REGULARITET AF LØSNINGER M.M.

REGULARITET AF LØSNINGER M.M. E. SKIBSTED Inhol 1. Plan og forusætninger 1 2. Generalisering af [B, Theorem 3.8] 1 3. Autonomt tilfæle 3 3.1. Mængen D er åben 3 3.2. Strømmen er kontinuert på D 4 4. Tisafhængige tilfæle 5 4.1. Mængen D er åben 5 4.2. Strømmen er kontinuert på D 5 5. Tis- og parameterafhængige tilfæle 6 5.1. D me parameter er åben 6 5.2. Strømmen er kontinuert på D me parameter 6 5.3. Lineært tis- og parameterafhængige tilfæle 6 6. Glathe 7 6.1. Strømmen er glat på D 7 6.2. Strømmen er glat på D, me eller uen parameter 9 1. Plan og forusætninger Vi giver en generalisering af [B, Theorem 3.8], beviser (me en ekstra antagelse) [B, Theorem 3.5] (og en analoge egenskab for autonome systemer) og iskuterer regularitet af løsninger m.h.t. begynelsesbetingelse og parameter. Noterne forusætter fortrolighe me [B, Theorem 3.1], [B, Corollary 3.1], [B, Theorem 3.4] og [B, Theorem 3.8]. Fra Afsnit 3 og frem esuen Gronwall s ulighe [B, Corollary B.1]. Fra Delafsnit 5.3 og frem esuen [B, Theorem 5.1]. 2. Generalisering af [B, Theorem 3.8] Vi bemærker, at notationen I c i [B, Theorem 3.8] refererer til et maksimale løsningsinterval og at antagelsen, at M er konveks, er overfløig (bruges ikke i beviset!). Me isse korrektioner er neenståene usagn et stærkere resultat. Sætning 2.1. (Uvielse af [B, Theorem 3.8]) Antag X : O R n er et C 1 -vektorfelt på en åben elmænge O R n, og at c O. La I c = (a c, b c ) 24. august 25, Supplerene noter til [B, Chapter 3], Differentialligninger 25. 1

være et maksimale løsningsinterval for begynelsesværiproblemet x = X(x) t. (2.1) x() = c Da gæler, at løsningen x(t) forlaer enhver kompakt elmænge af O før eksplosion;.v.s. at for enhver given kompakt elmænge M O fines ǫ (, b c a c ) så x(t) / M for t (a c, a c + ǫ) (b c ǫ, b c ). Bevis. La M O være en given kompakt elmænge. Vælg en åben omegn U M hvis afslutning M := U er en kompakt elmænge af O. Vi efinerer κ = (M, R n \ U), (2.2) C = sup X(x) x M}. (2.3) Her er afstansfunktionen: (A, B) = inf x y x A, y B}. Bemærk, at κ og C er velefineree positive tal. Vi påstår, at x(t) / M for t (a c, a c + ǫ) (b c ǫ, b c ); ǫ := min(κ/c, b c a c ). (2.4) Vi betragter neenfor kun tilfælet nær højre eksplosionstispunkt. Så la t 1 (b c ǫ, b c ) være givet me ǫ som i (2.4). Antag mosætningsvist, at x(t 1 ) M. Vi bruger nu [B, Theorem 3.8] (uen konveksitetsantagelsen) på en kompakte elmænge M til at fine t 2 (t 1, b c ) så x(t 2 ) / M. Betragt Da x( ) er kontinuert ses, at Da får vi ve at bruge (2.5), at t U := inft [t 1, t 2 ] x(t) / U}. x(t U ) / U og x(t) U for t [t 1, t U ). (2.5) x(t U ) x(t 1 ) = x(t U ) x(t 1 ) U På en anen sie giver (2.5) også, at U t 1 X(x(t )t, t 1 X(x(t ) t C(t U t 1 ). (2.6) x(t U ) x(t 1 ) κ. (2.7) Klart mostrier (2.6) og (2.7) efinitionen af ǫ i (2.4) (iet t U t 1 < ǫ). 2

3. Autonomt tilfæle La O og X være givet som i Sætning 2.1. Som efineret på sie 15 i [B] er D = (t, x) R R n x O og t I x }. (3.1) Den tilsvarene efinition for tisafhængige felter er givet i [B, Definition 3.6]. På ette områe er strømmen D (t, x) φ t (x) O velefineret. 3.1. Mængen D er åben. Vi har følgene version af [B, Theorem 3.5]: Sætning 3.1. Mængen D er åben i R R n. Bevis. La (t, x ) D være givet. Antag først, at t >. La t 1 I x være vilkårligt valgt så t 1 > t. Betragt for ǫ > mængen M ǫ = y = x(t) + z t [, t 1 ], z ǫ}. (3.2) Her er anvent notationen x(t) = φ t (x ) og l 1 -normen givet på sie 83 i [B]. Mængen M ǫ er kompakt, og for ǫ 1 > lille nok er M ǫ1 O. Vi fastholer et såant ǫ 1. I et følgene refererer B ǫ (x ) til kuglen givet ve l 1 -normen (se sie 83 i [B] for beslægtet notation), vs. per efinition er x B ǫ (x ), hvis x x < ǫ. Da (, t 1 ) B ǫ (x ) er en omegn af (t, x ) er et så nok at fine et positivt ǫ 2 ǫ 1 så (, t 1 ) B ǫ2 (x ) D. (3.3) Hertil efineres K = sup x M ǫ1 ; i,j n jvf. [B, (3.6)]. Vi vil vise, at (3.3) holer for ǫ 2 > valgt så Xi (x), (3.4) x j ǫ 2 exp(nkt 1 ) ǫ 1. (3.5) La z B ǫ2 () være givet. Vi vil fine en C 1 -funktion [, t 1 ] t z(t) B ǫ1 (), så z() = z og y = x + z løser t y = X(y) y() = x + z. (3.6) Eksistens af en såan funktion giver (3.3). Systemet (3.6) er ækvivalent me ( ) z(t) = z + X(x(s) + z(s)) X(x(s)) s. (3.7) Vi skriver X(x(s) + z(s)) X(x(s) = A(s, z(s))z(s); (3.8) A(s, z) = 1 ( X)(x(s) + lz)l, (3.9) 3

og bemærker, at matricen A(s, z) er velefineret for z B ǫ1 (). Kombineres (3.7) og (3.8) fås z(t) = z + A(s, z(s))z(s)s. (3.1) Fra [B, Theorem 3.1] vies, at (3.7) (eller (3.1)) har en entyig løsning på et lille interval [, t]. Vi vil vise, at løsningen kan fortsættes til [, t 1 ]. Antag mosætningsvist, at løsningen eksploerer i b (, t 1 ]. Så vil også løsningen y = x+z til (3.6) eksploere i b. Benyttes (3.1) og [B, (3.8)] fås vureringerne z(t) z + z + A(s, z(s))z(s) s nk z(s) s, og erme ifølge Gronwall s ulighe [B, Corollary B.1] og (3.5) z(t) z exp(nkt) ǫ 1 for t (, b). (3.11) Mostrien følger nu ve at kombinere (3.11) me Sætning 2.1 anvent på et autonome system (3.6). Vi har vist (3.3). Tilbage er tilfælene 2) t <, og 3) t =. Angåene 2) bemærker vi, at reparametiseringen x(t) x( t) giver løsning me feltet X X og skift af fortegn af tisparameteren; problemet reucerer sålees til tilfælet 1) t > behanlet ovenfor. Det siste tilfæle kan klares ve kombination af metoerne for 1) og 2); eller alternativt ve en moifikation af beviset for [B, Theorem 3.1]. 3.2. Strømmen er kontinuert på D. Sætning 3.2. Uner samme forusætninger som i Sætning 3.1 er strømmen D (t, x) φ t (x) O kontinuert. Bevis. Beviset er i et væsentlige ineholt i beviset for Sætning 3.1: La (t k, x k )} k være en vilkårlig følge me grænse (t, x ) D. Vi skal vise, at φ tk (x k ) φ t (x ). Hertil vureres φ tk (x k ) φ t (x ) φ tk (x k ) φ tk (x ) + φ tk (x ) φ t (x ). (3.12) Første le på højre sie af (3.12) vureres opatil me ǫ 1 givet x k x ǫ 2, jvf. (3.11). Her er ǫ 1 vilkårligt valgt positiv, og ǫ 2 opfyler (3.5). For et anet le har vi vureringen φ tk (x ) φ t (x ) t k t sup x M ǫ1 X(x). (3.13) Her er højresien også vureret me ǫ 1 forusat k er stor nok. Alt i alt giver (3.12) og (3.13) tilsammen en øvre grænse 2ǫ 1 for alle tilstrækkeligt store k. 4

4. Tisafhængige tilfæle La nu feltet X være tisafhængigt, jvf. [B, Definition 3.6]. Så betragt et tilpast regulært felt efineret på en åben elmænge B R R n, B (t, x) X(t, x) R n. Som i [B, Definition 3.6] inføres D = (t, s, x) R R R n (s, x) B og t I (s,x) }. (4.1) 4.1. Mængen D er åben. Vi har følgene version af Sætning 3.1 og [B, Theorem 3.5]: Sætning 4.1. Antag X er en C 1 -funktion. Så er mængen D åben i R R R n. Bevis. Betragt systemet t t = 1 t x = X(t, x).. (4.2) Højresien efinerer et tisuafhængigt C 1 -felt, X aut = X aut (t, x), for hvilket vi kan bruge Sætning 3.1. Der gæler følgene sammenhænge mellem begreber introuceret for henholsvis et tisafhængige og et tisuafhængige system (angivet me inlysene notation) I (s,x) = s + I(s,x) aut (, (4.3) t + s, φ s t +s (x)) = φ aut t (s, x), (4.4) D = Ψ(D aut ); (4.5) Ψ(t, s, x) := (t + s, s, x). Det bemærkes, at Ψ er en homeomorfi (= bikontinuert 1 1 afbilning) fra mængen R R R n på sig selv. Da vi ve fra Sætning 3.1, at D aut er åben, gæler samme egenskab for billeet D = Ψ(D aut ). 4.2. Strømmen er kontinuert på D. Sætning 4.2. Uner samme forusætninger som i Sætning 4.1 er strømmen D (t, s, x) φ s t (x) Rn kontinuert. Bevis. Fra (4.4) har vi formlen ( t, φ s t (x)) = φ aut t s (s, x). Højresien er (simultant) kontinuert i alle variable ifølge Sætning 3.2. Bemærkning 4.3. Antagelsen at X er C 1 i Sætning 4.1 og 4.2 er stærkere en nøvenigt; sætningerne holer me antagelsen at X i og alle x-afleee xj X i er kontinuerte på B, jvf. [B, Theorem 3.5]. Selv om Sætning 3.1 og 3.2 ikke irekte kan bruges som ovenfor uner isse svagere forusætninger, kan beviserne moificeres igen spiller Gronwall s ulighe [B, Corollary B.1] en afgørene rolle, jvf. beviset for Sætning 6.1 neenfor. 5

5. Tis- og parameterafhængige tilfæle Vi tillaer nu en parameterafhængighe af et tisafhængigt felt. Så betragt et tilpast regulært felt X efineret på en åben elmænge B R R n R m, B (t, x, u) X(t, x, u) R n. En naturlig generalisation af [B, Definition 3.6] (vi bruger samme notation) er D = (t, s, x, u) R R R n R m (s, x, u) B og t I (s,x,u) }. (5.1) Her refererer I (s,x,u) til et maksimale løsningsinterval me start til tien t = s i punktet x for fast parameter u. 5.1. D me parameter er åben. Vi har følgene version af Sætningerne 3.1, 4.1 og [B, Theorem 3.5]: Sætning 5.1. Antag X er en C 1 -funktion. Så er mængen D åben i R R R n R m. Bevis. Betragt systemet t = 1 t x = X(t, x, u). (5.2) t u =. t Iet højresien efinerer et tis- og parameteruafhængigt felt, kan vi herfra gå frem som i beviset for Sætning 4.1; problemet reucerer altså igen til Sætning 3.1. 5.2. Strømmen er kontinuert på D me parameter. Sætning 5.2. Uner samme forusætninger som i Sætning 5.1 er strømmen D (t, s, x, u) φ s t (x, u) Rn kontinuert. Bevis. Samme bevis som for Sætning 4.2. Bemærkning 5.3. Antagelsen at X er C 1 i Sætning 5.1 og 5.2 er stærkere en nøvenigt, jvf. Bemærkning 4.3. Sætningerne holer me antagelsen at X i og alle x-afleee xj X i er kontinuerte på B, jvf. [B, Theorem 3.5] og [B, Exercises 3.2 1]. Igen henvises til beviserne for Sætning 3.1 og 3.2. 5.3. Lineært tis- og parameterafhængige tilfæle. Vi ser på et tis- og parameterafhængigt felt X på R n på formen X(t, x, u) = A(t, u)x + b(t, u); (t, u) I U, (5.3) hvor I et åbent interval og U en åben elmænge af R m. Vi antager at alle ingange i matricen A og i vektoren b er kontinuerte på I U. I enne situation har vi fra [B, Theorem 5.1] følgene beskrivelse af mængen D i (5.1): D = (t, s, x, u) R R R n R m s, t I, x R n, u U}. (5.4) Der gæler følgene version af Sætning 5.2, jvf. Bemærkning 5.3: 6

Sætning 5.4. Uner linearitets- og kontinuitetsbetingelserne ovenfor er strømmen D (t, s, x, u) φ s t(x, u) R n kontinuert. Da vi skal bruge sætningen i næste afsnit giver vi et hurtigt irekte bevis. Bevis. La J I være et kompakt interval, og M 1 og M 2 være kompakte elmænger af henholvis R n og U. Vi har følgene repræsentation fra Picars metoe (jvf. beviset for [B, Theorem 5.1]) φ s t(x, u) = S k y ; (5.5) (Sy)(t) = k= s A(t, u)y(t ) t, y (t) = y (t, x, u) = x + s b(t, u) t. Det k te le er kontinuert i alle variable. Sætningen følger erfor, hvis vi kan fine en konvergent majorantrække, og her kan vi inskrænke os til at se på s, t J, x M 1 og u M 2. La K = sup A ij (t, u) og C = sup y (t, x, u). t J; u M 2 ; i,j n t J; x M 1 ; u M 2 Vi viser ve inuktion i k vureringen (S k y )(t) C nk(t s) k ; s, t J, x M 1, u M 2. (5.6) k! Usagnet (5.6) er opfylt for k =. Så antag k 1, og at (5.6) gæler for k k 1. Vi vurerer (S k y )(t) n sup A ij (t, u) (S k 1 y )(t ) t s CnK i,j n s nk(t s) k 1 (k 1)! t nk(t s) k = C. k! Vi har vist (5.6). Rækken k= C (nk J )k k! er en konvergent majorantrække for (5.5). 6. Glathe Vi skal i ette afsnit iskutere glathe af strømmen. 6.1. Strømmen er glat på D. Vi betragter et tisuafhængigt felt X : O R n som i Afsnit 3. Sætning 6.1. Me antagelsen X C k (O) for et k N er strømmen D (t, x) φ t (x) O en C k -funktion. 7

Bevis. Vi viser først sætningen for k = 1. La os starte me at stuere en j te x-afleee. Ve formel ifferentiation af første ligning i (2.1) ser vi, at v = xj φ t (x) bør løse t v = ( X)(φ t(x))v v() = e j. (6.1) Her er e j = (,...,1,..., ) en j te kanoniske basisvektor i R n. Vi bemærker, at (6.1) har en løsning på intervallet I x, hvor φ t (x) er efineret, jvf. [B, Theorem 5.1]. Denne løsning v bruges i et følgene. For at vise eksistensen af xj φ t (x) holer vi x fast og ser på ifferenskvotienten w = h 1 (φ t (he j + x) φ t (x)). Som i (3.1) har vi (efter ivision me h) hvor, jvf. (3.9), Integreres (6.1) fås w(t) = e j + A(s, z, x) = v(t) = e j + 1 A(s, hw(s), x)w(s)s, (6.2) ( X)(φ s (x) + lz)l. A(s,, x)v(s)s (6.3) Vi sætter z = w v og får ve subtraktion af (6.2) og (6.3), at z(t) = ( A(s, hw(s), x)z(s) + R(s) ) s; (6.4) R(s) = ( A(s, hw(s), x) A(s,, x) ) v(s). (6.5) La J I x være et kompakt interval, så J. Vi benytter nu at X er kontinuert samt Sætning 3.2 til at slutte, at R(s) for h uniformt i s J. For givet ǫ > har vi altså for et δ >, at R(s) < ǫ for alle s J forusat h < δ. La K = sup A il (s, hw(s), x). s J; h δ; i,l n Vi slutter nu fra (6.4), at for t J og h < δ er z(t) ǫ J + nk z(s) s. (6.6) Fra Gronwall s ulighe [B, Corollary B.1] og (6.6) fås z(t) ǫ J exp(nk J ); t J, h < δ. (6.7) Da ǫ > er vilkårligt valgt konklueres fra (6.7), at z(t) for h. Da også J I x er vilkårligt valgt, gæler ette for alle t I x. 8

Altså kan vi konkluere, at xj φ t (x) eksisterer i et hvert punkt (t, x) D for j = 1,.., n. Kombineres Sætning 3.2 og 5.4 slutter vi eneligt, at e 1. orens x-afleee er kontinuerte i (t, x). Klart er t φ t (x) velefineret og C. Vi konkluerer at strømmen D (t, x) φ t (x) O er en C 1 -funktion;.v.s. at sætningen er vist for k = 1. Det generelle tilfæle klares ve inuktion. Så antag k 2 og at usagnet i sætningen gæler for k k 1. Vi skal så vise usagnet for k. Hertil betragtes systemet x = X(x) t v = ( X)(x)v. (6.8) t Vektorfeltet i (6.8) er C k 1. Løsningen me begynelsesbetingelse (x, v)() = (x, v ) er givet ve utrykket ( ) φt (x ), ( x φ t )(φ t (x ))v, jvf. beviset for tilfælet k = 1. Fra inuktionsantagelsen haves, at ette utryk er C k 1 i (t, x, v ). Specielt får vi fra kæereglen (og gruppeegenskaben i [B, Theorem 3.7]), at ( x φ t )(x) er C k 1 i (t, x). Klart er t φ t (x) = X(φ t (x)) en C k 1 -funktion i (t, x) (kæereglen igen). Vi har sålees vist, at φ t (x) er C k i (t, x), og inuktion er gennemført. 6.2. Strømmen er glat på D, me eller uen parameter. Resultatet i Delafsnit 6.1 uvies til tis- og parameterafhængige felter (ve autonomisering som i beviset for Sætning 4.1 og 5.1). Me D som i (4.1): Sætning 6.2. Me antagelsen X C k (B) for et k N er strømmen D (t, s, x) φ s t (x) Rn en C -funktion. Me D som i (5.1): Sætning 6.3. Me antagelsen X C k (B) for et k N er strømmen D (t, s, x, u) φ s t (x, u) Rn en C -funktion. 9