Det skå kast o ballistiske kue side 1 Institut fo Matematik, DTU: Gymnasieopae Det skå kast Teoi: Eik Øhlenschlæe, Fysik fo Diplomineniøe, Gyldendal 1996, side 13-14 Fa kastemaskine til pojektile Fiu 1 Skitse af kastemaskine Fiu Rekonstuktion af kastemaskine Vi ha alle pøet at kaste tin op i luften fo at se, ho højt i kan kaste, elle ho lant i kan kaste Gennem histoien ha man but kastemaskine til kisføelse, nå man skulle indtae belejede bye o boe I oldtiden a Achimedes 1 beømt fo sine kismaskine, de ble benyttet i fosaet af byen Syacus mod den omeske belejin I fiu 1 e ist pincippet i en kastemaskine elle blide fa middelaldeen På middelaldecentet på Falste ha man ekonstueet en kastemaskine, se fiu, som du kan se unde afskydnin, his du kie på intenetadessen http://wwwmiddelaldecentetdk/ Tidliee ha man ikke kunnet beene banen fo kasteskytset Det a Galilei, de føst fandt, at et kast kunne sammensættes af en andet beæelse o et lodet fald Deed kunne han ise, at den kue, de femkomme ed et kast, e en paabel Senee opfandt Benjamin Robins 3 det ballistiske pendul, som mulijode pæcise måline af pojektiles hastihede Robins opdaede, at luftmodstanden på et pojektil kunne æe op til 1 ane så sto som tyndekaften på pojektilet Han a en teoi fo banekuen, som et pojektil føle unde luftmodstand Tabelle, de stamme fa Robins ble endnu but unde edenski til beenin af moteanates bane 1 Achimedes, 87-1 BC Gæsk matematike, fysike o ineniø Galiei, 1564-164 Italiensk idenskabsmand o astonom 3 Benjamin Robins, 177-1751 Enelsk matematike o ineniø
Det skå kast o ballistiske kue side Kastepaablen Fiu 3 Kastepaablen Vi il nu betate det skå kast uden luftmodstand Beæe en patikel si i et konstant tyndefelt med tyndeacceleationen ettet lodet nedad, se fiu 3, kan acceleationsektoen af patiklen i et xy-koodinatsystem skies a Vi antae, at patiklen state til tiden t med en hastihed, his støelse e o som danne en inkel på α med andet, se fiu 1 Hastihedsektoen til t e da cos α Inteee i acceleationen med hensyn til t finde i hastihedsektoen (t) til (t) + a t cos α - t Befinde patiklen si i punktet (,) til tiden t, finde i stedektoen (t) til (t) cos α t t + ½ a t t - ½ t Rækkeidden x x(t ) af kastet finde i ed at sætte y(t ), hilket ie fo t
Det skå kast o ballistiske kue side 3 t, hoefte ækkeidden x blie x cos α x(t ) Af fomlen fo x se i, at fo en ien beyndelsesfat il ækkeidden blie støst, his 1, ds at i skal kaste med en statinkel på α 45 Den støste højde y y((t ) på paablen finde i nå hastiheden i y-etninen y (t ) elle de indsat i y(t) ie t, y y(t ) Af fomlen fo y se i, at fo en ien beyndelsesfat il den maksimale højde blie støst, his 1, ds at i skal kaste med en statinkel på α 9 Opae Fiu 4 Sisimiut bandæsen i aktion Sisimiut bandæsen e bleet kaldt ud til en band på Byskolen Bandmændene holde ståleøet i punktet A med en inkel på α 6 med andet i en højde på 1,5 m oe joden, se fiu 4 Afstanden fa A til skolebyninen e 9 m Højden af skolens byninen e 9 m o bedden 6 m, se fiu 4 På und af andfobuet i Sisimiut på bandtidspunktet e andets hastihed ed mundinen af fa ståleøet 14 m/s
Det skå kast o ballistiske kue side 4 Spøsmål 1 Ho på byninens facade il andstålen amme? Unde slukninsabejdet e bandæsnet køt undt i Sisimiuts ade, ho man ennem højttalee ha opfodet folk til at spae på andet Deed stie pludseli hastiheden af andet ed ståleøets mundin til 1 18 m/s Ståleøets inkel i A e stadi α 6 med andet Spøsmål Ho amme andstålen nu? Vi skal i de følende se næmee på den banekue en patikel føle, nå man tae hensyn til luftmodstanden Ballistiske kue o skydeåben Fiu 5 Jatiffel Banen i det skå kast e kun med tilnæmelse paabelfomet Foøe i hastiheden af patiklen, elle betate i et lænee tidsum, il luftmodstandens indflydelse øe si ældende Affye i et pojektil fa et skydeåben, som ist i fiu 5, il pojektilet føle en den ballistisk kue På fiu 6 e ist en skitse af en ballistisk banekue i fohold til sitelinien på Fiu 6 Sitelinien i fohold til den ballistiske kue skydeåbnet Den ballistiske kue afie mee o mee fa paabelfomen jo lænee æk pojektilet ha beæet si Vi il nu opstille beæelseslininen fo et pojektil I uppeopae n 11 så i, at luftmodstanden på et leeme med faten kunne skies på fomen F D c D ½ A ρ, ho c D e modstandskoefficienten, ρ e luftens massefylde o A e leemets tæsnitsaeal
Det skå kast o ballistiske kue side 5 Fiu 7 Modstandskoefficientens afhænihed af faten målt i feet/second I fiu 7 e ist modstandskoefficienten fo foskellie type af pojektile som funktion af Af pojektilets fat Standadpojektilet e G1, de nomalt affyes med en mundinshastihed på ca 75 f/s ca 838 m/s Fo dette pojektil e c D,5 Med kalibe på 8 mm o en massefylde af luften på ρ 1, k/m 3 blie F D F D,5 ½ π/4,8 1, N s /m 1,51 1-5 N s /m Ha pojektilet en masse på m 18, en beyndelseshastihed 838 m/s o en hældnin med andet på α,15, ise en beenin ( se MAPLE løsninen), at iflen e Fiu 8 Afielse af den ballistiske kue fa en paabel indskudt på afstanden 3 m, se fiu 8 Faten af pojektilet e efte 3 m faldet til 87 m/s, o det e,37 sekunde om at nå sit mål