneformer eleverne har valgt. OPGVE 27 Individuelle elevtegninger. Herunder er givet et bud på en isometrisk tegning og en projektionstegning: MÅL OG FGLIGT INDHOLD Eleverne arbejder på dette opslag videre med opgaver, hvor de skal tegne, beskrive eller undersøge forskellige tegninger og beskrivelser af tredimensionale figurer. De skal ligeledes arbejde med 3D-tegninger i et digitalt værktøj. Eleverne har i MULTI 6 arbejdet med at tegne 3D-tegninger med et digitalt værktøj. MTERILER Et digitalt værktøj, hvor eleverne kan tegne i 3D. En skærmoptager. Lineal. Vinkelmåler Tavle-lineal og/eller meterhjul Tavle-vinkelmåler Forfra Oppefra Fra siden OPGVE 28 Silja kan få oplyst, hvor mange m 2 de forskellige rum er, samt hvor der er døre og vinduer i huset. fhængigt af, om tegningen er målfast, kan Silja også beregne de forskellige vægges (linjestykkers) længder og tegningens længdeforhold. yggefirmaet ville blandt andet mangle husets/rummenes højder, for at kunne bygge det, samt væggens tykkelser. C yggefirmaet skulle bruge en grundplan og en tredimensionel tegning, hvor højder også er indtegnet. D Individuelle elevvurderinger.
OPGVE 29 Herunder er angivet, hvor mange forskellige figurer der kan bygges, som passer til de isometriske tegninger: Figur : 8 forskellige figurer. Figur : 5 forskellige figurer. Figur C: 4 forskellige figurer. OPGVE 30 Individuelle elevtegninger. Individuelle elevtegninger. Herunder er vist et eksempel, hvor huset er tegnet ved brug af 3D-funktionen i GeoGebra: Individuelle elevtegninger med uendeligt antal muligheder. Der vil altid kun være én mulig figur, hvis højden på centicubefiguren ikke er mere end én. Herunder er givet et eksempel: C Individuelle elevtegninger med uendeligt antal muligheder. Der vil altid være mere end en mulig figur, hvis der på den isometriske tegning er overflader, hvor begge sidelængder er mere end 1. KTIVITET: 3D-TEGNINGER DEL 1 Eleverne tegner polyedrene og undersøger, hvilke værktøjer i det anvendte geometriprogram de kan bruge til at finde overfladeareal og rumfang. DEL 2 Eleverne laver videovejledninger, viser dem for et makkerpar og taler om de opstillede spørgsmål. OPGVE 31 G Individuelle elevbesvarelser. Eleverne skal til denne opgave bruge forskellige målegenstande, fx meterlineal eller meterhjul, og det vil ligeledes være hensigtsmæssigt, hvis eleverne har mulighed for at anvende en tavle-vinkelmåler. OPGVE 32 D Individuelle elevbesvarelser. I aktiviteten skal eleverne arbejde sammen parvis, men det vil være hensigtsmæssigt, hvis begge elever har en computer og dermed mulighed for at tegne de beskrevne rumlige figurer. På den måde får alle elever erfaringer med at anvende programmet. Undervejs i arbejdet med at tegne de forskellige figurer kan eleverne hjælpe hinanden og måske finde og afprøve nye og andre måder at konstruere figurerne på. Sæt gerne tid af til at eleverne kan undersøge og eksperimentere med de forskellige muligheder i programmet.
FCITLISTE OG UDDYENDE FORKLRING TEM: DESIGN, ESKRIV OG YG DEL 1 E Individuelle elevbeskrivelser, skitser og tegninger. DEL 2 C Individuelle elevmodeller og sammenligninger. MÅL OG FGLIGT INDHOLD På dette opslag skal eleverne på den første side arbejde med temaet Design, beskriv og byg, og på den anden side skal de arbejde med evaluering af kapitlet. MTERILER Et digitalt værktøj Karton Lim (evt. limpistol) og/eller tape Saks PRINTRK E7 egreber og fagord Geometrisk tegning DEL 3 Individuelle elevpræsentationer. I temaet arbejder eleverne med selv at designe en rumlig genstand - det kan være en genstand, som de finder i klasseværelset, på skolen eller lign. eller det kan være en genstand, som de selv udformer og designer, fx et ligesidet, trekantet enkeltmands-bord, hvor det er let at skabe andre bordformer tilpasset forskellige gruppestørrelser. I den forbindelse kan eleverne eksempelvis gøre sig følgende overvejelser: Hvilke fordele og ulemper er der ved et trekantet bord? Hvilke mål skal bordet have? Hvordan kan bordene sættes sammen, hvis der fx er fire i en gruppe? Når de enkelte grupper har valgt en genstand, de gerne vil designe/arbejde videre med. Så kan de sætte sig sammen med en eller to andre grupper og præsentere deres idé. De enkelte grupper får dermed feedback på deres idé, som de kan tage med i de videre overvejelser allerede inden, de er gået i gang med at tegne, beskrive og bygge. De enkelte designs kan bygges i forskellige materialer - alt afhængig af, hvad det er der skal bygges. Så ud over karton kan der fx være sugerør, tændstikker, mælkekartoner og lign. til rådighed. Der er mange forskellige måder, hvorpå elevernes design kan præsenteres på, men de enkelte gruppers modeller kan med fordel være en del af præsentationen, da de allerede er bygget.
EVLUERING DEL 1 E Elevaktivitet. Eleverne forklarer betydningen af de begreber, de har lært om. DEL 2 Elevaktivitet. Eleverne viser eksempler og skriver deres egen forståelse af de begreber, de har lært om. DEL 3 Individuelle elevtegninger. Individuelle elevbeskrivelser. Det væsentlige er, at eleverne kommer ind på følgende forhold: En trekants indskrevne cirkel har centrum i vinkelhalveringslinjernes skæringspunkt C og den vinkelrette afstand fra C til en trekantside som radius. En trekants omskrevne cirkel har centrum i sidemidtnormalernes skæringspunkt C og afstanden fra C til en vinkelspids som radius. DEL 4 Elevernes egne forklaringer. lle vinkler i kvadratet er lige store. lle vinkler i trekanten er lige store. DE = CE. CE = CE. C CDE: lle vinkler er 60. CE: C = 150, = E = 15. CEH: C = 60, E = 15, H = 105. DEL 5 Eleverne tegner en projektionstegning og en isometrisk tegning af hundehuset. lle længder på projektionstegningen kan bruges. De længder, der på den isometriske tegning er tegnet langs de tre isometriske tegneretninger, kan bruges.
C Eleven tegner den indskrevne cirkel i trekanten. Eleven tegner den omskrevne cirkel til en af trekanterne. OPGVE 3 Længdeforholdet er 1 : 3. DF = 9. MÅL OG FGLIGT INDHOLD På dette opslag skal eleverne arbejde med færdighedsopgaver på to niveauer. Opgaverne handler om kapitlets emne. MTERILER Lineal Passer FCITLISTE OG UDDYENDE FORKLRING TRÆN 1 FÆRDIGHEDER OPGVE 1 Konstruktionen på tegningerne er her antydet: OPGVE 4 Umiddelbart kan man kun sige, at følgende vinkler er lige store (fordi de er topvinkler): = D, = E, C = F, (+) = (D+E), (+C) = (E+F) og (C+D) = (+F). Eleverne kan måle på tegningen, og konstatere, at de to lodrette linjer er parallelle, og de kan ligeledes ved at måle på tegningen konstatere, at trekanten mellem de to linjer er ligebenet. Med den viden, kan eleverne nå frem til, at: følgende vinkler er lige store (fordi de er ensliggende vinkler ved parallelle linjer): H = F, G = (+), I = og J = (+F). H = I (grundvinkler i en ligebenet trekant) og G = J (nabovinkler til de to grundvinkler). Eleverne kan måle på tegningen, og konstatere at linjerne er parallelle. Opgaven kan danne udgangspunkt for en samtale med klassen om forskellen på matematik i hverdagen og matematik som fag. På tegningen ser det ud som om, de to linjer er parallelle, og at trekanten er ligebenet. Det vil være tilstrækkeligt til at benytte vor viden om parallelle linjer og ligebenede trekanter i en hverdagssammenhæng. OPGVE 5 er samme vinkel i begge trekanter. Desuden gælder = E = F = C. F = 6 cm, CF = 3 cm. OPGVE 6 Projektionstegning: OPGVE 2 Herunder er trekanterne tegnet: Forfra Oppefra Fra siden
TRÆN 2 FÆRDIGHEDER OPGVE 1 Tegning af trekant GHI: OPGVE 4 E = 5,6. C = 22,4. C Omkredsen af CE er 57,6. OPGVE 5 Projektionstegninger: Forfra Oppefra Fra siden C Eleven tegner trekantens indskrevne cirkel. Eleven tegner trekantens omskrevne cirkel. OPGVE 2 Tegning af figuren: C Eleven tegner en figur ligedannet med den fra punkt. Eleven angiver længdeforholdet mellem de to figurer. OPGVE 3 Elevskitse af figuren. Her er vist et eksempel: Vinkler med samme størrelse er markeret på skitsen. C Trekanterne er ensvinklede og derfor også ligedannede. D Længdeforholdet er 3 : 16 (eller 1 : 5,33).
C D realet af hvert af de fire bede er 3 3 2,6 2 m2. Der er mange muligheder for opdeling af sekskanten i seks lige store stykker. Den mest oplagte er sandsynligvis denne: MÅL OG FGLIGT INDHOLD På dette opslag skal eleverne arbejde med problemløsningsopgaver på to niveauer. Opgaverne handler om kapitlets emne. MTERILER Evt. et digitalt værktøj Lineal Passer FCITLISTE OG UDDYENDE FORKLRING TRÆN 1 PROLEMLØSNING OPGVE 1 C D Individuelle elevbeskrivelser. Individuelle elevtegninger. Eleven kan tegne mønsteret i hånden eller ved brug af et digitalt værktøj. Individuelle elevforklaringer. Trekanten er ligesidet. E Trekantsiden spænder over 1 af cirkelperiferien (60 ). 6 F Individuelle elevtegninger. G Siden i den nye trekant spænder over halvdelen af cirkelperiferien (180 ). E Jordbærarealet er 3 1,7 m 2. OPGVE 3 Individuelle elevskitser. Flagstanden er 12 m høj. C Jens Erik skal vælge flaget med dimensionerne 240x325 cm. OPGVE 4 Individuelle elevgæt. Eleverne undersøger, om de gættede rigtigt. Man kan tegne sig til resultatet på isometrisk papir. På tegningerne herunder angiver den røde ramme bagsiden af figuren med de 16 centicubes. Inden for denne ramme skal de ekstra centicubes tegnes, hvis de skal være skjult af de 16 forreste. De skjulte centicubes er tegnet lagvis, således at første tegning er nederste niveau, derefter kommer mellemste og øverste niveau. Nederste niveau Mellemste niveau Øverste niveau OPGVE 2 Individuelle elevtegninger i selvvalgt længdeforhold. Der er mange muligheder for opdeling. Her er givet et eksempel: Her er 6 centicubes Her er 5 centicubes Her er 3 centicubes Som det ses, kan der i alt skjules 14 centicubes bag de 16 på forsiden. De kan ikke ses forfra, men fra den anden side ser figurtilføjelsen (de skjulte centicubes) således ud:
TRÆN 2 PROLEMLØSNING OPGVE 1 C Projektionstegning: Forfra Oppefra Fra siden C Individuelle elevtegninger. Eleverne finder cirklens centrum ved hjælp af de to linjer. Individuelle elevforklaringer. Cirklens centrum er karakteriseret ved at ligge lige langt fra alle punkterne på cirkelperiferien dvs. det ligger fx lige langt fra C og D. Men de punkter, der ligger lige langt fra C og D, er punkterne på midtnormalen for linjestykket CD, så centrum ligger på denne midtnormal. Tilsvarende kan man se, at centrum må ligge på midtnormalen for linjestykket EF. Cirklens centrum ligger med andre ord på skæringspunktet mellem de to midtnormaler. D E Individuelle elevsammenligninger. Hvis figuren var bygget af 5 5 centicubes, kunne der skjules 30 centicubes. Som man måske kan se, ved at betragte figurtilføjelsen til 4 4-pladen herover, gælder generelt, at hvis forsiden består af n 2 centicubes, vil der kunne skjules 1 2 + 2 2 + 3 2 + + (n 1) 2 centicubes. Summen af de første n kvadrattal kan udregnes ved udtrykket nn (2nn + 1) (nn + 1) 6. OPGVE 2 Individuelle elevtegninger i et selvvalgt længdeforhold. Eleverne undersøger tre forskellige placeringer af mødestedet. C Individuelle elevbegrundelser. Hvis mødestedet, som det forlanges i teksten, skal ligge lige langt fra de tre teltlejre, skal de ligge i centrum for trekantens omskrevne cirkel dvs. i sidemidtnormalernes skæringspunkt. OPGVE 3 Individuelle elevskitser. Med den usikkerhed, der må ligge i målingerne, må man sige, at det passer, at Himmelskibet er 80 m højt. OPGVE 4 Rebet (linjestykket ) er 40 m langt. OPGVE 5 Individuelle isometriske tegninger. Individuelle projektionstegninger. emærk: En 3 3-plade med 9 centicubes kan bruges (se opgave 4 i TRÆN 1 - PROLEMLØSNING). Den vil netop skjule 1 2 + 2 2 = 5 centicubes.