Matematik for økonomer 3. semester

Matematik for økonomer 3. semester cand.oecon. studiet, 3. semester Planchesæt 2 - Forelæsning 3 Esben Høg Aalborg Universitet 10. september 2009 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Esben Høg (Aalborg Universitet) Matematik for økonomer 3. semester 10. september 2009 1 / 38 Topics Matrix Algebra fortsat Esben Høg (Aalborg Universitet) Matematik for økonomer 3. semester 10. september 2009 2 / 38

Nødvendige og tilstrækkelige betingelser Outline 1 Nødvendige og tilstrækkelige betingelser 2 Nonsingularitet 3 Determinanter 4 Bestemmelse af den inverse matrix 5 Cramers regel Esben Høg (Aalborg Universitet) Matematik for økonomer 3. semester 10. september 2009 3 / 38 Nødvendige og tilstrækkelige betingelser Nødvendige betingelser for udsagn (se også C. & W. afsnit 5.1) En nødvendig betingelse er en forudsætning. Antag at et udsagn p kun er sandt hvis et andet udsagn q også er det, så er q en nødvendig betingelse for p. Symbolsk skrives dette som p q Udsagnet læses som "p kun hvis q" og er logisk ækvivalent med udsagnet "p medfører q". Ex: Lad p være udsagnet "dyret er en kat" og q være udsagnet "Dyret har to øjne og en hale" så gælder der at p q, da to øjne og en hale er en forudsætning for at et dyr kan være en kat. Det omvendte gælder derimod ikke da der findes andre dyr med to øjne og en hale. Esben Høg (Aalborg Universitet) Matematik for økonomer 3. semester 10. september 2009 4 / 38

Nødvendige og tilstrækkelige betingelser Tilstrækkelige betingelser (se også C. & W. afsnit 5.1) Hvis der gælder at p er sand når q er sand, men at p godt kan være sand uden at q er det, så er q en tilstrækkelige betingelse for p. Symbolsk skrives dette som p q Udsagnet læses som "p hvis q", og er logisk ækvivalent med "q medfører p". Ex: Hvis p er udsagnet "man kan komme til Europa" og q er udsagnet "man tager flyet til Europa", så har vi p q, da flyet kan få en til europa. Det omvendte udsagn gælder derimod ikke da man kan komme til Europa på andre måder. Esben Høg (Aalborg Universitet) Matematik for økonomer 3. semester 10. september 2009 5 / 38 Nødvendige og tilstrækkelige betingelser Et tredje tilfælde er hvis q er både nødvendig og tilstrækkelig for p. I dette tilfælde skriver vi p q udsagnet læses som "p hvis og kun hvis q". Ex: Hvis vi lader p være udsagnet "Der er mindre end 30 dage i måneden" og q være udsagnet "Måneden er Februar", så har vi p q, da det er nødvendigt at det er Februar for at der er under 30 dage, mens at udsagnet q er tilstrækkeligt til at fastslå at der er under 30 dage i måneden. Esben Høg (Aalborg Universitet) Matematik for økonomer 3. semester 10. september 2009 6 / 38

Nonsingularitet Outline 1 Nødvendige og tilstrækkelige betingelser 2 Nonsingularitet 3 Determinanter 4 Bestemmelse af den inverse matrix 5 Cramers regel Esben Høg (Aalborg Universitet) Matematik for økonomer 3. semester 10. september 2009 7 / 38 Nonsingularitet Betingelser for nonsingularitet af matricer(c. & W. afsnit 5.1) En nødvendig betingelse for nonsingularitet er at matricen er kvadratisk, da kun kvadratiske matricer har en invers. En nødvendig betingelse for at en matrix er nonsingulær, er at dens rækker er lineært uafhængige. Dette er det samme som at dens søjler er lineært uafhængige. Rækkerne i en matrix kan opfattes som rækkevektorer a 11 a 1n v 1 A =..... =. a m1 a mn Disse rækkevektorer er lineært uafhængige hvis ligningen: kun har en løsning for alle k i = 0. v m k 1 v 1 + k 2 v 2 + + k m v m = 0 Tilsammen udgør disse to de nødvendige og tilstrækkelige betingelser for nonsingularitet, dvs Nonsingularitet Kvadratisk matrix og lineært uafhængige rækker. Esben Høg (Aalborg Universitet) Matematik for økonomer 3. semester 10. september 2009 8 / 38

Nonsingularitet Ex: Matricen 3 4 5 A = 2 6 4 5 10 9 består af rækkevektorerne [ ] v 1 = 3 4 5 [ ] v 2 = 2 6 4 [ ] v 3 = 5 10 9 Disse er ikke lineært uafhængige da v 1 + v 2 = v 3 v 1 + v 2 v 3 = 0 Esben Høg (Aalborg Universitet) Matematik for økonomer 3. semester 10. september 2009 9 / 38 Nonsingularitet Rangen af en matrix (se også C. & W. afsnit 5.1) Hvordan bestemmes lineær uafhængighed af rækkerne hvis det ikke kan ses med det blotte øje? For en generel m n matrix defineres rangen af matricen, som det maksimale antal lineært uafhængige rækker. Antallet af lineært uafhængige rækker er lig antallet af lineært uafhængige søjler, og der må derfor gælde at Rang(A) min(m, n) Rangen af en matrix kan bestemmes ved at transformere en matrix om til dens echelon form. Transformationen til echelon form, udføres ved hjælp af tre elementære rækkeoperationer, som ikke ændrer på rangen af matricen: 1 Ombytning af to rækker i matricen. 2 Multiplikation af en række med en skalar k 0. 3 Addition af "k gange en række" til en anden række. Esben Høg (Aalborg Universitet) Matematik for økonomer 3. semester 10. september 2009 10 / 38

Nonsingularitet Echelonform af matrix (se også C. & W. afsnit 5.1) Echelonformen af en matrix er karakteriseret ved tre egenskaber 1 Rækker med ene nuller skal være nederst. 2 Den første indgang læst fra venstre i en række, som er forskellig fra nul, skal være et et-tal. 3 Den første indgang i en række (et-tallet), skal stå til højre for den første indgang i rækken ovenover. Når echelonformen af en matrix er fundet, kan rangen aflæses som antallet af rækker som ikke består af ene nuller. Esben Høg (Aalborg Universitet) Matematik for økonomer 3. semester 10. september 2009 11 / 38 Nonsingularitet Transformation til echelonform Ex: Find rangen af matricen 0 11 4 A = 2 6 2 4 1 0 Vi benytter de elementære rækker operationer, og starter med at ombytte række 1 og 3, så vi får 4 1 0 2 6 2 0 11 4 Den første indgang i række 1 skal være et-tal, så vi ganger rækken med 1/4, og får 1 1/4 0 2 6 2 0 11 4 Esben Høg (Aalborg Universitet) Matematik for økonomer 3. semester 10. september 2009 12 / 38

Nonsingularitet Transformation til echelonform fortsat For at matricen kommer på echelonform skal den ledende indgang i anden række stå til højre for den ledende indgang i første række. Vi sørger for dette ved at trække 2* række 1 fra række to, så vi får 1 1/4 0 0 11/2 2 0 11 4 Den ledende indgang i anden række skal nu laves til et et-tal, så vi dividerer med 11/2 og får 1 1/4 0 0 1 4/11 0 11 4 Esben Høg (Aalborg Universitet) Matematik for økonomer 3. semester 10. september 2009 13 / 38 Nonsingularitet Transformation til echelonform fortsat For at få den ledende indgang i række tre til at stå til højre for den ledende indgang i række to lægges 11* række to til række tre så vi får 1 1/4 0 0 1 4/11 0 0 0 Matricen er nu på echelonform, og rangen kan aflæses som antallet af rækker forskellig fra nul, som i dette tilfælde er 2. De elementære rækkeoperationer kan også benyttes på ikke-kvadratiske matricer, og kan benyttes til løsning af ligningssystemer. For at en n n matrix er nonsingulær, skal alle dens rækker være lineært uafhængige. Dvs. at rangen skal være n, hvilket igen vil sige at echelonformen af en nonsingulær matrix, ikke har nogen rækker med ene nuller. Esben Høg (Aalborg Universitet) Matematik for økonomer 3. semester 10. september 2009 14 / 38

Determinanter Outline 1 Nødvendige og tilstrækkelige betingelser 2 Nonsingularitet 3 Determinanter 4 Bestemmelse af den inverse matrix 5 Cramers regel Esben Høg (Aalborg Universitet) Matematik for økonomer 3. semester 10. september 2009 15 / 38 Determinanter Bestemmelse af nonsingularitet vha. determinanter (C. & W. afsnit 5.2) En determinant er et entydig bestemt tal, som siger noget om en matrices egenskaber. Determinanten for en matrix A skrives A. Determinanten er kun defineret for kvadratiske matricer. For en 1 1 matrix A = [a 11 ] er A = a 11. Dette må ikke forveksles med den numeriske værdi af et tal 5 = 5, da fortegnet her bevares så hvis A = [ 5], så er A = 5. [ ] a11 a For en 2 2 matrix A = 12 defineres determinanten som a 21 a 22 a A = 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 21 a 12 Ex: A = [ ] 3 5 7 4 A = 3 5 7 4 = 3 4 5 7 = 23. Esben Høg (Aalborg Universitet) Matematik for økonomer 3. semester 10. september 2009 16 / 38

Determinanter Determinanter og lineær uafhængighed Ex: Givet en matrix med lineært afhængige rækker A = det at 2 4 A = 4 8 = 2 8 4 4 = 0 [ ] 2 4 4 8 fås Der lader altså til at være en sammenhæng mellem lineær afhængighed af rækkerne og værdien af determinanten. Determinanten kan ikke kun bruges til at afgøre om en matrix er nonsingulær, men også til at bestemme den inverse matrix. Esben Høg (Aalborg Universitet) Matematik for økonomer 3. semester 10. september 2009 17 / 38 Determinanter bestemmelse af en 3. ordens determinant a 11 a 12 a 13 For en 3 3 matrix A = a 21 a 22 a 23 defineres determinanten som a 31 a 32 a 33 a A = a 22 a 23 11 a 32 a 33 a a 21 a 23 12 a 31 a 33 + a a 21 a 22 13 a 31 a 32 = a 11 a 22 a 33 a 11 a 23 a 32 + a 12 a 23 a 31 a 12 a 21 a 33 + a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 Esben Høg (Aalborg Universitet) Matematik for økonomer 3. semester 10. september 2009 18 / 38

Determinanter Huskeregel for 3 3 determinanter Solide linier svarer til positive produkter Stiplede linier svarer til negative produkter Esben Høg (Aalborg Universitet) Matematik for økonomer 3. semester 10. september 2009 19 / 38 Determinanter Ex: A = 2 4 5 6 7 8 1 3 4 A = 2 7 4 2 3 8 + 4 8 1 4 6 4 + 5 3 6 5 7 1 Esben Høg (Aalborg Universitet) Matematik for økonomer 3. semester 10. september 2009 20 / 38

Determinanter Evaluering af en n te ordens determinant (se også C. & W. afsnit 5.2) For en 3 3 matrix så vi at determinanten blev bestemt ved at tage indgangene fra første række og gange dem med tre forskellige 2. ordens determinanter. De tre 2. ordens determinanter kaldes underdeterminanter og er bestemt ud fra den originale 3 3 matrix. a Den første underdeterminant 22 a 23 a 32 a 33, som ganges med a 11 fås ved at fjerne den første række og første søjle. Underdeterminanten kaldes en minor til elementet a 11, og benævnes M 11. Generelt kan man få en minor til elementet a ij ved at fjerne den i te række og j te søjle. Denne minor benævnes så M ij. Esben Høg (Aalborg Universitet) Matematik for økonomer 3. semester 10. september 2009 21 / 38 Determinanter For hver minor defineres også en kofaktor. En kofaktor er en minor med et fortegn, og defineres som C ij = ( 1) i+j M ij Kofaktoren skifter altså fortegn afhængig af hvilken position i matricen elementet til minoren har. Ex: For matricen A = 1 2 3 4 5 6 er minoren til elementet 3 7 8 9 M 13 = 4 5 7 8 = 3 Kofaktoren til samme element er C 13 = ( 1) 1+3 4 5 7 8 = 1 ( 3) = 3 Tilsvarende er kofaktoren til elementet 2 C 12 = ( 1) 1+2 4 7 6 9 = 1 ( 6) = 6 Esben Høg (Aalborg Universitet) Matematik for økonomer 3. semester 10. september 2009 22 / 38

Determinanter Det ses nu at determinanten for en 3 3 matrix kan skrives som A = a 11 M 11 a 12 M 12 + a 13 M 13 = a 11 C 11 + a 12 C 12 + a 13 C 13 = 3 a 1j C 1j j=1 Denne måde at skrive en determinant på kaldes for en Laplace-udvikling og kan udvides til at gælde for en vilkårlig n n matrix A, så n A = a 1j C 1j j=1 Hver af kofaktorerne i ovenstående udtryk svarer til en determinant for en (n 1) (n 1) matrix, og for at beregne determinanten fortsætter man med at Laplace udvide indtil vi kun skal beregne 2 2 determinanter, som vi har en formel for. Esben Høg (Aalborg Universitet) Matematik for økonomer 3. semester 10. september 2009 23 / 38 Determinanter Endvidere gælder det, at ovenstående resultat for determinanten gælder uanset om udviklingen er efter række 1 eller en hvilken som helst anden række, eller hvis det er efter en søjle i stedet for efter en række. I alle tilfælde får man determinanten: A = = n a ij C ij (uanset om i er 1 eller en hvilken som helst anden række) j=1 n a ij C ij (uanset om j er 1 eller en hvilken som helst anden søjle). i=1 (Bemærk at der summeres over j i første sum ovenfor, og at der summeres over i i den anden sum ovenfor). Esben Høg (Aalborg Universitet) Matematik for økonomer 3. semester 10. september 2009 24 / 38

Determinanter Laplace-udvikling af determinant 5 6 1 Ex: Lad A = 2 3 0, så giver Laplace-udvikling efter første 7 3 0 række: 3 0 A = 5 3 0 6 2 0 7 0 + 2 3 = 0 + 0 27 = 27 7 3 Havde vi istedet udvidet efter først søjle fås 3 0 A = 5 3 0 2 6 1 3 0 + 7 6 1 3 0 = 0 6 21 = 27 Laplace-udvikling kan ske efter en vilkårlig række eller søjle. Det kan altså være en fordel at vælge den række eller søjle som har flest nuller. Esben Høg (Aalborg Universitet) Matematik for økonomer 3. semester 10. september 2009 25 / 38 Determinanter Egenskaber for determinanter (se også C. & W. afsnit 5.3) Egenskab 1: Ombytning af rækker og søjler ændrer ikke på determinanten. Dvs. A = A Egenskab 2: Ombytning af to rækker ændrer fortegnet på determinanten. Dvs hvis vi har en kvadratisk matrix A og A er den matrix hvor vi har byttet to rækker, så er A = A Egenskab 3: Multiplikation af en række med en skalar k gør determinanten k gange større. Dvs hvis A er den matrix hvor vi har ganget en række med k, så er A = k A Esben Høg (Aalborg Universitet) Matematik for økonomer 3. semester 10. september 2009 26 / 38

Determinanter Egenskab 4: Addition af k gange en række til en anden række ændrer ikke på determinanten, dvs. hvis A er den matrix hvor vi har lagt k gange en række til en anden, så er A = A Egenskab 5: Hvis en række i matricen er en linearkombination af de andre, så er determinanten 0. Denne egenskab følger af egenskab 4, for hvis f.eks. den n te række kan skrives som v n = k 1 v 1 + + k n 1v n 1 trække k i af den række fra v n hvilket ikke ændrer på determinanten. Slutteligt opnåes en nul-række, og Laplace udvikling af determinanten efter denne række giver 0., så kan vi for hver v i Omvendt gælder det, at hvis determinanten er forskellig fra 0 så er rækkerne i matricen lineært uafhængige. Esben Høg (Aalborg Universitet) Matematik for økonomer 3. semester 10. september 2009 27 / 38 Determinanter Determinant kriterium for nonsingularitet Vi ved nu at A 0 Rækkerne/søjlerne i A er lineært uafhængige A er nonsingulær A 1 eksisterer Der findes en entydig løsning x = A 1 d Esben Høg (Aalborg Universitet) Matematik for økonomer 3. semester 10. september 2009 28 / 38

Bestemmelse af den inverse matrix Outline 1 Nødvendige og tilstrækkelige betingelser 2 Nonsingularitet 3 Determinanter 4 Bestemmelse af den inverse matrix 5 Cramers regel Esben Høg (Aalborg Universitet) Matematik for økonomer 3. semester 10. september 2009 29 / 38 Bestemmelse af den inverse matrix Udvikling med fremmede kofaktorer (se også C. & W. afsnit 5.4) Der gælder at hvis man udvikler determinanten med fremmede kofaktorer så giver den værdien 0. Fremmede kofaktorer vil sige at man bruger kofaktorer fra en anden række end den man udvikler efter. 4 1 2 Ex: Hvis vi udvikler determinanten 5 2 1 med elementerne fra første 1 0 3 række og kofaktorerne fra anden række fås: ( a 11 C 21 + a 12 C 22 + a 13 C 23 = 4 1 2 ) 0 3 + 4 2 1 3 ( + 2 4 1 ) 1 0 = 4( 3) + 10 2(1) = 0 Esben Høg (Aalborg Universitet) Matematik for økonomer 3. semester 10. september 2009 30 / 38

Bestemmelse af den inverse matrix Udvikling med fremmede kofaktorer (Altså kofaktorerer hørende til en anden række eller søjle end den der udvikles efter) Denne egenskab gælder for determinanter af alle størrelser, og generelt kan dette skrives som n a ij C i j = 0 (i i ) j=1 n a ij C ij = 0 (j j ) i=1 Esben Høg (Aalborg Universitet) Matematik for økonomer 3. semester 10. september 2009 31 / 38 Den inverse matrix Bestemmelse af den inverse matrix Denne egenskab kan bruges til at bestemme A 1. Antag at vi har en n n matrix a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A =...... a n1 a n2 a nn Ud fra denne kan man danne en matrix af kofaktorer, ved at erstatte hvert element i A med dens kofaktor. Vi benævner denne matrix C = [ C ij ], og ser på dens transponerede C. En sådan matrix kaldes en adjungeret matrix, og er på følgende form: C 11 C 21 C n1 C C 12 C 22 C n2 = adj(a) =...... C 1n C 2n C nn Esben Høg (Aalborg Universitet) Matematik for økonomer 3. semester 10. september 2009 32 / 38

Den inverse matrix Bestemmelse af den inverse matrix Da begge matricer er n n kan de multipliceres, og vi får at a 11 a 12 a 1n C 11 C 21 C n1 AC a 21 a 22 a 2n C 12 C 22 C n2 =............ a n1 a n2 a nn C 1n C 2n C nn nj=1 a 1j C 1j nj=1 a 1j C 2j nj=1 a 1j C nj nj=1 a 2j C 1j nj=1 a 2j C 2j nj=1 a 2j C nj =...... nj=1 a nj C 1j nj=1 a nj C 2j nj=1 a nj C nj A 0 0 0 A 0 =...... = A I n 0 0 A Esben Høg (Aalborg Universitet) Matematik for økonomer 3. semester 10. september 2009 33 / 38 Den inverse matrix Vi får altså at Dette betyder så at Bestemmelse af den inverse matrix AC A A 1 = 1 A C = 1 A adj(a) [ ] 3 2 Ex: Find den inverse af A =. Da A = 2 0 findes den inverse 1 0 og vi kan bestemme den med ovenstående metode. Kofaktoren for hvert element er i dette tilfælde en 1 1 determinant, vi får derfor [ ] [ ] C11 C C = 12 0 1 = C 21 C 22 2 3 Vi får da at = I A 1 = 1 A C = 1 2 [ 0 ] 2 1 3 Esben Høg (Aalborg Universitet) Matematik for økonomer 3. semester 10. september 2009 34 / 38

Cramers regel Outline 1 Nødvendige og tilstrækkelige betingelser 2 Nonsingularitet 3 Determinanter 4 Bestemmelse af den inverse matrix 5 Cramers regel Esben Høg (Aalborg Universitet) Matematik for økonomer 3. semester 10. september 2009 35 / 38 Cramers regel Cramers regel (se også C. & W. afsnit 5.5) Vi ved at matrixligningen Ax = d har en løsning givet ved x = A 1 d. Da vi nu kan bestemme den inverse får vi at x 1 C 11 C 21 C n1 d 1 x 2. = 1 C 12 C 22 C n2 d 2 A....... xn C 1n C 2n C nn d n ni=1 d i C i1 = 1 ni=1 d i C i2 A. ni=1 d i C in Vi bemærker her at x 1 = n i=1 d i C i1 minder om en Laplace udvikling efter første søjle af en matrix, som jo er givet ved A = n i=1 a 1i C i1. Esben Høg (Aalborg Universitet) Matematik for økonomer 3. semester 10. september 2009 36 / 38

Cramers regel Cramers regel Det ses at hvis vi udskifter første søjle af A med vektoren d og Laplace-udvikler efter denne søjle så får vi x1. Kalder vi denne matrix hvor første søjle er udskiftet med d for A 1 så får vi altså at x 1 = A 1 A Generelt får vi så at hvis vi udskifter den j te søjle i A med d og kalder den nye matrix for A j så gælder der at x j = A j A Esben Høg (Aalborg Universitet) Matematik for økonomer 3. semester 10. september 2009 37 / 38 Cramers regel Ex: Løs ligningssystemet Cramers regel 7x 1 x 2 x 3 = 0 10x 1 2x 2 + x 3 = 8 6x 1 + 3x 2 2x 3 = 7 Vi benytter Cramers regel og finder følgende determinanter 7 1 1 0 1 1 A = 10 2 1 = 61 A 1 = 8 2 1 = 61 6 3 2 7 3 2 7 0 1 7 1 0 A 2 = 10 8 1 = 183 A 3 = 10 2 8 = 244 6 7 2 6 3 7 Vi får så at x1 = A 1 = 61 A 61 = 1 x 2 = A 2 A = 183 61 = 3 x 3 = A 3 A = 244 61 = 4 Esben Høg (Aalborg Universitet) Matematik for økonomer 3. semester 10. september 2009 38 / 38