Implikationer og Negationer Frank Villa 5. april 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her.
Indhold 1 Introduktion 1 2 Frank går i bad 3 2.1 Nu med negationer.................. 4 3 Implikationer og negationer 5 3.1 Kontraposition.................... 6 4 En analogi med tegninger 7 4.1 Sandhedsmængder.................. 7 4.2 Negationer....................... 10 4.3 Implikationer..................... 11 4.4 Kontraposition.................... 13 4.5 Andre logiske operationer.............. 14 5 Tilbage til de hele tal 18 5.1 Bevis for lemma 3 og dermed også lemma 1.... 19
Resumé Dettte dokument er inspireret af en samtale som jeg havde med en elev om beviset for at kvadratroden af 2 er irrational. Det havner i en halvdyb undersøgelse af logiske implikationer og hvordan man laver nogle logiske fiflerier med den slags. 1 Introduktion Beviset for at 2 er irrational 1 benytter sig af følgende lille hjælpesætning: Lemma 1. Hvis x er et helt tal, og vi ved at x 2 er et lige tal, så er x nødvendigvis et lige tal. Skrevet med logiske symboler: x 2 lige x lige Hvis man skal bevise dette, så kan man lynhurtigt blive forvirret af følgende (meget mere indlysende, men totalt irrelevante) faktum: Lemma 2. Hvis x er et helt tal, og vi ved at x er et lige tal, så er x 2 nødvendigvis et lige tal. Skrevet med logiske symboler: x lige x 2 lige Disse to lemmaer er begge korrekte, men de har (logisk set) intet med hinanden at gøre. Tværtimod, så har lemma 1 en hel masse med følgende resultat at gøre: 1 Du kan læse hele beviset her side 1
Lemma 3. Hvis x er et helt tal, og vi ved at x er et ulige tal, så er x 2 nødvendigvis et ulige tal. Skrevet med logiske symboler: x ulige x 2 ulige Det lyder umiddelbart mystisk hvorfor lemma 1 (som handler om lige tal) skulle have mere med lemma 3 at gøre end med lemma 2. Men faktisk er lemma 1 og 3 præcis den samme information, mens lemma 2 er en fuldstændig anden information. Det skal vi lige have en forklaring på. side 2
2 Frank går i bad Lad os lave en analogi som intet har med tal at gøre. Betragt følgende påstand: Sagt med lidt andre ord: A: Hver eneste tirsdag går jeg i bad! A: Hvis det er tirsdag, så går jeg i bad! Eller skrevet med logiske tegn: A: Det er tirsdag Jeg går i bad Dette er tre formuleringer af den samme information, nemlig at jeg går i bad hver eneste tirsdag. Om det er korrekt eller ej er ikke så vigtigt (logisk set), men det er ekstremt vigtigt at vide at jeg intet har sagt om andre dage end tirsdag. Man kan ikke se ud fra den ovenstående information om jeg går i bad på andre dage. Derfor skulle det gerne være klart at følgende påstand er en helt anden påstand: Eller med logiske tegn: B: Hvis jeg går i bad, så er det tirsdag B: Jeg går i bad Det er tirsdag Det ville være noget griseri hvis denne påstand var korrekt, fordi det ville betyde at jeg kun gik i bad om tirsdagen, og det ville ikke engang være en garanti for at jeg gik i bad hver tirsdag. side 3
2.1 Nu med negationer Lad os nu prøve at snige ordet ikke ind et par steder. Betragt følgende påstand: C: Hvis ikke jeg går i bad, så er det ikke tirsdag Eller med et logisk tegn: C: Jeg går ikke i bad Det er ikke tirsdag Kan du se at denne påstand er præcis den samme som påstand A? Den siger jo at hvis der er en dag hvor jeg ikke går i bad, så er det med garanti ikke en tirsdag. Hvis jeg skulle gøre dette rigtigt, så behøvede jeg kun at gå i bad hver tirsdag. Øvelse 4. Prøv at lave en påstand som er præcis det samme som påstand B, men som indeholder ordet ikke på begge sider af implikationen. side 4
3 Implikationer og negationer Det sidste afsnit var en illustration af et logisk fænomen som hedder kontraposition. For at forstå hvad kontraposition er, skal vi først forstå noget andet: Definition 5. Hvis U symboliserer et hvilket som helst udsagn (det logiske ord for en påstand), så skriver man: U for at symbolisere den modsatte påstand. Man kalder det negationen af U. I det foregående afsnit om mine badevaner optrådte der to grundlæggende udsagn: og: Sammen med deres negationer: og: U: Det er tirsdag V : Jeg går i bad U: Det er ikke tirsdag V : Jeg går ikke i bad Sagt på den måde kan vi omformlure de tre påstande som: A: U V side 5
B: V U C: V U Når du har læst næste afsnit vil du kunne se klart hvorfor påstand A og C er den samme. 3.1 Kontraposition Nu er vi klar til at se på en af de dybeste regler i udsagnslogik, nemlig reglen om kontraposition: Sætning 6 (kontraposition). Hvis U og V er to udsagn, så er det sammensatte udsagn: U V præcis det samme udsagn som det kontraponerede udsagn: V U Vi vil ikke bevise sætning 3.1 her (det er egentlig ikke så slemt, men man har brug for lidt mere forstand på udsagnslogik). I stedet vil vi illustrere det på en måde så det forhåbentlig bliver klart hvorfor et udsagn er det samme som dets kontraposition. Det kræver at vi opfinder en måde at se et udsagn på. side 6
4 En analogi med tegninger Logik bliver ofte meget nemmere hvis man tænker på ethvert udsagn som en mængde eller et område som man forestiller sig repræsenterer alle de steder, verdener, universer, situationer (eller sådan noget) hvor udsagnet er sandt. Man kunne kalde denne mængde for udsagnets sandhedsmængde. Bemærk at dette ikke er helt officiel matematik, så vær lidt tålmodig med mig hvis det næste afsnit forekommer lidt upræcist. 4.1 Sandhedsmængder Hvis man skal forestille sig en tegning af et udsagn, så er det på mange måder godt at forestille sig en mængde bestående af alle de situationer hvor udsagnet er sandt. Desværre er det for upræcist bare at sige alle de situationer, så det er en smule mere besværligt end dette. Det kan siges (lidt) mere præcist på følgende måde: Definition 7. Hvis Ω er en mængde (vi vil kalde den for universmængden) bestående af elementer som vi vil kalde for situationer, så kan vi tænke på et udsagn U som en delmængde af Ω hvis: Udsagnet U giver mening når man har valgt en situation (altså et element i Ω For hver eneste situation er udsagnet U enten sandt eller falsk Hvis disse to betingelser er opyldt, så definerer vi udsagnets sandhedsmængde som de mængden bestående af de elementer i Ω hvor udsagnet er sandt. Man skal have et billede i stil med figur 1 inde i hovedet: Tricket består altså i et forestille sig en passende universmængde, hvor vores udsagn bliver til påstande som er enten sande eller falske, alt efter hvilket element man ser på. Lad os se på et par eksempler. side 7
Figur 1: En universmængde, Ω og en sandhedsmængde for et udsagn, U. Det blå område består af de situationer hvor U er et sandt udsagn. Eksempel 8. Eksemplerne med mine badevaner indeholdt to udsagn: og: U: Det er tirsdag side 8
V : Jeg går i bad For at forstå disse udsagn som mængder, kan vi lade Ω bestå af alle tænkelige dage (måske alle dage i jordens historie? Eller bare alle dage i mit liv?). Vi skal altså forstå hvert element i universmængden som en dag. Dermed er det klart at U og V kan være enten sande eller falske, alt efter hvilket element vi ser på. Sandhedsmængden for U består altså af alle de dage som er tirsdage, og sandhedsmængden for V består af alle de dage hvor jeg går i bad. Hvis man laver andre typer af udsagn, så har man brug for at lave sin universmængde om. Det kan være meget svært at vælge den rigtige mængde, især når udsagnene handler om andre ting end matematik. Her kommer et matematisk eksempel som du muligvis allerede kender: Eksempel 9. Hele det emne som hedder analytisk geometri er faktisk et eksempel på at udsagn kan blive til mængder. Analytisk geometri handler om en helt bestemt slags udsagn, nemlig ligninger med to ukendte. Det kan f.eks. være følgende udsagn: U : y = 2x + 5 V : x 2 + y 2 = 1 W : y = 1 x Når vi siger at disse udsagn beskriver nogle delmængder af koordinatsystemet, så er det i virkeligheden fordi vi betragter det todimensionale koordinatsystem som vores universmængde, Ω. Hvert element i Ω giver os en situation bestående af et punkt med en x-koordinat og en y-koordinat. side 9
Og så er det jo klart at hvert af udsagnene U, V og W kan være enten sande eller falske, alt efter om de to koordinater opfylder ligningen eller ej. Når man så tegner sandhedsmængder for U, V og W, så tegner man de punkter i koordinatsystemet hvis koordinater opfylder ligningerne. Nu bliver det rigtigt pænt! Fordi det viser sig at de logiske ting som som vi kan gøre med udsagn svarer fuldstændigt til operationer som vi kan lave med disse udsagns sandhedsmængder. Lad os starte med det nemmeste, nemlig negationerne: 4.2 Negationer Negation af et udsagn er som sagt når man laver det modsatte udsagn. Altså et udsagn som er sandt hvis det oprindelige udsagn er falsk, og omvendt. Hvis man tænker på vores tegning af udsagnets sandhedsmængde, så er dette meget simpelt: Sætning 10. Hvis U er et udsagn, så vil det negerede a udsagn, U, have en sandhedsmængde, som består af alle de situationer som ikke er med i U s sandhedsmængde. Dette kaldes i mængdesprog for komplementærmængden, og det ser ud lige som på figur 2. a Det skal udtales med hårdt g. Ellers lyder det vildt mærkeligt. side 10
Figur 2: Sandhedsmængden (med blåt) for det negerede udsagn U. 4.3 Implikationer Hvad så med implikationer? Det er en smule mere kompliceret, fordi der indgår hele to udsagn i en implikation. Hvis U og V er to udsagn, så kan man bygge et nyt, samlet udsagn ved at skrive: U V Dette udsagn svarer til at sige at hvis U er sandt, så er V også side 11
sandt. Men det siger intet om hvorvidt nogen af dem er sande. Denne lille finurlighed er det som gør implikationer meget svære at bruge rigtigt. Men det er heldigvis ret nemt at forklare hvis man tænker på de to udsagns sandhedsmængder. Sætning 11. Hvis U og V er to udsagn, hvis sandhedsmængder kan tegnes i den samme universmængde, Ω, så svarer udsagnet: U V til at sige at U s sandhedsmængde ligger inde i V s sandhedsmængde. I mængdesprog siger man at U s sandhedsmængde er en delmængde af V s sandhedsmængde. Det ser ud som vist på figur 3. side 12
Figur 3: Sandhedsmængder for to udsagn U og V, hvor der gælder at U V. 4.4 Kontraposition Inspireret af figur 3, kan man forestille sig at påstanden U V svarer til at V er et hus, og U er et værelse inde i huset, så siger påstanden jo bare at hvis jeg er inde i værelset, så er jeg nødvendigvis også inde i huset. side 13
Men hvad så med påstanden: V U Jo, den siger jo så bare at hvis ikke jeg er inde i huset, så er jeg ihvertfald heller ikke inde i værelset. Eller med andre ord: Det som ligger uden for V ligger ihvertfald også uden for U. I forhold til figur 3 svarer udsagnet U V til at sige at den røde mængde ligger inde i den blå. Mens det kontraponerede udsagn V U svarer til at sige at det hvide område (som jo er V s komplement) ligger inde i det hvide og det blå område tilsammen (hviilket jo er U s komplement). 4.5 Andre logiske operationer Det smukke stopper slet ikke her! Der er mange flere såkaldte dualiteter mellem logiske finurligheder og ting som man kan tegne. Det hører egentlig hjemme i et helt andet dokument, men jeg laver lige et par eksempler her. Eksempel 12. De to logiske tegn for og ( ) og eller ( ) kan være lidt svære at huske forskel på. Det bliver nemmere hvis man ved hvad de gør ved sandhedsmængderne for de udsagn som man bruger dem sammen med. Hvis U og V er to udsagn, så er udsagnet U V det udsagn at både U og V er sande. Hvis man således skal forestille sig sandhedsmængden for U V, så skal man forestille sig de situationer som både ligger i U s sandhedsmængde og i V s sandhedsmængde. Dette kaldes (som du nok ved) for fællesmængden eller snitmængden mellem sandhedsmængderne. Se figur 4. side 14
På samme måde svarer udsagnet U V til fællesmængden af de to sandhedsmængder, nemlig alle de situationer hvor enten U eller V (eller dem begge) er sand. Dette er meget pænt, fordi tegnet på den måde svarer til symbolet for snitmængder, mens eller-tegnet svarer til symbolet for fællesmængde. Det er naturligvis ikke tilfældigt at de vender åbningen den samme vej. side 15
Figur 4: Sandhedsmængder for to udsagn, U og V (med henholdsvist blå og rød) og en markering af sandhedsmængden for det sammensatte udsagn U V (som jo så bliver lilla, fordi det både er rødt og blåt) Det er faktisk ret smukt når man laver det skematisk. Hvert af de logiske symboler har en makker blandt de symboler som vi bruger når vi arbejder med mængder. Se selv: side 16
Logisk symbol Mængdesymbol = side 17
5 Tilbage til de hele tal Lad os vende tilbage til det oprindelige problem, nemlig lemma 1. Denne sætning handler om to forskellige udsagn om et helt tal, x, nemlig: og U: x 2 er lige V: x er lige Vi kan forestille os disse udsagn tegnet som sandhedsmængder inde i en universmængde, Ω som består af alle de hele tal. Med vores visdom fra de sidste afsnit er det nemt at se at lemma 1 ganske enkelt påstår: U V og at dette (ved kontraposition) er præcis det samme som påstanden: V U Men de to udsagn U og V er nemme at negere, eftersom alle ethvert heltal enten er lige eller ulige. Derfor er de negerede udsagn: og U: x 2 er ulige V: x er ulige Så derfor er den kontraponerede påstand præcis det samme som lemma 3 side 18
5.1 Bevis for lemma 3 og dermed også lemma 1 Lad os nu til slut bevise lemma 3. Det vil samtidigt bevise lemma 1, og dermed kan vi tillade os at bruge det i beviset for at 2 er irrational. Bevis (for lemma 3). Lad os antage at x er et helt tal, og at x er ulige. Det betyder at x kan skrives som: x = 2 n + 1 (fordi ethvert ulige tal kan skrives som et lige tal plus 1.) Ifølge den første kvadratsætning kan vi derfor skrive: x 2 = (2n + 1) 2 = (2n) 2 + 1 2 + 2 2n 1 = 2 2 n 2 + 1 + 2 2n = 2 (2n 2 + 2n) + 1 Ved den sidste omskrivning kan man tydeligt se at x 2 er ulige. Der bliver det nemlig skrevet som et lige tal (2 gange et eller andet helt tal) plus 1. side 19