Matematik på VUC Modul 3b statistik med mere Indholdsfortegnelse Aflæsning af tabeller og diagrammer...1 Middelværdi med mere...8 Hyppighed og frekvens...9 Fremstilling af diagrammer...1 Grupperede observationer...13 Blandede opgaver (1)...15 Procentregning ændringer og forskelle...19 Simpel sandsynlighed...25 Kombinatorik...27 Sandsynlighed ved hjælp af kombinatorik...31 Blandede opgaver (2)...33 Udarbejdet af: Niels Jørgen Andreasen, VUC Århus nja@vucaarhus.dk Modul 3b - statistik med mere Side
Aflæsning af tabeller og diagrammer 1: Diagrammet til højre viser, hvordan kursisterne på et VUC-hold kommer til og fra VUC. a: Hvilken transportform er mest brugt? b: Hvilken transportform er mindst brugt? c: Hvor mange kører i bil? d: Hvor mange kører på cykel? e: Hvor mange kursister er der i alt på holdet? f: Diagrammet herunder skal vise de samme tal som diagrammet til højre. 1 8 6 4 2 Tegn diagrammet færdig du behøver ikke at være helt præcis. Til fods Cykel Bil Bus Til fods Cykel 2: Børnene på en skole er blevet spurgt om, hvordan de oftest kommer til og fra skole. Diagrammet viser svarerne. a: Hvilken transportform er mest brugt? b: Hvor mange procent kører på cykel? c: Hvilken transportform er mindst brugt? d: Hvad giver procent-tallene tilsammen?.og hvorfor? e: Cirkeldiagrammet herunder skal vise de samme tal som diagrammet til højre. Tegn cirkeldiagrammet færdigt. 5% 4% 3% 2% 1% % Til fods På cykel Køres i bil Skolebus Til fods Du behøver ikke at tegne lagkagestykkerne helt præcis. Lav dem på øjemål. Modul 3b - statistik med mere Side 1
3: En gruppe børn er blevet spurgt om, hvilke elektroniske ting de har. Diagrammet viser nogle af svarerne. 8% 6% a: Hvor mange procent har TV? b: Hvor mange procent har computer? c: Hvor mange procent har mobiltelefon? d: Hvad giver procent-tallene tilsammen? e: Hvorfor er det samlede procent-tal over 1? f: Vurder hvilke af de seks udsagnene herunder der er rigtige: 4% 2% % TV Mobiltelefon DVDafspiller Computer Over halvdelen af børnene har TV Næsten ⅓ af børnene har computer To ud af hver fem børn har TV Ca. ⅔ af børne har Mobiltelefon Ca. ¼ af børnene har DVD-afspiller Kun en ud af hver ti børn har ikke mobiltelefon g: Skriv selv nogle rigtige udsagn i stedet for de forkerte. 4: Tabellen og diagrammet herunder viser temperaturen målt i grader ( C) over et døgn. Klokken 2 4 6 8 1 12 14 16 18 2 22 24 Temperatur 1 6 5 6 11 14 16 17 14 11 a: Udfyld de tomme 2 pladser i tabellen. 18 b: Tegn kurven færdig c: Hvad var forskellen 16 14 12 på den højeste og den 1 laveste temperatur? 8 d: Hvor mange timer 6 var temperaturen over 14 grader? e: Hvor mange timer 4 2 var temperaturen under 6 grader? 2 4 6 8 1 12 14 16 18 2 22 24 f: Hvornår på døgnet stiger temperaturen hurtigst? g: Hvornår på døgnet falder temperaturen hurtigst? h: Hvad var gennemsnitstemperaturen for hele døgnet? Modul 3b - statistik med mere Side 2
5: Tabellen og diagrammet herunder viser nedbøren (regn) målt i mm over to uger. Dag Ma Ti On To Fr Lø Sø Ma Ti On To Fr Lø Sø Regn 5 7 9 1 2 1 1 2 a: Hvad betyder tallene i tabellen og i diagrammet? Snak med din lærer og dine holdkammerater 1 8 6 4 2 om, hvad det vil sige at nedbør Ma Ti On To Fr Lø Sø Ma Ti On To Fr Lø Sø måles i mm. b: Udfyld de tomme pladser i tabellen. c: Tegn de manglede søjler i diagrammet. d: Hvor mange dage har der været tørvejr (ingen regn) i de to uger? e: Hvor meget har det i alt regnet den første uge? f: Hvor meget har det i alt regnet den anden uge? g: Hvor meget har det regnet i gennemsnit pr. dag: - i den første uge? - i den anden uge? - i hele perioden? h: Det falder normalt ca. 7 mm nedbør om året i Danmark. Sammenlign nedbøren i de to uger med dette tal. 6: Sammenlign temperatur-diagrammet i opgave 4, med nedbørs-diagrammet i opgave 5. I opgave 4 er der tegnet en kurve. I opgave 5 er der tegnet søjler. Hvorfor tror du, at der er brugt forskellige diagrammer? Nedbør Temperatur 7: Lav selv nogle opgaver til vejrudsigten til højre. Byt opgaver med en klassekammerat og regn hinandens opgaver. Medbring også nogle rigtige vejrudsigter fra aviser (eller find dem på Internettet). Lav også opgaver ud fra dem. Nedbør i mm 6 5 4 3 2 1 Mandag Tirsdag Onsdag Torsdag Fredag Lørdag Søndag 3 25 2 15 1 5 Temperatur Modul 3b - statistik med mere Side 3
8: Tabellen og diagrammet herunder viser, hvor mange børn der er blevet født i Udby. Årstal 199 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2 Antal nyfødte børn 76 68 87 89 9 88 75 72 81 89 a: Aflæs så præcist som muligt - børne-tallet for 1992 i diagrammet. Skriv tallet i tabellen. 1 8 b: Tegn de manglende søjler i diagrammet. 6 c: Hvilket år blev der født flest børn? 4 d: Hvilket år blev der født færrest børn? 2 e: Hvornår er der sket den største stigning i fødselstallet? (Fra et år til det næste) 199 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2 f: Hvornår er der sket det største fald i fødselstallet? g: Hvor mange børn blev der i alt født i perioden? h: Hvor mange børn blev der i gennemsnit født om året? 9: Tabellen og diagrammet herunder viser indbyggertallet i Gåsedal. Årstal 199 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2 Indbyggere 253 258 261 255 227 218 29 21 192 197 22 a: Tegn den manglende del af kurven. Du kan ikke tegne helt præcist! 28 b: Hvor meget er indbyggertallet i alt faldet fra 199 til 2? c: Hvilket år var der flest indbyggere? d: Hvilket år var der færrest indbyggere? 26 24 22 e: Hvor meget faldt indbyggertallet i perioden 1992 til 1998? f: Hvornår er der sket det største fald? (Fra et år til det næste) 2 18 199 1992 1994 1996 1998 2 Modul 3b - statistik med mere Side 4
1: Tabellen viser billetsalget i Udby Biograf a: Udfyld de tomme I alt-pladser. b: I hvilken måned er der solgt flest børnebilletter? c: I hvilken måned er der solgt flest voksenbilletter? d: I hvilken måned er der solgt flest billetter i alt? e: Hvor mange billetter er der i alt solgt i de tre måneder? Billetter i Udby Bio Måned Børn Voksne Januar 312 699 Februar 247 725 Marts 299 716 I alt f: Hvor mange billetter er der i gennemsnit solgt om dagen? 11: Tabellen til højre viser, hvor hurtigt bilerne kører på Udby Ringvej Hastighedsgrænsen er 8 km/t a: Hvor mange procent af bilerne overholder hastighedsgrænsen? b: Hvor mange procent af bilerne overholder ikke hastighedsgrænsen? c: Hvor mange procent af bilerne kører over 1 km/t? d: Hvad giver procent-tallene tilsammen?.og hvorfor? Udby Ringvej Hastighed Biler - 7 12% 71-8 44% 81-9 27% 91-1 1% 11-11 5% 11-2% 12: Tabellen til højre beskriver kursisterne på VUC Udby. a: Udfyld de tomme pladser for: - antal kvinder i alderen 18 29 år? - antal mænd i alderen 3 44 år? b: Hvor mange af kursister er under 3 år? c: I hvilken af de tre aldersgrupper er der flest kursister? d: Udfyld alle de tomme I alt-pladser. e: Hvor mange af mændene er under 45 år? f: Hvor mange af kursister er fyldt 3 år? Kursister på VUC Udby Alder Kvinder Mænd I alt 18-29 56 3-44 63 11 45-82 41 I alt 216 Modul 3b - statistik med mere Side 5
13: Diagrammerne til højre fortæller begge noget om kursisterne på tre skoler i Udby. Du kan ikke aflæse præcist på diagrammerne. Du skal svare med cirka-tal. a: Hvor mange mænd er der på VUC? b: Hvor mange procent af kursisterne på VUC er mænd? c: Hvor mange mænd er der på AMU-centeret? d: Hvor mange procent af kursisterne på AMU-centeret er mænd? e: Hvor mange kvinder er der på daghøjskolen? f: Hvor mange kursister er der i alt på hver af de tre skoler? g: Sammenlign de to diagrammer. Prøv at nævne nogle fordele og ulemper ved dem begge. AMU-center VUC Daghøjskole 5 1 15 2 25 Mænd Kvinder AMU-center VUC Daghøjskole % 25% 5% 75% 1% Mænd Kvinder 14: Diagrammet viser, hvilke TV-stationer seerne i Danmark så på et bestemt tidspunkt. a: Hvilken TV-station havde flest seere? b: Hvilken TV-station havde næst-flest seere? c: Vurder om disse udsagn er rigtige: DR havde cirka ¼ af seerne En ud af hver ti seere så TV4 TV3 og Kanal 4 havde tilsammen ligeså mange seere som DR TV2 og TV3 havde tilsammen lidt over halvdelen af seerne TV3 og Kanal 4 havde tilsammen cirka ⅓ af seerne Fire ud af hver fem seere så enten DR eller TV2 TV2 d: Skriv selv nogle rigtige udsagn i stedet for de forkerte. TV3 TV4 Kanal 4 Andre DR Modul 3b - statistik med mere Side 6
15: Diagrammerne til højre viser begge indbyggertallet i Udby over en årrække. Du kan ikke aflæse præcist på diagrammerne. Du skal svare med cirka-tal. 1. 8. a: Hvor mange år dækker diagrammerne? 6. b: Hvad var indbyggertallet i 1975? c: Hvad var indbyggertallet i 2? d: Hvor meget er indbyggertallet vokset fra 1975 til 2? e: I hvilken fem-års-periode er indbyggertallet faldet? 4. 2. 1975 198 1985 199 1995 2 f: Hvor stort var dette fald? g: I hvilken fem-års-periode er indbyggertallet vokset mest? 9. h: Hvor stor var denne stigning? i: Sammenlign de to diagrammer. Nævn nogle fordele og ulemper ved begge diagrammer. 8. 7. 6. 2 1995 199 1985 198 1975 16: Diagrammet til højre viser medlemstallet for et parti over en årrække. 16 a: Hvilket af årerne var medlemstallet størst? Og hvor stort (cirka) var medlemstallet dette år? 14 12 1 b: Hvilket af årerne var medlemstallet mindst? Og hvor stort (cirka) var medlemstallet dette år? c: Hvad kan man generelt sige om udviklingen i medlemstallet? 8 6 4 2 Mænd Kvinder d: Hvad kan man generelt sige om udviklingen i kønsfordelingen? 199 1995 2 25 Modul 3b - statistik med mere Side 7
Middelværdi med mere 17: Tabellen til højre viser, hvor mange pølser en flok børn spiste til en fødselsdag. a: Hvor mange børn var der? b: Hvor mange pølser spiste de tilsammen? c: Hvor mange spiste de i gennemsnit? Aske 5 Emma 2 Nana 1 Anna 2 Jesper 4 Mikkel 4 Emil 4 Julie 3 Troels 5 d: Find størsteværdi, mindsteværdi og variationsbredde. e: Find typetallet. f: Sammenlign gennemsnitstallet for pigerne og gennemsnitstallet for drengene. 18: Tabellen til højre viser alderen for deltagerne på et VUC-hold. a: Hvor mange kursister er der på holdet? b: Hvor gamle er kursisterne tilsammen? c: Find gennemsnitsalderen. d: Find størsteværdi, mindsteværdi og variationsbredde. e: Er der et typetal? Anders 27 Kirsten 28 Naja 25 Britta 32 Lene 29 Ole 27 Erik 26 Lone 36 Poul 38 Ida 33 Mona 41 Stine 36 19: Tabellen til højre viser alderen for deltagerne på et VUC-hold. a: Hvor mange kursister er der på holdet? b: Hvor gamle er kursisterne tilsammen? c: Find gennemsnitsalderen. d: Find størsteværdi, mindsteværdi og variationsbredde. e: Er der et typetal? Bent 53 Jan 19 Martin 18 Carla 58 Jane 19 Ritta 19 Else 4 Lise 22 Said 18 Hassan 18 Mads 19 Vera 64 Ib 38 Marie 2 Yrsa 48 f: Sammenlign dine resultater med resultaterne i opgaven overfor. Ligner de to hold hinanden aldersmæssigt? g: Sammenlign aldersfordelingen på dit eget hold med aldersfordelingen i de to opgaver. 2: Tabellen til højre viser måneds-lønningerne for to grupper af personer. Sammenlign lønningerne for gruppe 1 og gruppe 2. Gruppe 1 Gruppe 2 15.917 31.522 18.617 2.436 17.216 13.591 19.249 18.2 Modul 3b - statistik med mere Side 8
Hyppighed og frekvens 21: Tabellen til højre viser, hvor mange sygedage kursisterne på et VUC-hold har haft på en måned. a: Hvor mange kursister har slet ikke været syge? b: Hvor mange kursisterne har været syge i højst to dage? c: Hvor mange kursister har været syge i mere end tre dage? d: Lav en hyppighedstabel over antal sygedage. Berit Karlo 2 Olfert 5 Dorit Kent 2 Oliver 4 Frede 5 Martin 3 Svend 3 Iben 3 Nina 1 Ulla 2 22: En gruppe personer er blevet spurgt om, hvor mange kopper kaffe de plejer at drikke på en dag. Svarene er vist til højre. a: Hvor mange personer er blevet spurgt? b: Hvor mange kopper kaffe drikke de tilsammen på en dag? c: Hvor mange personer drikker ikke kaffe? d: Hvor mange procent af personerne drikker ikke kaffe? e: Lav en tabel med hyppighed og frekvens. 5 3 6 4 1 2 5 4 3 3 4 2 3 4 5 f: Hvor mange procent af personerne drikker over tre kopper kaffe om dagen? g: Hvor mange kopper kaffe drikke personerne i gennemsnit? Hvor mange kopper kaffe plejer du at drikke om dagen? Så mange 23: Nogle VUC-kursister er blevet spurgt om de har børn? Svarerne er vist til højre. a: Hvor mange kursister er blevet spurgt? b: Hvor mange af kursisterne har ikke børn? c: Hvor mange af kursisterne har børn? d: Lav en tabel med hyppighed og frekvens. e: Hvor mange procent af kursisterne har børn? f: Hvor mange procent af kursisterne har mere end to børn? g: Hvor mange procent af kursisterne har højst et barn? h: Hvor mange børn har kursisterne i gennemsnit? i: Lav et diagram over frekvens-tallene. Hvor mange børn har du? 1 2 2 2 3 3 5 1 2 2 1 1 1 3 1 1 4 2 2 2 1 1 3 Så mange Modul 3b - statistik med mere Side 9
Fremstilling af diagrammer 24: Tabellen herunder viser, temperaturen målt i grader hver anden time over et døgn. Klokken 2 4 6 8 1 12 14 16 18 2 22 24 Temperatur 4 2 1 3 6 8 1 13 11 9 7 5 3 Tegn en kurve ud fra tallene i tabellen. Vælg disse enheder: På x-aksen er 1 cm = 2 timer. På y-aksen er 1 cm = 1 grad. 25: Tabellen herunder viser, hvor mange folk der har arbejdet på Udby Margarinefabrik. Årstal 199 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2 Antal ansatte på Udby Margarinefabrik 16 21 29 34 45 41 35 39 43 48 55 Tegn en kurve ud fra tallene i tabellen. Brug evt. mm-papir og vælg disse enheder: På x-aksen er 1 cm = 1 år. På y-aksen er 1 cm = 1 personer. 26: Tabellen herunder viser, hvor mange indbyggere der har været i Sildested. Årstal 197 1975 198 1985 199 1995 2 Antal indbyggere i Sildested 82 751 718 782 816 919 1.2 a: Tegn en kurve ud fra tallene i tabellen. Brug evt. mm-papir og vælg disse enheder: På x-aksen er 2 cm = 5 år (start ved 197). På y-aksen er 1 cm = 1 personer (start ved ). b: Tegn endnu en kurve ud fra tallene i tabellen. Nu skal du vælge disse enheder: På x-aksen er 1 cm = 5 år (start ved 197). På y-aksen er 1 cm = 5 personer (start ved 5). c: De ko kurver er ret forskellige. Hvilken af kurverne synes du, der giver det bedste billede? 2 1 6 55 5 197 1975 197 1975 198 Modul 3b - statistik med mere Side 1
27: Tabellen herunder viser, temperaturen målt i grader hver anden time over et døgn. Klokken 2 4 6 8 1 12 14 16 18 2 22 24 Temperatur -2-5 -6-5 -2 3 2 2-1 -2 a: Tegn en kurve ud fra tallene i tabellen. Vælg disse enheder: På x-aksen er 1 cm = 2 timer. På y-aksen er 1 cm = 1 grad. b: Hvad var forskellen på den højeste og den laveste temperatur? c: Hvor mange timer var temperaturen over frysepunktet? 28: Gåsedal Pensionistforening a: Hvor mange personer deltog i aktivitetsdagen? b: Lav et pindediagram, der viser hvor mange personer, der deltog i de forskellige ting på aktivitetsdagen. c: Lav også et cirkeldiagram ud fra tallene. Gåsedal Pensionistforening har haft aktivitetsdag. Deltagerne kunne vælge mellem tre forskellige ting. 7 personer var på sejltur, 9 personer var på skovtur, og 5 personer legede med byens dagplejebørn. 29: Andebjerg Skole a: Hvor mange børn går der i alt på skolen? b: Hvor mange børn er der i gennemsnit i hver klasse? c: Lav et pindediagram der viser antallet af børn i de forskellige klasser. Brug evt. mm-papir. Den lille skole i Andebjerg, hvor børnene kan gå indtil 5. klasse, skal måske lukkes. Kommunen synes, at der er for få børn i de mindste klasser. Børnetallene er vist herunder. klasse 9 3. klasse 15 1. klasse 11 4. klasse 14 2. klasse 13 5. klasse 17 3: Kursister på VUC Udby a: Hvor mange af kursisterne har mere end 2 fag? b: Tallene i teksten til højre kan virke lidt uoverskuelige - sæt den pænt op i en tabel. c: Lav et pindediagram, der viser antallet af kursister med de forskellige antal fag. Brug evt. mm-papir. d: Hvor mange fag har kursisterne i gennemsnit? Der går for tiden 362 kursister på VUC Udby, men der er stor forskel på, hvor mange fag de enkelte kursisterne har. 48 kursister har kun 1 fag, 77 har 2 fag, 13 har 3 fag, 94 har 4 fag, 32 har 5 fag og 8 kursister har 6 fag. Modul 3b - statistik med mere Side 11
31: Idrætsdag på Sildested Skole a: Lav et pindediagram der viser, hvor mange børn der deltog i de forskellige aktiviteter. Diagrammet skal vise tallene målt i procent. b: Lav et cirkeldiagram der viser, hvor mange børn der deltog i de forskellige ting. 219 børn deltog i idrætsdagen på Sildested Skole. Børnene kunne vælge mellem at løbe, cykle eller svømme. Der var 96 børn, som løb, 7 børn, som cyklede, og 53 børn, som svømmede. 32: Danskernes pengeforbrug a: Hvor stor en del af vores penge bruger vi i alt på mad- og drikkevarer og tøj og sko? b: Lav et pindediagram der viser, hvordan vi typisk bruger vores penge. Brug evt. mm-papir. c: Lav et cirkeldiagram der viser, hvordan vi typisk bruger vores penge. Danskernes pengeforbrug En typisk dansker bruger sine penge som vist herunder Boligudgifter 38% Mad- og drikkevarer 2% Tøj og sko 6% Ferie og fritid 9% Transport, telefon m.v. 16% Andre udgifter 11% 33: Indbyggere i Udby Kommune. Tabellen til højre viser, hvor indbyggerne i Udby Kommune bor. Lav et cirkeldiagram ud fra tallene. Du må gerne skrive procent-tal på diagrammet. Bemærk: Diagrammet kan være svært at tegne, fordi lagkagestykket for Udby bliver meget stort, og lagkagestykket for Gåsedal bliver meget lille. Men prøv alligevel! By/område Indbyggere Udby 8.647 Andebjerg 699 Gåsedal 22 Skrubberup 1.257 Sildested 1.2 Land-områder 2.651 I alt 14.458 34: Tabellen herunder viser, hvor mange børn der går til fire idræts-grene i en idræts-klub. a: Udfyld de tomme pladser i tabellen. b: Tegn et eller flere diagrammer ud fra (nogle af) tallene i tabellen. Diagrammerne behøver ikke at ligne dem, som du har lavet tidligere. Kik evt. på side 7. Fodbold Håndbold Svømning Gymnastik I alt Drenge 72 34 12 143 Piger 58 35 I alt 94 64 Modul 3b - statistik med mere Side 12
Grupperede observationer 35: En klasse med store skolebørn er blevet spurgt om, hvor mange timer om ugen de bruger på fritidsjob. Svarerne er vist til højre. Hvor mange timer arbejder du om ugen? Så mange a: Hvor mange børn er der? Allan 12 Henrik 18 Majken 1 Palle 8 b: Hvor mange af børnene Anton 8 Hugo 11 Marie 2 Steen 5 arbejder under 5 timer? Berit 3 Ida 8 Mona 4 Stine 2 c: Hvor mange af børnene Chr. Lasse 9 Nanna 15 Tine arbejder mindst 15 timer? d: Udfyld hyppigheds- og frekvenstabellen herunder. Danny 6 Line 6 Niels 17 Troels 13 Antal timer - 4 5-9 1-14 15-19 I alt Hyppighed Frekvens e: Lav et diagram ud fra frekvenstallene? f: Hvor mange timer arbejder børnene i gennemsnit om ugen? 36: Medarbejderne på en virksomhed er blevet spurgt om deres månedsløn. Svarerne er vist til højre. a: Hvor mange medarbejdere er der? b: Hvor mange af medarbejderne tjener under 15. kr. om måneden? c: Hvor mange af medarbejderne tjener over 25. kr. om måneden? d: Udfyld hyppigheds- og frekvenstabellen. Månedsløn i kr. Hyppighed Frekvens [1. ; 15.[ [15. ; 2.[ [2. ; 25.[ [25. ; 3.[ [3. ; 35.[ I alt Hvor mange kroner tjener du om måneden? Så mange 13.9 2.94 23.42 33.55 11.59 16.45 2.18 18.92 29.86 15. 25.88 24.9 28.48 22.33 17.25 e: Hvor mange procent af medarbejderne tjener mindst 2. kr. om måneden? f: Lav et søjlediagram - også kaldet et histogram - ud fra frekvens-tallene. g: Beregn gennemsnitslønnen. Modul 3b - statistik med mere Side 13
37: Tabellen til højre viser befolkningens aldersfordeling i Udby Kommune. a: Udfyld de tomme pladser i procentkolonnen. Alder Antal personer Antal procent - 9 1.851 b: Hvor mange procent af indbyggerne 1-19 1.561 er under 2 år? c: Hvor mange procent af indbyggerne 2-29 1.995 er fyldt 7 år? 3-39 2.226 d: Hvor mange procent af indbyggerne 4-49 2.9 er i aldersgruppen 3-59 år? 5-59 1.966 e: Hvor mange personer er der i 6-69 1.287 aldersgruppen 3-34 år? 7-79 984 Du kan ikke svare præcist men kom 8-89 492 med et bud på et cirka-tal. 9-99 8 f: Lav et søjlediagram - også kaldet et histogram - ud fra procent-tallene. 1-19 7 Når du laver diagrammet, skal du tænke på at: - intervallet - 9 svarer til [ ; 1[ - intervallet 1-19 svarer til [1 ; 2[ - o.s.v. I alt 14.458 Man er f.eks. 9 år helt indtil dagen før sin 1-års fødselsdag. 38: På et VUC-hold har alle kursister målt, hvor langt de har til VUC. Tallene er vist til højre. a: Lav og udfyld en tabel med hyppighed og frekvens. Brug disse intervaller: ] km ; 2 km], ]2 km ; 4 km] osv. b: Lav et histogram ud fra frekvens-tallene. 2,1 km 7,2 km 4.8 m 4. m 3.2 m 35 m 3.1 m 1.5 m 45 m,8 km 5¼ km 6,8 km 4,25 km 1.2 m 2 km 15 m 9½ km 2½ km 1,75 km,2 km Hvor langt har du til VUC? Så langt 39: Hvis du har brug for mere træning i at arbejde med grupperede observationer, kan du kikke tilbage til opgave 18 og 19 på side 8. Begge opgaver omhandler aldersfordelinger på VUC-hold. Lav tabeller med hyppighed og frekvens samt diagrammer ud fra tallene i opgaverne. Du bestemmer selv, hvilke aldersintervaller du vil bruge, men hvis du vil lave histogrammer, skal dine aldersintervaller være lige brede. Modul 3b - statistik med mere Side 14
Blandede opgaver (1) 1: Telefoner a: Hvor mange procent har mobil-telefon? og hvor mange personer? b: Hvor mange procent har fastnet-telefon? og hvor mange personer? c: Hvor mange procent har ikke telefon? og hvor mange personer? d: Lav et eller flere diagrammer ud fra tallene. 85 personer er blevet spurgt om, hvilke slags telefoner de har: - 46% har både mobil- og fastnet-telefon - 36% har kun mobil-telefon - 14% har kun fastnet-telefon 2: Bilister a: Hvor mange biler blev der i alt talt? b: I hvor mange procent af bilerne var der kun en person? c: Omregn også de andre tal til procent. d: Lav et diagram ud fra tallene i teksten. e: Hvor mange personer var der i alt i bilerne? f: Hvor mange personer var der i gennemsnit i hver bil? g: Forestil dig, at der var tre personer i hver bil. Hvor mange biler skulle så have kørt? h: Hvor mange biler har Lokalbladets trafikmedarbejder i gennemsnit talt pr. minut? i: Hvor mange sekunder har han i gennemsnit brugt på hver bil? j: Lav selv en trafik-tælling. Lokalbladet sendte i går morges vores trafik-medarbejder ud på byens veje for at tælle biler. På blot en time nåede han at tælle 259 biler med kun en person i, 81 biler med to personer, 3 biler med tre personer, 19 biler med fire personer og 11 biler med fem personer. Tænk på hvor meget benzin der kunne spares, hvis flere kørte sammen! Dagbladet sendte i går morges vores trafikmedarbejder på gaden for at tælle cyklister. På halvanden time talte hun 26 cyklister. 6% var kvinder og 4% var mænd. 26% af mændene kørte uden lys, mens kun 18% af kvinderne kørte uden lys, Halvdelen af kvinderne brugte hjelm mod kun en fjerdedel af mændene. 3: Cyklister a: Hvor mange mænd og hvor mange kvinder blev der talt? b: Hvor mange cyklister kørte uden lys? c: Hvor mange procent af cyklisterne brugte hjelm? d: Lav et eller flere diagrammer ud fra tallene. Modul 3b - statistik med mere Side 15
4: Bus-passagerer (1) Et bus-selskab har spurgt nogle passagerer om, hvordan de har betalt deres tur. a: Hvor mange passagerer er blevet spurgt? b: Omregn tallene til procent. c: Hvilken brøkdel (cirka) har købt kontantbillet? d: Hvilken brøkdel (cirka) har brugt klippekort? e: Lav et eller flere diagrammer over tallene. Kontantbillet: 185 Klippekort: 14 Månedskort: 236 5: Bus-passagerer (2) Bus-selskabet har også spurgt nogle tilfældige personer om, hvor mange gange om ugen de plejer at køre med bus. Svarerne er vist til højre. a: Hvor mange personer har svaret? b: Find mindsteværdi, størsteværdi, variationsbredde og typetal. c: Hvor mange ture kører personerne i alt? d: Hvor mange ture kører de i gennemsnit? e: Hvor mange procent af personerne 1 2 3 7 4 8 6 1 1 2 1 1 12 4 8 12 2 8 14 11 2 5 1 plejer slet ikke at køre med bus? f: Hvor mange procent af personerne kører flere ture end gennemsnits-tallet? g: Lav et eller flere diagrammer ud fra tallene. Hvor mange gange om ugen plejer du at køre med bus? Så mange h: Lav en bus-spørge-undersøgelse på jeres eget hold. 6: Bus-passagerer (3) Til højre er vist nogle bus-priser. a: Vurder hvor ofte man skal tage bussen, for at det kan betale sig at købe månedskort. b: Hvor mange ture får man gratis ved at købe et 1-turskort i stedet for ti enkelt-billetter? c: Prisen for en enkeltbillet til voksne kan beregnes med denne formel: Pris = 6 Antal zoner 2 Kontroller formlen og prøv selv at lave formler for nogle af de andre priser. Antal zoner Enkeltbillet Børn 1-turskort Månedskort Enkeltbillet Voksne 1-turskort Månedskort 2 5 4 1 1 8 2 3 8 64 16 16 128 32 4 11 88 22 22 176 44 1 29 232 58 58 464 116 Modul 3b - statistik med mere Side 16
7: Lejligheder (1) I et bolig-byggeri er der fire slags lejligheder som vist i tabellen. a: Hvor mange lejligheder er der i alt? b: Lav et diagram der viser fordelingen af lejligheder på de fire størrelser. c: Hvor mange procent af lejlighederne er på mindst fire værelser? d: Hvor mange m 2 er lejlighederne tilsammen? e: Hvor mange m 2 er lejlighederne i gennemsnit? To-værelses Tre-værelses Fire-værelses Fem-værelses 1 15 25 2 6 m 2 75 m 2 9 m 2 1 m 2 4. kr. 4.75 kr. 5.5 kr. 6. kr. f: Hvor stor er den samlede husleje-indtægt pr. måned? g: Hvor stor er den gennemsnitlige husleje pr. m 2? Antal lejligheder Areal pr. lejlighed Husleje pr. måned Hvor mange bor der 8: Lejligheder (2) Så mange i jeres lejlighed? Tallene viser, hvor mange personer der bor i hver af de 2 fem-værelses lejligheder: a: Hvor mange bor der i alt i de 2 lejligheder? b: Hvor mange bor der i gennemsnit i hver lejlighed? c: Lav en tabel med hyppighed og frekvens. d: Lav et diagram over hyppighederne. e: Lav også et diagram over frekvenserne. f: Diagrammerne fra d og e ligner sikkert hinanden. Hvorfor? 3 4 5 5 6 5 4 3 2 3 5 5 4 6 6 7 7 5 4 8 g: I hvor mange procent af lejlighederne bor der mere end fem personer? h: Hvor mange m 2 er der i gennemsnit pr. beboer i lejlighederne med fem værelser? 9: Lejligheder (3) Huslejen beregnes efter denne model: a: Kontroller at huslejerne i tabellen Husleje = 5 Antal m øverst på siden passer med modellen. 2 + 1 Beregnings-modellen bruges også i et andet bolig-byggeri, hvor lejlighederne har andre størrelser. Find arealet af en lejlighed, hvor huslejen b: er 4.6 kr. c: er 6.55 kr. d: er 5.625 kr. e: er 5.375 kr. Modul 3b - statistik med mere Side 17
1: Leverpostej a: Hvor meget koster et kg Luksus-Leverpostej? b: Hvor meget koster to kg Slagterens Leverpostej? c: Hvilken slags leverpostej kan det bedst betale sig at købe? Selv om der står 5 g på en pakke leverpostej, kan vægten godt svinge lidt fra pakke til pakke. Her er resultatet af en kontrol-vejning af nogle pakker med Lenes Leverpostej: 478 g 491 g 481 g 48 g 499 g 472 g 476 g 487 g 54 g 512 g 5 g 469 g 58 g 462 g 47 g 52 g 485 g 465 g 475 g 56 g 493 g 516 g 497 g 51 g 488 g d: Hvor mange pakker leverpostej er blevet vejet? e: Find mindsteværdi, størsteværdi, variationsbredde og middelværdi. f: Tegn og udfyld en tabel med hyppighed og frekvens som den viste. g: Lav et histogram ud fra tallene i tabellen. h: Hvor mange procent af pakkerne vejer under 5 g? i: Hvor meget vejer pakkerne i gennemsnit? j: Find kg-prisen for den tungeste pakke. k: Find kg-prisen for den letteste pakke. Luksus-Leverpostej 25 g KUN 9,95 kr. Slagterens Leverpostej 4 g KUN 14,95 kr. Lenes Leverpostej 5 g KUN 16,95 kr. 4 7 8 g Vægt i gram Hyppighed Frekvens [46 ; 47[ [47 ; 48[ [48 ; 49[ [49 ; 5[ [5 ; 51[ [51 ; 52[ I alt 11: Diagrammet viser temperaturen målt i grader ( C) hver anden time over et døgn. Find gennemsnitstemperaturen. 4 2-2 2 4 6 8 1 12 14 16 18 2 22 24-4 -6 Modul 3b - statistik med mere Side 18
Procentregning ændringer og forskelle 1: Udby Bybusser Tabellen viser de nuværende priser. a: En enkeltbillet for voksne stiger 25%. Find den nye pris. b: Et 1-turskort for voksne stiger 1%. Find den nye pris. c: Et månedskort for voksne stiger 5%. Find den nye pris. d: Alle priser for børn falder 2%. Find de nye priser. Udby Bybusser Voksne Børn Enkeltbillet 8 kr. 5 kr. 1-turskort 6 kr. 4 kr. Månedskort 2 kr. 12 kr. 2: Beregn (gerne i hovedet) resultatet når: a: 2 stiger med 5% b: 4 falder med 25% c: 2 stiger med 1% d: 8 falder med 75% e: 5 stiger med 3% f: 4 stiger med 15% 3: Beregn resultatet (helt tal) når: a: 117 stiger med 12% b: 999 falder med 19% c: 247 stiger med 53% d: 47 falder med 75% e: 1.742 falder med 3% f: 22 stiger med 345% 4: Skovborg kommunale værker a: Hvor mange procent stiger prisen på el? b: Hvor mange procent stiger prisen på vand? Skovborg Kommunale Værker Meddelelse om prisstigninger Pris i dag Ny pris El, pr. kwh 1,57 kr. 1,68 kr. Vand, pr. m 3 35,5 kr. 38,35 kr. 5: Find (gerne i hovedet) ændringen målt i procent når: a: 6 vokser til 9 b: 4 falder til 3 c: 8 vokser til 12 d: 6 falder til 15 e: 2 vokser til 24 f: 9 falder til 45 6: Find (gerne i hovedet) ændringen målt i procent når: g: 5 vokser til 2. h: 1. falder til 1 i: 12 vokser til 15 j: 25 falder til 2 k: 2 vokser til 1.2 l: 1 falder til 2 Modul 3b - statistik med mere Side 19
7: Befolkningen i Udby Kommune a: Hvor mange procent er indbyggertallet i Udby vokset? b: Hvor mange procent er indbyggertallet i hele kommunen vokset? c: Hvor mange procent er indbyggertallet i Andebjerg faldet? d: Hvor er befolkningstallet vokset mest målt i procent? e: Hvor er befolkningstallet faldet mest målt i procent? Befolkningen i Udby Kommune Ny opgørelse viser store ændringer By/område Indbyggertal i 199 2 Udby 6.953 8.647 Andebjerg 722 699 Gåsedal 253 22 Skrubberup 1.143 1.257 Sildested 816 1.2 Land-områder 1.694 2.651 I alt 11.581 14.458 8: Flere i arbejde a: Hvor mange var der tidligere ansat på Udby Marmeladefabrik? b: Hvor mange var der tidligere ansat på Udby Margarinefabrik? Flere i arbejde i Udby På Udby Marmeladefabrik er der nu ansat 48 medarbejdere. Det er er stigning på 2 % På Udby Margarinefabrik er der nu ansat 54 medarbejdere. Det er en stigning på 15%. 9: Hårde hvidevarer a: Hvad har en vaskemaskine kostet tidligere? b: Hvad har en tørretumbler kostet tidligere? c: Hvad har en opvaskemaskine kostet tidligere? Hårde hvidevarer til bløde priser Vaskemaskine, nu kun 4.499 du sparer 25% Tørretumbler, nu kun 2.396 du sparer 2% Opvaskemaskine, nu kun 2.975 du sparer 15% 1: Udfyld de tomme pladser i skemaet. + betyder stigning og - betyder fald. Gammel pris 22, kr. 6,95 kr. Ændring i procent + 15% + 35% - 25% + 25% Ny pris 236,25 5,95 kr. 2.997, kr. 343, kr. Modul 3b - statistik med mere Side 2
11: Hvor mange procent (helt tal) a: tjener Anton mere end Børge? b: tjener Børge mindre end Anton? c: tjener Carla mere end Anton? d: tjener Carla mindre end Dagny? e: tjener Elvira mere end Børge? f: tjener Børge mindre end Elvira? Anton tjener 1 kr. i timen Børge tjener 8 kr. i timen Carla tjener 125 kr. i timen Dagny tjener 145 kr. i timen Elvira tjener 275 kr. i timen 12: Hvor mange procent a: er 15 større end 1? b: er 3 mindre end 6? c: er 5. større end 4.? d: er 6 større end 2? e: er 3 mindre end 4? f: er 5 større end 2? 13: Hvor mange procent a: er 1 mindre end 4? b: er 1. større end 1? c: er 1 mio. mindre end 2 mio.? d: er 15 større end 12? e: er 4 mindre end 5? f: er 55 større end 5? 14: Prissammenligning: Nærbutikken og Storkøb a: Hvor mange procent (en decimal) er letmælk dyrere i Nærbutikken end i Storkøb? b: Hvor mange procent er letmælk billigere i Storkøb end i Nærbutikken? c: Hvor mange procent er 1,5 liter sodavand dyrere i Nærbutikken end i Storkøb? d: Hvor mange procent er 2 gram chokoladekiks billigere i Storkøb end i Nærbutikken? 15: Sammenlign priserne i Storkøb på a: almindelige og økologiske gulerødder. b: sodavand i flasker med,5 liter og flasker med 1,5 liter. c: chokoladekiks i pakker med 2 gram og pakker med 5 gram. d: vin i flasker med 75 cl og kartoner med 3 liter. Sæt et eller flere procent-tal på hver sammenligning. Nærbutikken Letmælk, pr. liter...6,95 kr. 2 g chokoladekiks... 12,75 kr. 1,5 liter sodavand... 19,5 kr. Storkøb Storkøb Storkøb Sodavand Mælk, pr. liter -,5 liter 2,95 - letmælk 5,45-1,5 liter 6,95 - sødmælk 6,45 Chokoladekiks 1 kg gulerødder - 2 gram 9,95 - alm. 6,75-5 gram 19,95 - økologiske 9,75 Vin - Château Henri, 75 cl 39,95 - Château Pap de Casse, 3 l 99,95 Modul 3b - statistik med mere Side 21
16: Nye ejere og højere løn. a: Eva Eriksen arbejder hos IT-kompagniet. Hun plejer af få 22.25 kr. pr. måned. Hvad bliver hendes nye løn? b: Ole Olesen arbejder også hos IT-kompagniet. Han kommer nu til at få 3.525 kr. pr. måned. Hvad var hans gamle løn? c: Hvilke af disse regne-sammenhænge passer: Ny løn = Gammel løn, 1 Nye ejere og højere løn IT-kompagniet er blevet overtaget af det amerikanske firma MicroBill A/S. De nye ejere startede med at give alle ansatte en lønstigning på 1%. Tilfredse medarbejdere arbejder mere, så vi forventer hurtigt at tjene pengene ind igen, siger en repræsentant for det amerikanske firma. Ny løn = Gammel løn 1, 1 Gammel løn = Ny løn:, 1 Gammel løn = Ny løn: 1, 1 17: Nedgang i både salg og løn a: Hvad bliver timelønnen for de lavest lønnede efter nedgangen? b: Hvad var månedslønnen for butikscheferne før nedgangen? c: Hvilken af disse regne-sammenhænge passer: Ny løn = Gammel løn, 5 Ny løn = Gammel løn, 5 Ny løn = Gammel løn, 95 d: Hvilket tal skal der stå i firkanten? Gammel løn = Ny løn : e: Hvad bliver de lavest lønnedes gennemsnitlige månedsløn, hvis de arbejder 37 timer pr. uge? Nedgang i både salg og løn På grund af voldsom nedgang i salget er alle ansatte i den traditionsrige butiks-kæde Damernes Magasiner gået med til en lønnedgang på 5% for at undgå lukning af butikkerne. De lavest lønnede medarbejdere fik før nedgangen 94,8 kr. i timen, og deres løn bliver altså endnu lavere. Til gengæld tjener butikscheferne trods nedgangen alligevel en løn på 36.575 kr. pr. måned. 18: Boremaskiner a: Hvad koster en boremaskine fra Bent uden moms? b: Hvad koster en boremaskine fra Bo med moms? c: Hvilke tal skal der stå i firkanterne? Bents boremaskiner Pris m. moms 395 kr. Bos boremaskiner Pris u. moms 348 kr. Pris m. moms = Pris u. moms Pris u. moms = Pris m. moms : Modul 3b - statistik med mere Side 22
Procent og procent-point: Forskellen mellem to procent-tal angives i procent-point. Prisen på cyklen falder med 25 procent, fordi 1. kr. er 25 procent af 4. kr. Tilbud på cykel Før: 4. kr. Spar: 1. kr. Nu: 3. kr. Arbejdsløsheden faldt med 2 procent-point, fordi det er forskellen mellem to procent-tal. Arbejdsløshed 22 23 8% 6% 19: Tomme lejligheder a: I teksten står der: I nogle måneder stod næsten hver tredje af de 5 lejligheder tomme. Vurder om det er rigtigt. Tallene for sidste år viser, at der er mange tomme lejligheder i byggeriet Granparken. I nogle måneder stod næsten hver tredje af de 5 lejligheder tomme. Lejlighederne er for dyre for mange af byens boligsøgende. b: Tegn en kurve der viser antal Antal tomme lejligheder i Granparken tomme lejligheder måned for måned. Jan Feb Mar Apr Maj Jun c: Hvor mange procent af lejlighederne 12 1 5 7 8 7 stod tomme i juli? d: Hvor mange procent voksede antallet af tomme lejligheder fra marts til april? e: Hvor mange procent faldt antallet af tomme lejligheder fra november til december? Jul 3 Aug 8 Sep 14 Okt 16 Nov 14 Dec 11 f: Hvornår (fra en måned til den næste) voksede antallet af tomme lejligheder mest målt i procent? g: Hvornår (fra en måned til den næste) faldt antallet af tomme lejligheder mest målt i procent? h: Lav en tabel der måned for måned viser hvor mange procent af lejlighederne der står tomme. Jan Feb Osv. Tomme lejligheder 24% 2% i: Hvor mange procentpoint voksede antallet af tomme lejligheder fra marts til april? j: Hvor mange procentpoint faldt antallet af tomme lejligheder fra november til december? k: Hvornår (fra en måned til den næste) voksede antallet af tomme lejligheder mest målt i procentpoint? l: Hvornår (fra en måned til den næste) faldt antallet af tomme lejligheder mest målt i procentpoint? Modul 3b - statistik med mere Side 23
Indeks-tal er en slags procent-tal, der bruges til at vise, hvordan en tal-størrelse (fx en pris) forandrer sig over tid. Indekstal = Periodens tal 1 Basis-periodens tal 2: Buspris og timeløn Tabellen til højre viser prisen på et månedskort til bussen mellem Udby og Bredballe over en årrække. Buskort: Udby - Bredballe a: Hvor mange kr. er prisen steget fra 1992 til 22? b: Hvor mange procent er prisen steget fra 1992 til 22? c: Hvor mange procent er prisen steget fra 2 til 26? 1992 32 2 465 1994 35 22 5 1996 38 24 55 1998 415 26 6 d: Herunder er påbegyndt en indeks-tabel over prisen på et buskort med 1992 som basis-år. Udfyld de tomme pladser i tabellen. År 1992 1994 1996 1998 2 22 24 26 Indeks-tal 1 19 119 e: Hvor mange procentpoint er indekstallet vokset fra 1998 til 2? Else Hansen bor i Udby og arbejder i Bredballe. Hun kører med bus til og fra arbejde. Tabellen til højre viser Elses timeløn over en årrække. Else Hansens timeløn f: Hvor mange kr. er lønnen steget fra 1992 til 22? g: Hvor mange procent er lønnen steget fra 1992 til 22? h: Hvor mange procent er lønnen steget fra 2 til 26? 1992 82 2 18 1994 9 22 114 1996 97 24 12 1998 13 26 125 i: Herunder er påbegyndt en indeks-tabel over lønnen med 1992 som basis-år. Udfyld de tomme pladser i tabellen. År 1992 1994 1996 1998 2 22 24 26 Indeks-tal 1 11 118 j: Hvor mange procentpoint er indekstallet vokset fra 1998 til 2? k: Lav et diagram der viser udviklingen i indekstallene for både buspris og løn. Lav to kurver i det samme koordinatsystem. l: Hvorfor er det smart at bruge indekstal, når man vil sammenligne forskellige tal-størrelser? Snak med din lærer og dine holdkammerater. Modul 3b - statistik med mere Side 24
Simpel sandsynlighed 1: Du kaster med en almindelig mønt, som kan vise plat eller krone. Hvad er sandsynligheden for at a: få plat? b: få krone? 2: Du kaster med en almindelig terning. Hvad er sandsynligheden for at a: slå en 6 er? b: slå et lige tal? c: slå en 1 er? d: slå mindst en 5 er? e: slå højst en 4 er? 3: Spillekort Du trækker nogle tilfældige kort fra et spil. Hver gang du har trukket et kort, lægger du kortet tilbage og blander, inden du trækker næste kort. Hvad er sandsynligheden for at trække a: en ruder? b: en klør eller en hjerter? c: et sort kort? d: et es? e: et billedkort? f: klør konge? Regn med et spil g: en rød knægt? kort uden jokere! h: hjerter 4? Et spil kort består af 52 kort fordelt på 13 hjerter, 13 ruder, 13 klør og 13 spar. Inden for hver af de fire slags er der: - ni kort med numrene 2, 3, 4.9, 1 - tre billedkort (knægt, dame og konge) - et es Alle hjerter og ruder er røde. Alle spar og klør er sorte. 4: Lodsedler Begge slags lodsedler koster 1 kr. pr. stk. Alle lodsedler bliver solgt. Hvad er sandsynligheden for a: at vinde en cykel, hvis man køber en lodseddel fra idrætsklubben? b: at vinde en cykel, hvis man køber en lodseddel fra spejderne? c: Sammenlign sandsynlighederne for at vinde en CD? d: Hvor vil du helst købe en lodseddel? Begrund dit svar. Spejderne sælger 5. lodsedler Du kan vinde: 2 cykler, værdi pr. stk. 3. kr. 4 discman, værdi pr. stk. 5 kr. 1 CD er, værdi pr. stk. 1 kr. Idrætsklubben sælger 2. lodsedler Du kan vinde: 1 cykel, værdi 3. kr. 4 CD er, værdi pr. stk. 1 kr. Modul 3b - statistik med mere Side 25
5: Kugler Kuglerne til højre er i en mørk pose, og du trækker nogle tilfældige kugler. Hver gang du har trukket en kugle, lægger du kuglen tilbage i posen og ryster posen, inden du trækker den næste kugle. Find sandsynligheden for at trække a: kugle nr. 15? b: en lys kugle? 1 c: en mørk kugle? 2 3 d: en kugle med et lige tal? 4 5 6 e: en kugle med et ulige tal? f: en kugle med et en-cifret tal (1-9)? g: en kugle med et to-cifret tal (1-15)? h: en kugle med et tal fra 4-tabellen? i: en mørk kugle med et tal fra 3-tabellen? j: en kugle med et tal fra 3- eller 4-tabellen? k: en kugle med et tal der både er i 3-tabellen og i 4-tabellen? 7 8 9 1 11 12 13 14 15 6: Lykkehjul Du drejer lykkehjulet til højre. Find sandsynligheden for at lande på a: et felt med tre stjerner? b: et felt med stjerner? c: et felt med to eller tre stjerner? d: et felt med to firkanter? e: et felt med en firkant? f: et felt med tre figurer (stjerner eller firkanter)? g: et felt med mindst to figurer? h: et felt med præcis en figur? i: et felt med en eller to figurer? 7: Breve a: Hvad er sandsynligheden for, at et brev er fremme dagen efter, at det er afsendt? b: Hvad er sandsynligheden for, at et brev ikke er fremme dagen efter, at det er afsendt? c: Hvad er sandsynligheden for, at et brev er mere end to dage undervejs? Ved en undersøgelse af postvæsenet blev der afsendt 25 breve. - 198 breve var fremme dagen efter - 44 breve var fremme to dage efter - 8 breve var først fremme mere end to dage efter, at de var afsendt Modul 3b - statistik med mere Side 26
Kombinatorik 8: Du må få et stykke frugt og en mælk. Du må vælge blandt det viste. Forklar hvorledes du kan vise kombinationsmulighederne med tælletræet og tabellen. Skriv selv navne i tabellen og på tælletræet. LET SØD 9: Sportstøj Et fodboldhold har to slags bukser og tre slags trøjer. a: På hvor mange måder kan bukser og trøjer kombineres? b: Vis kombinationsmulighederne med et tælletræ. c: Vis også kombinationsmulighederne i et skema. d: Hvor mange kombinationsmuligheder er der, hvis et hold kan vælge mellem to slags strømper, to slags bukser og fire slags trøjer? 1: Roberts Restaurant a: Hvor mange forskellige tre-retters menuer kan man sammensætte? b: Hvor mange forskellige to-retters menuer kan man sammensætte, hvis man vælger en forret og en hovedret? c: Hvor mange forskellige to-retters menuer kan man sammensætte, hvis man vælger en hovedret og en dessert? d: Hvor mange forskellige to-retters menuer kan man i alt sammensætte? e: Hvor mange forskellige menuer (to eller tre-retters) kan man i alt sammensætte? Roberts Rolige Restaurant Sammensæt selv en tre-retters menu for kun 119 kr. Du kan frit vælge mellem: 3 forskellige forretter 5 forskellige hovedretter 4 forskellige desserter Eller sammensæt en to-retters menu for kun 99 kr. Menuen kan bestå af: - enten en forret og en hovedret - eller en hovedret og en dessert Modul 3b - statistik med mere Side 27
11: Møntkast Både tælletræet og skemaet til højre viser kombinationsmulighederne ved kast med to mønter. a: Kik grundigt på både tælletræ og skema. Det er vigtigt at du forstår dem. b: Hvor mange kombinationsmuligheder er der? c: Kan man kende forskel på alle kombinationsmulighederne, hvis mønterne er ens, og de kastes på samme tid? d: Lav selv et tælletræ for kast med tre mønter. e: Hvilke af disse regneudtryk passer til tælletræet for tre mønter? 2 + 2 + 2 = 6 2 2 2 = 2 3 = 8 3 3 = 3 2 = 9 f: Lav også et tælletræ og et regneudtryk for kast med fire mønter g: Kan man lave skemaer for kast med tre eller fire mønter? Plat Krone Plat Krone Plat Krone Plat - Plat Plat - Krone Krone - Plat Krone - Krone 12: Cykellås (1) En cykellås har seks knapper, som alle enten kan trykkes ind, springes over eller trækkes ud. a: Hvor mange kombinationsmuligheder er der? b: Er der nogle af kombinationsmulighederne, som vil være dårlige at bruge i praksis? c: Hvor mange flere kombinationsmuligheder vil der være på en lås med otte knapper? d: Hvor mange kombinationsmuligheder vil der være på en lås med seks knapper, hvis alle knapper skal bruges (ingen knapper må springes over)? 13: Tipskupon Der findes tipskuponer med både 12 og 13 kampe. a: På hvor mange måder kan man udfylde en række på en tipskupon med 12 kampe? b: På hvor mange måder kan man udfylde en række på en tipskupon med 13 kampe? c: Hvor mange kampe skal der være på kuponen, hvis der skal være mindst 1 mio. kombinationsmuligheder? Prøv dig frem. Modul 3b - statistik med mere Side 28
14: Cykellås (2) En cykellås har tre knapper, som alle kan drejes således, at de står ud for et af tallene fra 1 til 9. a: Hvor mange kombinationsmuligheder er der? b: Hvor mange flere kombinationsmuligheder vil der være, hvis tallet også var med? Tegningen er ikke så god. Knapperne er bag hinanden, så der kan godt være flere knapper ud for det samme tal. 15: Olga har haft en hård men spændende dag på VUC. Nu er hun kommet hjem og skal nå at støvsuge, pudse vinduer, vaske op og skifte sengetøj. Hvor mange rækkefølger kan hun gøre de fire ting i? 16: For at bruge et dankort skal man indtaste en fire-cifret pin-kode. Det samme ciffer må gerne bruges flere gange. a: Hvor mange kombinationsmuligheder er der? b: Hvor mange muligheder vil der være, hvis man kun må bruge hvert ciffer en gang? 17: For at slå en alarm fra skal man indtaste en kode på fem bogstaver ud af otte. a: Hvor mange kombinationsmuligheder er der, hvis man kun må bruge hvert bogstav en gang? b: Hvor mange kombinationsmuligheder er der, hvis man må bruge hvert bogstav flere gange? 18: Bjørnebanditterne i Anders And har altid numre som de viste (*). Et nummer består af to tre-cifrede tal. Cifrene i tallene er altid 1, 6 og 7. a: Hvor mange forskellige trecifrede tal kan man lave af cifrene 1, 6 og7? b: Hvor mange forskellige numre kan man i alt lave? Eksempler på Bjørnebandit-numre: (*) 176 671 716 716 Sådan var det i hvert tilfælde, da jeg var dreng og læste Anders And. Niels Jørgen Andreasen Modul 3b - statistik med mere Side 29
19: Turnering Fire fodboldhold skal spille en turnering, hvor alle møder alle. Tabellen til højre kan bruges til at skrive resultaterne i. a: Snak med din lærer eller en klassekammerat om, hvorledes tabellen kan bruges. b: Hvor mange kampe skal der i alt spilles, hvis holdene skal møde hinanden to gange? c: Hvor mange kampe skal der spilles, hvis holdene kun skal møde hinanden en gang? d: Hvor mange kampe skal der i alt spilles i en turnering med seks hold når holdene møder hinanden to gange? når holdene møder hinanden en gang? Holdene kan også spille en pokal-turnering. Så er et hold ude, når holdet har tabt en kamp. e: Forklar hvorledes træet til højre kan beskrive en pokalturnering med fire hold. f: Hvor mange kampe skal der spilles i en pokalturnering med otte hold? g: Tænk over hvorledes man kan afvikle en pokalturnering med ti hold. Bjergby Dalby Skovby Søby Bjergby Dalby Skovby Søby Bjergby Dalby Skovby Søby 2: Nummerplader Danske nummerplader har to bogstaver og fem tal. Bogstaverne Q, W, Æ, Ø og Å bruges ikke. Det første tal må ikke være et a: Hvad er der galt med de ikke tilladte eksempler? b: Hvor mange kombinationsmuligheder er der? (tallet bliver meget stort) c: Hvor mange kombinationer vil der være, hvis nummerpladerne i stedet for havde tre bogstaver og fire tal? (der gælder de samme begrænsninger som før) Der findes også særlige ønske-nummerplader. Disse har mindst 2 tegn og højst 7 tegn. Alle bogstaver og tal er tilladt. d: Hvor mange kombinationer er der? (Tallet bliver voldsomt stort, så det er muligt, at din regnemaskine ikke kan vise tallet, men tænk over hvad du vil gøre) Eksempler på tilladte nummerplader: PZ 1.11 BB 92.24 Eksempler på ikke tilladte nummerplader: DÅ 35.967 VP 2.598 Eksempler på ønske-nummerplader: 6 KONEBIL 123ABC Modul 3b - statistik med mere Side 3
Sandsynlighed ved hjælp af kombinatorik 21: Tipning (1) Du udfylder en række på en almindelig tipskupon med 13 kampe. a: På hvor mange måder kan rækken udfyldes? Se evt. opgave 13. b: Hvad er sandsynligheden for, at få 13 rigtige, når rækken udfyldes tilfældigt? Tænk på en tipskupon med kun 12 kampe. c: Hvad er sandsynligheden for at få 12 rigtige? 22: Møntkast Du kaster to mønter, som begge kan vise plat eller krone. a: Hvad er sandsynligheden for at begge mønter viser plat? Se evt. opgave 11. b: Hvad er sandsynligheden for at mønterne viser noget forskelligt? Nu kaster du med tre ens mønter. c: Hvad er sandsynligheden for, at alle tre mønter viser det samme? Og nu kaster du med fire ens mønter. d: Hvad er sandsynligheden for, at alle fire mønter viser plat? 23: Kast med to terninger (1) De mulige udfald er vist på skemaet til højre. a: Hvor mange mulige udfald er der? b: Sæt et kryds ved de udfald som svarer til, at man slår to ens. F.eks. to 3 ere eller to 5 ere. Hvor mange udfald er der? c: Hvad er sandsynligheden for at slå to ens, når man kaster med to terninger? d: Hvad er sandsynligheden for at slå to 6 ere? e: I et terningespil, som kaldes Meyer, er det bedste slag en 1 er og en 2 er. Hvad er sandsynligheden for dette slag? 24: Kast med to terninger (2) De mulige udfald er vist på skemaet ovenfor. a: Hvad er sandsynligheden for at slå to 6 ere? b: Hvad er sandsynligheden for at slå en 6 er? (Præcis en!) c: Hvad er sandsynligheden for ingen 6 ere at få? d: Læg sandsynlighederne fra a, b og c sammen. Hvad får man - og hvorfor? Modul 3b - statistik med mere Side 31
25: Hestevæddeløb Ved et hestevæddeløb kan man gætte på, hvilken hest der vinder, og hvilken hest der bliver nr. 2. Det kaldes 1-2-spil, og man skal gætte begge heste rigtigt for at vinde. a: Hvad er sandsynligheden for at gætte rigtigt, når der er seks heste med i løbet? b: Hvad er sandsynligheden for at gætte rigtigt, hvis der er 15 heste med i løbet? 1 4 2 3 5 6 26: I Udby Pensionistklub spilles et spil, der minder om lotto. Der udtrækkes to kugler ud af 12 kugler. a: Hvad er sandsynligheden for at gætte begge numre rigtigt? b: Hvad bliver sandsynligheden for at gætte rigtigt, hvis der er 2 kugler at vælge imellem? (der skal stadig udtrækkes 2 kugler) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 11 12 27: Kast med to terninger (3) Undersøg det spil, som er beskrevet til højre. Vurder om det kan betale sig at spille, hvis man spiller mange gange. NB: Du kan fx regne på 36 spil. Hvor meget koster spillene? Hvor meget kan du forvente at vinde? 28: Find selv på et spil med pris og præmier. Det må gerne ligne spillet med de to terninger. Det må også være helt anderledes! Byt spil med en klassekammerat og vurder hinandens spil. Kan det betale sig at spille spillene? Kast med to terninger Pris Pr. kast... 1 kr. Præmier Ved to 6 ere...15 kr. Ved en 6 er... 2 kr. 29: Tipning (2) Du udfylder en række på en almindelig tipskupon med 13 kampe. a: På hvor mange måder kan man få 12 rigtige? (Et af tegnene skal være placeret forkert). b: Hvad er sandsynligheden for at få mindst 12 rigtige? Modul 3b - statistik med mere Side 32
Blandede opgaver (2) Regn først opgaverne på denne side i hovedet. Du må gerne afrunde priserne (og de andre tal) tal. Fx: 199 kr. 2 kr. Kontroller derefter dine beregninger med lommeregner. 1: Smarte cowboybukser a: Hvor meget koster cowboybukserne normalt? b: Hvor meget udgør momsen af tilbudsprisen? Spar 75% Smarte cowboybukser Nu kun 199 kr. 2: Smalballe Gummifabrik a: Hvor mange var der ansat på fabrikken sidste år? b: Hvor mange vil der være ansat om et år, hvis der igen sker en stigning på 5%? 3: Støvler a: Hvad koster støvlerne normalt? b: Hvor mange procent er prisen sat ned? Der er nu 119 ansatte på Smalballe Gummifabrik. Det er en stigning på ca. 5% i forhold til sidste år. Antallet ventes fortsat at stige i det kommende år. Spar 2 kr. Lækre støvler Nu kun 299 kr. 4: Pølser a: Hvad koster pølserne normalt? b: Hvor mange procent sparer man? c: Hvad er kg-prisen normalt? d: Hvad er kg-prisen, når pølserne er på tilbud? 4 g pølser Kun 19,95 kr. Du sparer en tredjedel af normalprisen! 5: Motionsløb a: Hvor mange personer deltog i motionsløbet? b: Hvor mange udgik af løbet? 598 deltagere gennemførte i aftes Bredballe Idrætsklubs motionsløb på 8 km, men pga. det dårlige vejr udgik 25% af deltagerne undervejs. 6: Udby Boldklub Hvad kostede en billet til førsteholdets kampe sidste år? Udby Boldklub har efter oprykningen til Anders And-ligaen sat billetprisen til førsteholdets kampe op til 4 kr. Det er en stigning på 33%. Modul 3b - statistik med mere Side 33